Задачник КВАНТА. http://fizportal.ru Ф20. Параллельно оси

Задачник КВАНТА.
http://fizportal.ru
Ф20. Параллельно оси цилиндра радиуса R на расстоянии R/2 от его центра просверлено круглое отверстие. Радиус отверстия равен R/2. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец (рисунок). Найти предельный угол
наклона дощечки, при котором цилиндр еще будет находиться в равновесии. Коэффициент трения цилиндра о дощечку равен 0,2.
Решение.
Найдем сначала положение центра тяжести цилиндра с отверстием. Ясно, что он должен лежать на прямой, проходящей через
центры цилиндра и отверстия. Центр тяжести целого цилиндра лежит на его оси, а центр тяжести цилиндра, заполняющего отверстие,
– на оси отверстия. Рассматривая целый цилиндр как два тела – цилиндр с отверстием и «вставка», заполняющая отверстие, и обозначив через x расстояние от оси цилиндра с отверстием (рис.), мы можем записать, что
R 
R

 ( )2  R
 ( )2

x  Mg  Mg 2 2   Mg 2 2 ,
R  2
R



R
 ( )2
3
1
(M – масса цилиндра, M 2 2 – масса «вставки»). Отсюда x  R ,
R
4
8
то есть центр тяжести цилиндра с отверстием находится на расстоянии
x

1
R от его
6
оси.
Если дощечку медленно поднимать за один из концов, цилиндр будет поворачиваться, занимая устойчивое положение, при котором его центр тяжести будет находиться на вертикали, проходящей через точку касания цилиндра с дощечкой. При
этом положения, которые может занимать центр тяжести цилиндра, лежат на
окружности радиуса
1
R с центром на оси цилиндра. Очевидно, что устойчивое по6
ложение невозможно, и цилиндр начнет скатываться без проскальзывания, если вертикаль, проходящая через точку касания цилиндра с дощечкой, не пересекается с
этой окружностью (рис.). В этом случае момент силы тяжести относительно точки
касания цилиндра с дощечкой не может быть равен нулю ни при каком положении
цилиндра. Таким образом, угол, при котором цилиндр начнет скатываться, равен
1
R
1
1  arcsin 6  arcsin .
R
6
Но нам еще нужно проверить, не начнется ли скольжение цилиндра по дощечке
при меньшем угле. Скольжение наступит, когда составляющая силы тяжести вдоль
дощечки станет равной максимальному значению силы трения:
M 1 g sin 1  kM 1 g cos  2 (M1 – масса цилиндра с отверстием), откуда
1
 2  arctgk  arctg  arctg
5
1
5
1
1  ( )2
5
 arcsin
1
.
26
Так как 1   2 , то качение цилиндра начнется раньше скольжения и цилиндр потеряет устойчивость при угле наклона дощечки
1
6
  1  arcsin .