Постоянный ток . магнитное поле в вакууме

Тольяттинский государственный университет
Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина С.Н.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
2й семестр
Модуль 5
ПОСТОЯННЫЙ ТОК.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Тольятти 2007
Содержание
Глава III. Постоянный электрический ток .......................................................................................3
§18. Условия существования электрического тока и его характеристики ..............................3
§19. Уравнение непрерывности ...................................................................................................4
§20. Сторонние силы. Электродвижущая сила...........................................................................6
§21. Закон Ома. Сопротивление проводников............................................................................8
§22. Закон Ома для неоднородного участка цепи ......................................................................9
§23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа.................................................11
§24. Закон Джоуля-Ленца ...........................................................................................................13
24.1. Однородный участок цепи............................................................................................13
24.2. Неоднородный участок цепи ........................................................................................14
Глава IV. Магнитное поле в вакууме .............................................................................................15
§25. Магнитное поле. Магнитная индукция .............................................................................15
§26. Поле движущегося заряда...................................................................................................17
§27. Закон Био-Савара-Лапласа .................................................................................................19
Пример 27.1. Магнитное поле прямого тока, т.е. тока, текущего по тонкому проводу
бесконечной длины.................................................................................................................20
Пример 27.2. Магнитное поле на оси кругового тока, на расстоянии z от центра...........21
r
§28. Теорема Гаусса для поля вектора B .................................................................................22
r
§29. Теорема о циркуляции вектора B для поля постоянных токов в вакууме (или закон
полного тока) ...............................................................................................................................23
r
§30. Примеры применения теоремы о циркуляции вектора B ..............................................24
Пример 30.1. Магнитное поле прямого тока........................................................................24
Пример 30.2. Магнитное поле соленоида.............................................................................25
r
Пример 30.3. Поток вектора B через соленоид ..................................................................26
Пример 30.4. Магнитное поле тороида.................................................................................27
§31. Сила Ампера. Закон Ампера...............................................................................................28
§32. Сила взаимодействия электрических токов......................................................................29
§33. Сила Лоренца .......................................................................................................................30
r
Пример 33.1. Положительный заряд (+q) движущийся со скоростью u параллельно
прямому проводу, по которому течет ток I..........................................................................31
§34. Эффект Холла ......................................................................................................................32
§35. Дифференциальная форма записи основных законов магнитного поля........................33
§36. Движение заряженных частиц в магнитном поле ............................................................35
§37. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле .................36
2
Глава III. Постоянный электрический ток
§18. Условия существования электрического тока и его характеристики
Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц.
Для протекания тока необходимо:
1. Наличие заряженных частиц (свободных носителей зарядов) – ими могут быть ионы,
электроны, заряженные пылинки и капельки.
2. Наличие внутри тела электрического поля.
E
Рис. 18.1
Если в проводнике поддерживать внешнее электрическое поле, то свободные электрические
заряды в нем начнут перемещаться (положительные заряды – по полю, отрицательные – против
поля), в проводнике возникает ток проводимости.
Количественной характеристикой электрического тока служит сила тока.
Сила тока - это скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:
dq
I=
.
(18.1)
dt
Если ток создается носителями зарядов обоих знаков, то:
d q+
d q-
(18.2)
+
.
dt
dt
За направление тока принимается направление, в котором перемещаются положительные носители.
Ток, сила и направление которого не изменяется со временем, называется постоянным. Для
q
постоянного тока: I = . Единицей силы тока является [I] = 1 A
t
Электрический ток может быть распределён неравномерно по поверхности, по которой он
r
течёт. Более детально ток можно характеризовать с помощью вектора плотности тока – j .
I=
Плотностью тока называется физическая величина, численно равная силе тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярно направлению тока.
Модуль вектора плотности тока численно равен силе тока dI через расположенную в данной
точке, перпендикулярно к направлению движения носителей, площадку dS , отнесённой к величине этой площадки:
r
dI
j =
.
(18.3)
dS ^
3
r
За направление j примем направление упорядоченного движения положительных носителей, т.е. по направлению тока.
r
Единицей j является [j] = 1 А/м2 .
Зная вектор плотности тока в каждой точке пространства, можно найти силу тока I через
любую поверхность S:
r r
dI
j=
Þ I = ò j dS ,
dS^
S
r r
где dS = n dS ;
r
r
n – единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с вектором j угол a.
Сила тока – это поток вектора плотности тока через поверхность dS.
Выразим силу и плотность тока через скорость < u > упорядоченного движения зарядов в
проводнике.
Если концентрация носителей тока равна n:
n = n+ + n- – полное количество носителей.
r
r
u + и u - – скорости (упорядоченного) движения носителей.
За единицу времени dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд:
dq = ne < u > Sdt ,
или
(
)
r
r
dq = n + e +u + + n - e -u - dSdt ,
(18.4)
r
j = enu ,
(18.5)
r
r
r
j = n + e +u + + n - e -u - .
(18.6)
n+ e+ = r + ,
(18.7)
n -e- = r - ,
(18.8)
а плотность тока
тогда
Мы знаем, что
где r + и r - – объемные плотности положительных и отрицательных носителей заряда, тогда
r
r
r
(18.9)
j = r +u + + r -u - ,
а если движутся только электроны, то
r
j = r -u - .
(18.10)
§19. Уравнение непрерывности
Рассмотрим в некоторой проводящей среде, в которой течет ток, воображаемую замкнутую
поверхность.
4
-
dq
dt
Рис. 19.1
r
r
r
n – вектор положительной нормали dS -- n
r r
ò j dS – заряд, выходящий в единицу времени из объема ограниченного поверхностью S.
s
Поток j сквозь замкнутую поверхность равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V.
r r dq
(19.1)
òS j dS = dt .
Формула (19.1) – уравнение непрерывности. Оно является выражением закона сохранения
электрического заряда. По закону сохранения заряда эта величина равна скорости убывания заряда, содержащего в данном объеме.
Для постоянного тока:
r r
ò j dS = 0 ,
(19.2)
S
q = ò rdV ;
v
тогда
r r
¶
¶r
¶r
¶r
òS j dS = - ¶t Vò rdV = -ò ¶t dV = - ¶t òv dV = - ¶t V ,
(19.3)
так как плотность заряда может зависеть не только от времени, но и от координат.
¶r
– знак частной производной подчеркивает, что r = f (t ) (только от t).
¶t
Но
r r
r
j
d
S
=
Ñ
ò
ò j dV ,
S
V
тогда
r
ò Ñ j dV
V
= -ò
V
¶r
dV .
¶t
(19.4)
Дифференциальное уравнение:
r
¶r
Ñj = .
(19.5)
¶t
Это уравнение носит название уравнения непрерывности в дифференциальной форме.
r
Дивергенция j в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той
r
же точке. В точках, которые являются источниками вектора j , происходит убывание заряда.
r
¶r
Для стационарного тока j = const ; и тогда r = const , и
= 0; и
¶t
5
r
Ñj = 0 .
(19.6)
Формула (19.6) – уравнение непрерывности для стационарного тока.
Рис. 19.2
r
В случае постоянного тока вектор j не имеет источников, т.е. линии постоянного тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Они всегда замкнуты.
Для любого векторного поля выполняется соотношение:
r r
r
r
ò adS = ò divadV = ò ÑadV .
(19.7)
S
V
V
§20. Сторонние силы. Электродвижущая сила
Если в проводнике создать электрическое поле, то носители тока начнут перемещаться от
точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом (j1 > j2). Через некоторое время это приведёт к выравниванию потенциала и к исчезновению электрического поля, и ток прекратиться.
j1
j2
Рис. 20.1
Поэтому для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счёт работы сил не электростатического происхождения. Такие устройства называют источниками тока, а силы не электростатического происхождения – называют сторонними.
