6 Лекция 6

Понятие вектора.
Линейные операции над векторами.
Сложения векторов.
Умножения вектора на вещественное
число.
Линейная зависимость векторов
Базис. Координаты вектора в базисе.
Ортогональное проектирование.
6 — Лекция 6
6.1 Понятие вектора.
Определение 6.1
Геометрическим вектором (или просто вектором) называется
направленный отрезок.
Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом AB, где точки
A и B обозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка
(вектора), либо одной жирной латинской буквой, например a или b. Начало вектора
называют точкой его приложения. Если точка A является началом вектора a, то
будем говорить, что вектор a приложен в точке A. Для обозначения длины вектора
будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины): |AB| обозначает
длину вектора AB, |a|- длину вектора a.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор
не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет
при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.
Определение 6.2
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на
одной прямой, либо на параллельных прямых.
Определение 6.3
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют
одинаковую длину и одинаковое направление.
Все нулевые векторы считаются равными.
Из определения равенства векторов непосредственно вытекает следующее утверждение: каковы бы ни были вектор a и точка P, существует, и притом единственный,
вектор PQ с началом в точке P, равный вектору a. Это означает, что точка приложения данного вектора a может быть выбрана произвольно (мы не различаем двух
равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из
другого параллельным переносом). В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).
40
Лекция 6
6.2 Линейные операции над векторами.
Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию
умножения векторов на вещественные числа.
6.2.1 Сложения векторов.
Сначала определим операцию сложения двух векторов.
Определение 6.4
Суммой a + b двух векторов a и b называется вектор, идущий
из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к
концу вектора a.
Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, называется
правилом треугольника.
Рис. 6.1: Правило треугольника.
Правило сложения векторов обладает теми же самыми свойствами, что и правило
сложения вещественных (или рациональных) чисел:
1. a + b = b + a (переместительное свойство);
2. (a + b) + c= a + (b + c) (сочетательное свойство);
3. существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a для любого вектора a
(особая роль нулевого вектора);
4. для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a0 такой, что
a+ a0 = 0.
Из свойства 1. следует еще одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма: если векторы a и b приложены к общему началу и на них
построен параллелограмм, то сумма a +b (или b+a) этих векторов представляет
собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b (см.
рис. 6.2).
Рис. 6.2: Правило параллелограмма.
Свойства 1. - 4. позволяют распространить правило сложения на сумму любого
конечного числа векторов. При этом нет необходимости производить сложение
последовательно, фиксируя каждый промежуточный результат; сумма любого числа
векторов может быть построена с помощью следующего правила: если приложить
вектор a2 к концу вектора a1 , вектор a3 к концу вектора a2 , · · · вектор an к концу
вектора an−1 , то сумма a1 +a2 +· · · +an будет представлять собой вектор, идущий из
6.2 Линейные операции над векторами.
41
начала вектора a1 в конец вектора an . Это правило сложения, проиллюстрированное
на рис. 6.3 называется правилом замыкания ломаной до многоугольника.
Рис. 6.3: Правило замыкания ломаной до многоугольника.
Свойства 1. - 4. позволяют также решить вопрос о вычитании векторов.
Определение 6.5
Разностью a - b вектора a и вектора b называется такой вектор
c, который в сумме с вектором b дает вектор a.
Свойства 1. - 4. гарантируют существование и единственность вектора c, представляющего собой разность a - b.
Этот вектор равен c=a+b0 , где b0 - вектор, противоположный b. В самом деле,
если c = a + b0 , то на основании свойств 1. - 4.
c + b = (a + b0 ) + b = a + (b0 + b) = a + 0 = a
(6.1)
т. е. вектор c представляет собой разность a - b.
Убедимся теперь в однозначности разности a - b. Предположим, что, кроме
вектора c = a + b0 , существует еще один вектор d такой, что d + b = a. Тогда, с
одной стороны, (d + b) +b0 = a +b0 = c, с другой стороны, (d + b) +b0 = d + (b
+b0 ) = d +0 = d, т. е. c = d.
Непосредственно из определения и из правила треугольника сложения векторов
вытекает следующее правило построения разности a - b: разность a - b приведенных
к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из конца
вычитаемого вектора b в конец уменьшаемого вектора a.
6.2.2 Умножения вектора на вещественное число.
Определение 6.6 Произведением αa (или aα) вектора a на вещественное число α
называется вектор b, коллинеарный вектору a, имеющий длину, равную |α|·|a| ,
и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора a в случае α > 0
и противоположное направлению вектора a в случае α < 0.
