Задание№1. Тема№1 Электростатическое поле в вакууме.

Задание№1.
Тема№1 Электростатическое поле в вакууме.
Задача№1(Электростатическое поле системы точечных зарядов)
Вариант1-3.
В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся точечные заряды q1,q2,q3 (рис.
r
1). Определите напряженность E и потенциал ϕ электрического поля этих зарядов:
а) В центре треугольника (точка О)
б) В точке А(рис 1), находящейся на расстоянии h от его его центра (точки О), если отрезок ОА
перпендикуляр к плоскости треугольника.
Вариант q1 q2 q3
1
q -q q
2
-q q -q
3
q -q 2q
Рис.1
Вариант4-6. В вершинах квадрата со стороной а находятся точечные заряды q1,q2,q3,q4 (рис. 2).
r
Определите напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля этих зарядов:
а) В центре квадрата (точка О)
б) В точке А (рис.2), находятся на расстоянии h от его центра (точки О), если отрезок ОА –
перпендикуляр к плоскости квадрата.
Вариант q1 q2 q3
4
2q -q 2q
5
q -q -q
6
q q q
q4
-q
-q
-q
Рис.2
Вариант 7-9. Три точечных заряда q1,q2,q3 лежат на одной прямой на расстоянии а и 3а (рис. 3).
r
Определите напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля этих зарядов:
а) В точке О (центре отрезка, соединяющего заряды q1 и q3)
б) В точке А (рис.3), находящейся на расстоянии h от его центра (точки О), если отрезок ОА –
перпендикуляр к прямой, на которой лежат заряды.
Вариант q1 q2 q3
7
q 2q -q
8
q -2q 3q
9
-q -3q 2q
Рис.3
Вариант 10-12. В вершинах прямоугольного треугольника с катетом длины а находятся точечные
r
заряды q1,q2,q3 (рис. 4). Определите напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля
этих зарядов:
а) В точке О (центре отрезка, соединяющего заряды q1 и q3 )
1
б) В точке А(рис 4), находящейся на расстоянии h от центра (точки О) отрезка, соединяющего
заряды q1 и q3, если отрезок ОА перпендикуляр к плоскости треугольника.
Вариант q1 q2 q3
10
q -q q
11
q 2q -q
12
-2q q -2q
Рис.4
Вариант 13-15. Три точечных заряда q1,q2,q3 лежат на одной прямой на расстоянии а друг от друга
r
(рис. 5). Определите напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля этих зарядов:
а) В точке О (находящейся на расстоянии а от середины отрезка, на котором расположены эти
заряды).
б) В точке А (рис.5), находящейся на расстоянии h от точки О (отрезок ОА – перпендикуляр к
плоскости зарядов и точки О).
Вариант q1 q2 q3
13
q -q q
14
q -2q 3q
15
-q 2q 3q
Рис.5
Задача №2(Электростатическое поле распределенного заряда).
Вариант 1-6. Равномерно заряженная нить конечной длины имеет заряд λ на единицу длины и
конфигурацию представленную в таблице (размеры, указанные в таблице считать известными).
r
Определить напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля нити в точке О.
Вариант
Конфигурация нити
1
2
3
2
4
5
6
Вариант 7-9. Тонкое непроводящее кольцо радиуса R (рис. 7) заряжено с линейной плотностью
r
λ = f (α ) , где f (α ) - некоторая функция азимутального угла α .Найти напряженность E и
потенциал ϕ электростатического поля кольца в точке А (на оси кольца) в зависимости от
расстояния Z до его центра (точки О).
Вариант
7
Вид функции f (α )
λ0 cos α ( λ0 = const , λ0 > 0 )
8
λ0 sin α ( λ0 = const , λ0 > 0 )
9
⎧+ λ0 , при α ≤ π
⎪
2
; λ0 = const
⎨
π
λ
α
−
,
при
>
⎪⎩ 0
2
рис.7
Вариант 10-12. Тонкая пластина в форме полудиска ,с внутренним и внешним радиусами R1 , R2
соответственно (рис. 8) заряжена зарядом с поверхностной плотностью σ = f ( r , α ) (где f ( r , α ) некоторая функция азимутального угла α и расстояния r от центра диска (точки О) в плоскости
r
диска (XOY). Найти напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля пластины в точке
А (на оси пластины) в зависимости от расстояния Z до его центра (точки О).