Сторонние силы способны перемещать заряды от точки с меньшим потенциалом к точке с
большим потенциалом. Природа сторонних сил может быть различна, эти силы могут быть
обусловлены химическими процессами, электрическими полями (но не электростатическими),
порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями.
Итак, сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов.
Характеристикой сторонних сил является ЭДС ( ):
ЭДС – физическая величина равная отношению работы сторонних сил по перемещению положительного единичного заряда к величине этого заряда:
e
6
e = Aq
СТ
e как и j выражается
в вольтах.
r
.
(20.1)
Сторонняя сила FСТ , действующая на заряд q, может быть выражена как:
r
r
FСТ = qEСТ ,
r
где EСТ – напряженность поля сторонних сил.
(20.2)
Работа сторонних сил на участке цепи 1–2 равна:
2 r
2
2 r
r
r r
A12 = ò FСТ dl = ò qEСТ dl = q ò EСТ dl .
1
1
(20.3)
1
Разделив эту работу на q, получим ЭДС, действующую на данном участке 1–2, т.е.
e=
Для замкнутой цепи имеем:
где
2 r
r
q ò EСТ dl
1
q
r r
= ò EСТ dl .
2
e = Aq
СТ
,
(20.4)
1
e = òE
r
e – ЭДС, действующая в замкнутой цепи.
r
d
l
,
СТ
(20.5)
ЭДС, действующая в замкнутой цепи, равна циркуляции вектора напряжённости сторонних сил.
r
r
В цепи, кроме сторонних сил, действуют ещё и электростатические силы: F = qE . Следовательно, результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд q, равна:
r r
r
r
r
r r
F = FЭЛ + FСТ = qE + qEСТ = q( E + EСТ ) .
Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на участке цепи 1-2, определяется выражением:
2 r r
2 r
r
A12 = q ò Edl + q ò EСТ dl = q(j1 - j 2 ) + q 12 .
(20.6)
e
1
1
Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении положительного единичного заряда, называется падением напряжения
или просто напряжением – U на данном участке цепи.
U=
AЭЛ + AСТ
q(j1 - j 2 )
; U12 =
q
q
+ qe
12
Þ U12 = (j1 - j 2 ) +
e
12
.
(20.7)
Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называют однородным.
Для однородного участка цепи: U12 = j1 - j2 напряжение совпадает с разностью потенциалов на концах этого однородного участка.
Участок цепи, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называются
неоднородным, для него: U12 = 12 (j1 - j 2 )
e +
7
§21. Закон Ома. Сопротивление проводников
Георг Ом экспериментально установил связь между силой тока, сопротивлением и напряжением однородного участка цепи.
I =U .
(21.1)
R
Формула (21.1) – интегральная форма записи закона Ома для однородного участка цепи.
Сила тока текущего по однородному проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике. Где R – электрическое сопротивление проводника [R]=1 В/A=1 Ом.
1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течёт постоянный ток 1 А.
Сопротивление проводника зависит от формы и размеров проводника, а так же от свойств
материала, из которого он изготовлен.
Для однородного цилиндрического проводника:
R=r l ,
S
(21.2)
где l – длина проводника, S – площадь поперечного сечение, r – удельное сопротивление проводника (зависит от материала проводника и от to) измеряется в Ом×м.
Закон Ома можно представить в дифференциальной форме: подставив выражение для сопротивления R = r l в закон Ома I = U получим: I = US или I = U где величина обратная
R
rl
S
S rl
удельному сопротивлению 1 = s – называется удельной электропроводимостью материала.
r
[ s ]=[См×м] – (симменс на метр).
Учитывая, что U = E – напряжённость электрического поля в проводнике (из U=Edl), а
l
I = j – плотность тока, тогда формулу можно записать в виде:
S
r
r
(21.3)
j = sE ,
т.к. в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора
r
r
r
E , то направления j и E совпадают.
Полученное соотношение и выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не содержит дифференциалов (производных), а своё название получило потому, что в нём устанавливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе
говоря, это соотношение выражает локальный закон Ома.
r
r
r
r
Сравнив выражения j = enV и j = sE , получим, что скорость упорядоченного движения
носителей тока пропорциональна напряжённости ЭСП, т.е. силе сообщённой носителям упорядоченного движения. Пропорциональность скорости приложенной к телу силе наблюдается в
тех случаях, когда кроме силы, вызвавшей движение, на тело действует сила сопротивления
среды. Эта сила вызывается взаимодействием носителей тока с частицами, из которых построено вещество проводника. Наличие силы сопротивления упорядоченному движению носителей
тока обуславливает электрическое сопротивление проводника.
Способность вещества проводить электрический ток характеризуется его удельным сопротивлением r, либо удельной проводимостью s – они зависят от химического состава вещества и
от температуры.
Для большинства металлов r~T (если Т®Тком). При низких температурах наблюдается отступление от этой закономерности.
8
В большинстве случаев зависимость r от T следует кривой 1 (рис. 21.1). У многих металлов
(Pb, Al, Zn) и их сплавов при Тк (критическая) сопротивление скачкообразно уменьшается до
нуля (кривая 2), т.е. металл становится абсолютным проводником. Это явление называется
сверхпроводимостью.
r
1
2
Tк
T
Рис. 21.1
Явление сверхпроводимости открыто в 1911г. Камерлинг-Оннесом для ртути. Сверхпроводящее состояние проводника при действии на него магнитным полем нарушается.
Удельное сопротивление и сопротивление зависят от t:
R = R0 (1 + at ) ;
(21.4)
r = r 0 (1 + at ) ,
(21.5)
где r и r0, R и R0 при to и 0o, а a – температурный коэффициент сопротивления. a=1/273 К-1.
На зависимости электрического сопротивления от температуры основано действие термометров сопротивления. Они позволяют определять температуру с точностью до 0,003 К.
§22. Закон Ома для неоднородного участка цепи
Рассмотрим неоднородный участок цепи, на котором кроме электростатических сил, действуют сторонние силы. Для него:
r r
r
(22.1)
F = FСТ + FЭЛ .
и
тогда
r r
r
E = EСТ + EЭЛ ,
(22.2)
r
r
r
r
r r
r
j = j ЭЛ + jСТ = sEЭЛ + sEСТ = s ( E ЭЛ + EСТ ) .
(22.3)
Эта формула выражает закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной
форме.
Рис. 22.1
Получим формулу закона Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме.
Рассмотрим неоднородный участок цепи (рис. 22.1).
9
Пусть электрический ток течёт вдоль тонких проводов. Тогда направление тока совпадает с
r
направлением оси провода и плотность тока j одинакова во всех точках сечения провода.
Пусть площадь сечения провода S, а по длине провода S может быть неодинакова. Тогда
r
r
r
j = s ( EЭЛ + EСТ ) .
(22.4)
r
r
r
j
(22.5)
= EЭЛ + EСТ ,
s
r
r
домножим (22.5) на d l и проинтегрируем по d l от точки 1 до точки 2
r 2
2 r
r
r 1 r r
jdl
(22.6)
ò1 s = ò1 EЭЛ d l + ò1 EСТ d l ,
r
I
1
заменив j отношением I (т.к. j = ), а s = в итоге получится:
S
S
r
2
2
1
Irdl
ò1 S = ò1 EЭЛl dl + ò1 EСТl dl .
(22.7)
Выражение r dl представляет собой сопротивление участка контура длины dl , а интеграл
S
от этого выражения – суммарное сопротивление R12 участка цепи.
2
1
IR12 = ò EЭЛ dl + ò ECT dl ,
j1 - j 2 и
e 12 – действующие на участке
l
1
1
l
IR12 = (j1 - j 2 ) + e12 ,
(22.8)
(22.9)
где R 12 = R + r – полное сопротивление цепи.