Геометрический смысл операции умножения вектора на число можно выразить так:
при умножении вектора a на число α вектор a "растягивается"в α раз: действительное растяжение происходит лишь при α > 1; при 0 < α < 1 происходит сжатие,
а при отрицательном α, кроме растяжения (при |α| > 1) или сжатия (при |α| < 1),
происходит еще изменение направления вектора на противоположное.
Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
1. α (a +b) = αa + αb (распределительное свойство числового сомножителя
относительно суммы векторов);
2. (α + β )a = αa+ β a (распределительное свойство векторного сомножителя
относительно суммы чисел);
3. α (β a)= (αβ ) a (сочетательное свойство числовых сомножителей).
42
Лекция 6
Эти свойства имеют фундаментальное значение, т.к.они позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем правилам, по которым производятся аналогичные
выкладки в обычной алгебре.
Теорема 6.1
Если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a, то существует
вещественное число λ такое, что b =λ a.
Доказательство. Приложим векторы a и b к общему началу O. Тогда эти векторы
расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масштабный
отрезок и положительное направление. Возможны два случая: 1) векторы a и b
направлены в одну сторону, 2) указанные векторы направлены в противоположные
стороны. Обозначим буквами A и B концы векторов a и b соответственно и заметим,
что, поскольку, вектор a ненулевой, точка A отлична от O. Но тогда, исключив
тривиальный случай совпадения точек A и B, можем утверждать, что точка O делит
направленный отрезок BA в некотором отношении, которое мы обозначим через -λ ,
т. е.
BO
= −λ ,
OA
или, что то же самое,
OB = λ OA.
В случае, когда векторы a и b направлены в одну сторону, точка O лежит вне
BO
отрезка BA, и потому отношение
отрицательно, а λ > 0. Если же векторы a и
OA
b направлены в противоположные стороны, то точка O лежит внутри отрезка BA,
BO
и потому отношение
положительно, λ < 0. Докажем, что в обоих случаях b =
OA
λ a. Достаточно доказать, что два вектора b и λ a коллинеарны, имеют одинаковую
длину, имеют одинаковое направление. Коллинеарность векторов b и λ a вытекает
из коллинеарности векторов a и b и определения произведения вектора на число.
Равенство длин векторов b и λ a непосредственно следует из определения произведения вектора на число и соотношения OB = λ OA. Наконец, тот факт, что векторы b
и λ a имеют одинаковое направление, следует из определения произведения вектора
на число и из того, что λ > 0, когда a и b одинаково направлены, и λ < 0, когда a и
b противоположно направлены.
6.3 Линейная зависимость векторов
Рассмотрим часто используемые понятия коллинеарности и компланарности векторов.
Определение 6.8
Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор
считается компланарным любой паре векторов.
6.3 Линейная зависимость векторов
43
Определение 6.9
Выражение вида α1 a1 + α2 a2 + . . . + αn an , где αi ; i = [1, n] - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов a1 , a2 , . . . an .
Определение 6.10
В тех случаях, когда явная запись суммы некоторого числа
слагаемых нецелесообразна или невозможна, но известно, как зависит значение
каждого из слагаемых от его номера, то мы будем использовать форму записи
операции суммирования:
N
F(n) + F(n + 1) + . . . + F(N) =
∑ F(k),
k=n
где k - индекс суммирования, n - минимальное значение индекса суммирования, N
- максимальное значение индекса суммирования и F(k) - общий вид слагаемого.
Используя данное соглашение о суммировании, линейную комбинацию α1 a1 + α2 a2 +
. . . + αn an можно записать в виде
n
α1 a1 + α2 a2 + . . . + αn an = ∑ αi ai .
(6.2)
i=1
Рассмотрим теперь определение важного понятия линейной зависимости системы
векторов.
Определение 6.11
Векторы a1 , a2 , . . . an называются линейно зависимыми, если
n
существует их нетривиальная линейная комбинация
∑ αi ai такая, что
i=1
n
∑ αi ai = 0.
(6.3)
Определение 6.12
Векторы a1 , a2 , . . . an называются линейно независимыми, если
i=1
n
из условия
n
∑ αi ai = 0 следует тривиальность линейной комбинации ∑ αi ai = 0,
i=1
то есть, что α1 = α2 = . . . = αn .
i=1
Справедливы следующие утверждения:
Теорема 6.2
Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой.
Теорема 6.3
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
коллинеарны.
Теорема 6.4
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
компланарны.
44
Лекция 6
Рассмотрим подробно теорему 6.4, доказав предварительно следующее вспомогательное утверждение: Для линейной зависимости векторов a1 , a2 , . . . an необходимо и
достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть векторы a1 , a2 , . . . an линейно зависимы, тогда существуют числа α1 , α2 , . . . αn , одновременно не равные нулю, такие,
n
что
∑ αi ai = 0. Для определенности можно считать, что α1 6= 0, но тогда
i=1
αi
a1 = ∑ −
ai
α1
i=2
n
что и доказывает необходимость.