Вид функции f ( r , α )
Вариант
σ = σ 0 cos α (σ 0 = const , σ 0 > 0)
10
σ = σ 0 sin α (σ 0 = const , σ 0 > 0)
11
12
Рис.8
σ =σ0
r2
(σ 0 = const , σ 0 > 0)
R12
3
Вариант 13-15. Цилиндрическая поверхность радиуса R, длины L (рис. 9), заряжена зарядом с
поверхностной плотностью σ = f (α ) , где f (α ) - некоторая функция азимутального угла α (в
r
цилиндрической системе координат). Найти напряженность E и потенциал ϕ
электростатического поля заряда цилиндрической поверхности на оси цилиндра в точке А, в
зависимости от расстояния Z до центра (точки О) одного из торцов цилиндра (рис. 9) .
Вариант
13
Вид функции f (α )
σ = σ 0 cos α ( σ 0 = const , σ 0 > 0 )
14
σ = σ 0 sin α ( σ 0 = const , σ 0 > 0 )
15
⎧+ σ 0 , α < π
⎪
2
σ =⎨
( σ 0 = const , σ 0 > 0 )
⎪⎩− σ 0 , α > π 2
Рис.9
Задача№3. Расчет электромагнитного поля при симметричном распределении заряда с
помощью теоремы Гаусса.
Вариант 1-3. Шар радиуса 3R (рис.1) имеет заряд, объемная плотность которго зависит только от
расстояния r до его центра (точки О) как ρ = f (r ) . Полагая, что диэлектрическая проницаемость
ε = 1 всюду, найти :
r
а) Напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля шара как функцию расстояния r.
б)Разность потенциалов между точкой В заряженного тела и точкой А на его поверхности.
Вариант
Вид функции f (r )
1
α r ,( α = const , α > 0 )
α 2 ,( α = const , α > 0 )
2
r
2
⎛ r ⎞
ρ 0 (1 − ⎜ ⎟ ) , α = const , α > 0
⎝ 3R ⎠
3
Рис.1
Вариант 4-6. Полый шар радиуса 3R и размером полости радиуса R (рис. 2), заряжен зарядом с
объемной плотностью ρ , которая зависит только от расстояния r до его центра (точка О), как
ρ = f (r ) . Полагая, что диэлектрическая проницаемость ε = 1 всюду, найти :
r
а) Напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля шара как функцию расстояния r.
б)Разность потенциалов между точкой В заряженного шара и точкой А на его поверхности.
Вариант
4
5
Рис.2
6
Вид функции f (r )
r ⎞
⎛
ρ 0 ⎜1 −
⎟ ,( ρ 0 = const, ρ 0 > 0 )
⎝ 3R ⎠
⎡
3
⎛ r ⎞ ⎤
⎟ ⎥ ,( ρ 0 = const, ρ 0 > 0 )
3
r
⎠ ⎦⎥
⎝
⎢⎣
α 3 ,( α = const , α > 0 )
r
ρ 0 ⎢1 − ⎜
4
Вариант 7-9. бесконечный цилиндр радиуса 3R (рис. 3) заряжен зарядом с объемной плотностью
ρ , которая зависит только от расстояния r до его оси , как ρ = f (r ) . Полагая, что диэлектрическая
проницаемость ε = 1 всюду, найти :
r
а) Напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля цилиндра как функцию расстояния
r.
б)Разность потенциалов между точкой В заряженного цилиндра и точкой А на его поверхности.
(Положить ϕ = 0 на оси симметрии цилиндра ).
Вариант
7
8
9
Вид функции f ( r )
αr 2 ,( α = const , α > 0 )
r ⎞
⎛
ρ 0 ⎜1 −
⎟ ,( ρ 0 = const, ρ 0 > 0 )
⎝ 3R ⎠
α 3 ,( α = const , α > 0 )
r
Рис.3
Вариант 10-12. Полый бесконечный цилиндр радиуса 3R и размером полости радиуса R (рис.4) заряжен
зарядом с объемной плотностью ρ , которая зависит только от расстояния r до его оси по закону
ρ = f (r ) . Полагая, что диэлектрическая проницаемость ε = 1 всюду, найти:
r
а) напряженность E и потенциал ϕ как функцию расстояния r ;
б) разность потенциалов между точкой B заряженного тела и точкой A на его поверхности. (Положить
ϕ = 0 на оси симметрии цилиндра).