(j1 - j 2 ) + e 12
(22.10)
.
R+r
Формула (22.10) выражает закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цеI=
пи.
-
+
Рис. 22.2
Положим j1 = j 2 получим выражение закона Ома для замкнутой цепи
e .
(22.11)
R+r
Как наглядно изобразить процесс, протекающий в замкнутой цепи постоянного тока?
I=
10
A
B
Eст
Рис. 22.3
Точка А – соответствует положительной клемме источника, т. В – соответствует отрицательной клемме источника.
Процесс протекания тока можно представить так (рис. 22.3): положительные заряды – носители соскальзывают по наклонному желобу от точки А к точке В по внешнему участку цепи.
Внутри источника от точки В к точке А их перемещают сторонние силы.
§23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа
Расчет разветвлённых цепей, например нахождение токов в отдельных ветвях, значительно
упрощается, при пользовании правилами Кирхгофа.
Узлом разветвлённой цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника.
Ток текущий к узлу считается имеющим знак (+I), из узла – знак (–I).
Ветвью электрической цепи – называется участок цепи вдоль которого проходит один и тот
же ток.
Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвлённых цепей.
N
Ii = 0 .
å
i =1
(23.1)
Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна 0.
Первое правило Кирхгофа вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счёте, из
закона сохранения заряда.
Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми
являются только (N – 1) уравнения, N-е будет следствием из них.
Второе правило Кирхгофа относится к любому, выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру.
Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям
цепи.
I
1
-
2
+
+
R2
R1
I2
R3
1
+
E
Рис. 23.1
11
3
Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного
замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих
в этом контуре.
åi I R =åk e
i
i
k
.
(23.2)
Для доказательства рассмотрим контур:
Пусть обход контура совершается по часовой стрелке: тогда для каждого участка согласно,
закон Ома:
I1 R1 = (j1 - j 2 ) + e 1
I 2 R2 = (j 2 - j 2 ) + e 2
(23.3)
I 3 R3 = (j 3 - j1 ) + e 3
I1 R1 + I 2 R2 + I 3 R3 = e 1 + e 2 + e 3 Þ å I i Ri =å e k .
i
k
(23.4)
Таким образом, второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.
Составление системы уравнений
Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему уравнений, из которых могут быть найдены, например, все неизвестные токи.
3
х
x 2
4
1
x
Рис. 23.2
По 1 и 2 правилам Кирхгофа уравнений нужно составлять столько, сколько неизвестных величин, но надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других.
По 1 правилу Кирхгофа следует для цепи из N узлов записать (N – 1) независимых уравнений. По второму правилу Кирхгофа составлять уравнения только для независимых контуров.
Независимыми контурами являются те, которые нельзя составить наложением уже рассмотренных контуров. Число независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа оказывается равным числу наименьших разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все контуры. Для такого контура (рис. 23.2) число независимых уравнений, составленных по 2-ому правилу Кирхгофа – 3.
При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо поступать так:
1. Произвольным образом выбрать направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчётах искомый
ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.
2. Выбрать направление обхода контура. Произведение Ii×Ri считается положительным, если направление обхода и направление тока на данном участке совпадает, и считается отрицательным (–Ii×Ri), если направление обхода и направление тока на данном участке не
совпадают.
ЭДС берётся со знаком (+) если она действует в направлении обхода, или со знаком (–)
если против.
12
3. Составить столько уравнений по 1 и 2 правилам Кирхгофа, сколько неизвестных, и решить систему уравнений.
Модели: Цепи постоянного тока ОФ 1.0; Видеозадачи: 1) Загадка для лентяев; 2) Задуем
лампочку – Видеозадачник, ч1, 3
§24. Закон Джоуля-Ленца
При протекании тока через проводник, обладающий сопротивлением, проводник нагревается (если он неподвижен и в нём нет химических превращений, то работа тока расходуется на
нагревание проводника). Определим количество теплоты, выделяющегося в единицу времени
на участке цепи. Рассмотрим однородный и неоднородный участки цепи, будем использовать
закон Ома и закон сохранения энергии.
24.1. Однородный участок цепи
Рассчитаем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 1–2 за
время dt. Сила тока в проводнике I, разность потенциалов между точками 1 и 2 – (j1 – j2). Тогда: dq = Idt – такой заряд протечёт через поперечное сечение участка 1-2.
dA = dq(j1 - j 2 ) = I (j1 - j 2 )dt
(24.1)
работа, совершаемая при перенесении заряда dq через поперечное сечение проводника на участке 1–2, силами поля.
j
dS
E
dl
Рис. 24.1
Согласно закону сохранения энергии, энергия, эквивалентная этой работе, выделяется в виде
тепла, если проводник неподвижен и в нём не происходят химические превращения, т.е. проводник нагревается. Носители тока (в металлах электроны) в результате работы сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию, а затем расходуют её на возбуждение колебаний решётки при столкновении с её узлами-атомами. Тогда:
dA = I (j1 - j 2 )dt = I 2 Rdt .
(24.2)
A = I 2 Rt ,
(24.3)
Т.к. (j1 - j 2 ) = IR , проинтегрировав, получаем:
но т.к.
U 2t
(24.4)
.
R
Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца для однородного участка цепи в интегральной
форме записи. Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся
за время t вычисляется по формуле:
Q = A = I 2 Rt = IUt =
13
t
Q = ò I 2 Rdt .
(24.5)
0
Получим дифференциальную форму записи закона Джоуля-Ленца.
I
l
j = ; R = r ; dSdl = dV – величина элементарного объема.
S
S
dQ = dA = I 2 Rdt = ( jdS ) 2 r dl dt = pj 2 dVdt .
(24.6)
dS
Формула (24.6) определяет тепло, выделяющееся во всём проводнике, можно перейти к выражению, характеризующему выделение тепла в различных местах проводника. Выделим в
проводнике элементарный объём в виде цилиндра. Согласно закону Джоуля-Ленца за время dt в
этом объеме выделяется тепло.
Разделив это выражение на dV и dt, найдём количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу времени, эту величину назвали удельной тепловой мощностью тока w.
Удельная тепловая мощность тока – это количество теплоты выделяющееся в единицу времени в единице объема проводящей среды.
Тогда:
dQ
dVdt
= rj 2
;
(24.7)
dVdt
dVdt
dQ
(24.8)
=w,
dVdt
то
w = rj 2 .
(24.9)
Формула (24.9) – дифференциальная форма записи закона Джоуля-Ленца. Сформулируем
его:
Удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.
Уравнение w = rj 2 применимо к любым проводникам вне зависимости от их формы, однородности и от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то, согласно закону Ома:
r
r
r E
j = = sE , и w = rj 2 , то
r
rr
(24.10)
w = j E = sE 2 .
Это уравнение имеет менее общий характер, чем уравнение w = rj 2 .
24.2. Неоднородный участок цепи
На неоднородном участке цепи на носители тока действуют не только электрические, но и
сторонние силы, т.к. участок цепи содержит источник ЭДС. Тогда по закону сохранения энергии в неподвижном проводнике выделяемая теплота равна энергии, т.е. алгебраической сумме
работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил:
P = UI = (j1 - j 2 ) I + e 12 I .
(24.11)
P = UI – выделяющаяся на участке тепловая мощность. При наличии сторонних сил величина тепловой мощности определяется по той же формуле, что и для однородного участка цепи.
Последнее слагаемое в правой части формулы: e × I – представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке цепи, но величина e × I – алгебраическая, в отличие
14
от величины P = UI она изменяет знак при изменении направления тока I. Таким образом, данная формула означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и
2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощностей, называют мощностью тока на рассматриваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что
в случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна
мощности тока.
