Неконсервативные системы

И. В. Яковлев
|
Материалы по физике
|
MathUs.ru
Неконсервативные системы
В неконсервативной системе механическая энергия E = K +W не сохраняется. Если, например,
на тела системы действуют силы трения, то справедлив закон изменения механической энергии:
∆E = Aтр ,
где Aтр — работа сил трения (она отрицательна, поэтому механическая энергия системы убывает). Аналогично, если на систему действует внешняя сила Fвнеш (отличная от сил тяготения
и упругости, «отвечающих» за потенциальную энергию системы), то
∆E = Aвнеш ,
где Aвнеш — работа этой внешней силы.
Задача 1. (МФТИ, 1996 ) Слипшиеся брусок и тележка движутся по
v
горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). В некоторый момент,
когда скорость равна v = 1 м/с, брусок отлипает от тележки. На каком расстоянии друг от друга окажутся тележка и брусок к моменту
остановки бруска? Коэффициент трения скольжения бруска о стол µ = 0,1. Трением качения
пренебречь.
L=
v2
2µg
≈ 51 см
Задача 2. (МФТИ, 1994 ) Мальчик съезжает на санках без начальной скорости с горки высотой
H = 5 м по кратчайшему пути и приобретает у подножия горки скорость v = 6 м/с. Какую
минимальную работу необходимо затратить, чтобы втащить санки массой m = 7 кг на горку
от её подножия, прикладывая силу вдоль плоской поверхности горки?
A = 2mgH −
mv 2
2
≈ 560 Дж
Задача 3. («Росатом», 2011, 10 ) Гибкий канат длиной l и массой m удерживают на краю
горизонтального стола, при этом со стола свешивается конец каната длиной l1 . Канат начинают
втаскивать на стол, действуя на лежащий на столе конец постоянной горизонтальной силой F
(F > mg). Какой будет скорость каната, когда он полностью поднимется на стол? Трение
отсутствует.
q
2F l1
m
−
2
gl1
l
s=
2gH−3v 2
2µg cos α
1
v=
Задача 4. (МФТИ, 2000 ) Широкая доска наклонена под углом α к горизонту (см. рисунок). Небольшой шайбе, расположенной в точке A доски, сообщили скорость v, направленную
вдоль поверхности доски. Через некоторое время шайба оказалась в точке B, сместившись по вертикали на H вниз и имея
скорость 2v. Какой путь прошла шайба между точками A и B?
Коэффициент трения скольжения шайбы о доску равен µ.
v
~g
A
B
2v
α
Задача 5. (МФТИ, 2000 ) Небольшая шайба на нити длиной l может вращаться вокруг неподвижной оси O, скользя
по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту β (см.
рисунок). Шайбу поместили в точку A наклонной плоскости, соответствующую горизонтальному положению нити, и
отпустили. Определить скорость шайбы в точке B — самой
низкой точке траектории. Коэффициент трения скольжения
шайбы о наклонную плоскость равен µ. Нить всегда параллельна наклонной плоскости и не задевает её.
v=
p
gl(2 sin β − πµ cos β)
Задача 6. («Физтех», 2013 ) Тележка находится на горизонтальной поверхности стола. На шероховатой горизонтальной поверхности тележки находится брусок, прикреплённый к тележке лёгкой упругой пружиной (см. рисунок). Масса тележки в
два раза больше массы бруска. Брусок отклоняют влево так,
что пружина сжата на величину x, а тележка прижата к упору.
Затем брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва тележки
от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва тележки от упора.
3) Найдите скорость тележки после прекращения движения по ней бруска.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то деформация пружины равна 3x.
Если брусок тащить по неподвижной тележке с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к прикреплённой к бруску пружине, то деформация пружины равна 3x/4. Массой
колёс тележки и трением в их осях пренебречь.
1) x1 =
3x
4
; 2) v =
√
3gx
12
; 3) u =
v
3
=
√
3gx
36
Задача 7. («Физтех», 2013 ) Доска находится на шероховатой
горизонтальной поверхности стола. На гладкой верхней горизонтальной поверхности доски находится брусок, прикреплённый к доске лёгкой упругой пружиной (см. рисунок). Брусок
отклоняют влево так, что пружина растянута на величину x, а
доска прижата к упору. Затем брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва доски
от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва доски от упора.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то деформация пружины равна x/5. Если брусок с доской двигать по столу с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к бруску, то деформация сжатой пружины равна 2x/3. Все деформации пружины
меньше длины пружины в ненапряжённом состоянии.
1) x1 =
2x
3
; 2) v =
5√
gx
3
2
Задача 8. (Всеросс., 2015, регион, 11 ) На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска длиной L и массой M . На краю доски покоится небольшой брусок. На брусок начинает
действовать постоянная горизонтальная сила, так что он движется вдоль доски с ускорением,
которое больше ускорения доски. Найдите ускорение, с которым двигалась доска, если за время
движения по ней бруска выделилось количество теплоты Q.
a=
Q
ML
Задача 9. (Всеросс., 2014, регион, 10 ) Небольшой груз соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости.
Известно, что коэффициент трения между грузом и плоскостью
меняется по закону µ(x) = αx, где x — расстояние вдоль плоскости от начального положения груза. Опустившись на высоту H
по вертикали (см. рисунок), груз останавливается. Найдите максимальную скорость груза в процессе движения.
v=
q
gH
2
Задача 10. (Всеросс., 2011, регион, 10 ) Система, состоящая из двух
одинаковых брусков массы m, движется с постоянной скоростью v0
вдоль гладкой горизонтальной плоскости по направлению к вертикальной стенке. Верхний брусок смещён относительно нижнего на расстояние b0 в направлении движения (см. рисунок). Через некоторое время
система сталкивается со стенкой. Соударение любого из брусков с ней
можно считать абсолютно упругим. Коэффициент трения между брусками µ.
1) Определите смещение b (модуль и направление) верхнего бруска относительно нижнего
после того, как прекратится взаимодействие системы брусков со стенкой, а верхний брусок
перестанет скользить по нижнему.
2) С какой скоростью vk после этого будет двигаться система?
3) В каких координатах зависимость b(v0 ) будет линейна? Постройте график этой зависимости в соответствующих координатах.
Если v02 6 2µgb0 , то b = b0 −
2
v0
µg
и vk = 0; если v02 > 2µgb0 , то b = −b0 и vk =
q
v02 − 2µgb0
Задача 11. (Всеросс., 2015, финал, 9 ) Тележка соединена со
стеной жёстким стержнем. К её упору прикреплена пружина,
другой конец которой связан с бруском (см. рисунок). Вначале пружина не деформирована. На брусок в течение некоторого времени действует постоянная горизонтальная сила F ,
направленная вдоль тележки. После прекращения действия
этой силы брусок ещё некоторое время смещается в сторону
упора и возвращается, остановившись в исходной точке. Сила
трения, действующая со стороны тележки на брусок, равна f . Трение в осях колес не учитывайте.
1) С какой силой N тележка давила на стержень в момент прекращения действия силы F ?
2) Найдите наибольшее значение силы Nmax давления тележки на стержень.
1) N = f 1 +
4f
F
; 2) Nmax = 3f
3