Вариант Вид функции f ( r )
αr 3 (α > 0, α = const )
10
11
12
⎛
⎜
⎝
⎛ r ⎞
⎟
⎝ 3R ⎠
ρ 0 ⎜1 − ⎜
α
r4
2
⎞
⎟ ( ρ 0 > 0, ρ 0 = const )
⎟
⎠
(α > 0, α = const )
рис.4
Вариант 13-15. Бесконечная плоская пластина толщины 4d (рис.5) заряжена зарядом с объемной
плотностью ρ , которая зависит только от расстояния x до середины пластины по закону ρ = f ( x ) .
Полагая, что диэлектрическая проницаемость ε = 1 всюду, найти:
r
а) напряженность E и потенциал ϕ как функцию расстояния x ;
б) разность потенциалов между точкой B заряженного тела и точкой A на его поверхности.
(Положить ϕ = 0 на плоскости симметрии пластины x = 0 ).
5
Вариант Вид функции f ( x )
αx 2 (α > 0, α = const )
13
14
15
⎛ ⎛ x ⎞2 ⎞
ρ 0 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ( ρ 0 > 0, ρ 0 = const )
⎜ ⎝ 2d ⎠ ⎟
⎠
⎝
α
(α > 0, α = const )
x2
Рис.5
Задача №4. Диполь в электрическом поле.
r
r
Вариант 1-5. Диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии r от точечного заряда q .
r
r
Угол между векторами p и r равен α (рис.1). Найти:
r
r
а) силу F и момент M сил, действующих на диполь со стороны заряда q ;
r
б) напряженность E и потенциал ϕ результирующего поля зарядов в точке A (рис.1), расположенной
r
посередине радиус-вектора r ;
в) потенциальную энергию взаимодействия W диполя с точечным зарядом q .
рис.1
Вариант Значение угла α
α =0
1
π
α=
2
2
π
α=
3
4
π
α=
4
3
α =π
5
r
r
r
Вариант 6-10. Два диполя с моментами p1 и p 2 , которые лежат в одной плоскости на расстоянии r
друг от друга, образуют с прямой, соединяющей диполи, углы α 1 и α 2 соответственно (рис.2). Найти:
r
r
r
r
а) силу F и момент сил M , действующие на диполь p 2 со стороны поля диполя p1 ;
r
б) напряженность E и потенциал ϕ результирующего поля диполей в точке A (рис.2), расположенной
r
посередине радиус-вектора r ;
в) потенциальную энергию взаимодействия W диполей.
r
r
r
( r - радиус-вектор, проведенный от p1 к p 2 ).
6
p1 p 2
Вариант α 1 α 2
π
6
0
p
2p
2
7
0
0
p
3p
Рис.2
π
π
−
8
p
2p
2
2
π π
9
p
3p
2
2
π 0
10
p
2p
r
r
Вариант 11-15. Диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии r от бесконечной
равномерно заряженной нити с линейной плотностью λ (рис.3). Найти:
r
r
а) силу F и момент сил M , действующие на диполь со стороны поля нити;
r
б) напряженность E и потенциал ϕ результирующего поля зарядов в точке A (рис.3), расположенной
симметрично диполю относительно нити;
в) потенциальную энергию взаимодействия W диполя с полем нити.
Рис.2
Вариант
11
12
13
14
15
Расположение диполя
r
r
вектор p направлен нормально к нити и радиус-вектору r
r
вектор p параллелен нити
r
r
вектор p направлен по радиус-вектору r
r
вектор p лежит в плоскости, перпендикулярной к нити, под углом 45° к
r
вектор p лежит в плоскости, перпендикулярной к нити, под углом 60° к
r
r
r
r
Тема №2. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле.
Задача №1. Проводники в электростатическом поле. Метод изображений.
Вариант 1-5. Точечный заряд q расположен на расстояниях a и b (рис.1) от двух проводящих
полуплоскостей, образующих двугранный угол α . Найти:
r
а) силу F , действующую на заряд q со стороны зарядов, индуцированных на полуплоскостях;
б) поверхностную плотность зарядов σ инд , индуцированных на полуплоскостях в точках A и B (рис.1);
W заряда q с зарядами, индуцированными на
в) потенциальную энергию взаимодействия
полуплоскостях.