Для полной неразветвлённой цепи j1 = j 2 , тогда:
Q = eI – формула определяет общее количество выделяемой за единицу времени во всей
цепи джоулевой теплоты (Q), оно равно мощности только сторонних сил.
Итак, теплота производится только сторонними силами, а электрическое поле только перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи.
Получим выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме записи.
r r
j = s ( E + EСТ ) ,
разделим на s,
r
r r
j
= ( E + EСТ ) ,
s
r r
r
j r = ( E + EСТ ) ,
r r
w = j 2 r = j ( E + EСТ ) .
(24.12)
(24.13)
Глава IV. Магнитное поле в вакууме
§25. Магнитное поле. Магнитная индукция
Как в пространстве, окружающем электрический заряд возникает ЭП, так и в пространстве,
окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным
(МП).
В 1820г. датский физик Эрстед обнаружил, что поле, возбуждаемое током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку.
Опыт Эрстеда заключался в следующем: над магнитной стрелкой натягивалась проволока,
по которой пропускали ток. Магнитная стрелка могла вращаться на игле. При включении тока
магнитная стрелка поворачивалась и устанавливалась перпендикулярно к проволоке. При изменении направления тока, магнитная стрелка поворачивалась в противоположную сторону и
опять устанавливалась перпендикулярно к проволоке.
Из опыта Эрстеда вытекает, что МП имеет направленный характер и должно характеризоr
ваться векторной величиной, называемой магнитной индукцией и обозначаемой B .
Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся заряды, а МП –
только на движущиеся в этом поле заряды.
Важнейшая особенность МП: оно действует только на движущиеся заряды.
Для обнаружения ЭП в него вносят пробный заряд. Для обнаружения МП в него вносят проводник с током (плоский замкнутый контур с током) или рамку с током, линейные размеры
рамки с током малы по сравнению с расстоянием до токов, порождающих МП.
МП действует на рамку с током и рамка с током поворачивается. Ориентация контура с тоr
ком в пространстве характеризуется направлением нормали ( n ), т.е. за направление МП в данной точке принимают направление положительной нормали к рамке.
15
Рис. 25.1
За положительное направление нормали принимается направление, связанное с направлениr
ем тока правилом правого винта, т.е. за положительное направление n принимается направление поступательного движения правого винта, головка которого вращается в направлении тока,
текущего по рамке (рис. 25.1).
МП оказывает на контур с током (рамку с током) рис. 25.1. ориентирующее действие, поворачивая его определенным образом. Этот результат связан с определенным направлением магнитного поля.
Рис. 25.2
r
За направление индукции МП ( B ) в данной точке принимается направление, вдоль которого
располагается положительная нормаль к контуру с током.
Пусть ток течет по контуру против хода часовой стрелки, тогда ось магнитной стрелки, помещенной в МП, устанавливается вдоль направления поля (ось магнитной стрелки направлена
так, что соединяет южный полюс S магнита с северным N).
На магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее до тех пор, пока ось стрелки
не установится вдоль направления поля.
Вращающий момент, действующий на рамку с током равен:
r
r r
M = pм , B .
(25.1)
r
Вращающий момент зависит от свойств поля в данной точке и свойств рамки, где p – векr
тор магнитного момента рамки с током, B – вектор магнитной индукции.
r
r
p м = ISn ,
(25.2)
[
]
магнитный момент плоского контура с током, где I – сила тока в контуре, S – площадь поверхv
ности контура (рамки), n - единичный вектор нормали к поверхности рамки.
r
r
v
p м ↑↑ n , где n – направление положительной нормали к рамке.
Индукция МП определяется так:
r
r M max
B= r ,
pм
(25.3)
r
M
B = B = rmax .
pм
(25.4)
или
16
r
Вектор B – силовая характеристика МП, но по историческим причинам ее назвали индукцией МП.
МП можно изображать с помощью линий магнитной индукции – силовых линий МП.
Силовыми линиями МП называются
линии, касательные к которым в каждой точке совпадаv
ют с направлением вектора B .
Направление силовых линий задается правилом правого винта: острие винта, движется по
направлению тока, а направление вращения головки винта показывает направление обхода по
силовым линиям.
Рис. 25.3
Свойства силовых линий (линий магнитной индукции) МП:
1) Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током.
(Силовые линии ЭСП разомкнуты. Они начинаются на (+q) и заканчиваются на (–q)).
Поле, силовые линии которого замкнуты, называется вихревым. МП - вихревое поле. Изобразим линии магнитной индукции полосового магнита. Силовые линии выходят из северного полюса и входят в южный. Разрезая магнит на части, нельзя разделить полюса магнита.
Внутри (установлено на опыте) полосовых магнитов имеется магнитное поле, силовые линии
которого являются продолжением силовых линий вне магнита. Т.е. силовые линии МП постоянных магнитов тоже замкнуты. Свободных магнитных зарядов не существует.
2) Линии МП никогда не пересекаются. Их густота характеризует величину магнитной
индукции в данной точке поля. Магнитная индукция зависит от свойств среды.
3) Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции:
r N r
B = å Bi .
(25.5)
i =1
r
Поле вектора B , порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векr
торной сумме полей Bi , порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности.
В СИ единицей измерения магнитной индукции является тесла:
1 Тл = Дж/А·м² = Н·м/А·м² = Н/А·м
Магнитной проницаемостью среды является безразмерная величина, показывающая, во
сколько раз МП в среде больше чем МП в вакууме:
r
r
r
r
μ = Bср / Bвак = Bср / Bо ,
(25.6)
где В0 – величина МИ в вакууме, а Вср – величина магнитной индукции в среде.
μο = 4π ×10 -7 Гн/м – магнитная постоянная.
§26. Поле движущегося заряда
17
Пространство изотропно, и если заряд неподвижен, то все направления оказываются равноr
правными. Если же заряд движется со скоростью υ , в пространстве появляется выделенное наr
правление. Пусть заряд движется с постоянной скоростью ( υ << c).
Тогда обобщение экспериментальных данных дает.
r μ0 q[υr ,rr ]
B=
,
(26.1)
4πr 3
r
где μ0 – магнитная постоянная, r – радиус вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения
r
P, υ – скорость движения заряда.
r μ qυ
B= 0 2.
(26.2)
4πr
Рис. 26.1
r
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со
r
скоростью υ .
r
Вектор B (согласно формуле 26.1, рис. 26.1) направлен перпендикулярно плоскости, в котоr
r r
r
рой расположены векторы υ и r , причём вращение вокруг вектора υ в направлении вектора B
r
образует с направлением υ правовинтовую систему.
r
Вектор B – аксиальный вектор или псевдовектор.
r
При υ << с ЭСП свободно движущегося заряда в каждый момент времени практически не
отличается от ЭСП, создаваемого неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент находится движущийся заряд. Это ЭСП перемещается вместе с зарядом, вследствие чего поле в каждой точке пространства изменяется со временем.
r
r
При υ ~ с, поле в направлениях перпендикулярных υ , оказывается заметно сильнее, чем в
направлении движения на таком же расстоянии от заряда.
Рис. 26.2
Поле сплющивается в направлении движения, сосредотачиваясь в основном вблизи прохоr
дящей через заряд плоскости, перпендикулярно к вектору υ .
Пусть υ = 0.8c , тогда вид поля приведен на рис. 26.2.
18
§27. Закон Био-Савара-Лапласа
Выясним характер магнитного поля, создаваемого произвольным тонким проводом, по которому течет ток.
Рис. 27.1
Рассмотрим малый элемент длины провода – dl , пусть S – площадь поперечного сечения
провода (рис. 27.1), тогда число носителей N = nυ = nSdl
rr
r μ0 dq[υ ,r ]
(27.1)
dB =
,
4πr 3
но dq = ρdυ , а ρ = en , a j = en < υ > , или
j = ρυ ,
(27.2)
где r – объемная плотность заряда, являющимся носителем тока.