(6.4)
n
Докажем достаточность. Пусть, для определенности a1 = ∑ αi ai , тогда (−1)a1 +
i=2
n
∑ αi ai = 0, причем | − 1| + |α2 | + . . . + |αn | > 0. То есть нетривиальная линейная ком-
i=2
бинация векторов a1 , a2 , . . . an равна нулевому вектору.
Докажем теперь теорему 6.4.
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть три вектора a1 , a2 , a3 линейно зависимы, то есть существуют три, одновременно не равных нулю, числа α1 , α2 , α3 ,
таких, что α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 = 0. Тогда, по лемме 6.3 один из векторов есть линейная
комбинация двух остальных и, значит, данные три вектора компланарны. Докажем
Рис. 6.4: К доказательству теоремы 6.4
достаточность в предположении, что векторы a1 и a2 неколлинеарны. Пусть даны
три компланарных вектора a1 , a2 , a3 . Перенесем эти векторы таким образом, чтобы
их начала попали в одну точку. Через конец вектора a3 проведем прямые, параллельные векторам a1 и a2 . При этом получим пару векторов b1 и b2 таких, что
a3 = b1 + b2 . (см. рис. 6.4). Поскольку вектор b1 коллинеарен вектору a1 , а вектор
b2 коллинеарен вектору a2 , по теореме 6.3 получаем, что b1 = α1 a1 ; b2 = α2 a2 , но, с
другой стороны, имеем a3 = α1 a1 + α2 a2 , и векторы a1 , a2 , a3 по лемме 6.3, линейно
зависимы. Случай коллинеарных a1 и a2 рассматривается аналогично.
Рассмотрим теперь линейную зависимость четырех векторов.
6.3 Линейная зависимость векторов
Теорема 6.5
45
Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. Прежде всего исключим случай, когда какая - нибудь тройка из
указанных четырех векторов компланарна. Тогда в силу теоремы 6.4 указанная
тройка векторов линейно зависима, а стало быть, и все четыре вектора линейно
зависимы.
Остается рассмотреть случай, когда среди четырех векторов a1 , a2 , a3 и a4 никакая
тройка векторов не компланарна (и, стало быть, нет ни одной пары коллинеарных
векторов и ни одного нулевого вектора).
Приведем все четыре вектора a1 , a2 , a3 и a4 к общему началу O и проведем
через конец вектора a4 плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами
векторов a1 a2 , a1 a3 , и a2 a3 (см. рис. 6.5). Точки пересечения указанных плоскостей с
Рис. 6.5: К доказательству теоремы 6.3
прямыми, на которых лежат векторы a1 , a2 и a3 обозначим соответственно буквами
A1 , A2 , A3 . Существование указанных точек пересечения вытекает из того, что
векторы a1 , a2 и a3 не компланарны. Убедимся в том, что вектор a4 = OD равен
сумме трех векторов OA1 , OA2 и OA3 , т. е.
a4 = OA1 + OA2 + OA3 .
(6.5)
Из правила параллелограмма сложения векторов и из параллелограмма OA3 DE
(см. рис. 6.5) вытекает, a4 = OA3 + OE, а из параллелограмма OA2 EA1 вытекает,
что OE = OA1 + OA2 . Тем самым равенство 6.5 установлено. Так как вектор OA1
коллинеарен ненулевому вектору a1 (с которым он лежит на одной прямой), то в
силу теоремы 6.3 найдется вещественное число α1 , такое, что
OA1 = α1 a1 .
(6.6)
Аналогично вытекает существование вещественных чисел α2 и α3 таких, что
OA2 = α2 a2 , OA3 = α3 a3 .
(6.7)
В результате получаем равенство
a4 = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 ,
(6.8)
которое можно переписать в виде
α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 + (−1)a4 = 0.
(6.9)
Так как из четырех чисел α1 , α2 , α3 , −1 одно заведомо отлично от нуля, то равенство
(6.8) доказывает линейную зависимость векторов a1 , a2 , a3 и a4 .
46
Лекция 6
6.4 Базис. Координаты вектора в базисе.
Определение 6.13
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой.
Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости.
Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов.
Определение 6.14
Базис называется ортогональным, если образующие его векторы
попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны).
Определение 6.15
Ортогональный базис называется ортонормированным, если
образующие его векторы имеют единичную длину.
Базис, составленный из линейно независимых векторов a1 , a2 , a3 , будем обозначать
(a1 , a2 , a3 ) Ортогональный или ортонормированный базис будем обозначать как
(e1 , e2 , e3 ).
Теорема 6.6
Пусть дан базис (a1 , a2 , a3 ). Тогда любой вектор x может быть
представлен, и притом единственным образом, в виде x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 ,
где α1 , α2 , α3 - некоторые числа.