7
Вариант
a
b
1
l
2l
2
3l
l
3
l
l
4
5
l
l
l
l
α
π
2
π
2
π
4
π
3
π
6
Вариант 6-10. Точечный заряд q , расположенный на расстоянии d от центра проводящей тонкостенной
сферы радиуса R (рис.2), имеющего заряд Q . Найти:
r
а) силу взаимодействия F точечного заряда q с зарядом сферы;
б) поверхностную плотность зарядов σ на поверхности сферы в точках A и B (рис.2). (Для случая,
когда заряд q внутри сферы, поверхностную плотность зарядов на внутренней σ i и внешней σ e
поверхностях сферы);
в) потенциальную энергию взаимодействия W заряда q с зарядом Q сферы.
Рис.2,а(d>R)
Вариант
6
7
8
Q
− 3q
2q
4q
9
− 2q
10
3q
d
10 R
5R
2R
R
2
R
2
Рис.2,б(d<R)
Вариант 11-13. Внутри сферической проводящей оболочки с внутренним радиусом R1 и внешним
радиусом R2 на расстоянии d от ее центра (точки О) помещен точечный заряд q (рис.3). Суммарный
заряд оболочки равен Q . Найти:
а) поверхностную плотность индуцированных зарядов на внешней поверхности оболочки;
б) потенциал ϕ оболочки, принимая за ноль потенциал бесконечно удаленной точки;
в) поверхностную плотность индуцированных зарядов в точках A и B внутренней поверхности
оболочки.
8
Вариант
R1
R2
11
R
2R
12
2R
3R
13
R
3R
d
R
2
R
R
2
Q
− 2q
3q
0
Рис.3
Вариант 14-15. Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотностью λ расположена
параллельно оси бесконечной цилиндрической проводящей поверхности на расстоянии d (Рис.4).
Радиус цилиндра равен R . Найти:
r
а) силу взаимодействия Fвз , приходящуюся на единицу длины;
б) поверхностную плотность индуцированных зарядов в точках A и B цилиндра поверхности.
Вариант
14
15
d
2R
10 R
λ
− λ0
(λ0 > 0, λ0 = const )
+ λ0
(λ0 > 0, λ0 = const )
Рис.4
Задача №2 Расчет поля симметричного распределения зарядов (свободных и связанных) в
r
неоднородной диэлектрической среде по теореме Гаусса (для вектора D ) и помощью
уравнения Пуассона (для потенциала φ).
ВАРИАНТ 1-3 Диэлектрическая пластина толщины 2d (рис.1) из однородного изотропного
диэлектрика с проницаемостью ε=const заряжена свободным зарядом ρ = f ( x ) , где f ( x ) некоторая функция расстояния x от центра пластины. Полагая ϕ ( x = 0) = 0 , найти с помощью
r
теоремы Гаусса (для вектора D ) и помощью уравнения Пуассона (для потенциала φ):
r
r
1) напряженность электростатического поля E (x ) , электрическое смещение D (x) ,
r
поляризованность P (x ) и потенциал ϕ ( x ) как функцию расстояния x от центра пластины;
2) объемную плотность связанного заряда ρ ' ( x) внутри диэлектрика и поверхностную плотность
связанного заряда σ ' ( x = d ) и σ ' ( x = −d ) на поверхности диэлектрика;
9
3) проверить равенство нулю суммарного связанного заряда на единицу площади диэлектрика
qi'
∑
= 0 ).
(
S
вариант
1
2
3
ρ = f (x )
2
x
( где ρ 0 > 0, ρ 0 = const )
d2
ρ0 ⎡ x⎤
⎢1 + ⎥ ( где ρ 0 > 0, ρ 0 = const )
2 ⎣ d⎦
ρ0
ρ0
рис. 1
x4
( где ρ 0 > 0, ρ 0 = const )
d4
ВАРИАНТ 4-6 Пространство между обкладками сферического конденсатора (рис.2) заполнено
диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону ε = f (r ) , где f (r ) - некоторая
функция расстояния r от центра системы. Радиусы обкладок равны R1 и R2 соответственно (рис.2).
Считая заданными напряжение ϕ1 − ϕ 2 = U между обкладками 1 и 2 ( для расчета с помощью
теоремы Гаусса) и поверхностную плотность свободных зарядов σ(x= R1)= - σ(x= R2) = σ ( для
расчета с помощью уравнения Пуассона для потенциала φ) найти:
r
r
1) напряженность электростатического поля E (r ) , электрическое смещение D (r ) ,
r
поляризованность P (r ) и потенциал ϕ (r ) как функцию расстояния x от центра системы;
2) объемную плотность связанного заряда ρ ' (r ) внутри диэлектрика и поверхностную плотность
связанного заряда σ ' (r = R1 ) и σ ' (r = R2 ) на поверхности диэлектрика;
3) проверить равенство нулю суммарного связанного заряда диэлектрика ( ∑ q i = 0 ).