Тогда
r
Введем вектор dl :
[ ]
r
r μοdq j ,rr du
dB =
.
4πr 3
jdυ = jSdl = S ^ dl I/S = I dl ;
r
r
j dυ = Idl
(27.3)
(27.4)
(27.5)
в векторном виде, где
r
j dυ – объемный элемент тока,
r
Idl – линейный элемент тока,
r
dl – единичный вектор, направленный по оси элемента тока длиной dl в направлении тока.
r r
r μ0 I dl,r
(27.6)
;.
dB =
4πr 3
j↑↑ dl .
Формулы (27.3) и (27.6) выражают закон Био-Савара-Лапласа.
В 1820г. Био и Савар провели исследования магнитных полей, образованных токами, текущими по проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что:
N r
r
B рез = å Bi .
(27.7)
[ ]
i =1
Для магнитной индукции поля, создаваемого линейным элементом тока силой I длины dl,
Лаплас получил формулу (27.6.) – это соотношение получило название закона Био–Савараr
Лапласа, или кратко Био-Савара. Вектор dB направлен перпендикулярно к плоскости, в котоr
r
рой лежат векторы dl и r .
19
Модуль вектора элементарной магнитной индукции, поля созданного линейным элементом
проводника стоком равен:
m Idl sin a
,
dB = 0
(27.8)
4pe 0
r2
r
r
где α – угол между векторами dl и r .
Расчет по формулам (27.3, 27.6, 27.8) индукции МП тока произвольной конфигурации сложен. Но расчет упрощается, если распределение тока имеет некоторую симметрию.
Приведем несколько простейших примеров расчета индукции магнитного поля тока.
Пример 27.1. Магнитное поле прямого тока, т.е. тока, текущего по тонкому проводу бесконечной длины
Рис. 27.2
∆MСD ~ ∆MОА.
DC = rda , OA = r0 ,
DM = dl , MA = r ,
sin a = rda/dl ,
sin a = r0 /r ,
(1)
(2)
dl = r 2 da/r0 .
Согласно закону Био-Савара-Лапласа, модуль магнитной индукции элемента проводника с
током:
dB = μμοIdl r sin α/ 4πr 3 = μμοIdl sin α/ 4π r 2 .
(3)
r
Все вектора dB в данной точке имеют одинаковое направление: перпендикулярно плоскоr
r
сти чертежа, за чертеж (⊗ B ), поэтому можно å dBi заменить на å dBi (их модулей)
dB =
dB =
μμ0 Ir 2 da sin a
;
4πr 2 r0
μμ0 I sin αda
.
4πr 2 r0
(4)
Угол α для всех элементов бесконечно длинного прямого тока изменится от 0 до π, тогда получаем:
B = ò dB =
2 μμ0 I
æ μμ0 I ö
÷÷ × (-1)[cos π - cos 90°] =
,
ò sin ada = çç
4πr0 0
4πr0
è 4πr0 ø
20
μμ0 I
π
B=
μμ0 I
2πr0
.
(5)
r
r
r
Вектор dB всегда направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат dl и r . Направление тока – это направление, связанное правилом правого винта.
[В] = 1Тл = 1 Н/А·м = 1 Дж/А·м2
r
Линии вектора B прямого тока – система охватывающих провод концентрических окружностей.
Пример 27.2. Магнитное поле на оси кругового тока, на расстоянии z от центра
Определить индукцию МП, создаваемого проводником с током, согнутым в кольцо радиуса
R в т. А, лежащий на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра
(см. рис. 27.3.).
Рис.27.3
Согласно закону Био-Савара-Лапласа:
r r
r
[dl,r ]
dB = μμοI
;
4πr 3
μμ Idl r sin α
dB = 0
.
4πr 2
r r
r
Вектор dB перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы dl,r и точка, в которой
вычисляется поле.
r
r
r
Пусть т. А начало координат: dB = dBx + dBz
В силу симметрии картины Bx = 0
r
r
dBz = dB × cos j ,
r
dBz = μμοIdl r sin α cos j/ 4πr 2 ,
r r
a = p / 2 ; dl ^ r .
(
21
)
При перемещении элемента с током по кольцу
( )
r r
j = const , α = Ð dl,r = π/ 2 ,
cos j = R/r ; r 2 = R 2 + z 2 ,
2pк
Bz = ò dBz = μμ0 I cos j/ 4πr 2 ò dl =
0
μμ0 IR × 2πR
(
4π R 2 + z 2
)
3/ 2
=
(
μμ0 IR 2
2 × R2 + z2
)
3/ 4
.
1. Если z = 0 (т.е. в точке О), то:
μμ I
B0 = 0 – магнитная индукция поля, создаваемого кольцом с током.
2R
2. При z >> R
При μ = 1 B0 =
Bz =
μμ0 R 2 I
;
2 × z3
μ0 I
.
2R
r
§28. Теорема Гаусса для поля вектора B
МП обладает двумя важнейшими свойствами, они связаны с потоком и циркуляцией и выражают основные законы МП.
Основными законами МП являются: теорема Гаусса и теорема о циркуляции.
r
r
Поток вектора B . Теорема Гаусса для поля B .
Потоком вектора МП через площадку dS называется скалярная величина dΦ , равная
Рис. 28.1
dΦВ = В × dS ,
(28.1)
dΦВ = В × dS × cos α ,
(28.2)
или
Bn = B cos α .
r
r
r
dS = dSn – вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с ( n ) нормалью к
площадке.
r
Поток вектора B МП может быть как положительным, так и отрицательным.
Положительное направление нормали связано с направлением тока правилом правого винта.
Магнитный поток, создаваемый контуром, через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.
22
r r
r
ΦB = ò Bn dS = ò BdS .
S
r
r
Если B ^ dS , то ΦB = BS .
S
(28.3)
[Фв] = 1Вб = 1Тл · 1м2
1 вебер – это магнитный поток, проходящий через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.
r
r
Теорема Гаусса для поля B : поток вектора B сквозь любую замкнутую поверхность равен
нулю.
r r
ò BdS = 0 .
(28.4)
S
Теорема Гаусса является обобщением опыта. Она как постулат выражает экспериментальr
ный факт, что линии B не имеют ни начала, ни конца, т.е. МП не имеет источников.
r
Число линий B , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью
S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
r
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым
контуром, не зависит от формы поверхности S.
Формула (28.4) выражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, т.е. МП не
имеет источников.
r
§29. Теорема о циркуляции вектора B для поля постоянных токов в вакууме
(или закон полного тока)
Циркуляцией вектора В по заданному контуру называется интеграл:
r r
ò Bdl = ò Bl dl ,
L
L
(29.1)
r
где dl – элементарный вектор длины контура, направленный вдоль контура.
r
r
Bl = B cos α ,
(29.2)
r
где Вl – составляющая вектора B в направлении касательной к контуру;
r
r r
r
α = Ð B,dl – угол между векторами B и dl .
r
Теорема о циркуляции B , или закон полного тока (для МП постоянных токов в вакууме):
r
Циркуляцией вектора B по произвольному замкнутому контуру L в вакууме равна произведению μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром L.
r r
B
ò dl = μ0 I ,
(29.3)
(
)
L
где
N
I = å Ii ,
(29.4)
i =1
где сила тока, величина алгебраическая, N – число проводников с токами, охватываемых контуром L.
Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода правилом правого винта.
Ток противоположного направления считается отрицательным.
