-1- На плоскости xOy найти единичный вектор

-1На плоскости xOy найти единичный вектор, перпендикулярный вектору a = {2;1;−1}
и образующий острый угол с осью Ox .
____________________________________________________________________________
-2Найти угол между векторами
b = e1 + 3e2 , если
e1 = e2 = 1, ∠(e1 , e2 ) = 120 0.
a = 3e1 + 2e2
и
____________________________________________________________________________
-3Выяснить, лежат ли данные точки А(2; -1; 2), В(1; 2; 1), С(3; -4; 5) на одной
прямой.
____________________________________________________________________________
-4Найти длину одной из высот параллелограмма, построенного на векторах
a = 2i + 3 j − k ,
b = i − 2 j + 3k .
-5Даны три вектора
a = {2;−1;1} , b = {1;1;−1} , c = {3;2;0} .
Найти проекцию вектора a на направление вектора b + 2c .
____________________________________________________________________________
-6Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
a = e1 + 3e2 и b = 2e1 − e2
где
e1 = 2, e2 = 3, ∠(e1 , e2 ) = 60 0 .
____________________________________________________________________________
-7Параллелепипед построен на векторах
AB = 2i − 3 j , AC = i + 2 j − k , AD = 3i − j .
Найти длину его высоты, опущенной из вершины А .
____________________________________________________________________________
-8Показать, что векторы
a = {− 1;2;0}, b = {2;−1;1}, c = {1;1;1}
компланарны и получить разложение вектора c по векторам a
и
b.
-9Треугольник построен на векторах
AB = i + 2 j − k , AC = i + k .
Найти длину его высоты, опущенной на сторону АС .
____________________________________________________________________________
-10Выяснить лежат ли четыре точки в одной плоскости
A(-1;2;0), B(0;1;-1), C(2;3;1), D(1;1;1) .
____________________________________________________________________________
-11Найти проекцию вектора a = 2e1 − 3e2 на направление вектора b = e1 + e2 , причём
e1 = e2 = 1, ∠(e1 , e2 ) = 60 0 .
____________________________________________________________________________
-12Найти единичный вектор e , перпендикулярный вектору
оси Oz .
a = {− 1;2;−1}
и
-13Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(-1;2;3), В(2;1;0), С(1;2;2)
Найти координаты четвёртой вершины.
____________________________________________________________________________
-14Найти вектор, перпендикулярный векторам
удовлетворяющий условию
a = {2;−1;1} ,
b = {− 1;2;0} и
( x ,2i + k ) = 1 .
____________________________________________________________________________
-15Найти проекцию вектора a = 2e1 − e2 + e3 на направление вектора b = e1 − e2 + 2e3 ,
где
e1 ⊥ e2 , e1 ⊥ e3 , e2 ⊥ e3 , e1 = 1, e2 = 3, e3 = 2.
____________________________________________________________________________
-16Определить
a +b
и a − b , где
b =1, a = 3 ,
∠(a , b ) = π
3
.
-17Найти единичный вектор e , зная, что он перпендикулярен векторам
a = {1;−1;2} , b = {2;2;1} и образует с осью Oy тупой угол.
____________________________________________________________________________
-18Даны вершины тетраэдра
A(2;1;0), B(0;-1;1), C(1;2;-1), D(4;3;-1).
Найти длину высоты, опущенной из вершины D .
____________________________________________________________________________
-19В плоскости yOz найти вектор, перпендикулярный вектору
длина которого равна трём.
a = −i + 2 j + k ,
____________________________________________________________________________
-20Даны вершины треугольника
А(0;1;-2), В(-1;0;1), С(2;-1;1) .
Найти проекцию вектора AB на направление вектора BC .
-21В треугольнике АВС проведена медиана AD . Выразить вектор
и AC .
через векторы AB
AD
____________________________________________________________________________
-22Даны три точки А(2;-1;1), В(-1;0;4), С(0;1;2) . На оси Ox найти точку D так,
чтобы точки A, B, C, D лежали в одной плоскости.
____________________________________________________________________________
-23В плоскости xOy найти вектор q , длина которого равна трём и который удовлетворяет условию
(q , i + 2 j − k ) = 1.
____________________________________________________________________________
-24Объём тетраэдра V = 1 . Три его вершины находятся в точках
А(-1;0;2), В(-2;1;0), С(1;-1;3) .
Найти координаты четвёртой вершины D , если известно, что она лежит на оси Ox.
-25Найти длину вектора a = 3m + 2n , где
m = 1, n = 3, ∠(m , n ) = 60 0 .
____________________________________________________________________________
-26Найти вектор x , перпендикулярный векторам p = {2;−1;1} и q = {1;0;2} ,
если x = 3 .
____________________________________________________________________________