Доказательство. Для доказательства совместим начала всех векторов a1 , a2 , a3 и x
в точке O и проведем через конец вектора x плоскость, параллельную плоскости
O,a1 ,a2 (рис. 6.6). Построим новые вектора y и z так, чтобы x = y + z, a z и a3
Рис. 6.6: К доказательству теоремы 6.6
были коллинеарны, тогда, в силу коллинеарности вектора z вектору a3 , z = α3 a3 .
Перенеся начало вектора y в точку O и рассуждая как при доказательстве теоремы
6.4, получим y = α1 a1 + α2 a3 и, следовательно,
x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 .
(6.10)
6.5 Ортогональное проектирование.
47
что доказывает существование разложения. Докажем единственность разложения
по базису. Пусть мы имеем
x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 .
(6.11)
и предположим, что существует другая тройка чисел α10 , α20 , α30 таких, что
x = α10 a1 + α20 a2 + α30 a3 .
(6.12)
Вычитая почленно эти равенства, получаем
x = (α1 − α10 )a1 + (α2 − α20 )a2 + (α3 − α30 )a3 = 0.
(6.13)
где, в силу сделанного предположения о не единственности разложения,
|α1 − α10 | + |α2 − α20 | + |α3 − α30 | > 0.
(6.14)
Но это означает, что векторы α1 , α2 , α3 линейно зависимы и, следовательно, не могут
быть базисом. Полученное противоречие доказывает единственность разложения.
Определение 6.16
Числа α1 , α2 , α3 -коэффициенты в разложении x = α1 a1 + α2 a2 +
α3 a3 называются координатами (или компонентами) вектора x в базисе (a1 , a2 , a3 )
В координатном представлении операции с векторами имеют следующий вид:
1. Два вектора x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 и y = β1 a1 + β2 a2 + β3 a3 равны тогда и только
тогда, когда равны
 их координатные представления:
 α1 = β1
α2 = β2 .
x = y, если
(6.15)

α3 = β3
2. Координатное представление суммы двух векторов x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 и
y = β1 a1 + β2 a2 + β3 a3 равно сумме координатных представлений слагаемых:
x + y = (β1 + α1 )a1 + (β2 + α2 )a2 + (β3 + α3 )a3 .
(6.16)
3. Координатное представление произведения вектора x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 на
число λ равно произведению координатного представления вектора x на это
число λ :
λ x = (λ α1 )a1 + (λ α2 )a2 + (λ α3 )a3 .
(6.17)
6.5 Ортогональное проектирование.
Прямую l, с расположенным на ней ненулевым вектором b, будем называть осью.
Вектор b называется направляющим вектором оси l.
Пусть дана точка M, не лежащая на оси l, тогда основание перпендикуляра, опущенного из M на ось l точку M ∗ будем называть ортогональной проекцией точки M
на ось.
Примером оси может служить ось координат - прямая, проходящая через начало
координат, направляющим вектором которой служит один из базисных векторов.
Ортогональной проекцией вектора a на ось l называется вектор прl a, лежащий
на оси l, начало которого есть ортогональная проекция начала вектора a на ось l, а
конец - ортогональная проекция конца вектора a.
48
Лекция 6
Рис. 6.7: Проекция точки и проекция вектора на ось
Выполним нормировку направляющего вектора b, то есть заменим его на вектор
e=
b
|b|
(6.18)
и рассмотрим нормированный базис {e} на оси l (см. рис. 6.7).
Численным значением ортогональной проекции вектора a на ось l называется
координата вектора прl a а в базисе {e}.
Углом между ненулевыми векторами a и b называется величина наименьшего из
двух углов, образуемых этими векторами при совмещении их начал.
Численное значение ортогональной проекции вектора a на ось l обозначим как
прl a Из рис. 6.8 видно, что
прl a = |a| cos ϕ,
(6.19)
где ϕ есть угол между a и e.
Рис. 6.8: Проекция вектора на ось
Свойства ортогональных проекций
Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этих векторов.
Если вектор умножить на вещественное число, то его проекция также умножится на это число.
Проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной ком- комбинации проекций.
Справедливость этих свойств вытекает из определения операции ортогонального
проектирования и правил действия с векторами.
Свойства численных значений ортогональных проекций:
прl (a1 + a2 ) = прl (a1 ) + прl (a2 )
прl (α1 a1 ) = α1 прl a1
прl (α1 a1 + α2 a2 + . . . + αn an =) = α1 прl a1 + α2 прl a2 + . . . + αn прl an
Эти равенства следуют из свойств ортогональных проекций и свойств координат
векторов.
6.5 Ортогональное проектирование.
49