23
Рис. 29.1
Например: (смотри рис. 29.1)
N
åI =- I + I + I + I - I × 0 = I +2× I - I .
i=1
1
i
2
3
3
4
2
3
1
(29.5)
Выражение (29.5) справедливо только для поля в вакууме. Формула (29.3) – постулат, подтвержденный экспериментально.
Если ток I распределен по объему, то
I = ò jdS,
(29.6)
где S – произвольная поверхность, натянутая на контур. И тогда (29.3) можно записать так:
ò BdI = μ SjdS= m j dS .
0 0
0
L
(29.7)
r
r
Факт, что циркуляция вектора B , вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле B не
r
потенциально. Поле B называют вихревым или соленоидальным.
Закон (29.7) называют еще законом полного тока.
r
Теорема о циркуляции вектора B играет примерно такую же роль, что и теорема Гаусса для
r
r
векторов E и D .
r
Но циркуляция B определяется только теми токами, которые охватывают данный контур. При наличии специальной симметрии теорема о циркуляции оказывается весьма эффекr
тивной, позволяя очень просто находить B .
r
§30. Примеры применения теоремы о циркуляции вектора B
Пример 30.1. Магнитное поле прямого тока
Рис. 30.1
24
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего
r
круглое сечение радиусом а. Найти индукцию B поля снаружи и внутри провода. Линии вектоr
ра B имеют вид окружностей с центром на оси провода.
В
~ r1~ r
r1 = r > 0
r1 ≤ a
~
1 1
~
r r2
r
0
a
Рис. 30.2. График зависимости B = f (r)
r
Модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода.
r
Для круглого контура – Г1 по теореме о циркуляции B :
B × 2πr1 = μ0 I ,
(30.1)
или
B=
m0 I
, (r1 ³ a ) ,
2pr1
Внутри провода рассмотрим контур Г2 :
B2 × 2pr2 = m0 I 2 ,
(30.2)
(30.3)
но
I
,
pr 2
– ток, приходящийся на единицу площади. Тогда
I
I 2 = 2 × pr22 ,
pa
или
(30.4)
(30.5)
2
ær ö
I2 = Iç 2 ÷ ,
èaø
(30.6)
m 0 Ir22
,
a 2 2pr2
(30.7)
B2 =
m 0 Ir2
, (r2 ≤ a).
(30.8)
2pa 2
Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция B определяется формулой (30.8), а
внутри – магнитное поле отсутствует.
B2 =
Пример 30.2. Магнитное поле соленоида
Соленоид – это цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно
намотанных на общий сердечник. Пусть ток I течет по соленоиду, имеющему n витков на
единицу длины ( n = N l ). Шаг винтовой линии достаточно мал и каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Считаем, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. Для бесконечно длинного
соленоида (как показывает опыт) магнитное поле снаружи соленоида отсутствует вообще.
25
r
r
Линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, а вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.
l
B
Рис. 30.3
r
В виде замкнутого контура выберем прямоугольник. Циркуляция вектора B по данному контуру равна B·l и контур охватывает ток:
(30.9)
n0 × I × l = N × I ;
по теореме о циркуляции
B× l = μ0 × n0 × I × l ,
(30.10)
B = μ0 × N × I × l l = μ0 × n0 × I ,
(30.11)
B = μ0 NI l .
(30.12)
Т.е. поле внутри длинного соленоида однородно, (за исключением областей, примыкающих
к торцам соленоида, но этим при расчетах часто пренебрегают).
Произведение:
n0 I ,
(30.13)
– называют числом ампер-витков, при n0=2000 (витк/м) и I = 2А магнитное поле соленоида
В = 5·10-3 Тл.
B = μ0 n0 I .
(30.14)
[B] = [μ0 × n0 × I ] =1 (Гн/м)·(1/м)·А = 1 В·с·А/А·м2 = 1 Тл
1 Гн = 1В·1с/1А
r
B через соленоид
Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью m по теореме о циркуляции равна:
Пример 30.3. Поток вектора
B = μ μ0 NI l ,
(30.15)
B = μ μ 0 n0 I ,
(30.16)
или
где n0 = N l .
Магнитный поток через один виток равен:
Φ1 = BS .
Полный магнитный поток соленоида равен:
ψ = Φ N = NBS = μ μ
1
или
26
(30.17)
0
2
N IS l,
(30.18)
ψ = μμ n
0
0
2 2
2
2
l IS l = μ μ0 n0 lIS = μ μ0 n0 IV
,
(30.19)
где n0 – число витков на единицу длины; V – объем поля внутри соленоида.
Пример 30.4. Магнитное поле тороида
Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора или достаточно длинный соленоид, свитый в кольцо (рис. 30.4). Из соображений симметрии следует, что сиr
ловые линии вектора B являются окружностями, центры которых расположены на оси ОО' тороида. В качестве замкнутого контура возьмем одну из таких окружностей, радиусом R
(рис. 30.5). Тогда если контур расположен внутри тороида, имеющего N витков в катушке, а по
проводу течет ток I, то контур охватывает ток NI. По теореме о циркуляции:
Рис. 30.4
B 2πR = μ0 NI =>
B = ( μ0 2π )× ( NI r ) ,
(30.20)
(30.21)
длину тороида следует считать по средней линии.
Рис. 30.5
Внутри тороида МП совпадает с полем прямого тока NI , текущего вдоль оси OO'. Если выбранный контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и
(30.22)
B 2πr = 0 .
Т.е. вне тороида МП отсутствует.
Мы предполагали, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т.е. в плоскостях,
проходящих через ось ОО' тороида. У реального тороида витки не лежат строго в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси ОО', она создает дополнительное МП,
аналогичное полю кругового тока.
27
§31. Сила Ампера. Закон Ампера
Если провод, по которому течет ток, находится в МП, то на каждый из носителей тока действует сила:
r
r r r
(31.1)
F лм = q u +U ,B ,
r
U – скорость теплового движения.
r
u – скорость упорядоченного движения.
И тогда на провод с током действует сила.
r
Найдем силу dF , действующую на элемент длины проводника dl , по которому течет ток I.
r
r
Т.к. u << U , то:
r
rr
dFлм = q[u ,B ] ,
(31.2)
[(
) ]
сила, действующая на один заряд.
dl
S
Рис. 31.1
Пусть провод имеет сечение S, а элемент провода длину – dl . В элементарном объеме провода:
(31.3)
dV = dlS ,
имеется число носителей (в единице объема – n), тогда число носителей в объеме dV →
(31.4)
N = ndV = nSdl ,
и тогда:
r r
r
r
d F сум =< F лм > nSdl = n <u > ,B Sdl ,
(31.5)
[
r
r
j = en < u > ,
r
r r
dF dV = j ,B ,
r r r
dF = j ,B dV ,
[ ]
[ ]
j = dI d S ^ ;
r
j = I S^ ;
jdV = jSdI = IdI ;
r
r
j dV = Idl ;
rr
r
d F A = I dl ,B ,
[ ]
]
(31.6)
(31.7)
(31.8)
(31.9)
r
dl – вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины проводника
r r
r
(31.10)
F A = I l ,B dV = dlS ,
[ ]
28
r
F A = IlB sin α dV = dlS ,
(31.11)
– модуль силы Ампера.
Силы, действующие на токи в МП, называют амперовыми или силами Ампера.
§32. Сила взаимодействия электрических токов
Рис. 32.1
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно
длинных проводника с токами I1 и I 2 одного направления, расстояние между проводами равно
а. Рассмотрим два бесконечно прямолинейных тока I1 и I 2 одного направления, расстояние
между токами – а.
Тогда каждый из проводников создает МП, которое, по закону Ампера, действует на другой
проводник с током.
Проводник с током I1 создает МП, индукция которого на расстоянии а равна:
B1 =
2 μμ0 I1
,
4πa
(32.1)
а проводник с током I 2 –
2 μμ0 I 2
.
(32.2)
4πa
Тогда сила Ампера, действующая со стороны МП, создаваемого вторым током I2 на элемент
тока I1 длиной dl равна:
r r
r
(32.3)
dF21 = I1 dl ,B2 ;
B2 =
[
]
dF21 = I1dlB2 sin α .
(32.4)
r
Вектор B2 перпендикулярен плоскости листа, направлен на нас (по правилу правого винта):
в т. D • B2 . Тогда:
dF21 = I1dlB2 .
r
А на элемент тока I 2 dl , помещенный в МП с индукцией B1 действует сила Ампера:
r r
r
dF12 = I 2 dl ,B1 ,
r
или учтя, что в т. С B1 перпендикулярен плоскости листа, направлен от нас: в т.С Ä B1 ,
[
(32.5)
]
(32.6)
d F 12 = I 2 dl B1 ;
(32.7)
I 1 dl 2 μ μ0 I 2
,
4pa
(если токи текут в среде с проницаемостью μ ).
d F 21 =
29
(32.8)
d F12 =
I 2 dl 2 μ μ0 I 1
;
4πa
(32.9)
d F 12 = d F 21 ,
(32.10)
т.е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой:
μ μ0 2 I 1 I 2 dl μμ0 I1 I 2 dl
(32.11)
dF =
=
.
4πa
2πa
§33. Сила Лоренца
На заряд, движущийся в МП, действует сила, которую будем называть магнитной составr
r
ляющей силы Лоренца. Она определяется величиной заряда – q, его скоростью - u , и B в той
точке, где находится заряд, в рассматриваемый момент времени.
r
r r
(33.1)
F = q[u , B] .
Формула (33.1) была установлена опытным путём.
F = quu sin α
(33.2)
– модуль силы Лоренца, где a – угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.
Если a = 0 , то
FЛМ = 0 ,
(33.3)
т.е. на заряд, движущийся вдоль силовых линий МП магнитная составляющая силы Лоренца не действует.
r
Направление силы Лоренца ( FЛМ ), действующей со стороны МП на (+q), определяется правилом левой руки:
r
если ладонь левой руки расположить так чтобы в неё входил вектор B^ , а четыре выr
r
тянутых пальца направлены вдоль вектора n (для q>0 (рис.33.1) направления I и n совпадают, для q<0 (рис.33.2.) – противоположны), то отогнутый на 90обольшой палец покажет направление силы действующей на заряд
B
Fл
-
V
B
+
V
Fл
Рис. 33.1
Рис. 33.2
I
Fмл
V
q
.
VB
q
Fмл
Рис. 33.3
30
V
r
r
Т.к. FЛМ ^ u , то магнитная составляющая силы Лоренца работы над частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным МП изменить её
энергию нельзя.
r
r
Если на частицу действуют одновременно ЭП ( E ) и МП ( B ), тогда сила, действующая на
заряженную частицу равна:
r r
r
F = FЭл + Fм ;
(33.4)
r
r r
r r
FЭл = qE ; Fм = q[u , B] ;
r
r
r r
(33.5)
F = qE + q[u , B] .
Это соотношение было получено Лоренцем путём обобщения экспериментальных данных и
носит название сила Лоренца.
Пример 33.1. Положительный заряд (+q) движущийся со скоростью
мому проводу, по которому течет ток I
r
u параллельно пря-
r
Если положительный заряд (+q) движется со скоростью u параллельно прямому проводу,
по которому течет ток I, то на заряд действует:
r
r
Fмп = qu B = qu × ( μ0 4π ) × (2 I b ) ,
(33.6)
r
и Fмл направлена к проводу, и от провода, если направления I и u противоположны.
Рассмотрим два одноименных точечных заряда q1 и q2 движущихся вдоль параллельных
прямых с одинаковой скоростью u (u << c ) .
Рис. 33.4
При u << c эл. поле практически не отличается от поля неподвижных зарядов.
1
e 0 m0 = 2 .
с
2
2
2 2
[μ0] = Гн/м = Н·с /Кл ; [ε0] = Ф/м = Кл /м ·Н
(Н·с2/Кл2)·(Кл2/м2·Н) = с2/м2
Тогда можно считать:
q1q 2
,
F э1 = F э2 =
4p e 0 r 02
(
F лм1 = F лм 2 = m 0 4p
)× æçè q1×q 2×J 2
Fлм1
u2
= m 0e 0u 2 = 2 .
Fэ1
c
(33.7)
2
r 0 ö÷
ø
(33.8)
Это соотношение оказывается справедливым при любых u . Даже для достаточно больших
скоростей (при u = 300 км/с).
31
Fм/Fэ = 9·1010/9·1016 = 10-6, т.е. магнитная составляющая силы Лоренца в 106 раз меньше
электрической составляющей силы Лоренца. И стоит ли изучать такие силы? Оказывается, да!
1. Но если u ~c , то Fлм становится сравнима с Fэл .
2. При движении электронов вдоль проводов их направленная скорость ~10-3 ÷ 10-4 м/с и
Fм/Fэ ≈ 10-24 . Но магнитная составляющая силы в этом случае – это практически вся действующая сила! Т.к. электрическая составляющая силы исчезает в результате почти идеального баланса отрицательных и положительных зарядов, который точнее, чем 10-24 . А
громадное число движущихся зарядов, создающих ток, компенсируют малость Fлм .
3. Магнетизм исчез бы, если скорость света оказалась бесконечно большой. Магнитное
взаимодействие между движущимися зарядами является релятивистским эффектом.
§34. Эффект Холла
Эффект Холла – это возникновение в металле (или п/п) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, эл. поля в направлении, перпендикулярном В и j.
r
r r
r
Поместим металлическую пластинку с током плотностью j , в МП B . Примем j ^ B .
r
Пусть j направлен слева направо. Тогда скорость отрицательных носителей заряда направлена
r
справа налево (в металле). На электроны действует магнитная составляющая силы Лоренца Fл
направлена вверх. У верхнего края металлической пластинки возникает повышенная концентрация электронов, он зарядится отрицательно, а у нижнего – недостаток электронов, он зарядится положительно. Между верхней и нижней гранями пластинки возникает дополнительное
поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении.
r
Пусть E B – напряженность поперечного поля.
r
r
Fэл л = e E B ;
(34.1)
r
r
r
r
r
Fм л = q u E = eu E ;
(34.2)
Fэл л = Fм л ;
(34.3)
Fэл л = u B
u = j en = I S ^ × e × n = I a × d × e × n
EВ = I × B a × d × e × n
E В × a = Dj = I × B d × e × n ;
E В = Dj a ,
где а – высота пластины поперечная, ∆φ – (холловская) разность потенциалов
Dj a = u × B ;
j = enu Þ u = j en = I enS ; S = a × d ;
Dj = a B I S e n = a B I a d e n = (1 e n ) × (I B d ) = R x I B d ;
(34.4)
(34.5)
(34.6)
(34.7)
(34.8)
(34.9)
Rx = 1 e × n ,
где Rx – постоянная Холла, зависящая от вещества.
Холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки.
32
По величине Rx можно:
1) определить концентрацию носителей при неизвестных заряде носителей и характере проводимости;
2) знак постоянной Холла совпадает со знаком носителей тока.
Эффект Холла применяют в аналоговых вычислительных машинах и датчиках Холла (в измерительной технике).
Рис. 34.1
§35. Дифференциальная форма записи основных законов магнитного поля
Теорема Остроградского-Гаусса:
ò adS = ò
S
ÑadV .
V
(35.1)
Теорема Стокса:
ò adl = ò [Ñ, a]× dS .
r
Дивергенция поля B .
L
S
(35.2)
r
Магнитных зарядов в природе нет, линии B не имеют ни начала ни конца.
r r
Тогда F B = ò BdS = 0
s
r
Теорема Гаусса для поля B в дифференциальной форме имеет вид:
r
ÑB = 0 ,
r
(дивергенция поля B всюду равна нулю),
¶ r
¶ r
¶ r
¶ r ¶ r ¶ r
Ñ = ex + e y + ez = i +
j+ k.
¶z
¶x
¶y
¶z
¶x
¶y
(35.3)
(35.4)
Это означает, как мы говорим, что МП не имеет магнитных зарядов. МП порождает не магнитные заряды, а электрические токи.
Этот закон фундаментальный, он справедлив не только для постоянных, но и для переменных полей.
r
Ротор поля B .
r
Дифференциальная форма представления теоремы о циркуляции B расширяет ее возможности как инструмента исследования и расчета.
Рассмотрим отношение:
ò BdL S ,
L
где S – площадь, ограниченная контуром.
33
(35.5)
При S → 0
(
)
r r
r r
lim ò BdL S = rot B n .
S ®0
L
(35.6)
Этот предел зависит от ориентации контура в д.т. пространства. Ориентация контура задаетr
r
ся вектором нормали n к плоскости контура. Направление n связано с направлением обхода по
контуру правилом правого винта.
r r
r
Предел lim ò BdL S ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n
S ®0
L
к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называется ротором поля
r
B.
r r
r r
lim ò BdL S = rot B n ,
(35.7)
S ®0
L
r r
r
r
rot B n – проекция вектора rot B на n .
r
r
(35.8)
rot B = Ñ, B .
r
r
В каждой точке векторного поля B имеется rot B , направление и модуль которого связаны
r
r
со свойствами самого rot B , определяется тем направлением нормали n площадки S, при котоr
ром достигается максимальное значение rot B , являющееся одновременно модулем вектора
r
rot B .
r
В математике rot B выражают в координатном представлении. Формально можно рассматr r r
ривать rot B = Ñ, B и тогда
r
r
r
ex ey ez
r r
¶
¶
¶
Ñ, В =
,
(35.9)
¶x ¶y ¶z
Bx B y B z
(
(
)
)
[ ]
[ ]
[ ]
где ex , еу , еz – орты осей декартовых координат.
r
r
Ñ, B n = m 0 j n ,
[ ]
или
[Ñ, Br ] = m
0
r
j.
(35.10)
(35.11)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, а если не равен нулю, то соленоидальным. Значит электростатическое поле является потенциальным, а
магнитное – соленоидальным.
По теореме о циркуляции:
r r
B
ò dL = m 0 I ,
(35.12)
L
тогда
r r
B
ò dL N = m 0 I n ,
(35.10)
r r
lim ò BdL S = m 0 j ,
(35.10)
L
S ®0
или
L
[Ñ, Br ]
n
r
= m0 j n ,
или
34
(35.15)
[Ñ, Br ] = m
r r r
ìdiv B = Ñ × B = 0,
ï
r r r r
í
E
div
= Ñ×E = ,
ï
e0
î
0
r
j.
(35.16)
[ ]
[ ]
r r r
r
ìïrot B = Ñ, B = m 0 j ,
(35.17)
í r r r
ïîrot E = Ñ, E = 0.
r
r
Ротор B совпадает по направлению с вектором j – плотностью тока в данной точке, а моr
дуль Ñ, B равен μ0 j.
[ ]
§36. Движение заряженных частиц в магнитном поле
r
Если электрон влетает в МП так, что пусть E = 0, а МП однородно, то:
r
r r
1. если u || B , то Fм л = 0 ,
r
r
2. если u = 0 , то Fм л = 0 ,
r
3. если q = 0 , то Fм л = 0 ,
r r
4. если u ^ B , то α = 90° и Fм л = qu B
r
r
r
r
Пусть Ä B . Тогда u и B и Fлм направлены как показано на рисунке 36.1. Сила Лоренца яв-
ляется центростремительной силой и mu 2 R = quB . Тогда:
R = mu ^ qB ,
(36.1)
– радиус окружности, траектория-окружность
Время, за которое частица в однородном МП сделает один полный оборот, называется периодом.
T = 2pR u ^ = 2pmu ^ qBu ^ = 2pm qB .
(36.2)
Период вращения частицы в однородном МП определяется только величиной, обратной
удельному заряду частицы (m/q) и магнитной индукцией.
r
5. если u заряженной частицы направлен под углом α к B , то частица движется по винтовой
r
линии, ось которой параллельна B (рис. 36.2).
Движение частицы можно представить в виде суммы двух движений:
r
1 – движение равномерное ( u ^ ) по окружности, радиусом R;
r
2 – равномерное прямолинейное движение вдоль поля со скоростью u .
r r
r ìu = u sin a
u = u ^ + u || ; í ^
îu || = uсosa
h = u || × T = J × T × cosa = u cosa × 2mp qB ,
– шаг винтовой линии.
35
(36.3)
Рис. 36.1
Рис. 36.2
Направление, в котором закручивается винтовая линия зависит от знака заряда (+q), электрон и протон, влетевшие в одно поле с одинаковой скоростью закручиваются в разные стороны.
§37. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном
поле
Рис. 37.1
На проводник с током в МП действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки), то под действием FА он будет в МП перемещаться. Следовательно, МП совершает работу
по перемещению проводника с током.
1. Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное м.п. перпендикулярное к плоскости контура.
Направление силы определяется по правилу левой руки, а значение – по закону Ампера F = IBl .
Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx
из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая МП равна:
dA = FAdx = IBldx = IBdS = IdФ ,
(37.1)
т.к.
(37.2)
ldx = dS ,
– площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле.
Поток вектора магнитной индукции, пронизывающей эту площадь равен:
r r
(37.3)
dF = BdS .
Таким образом, работа по перемещению проводника с током в МП, равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником:
36
dA = IdФ .
(37.4)
r
Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора B .
2. Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током в м.п. (произвольное движение). Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение M ¢ . Направление тока в контуре –
по часовой стрелке и м.п. перпендикулярно плоскости чертежа.
Рис. 37.2
Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: АВС и
СDА. Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в
м.п., равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников АВС и СDА (dA1 и dA2),
то есть:
dA = dA1 + dA2 .
(37.5)
Силы приложенные к участку CDA контура образуют с направлением перемещения острые
углы, поэтому совершаемая ими работа dA2>0. Эта работа, согласно формулам равна:
dA2 = I (dФ0 + dФ2 ) ,
(37.6)
где dФ0 – поток, который пересекает проводник CDA при движении; dФ2 – поток, пронизывающий контур в его конечном положении.
Силы, действующие на участок АВС контура, образуют с направлением перемещения тупые
углы, следовательно dA1 <0. Проводник АВС пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь
поверхность и dФ1 – поток, пронизывающий контур в начальном положении.
Следовательно:
dA1 = - I (dФ0 + dФ1 ) .
(37.7)
Подставляя выражения для dA1 и dA2 в формулу (37.5), получим выражение для элементарной работы:
dA = - I (dФ0 + dФ1 ) + I (dФ0 + dФ2 ) ,
(37.8)
dA = I (dФ2 - dФ1 ) ,
(37.9)
dФ2 - dФ1 = dФ¢ ,
(37.10)
где
– изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током.
Таким образом,
(37.11)
dA = IdФ¢ .
Проинтегрировав это выражение, определим работу, совершаемую силами Ампера при конечном произвольном перемещении контура в м.п.:
A = I × DФ .
(37.12)
37
Работа по перемещению замкнутого контура с током в МП равна произведению силы
тока в контуре на приращение магнитного потока, сцепленного с контуром.
Формула (37.12) остаётся справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.
38