'
вариант
4
5
6
рис.2
ε = f (r )
3
2
3
R
( где ε 1 > 1, ε 1 = const )
r
R2
ε 1 22 ( где ε 1 > 1, ε 1 = const )
r
r
ε1
( где ε 1 > 1, ε 1 = const )
R1
ε1
r 1 ∂ 2
∂ϕ r
Указание: для сферической системы координат: divA = 2
(
r Ar ) + ... ; gradϕ =
er + ... ;
∂r
r ∂r
1 ∂ ⎛ 2 ∂ϕ ⎞
∆ϕ = 2
⎜r
⎟ + ...
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
ВАРИАНТ 7-9 Пространство между обкладками плоского конденсатора
(рис.3) заполнено
диэлектриком толщины d, проницаемость которого изменяется по закону ε = f ( x ) , где f ( x ) некоторая функция расстояния x от обкладки 1. Считая заданными напряжение ϕ1 − ϕ 2 = U между
обкладками 1 и 2 ( для расчета с помощью теоремы Гаусса) и поверхностную плотность свободных
зарядов σ(x=0)= - σ(x=d) = σ ( для расчета с помощью уравнения Пуассона для потенциала φ)
найти:
10
r
r
напряженность электростатического поля E (x ) , электрическое смещение D (x) ,
r
поляризованность P (x ) и потенциал ϕ ( x ) как функцию расстояния x от обкладки 1;
2) объемную плотность связанного заряда ρ ' ( x) внутри диэлектрика и поверхностную плотность
связанного заряда σ ' ( x = 0) и σ ' ( x = d ) на поверхности диэлектрика;
3) проверить равенство нулю суммарного связанного заряда на единицу площади диэлектрика
qi'
∑
= 0 ).
(
S
1)
вариант
7
8
9
ε = f (x )
1 + αx ( где α > 0, α= const )
α
( где α,β > 0, α,β = const )
3
x +β
α
( где α,β > 0, α,β = const )
2
x +β
(рис.3)
ВАРИАНТ 10-12 Пространство между обкладками цилиндрического конденсатора
(рис.4)
заполнено диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону ε = f (r ) , где f (r ) некоторая функция расстояния r от центра системы. Радиусы обкладок равны R1 и R2
соответственно (рис.4). Считая заданными напряжение ϕ1 − ϕ 2 = U между обкладками 1 и 2 ( для
расчета с помощью теоремы Гаусса) и поверхностную плотность свободных зарядов σ(x= R1)= σ(x= R2) = σ ( для расчета с помощью уравнения Пуассона для потенциала φ) найти:
r
r
1) напряженность электростатического поля E (r ) , электрическое смещение D (r ) ,
r
поляризованность P (r ) и потенциал ϕ (r ) как функцию расстояния x от центра системы;
2) объемную плотность связанного заряда ρ ' (r ) внутри диэлектрика и поверхностную плотность
связанного заряда σ ' (r = R1 ) и σ ' (r = R2 ) на поверхности диэлектрика;
3) проверить равенство нулю суммарного связанного заряда на единицу площади диэлектрика
∑ qi' = 0 ).
(
l
вариант
4
5
6
рис.4
ε = f (r )
R2
( где ε 1 > 1, ε 1 = const )
r
R2
ε 1 22 ( где ε 1 > 1, ε 1 = const )
r
r
ε1
( где ε 1 > 1, ε 1 = const )
R1
ε1
r 1 ∂
Указание: для цилиндрической системы координат: divA =
(rAr ) + ... ; gradϕ = ∂ϕ err + ... ;
∂r
r ∂r
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
∆ϕ =
⎜r
⎟ + ...
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
11
ВАРИАНТ 13-15 Полый шар с внутренним и внешним радиусом R1 и R2 соответственно (рис.5),
проницаемость которого ε=const заряжена свободным зарядом ρ = f (r ) , где f (r ) - некоторая
функция расстояния r от центра системы. Полагая ϕ (r = 0) = 0 , найти с помощью теоремы Гаусса
r
(для вектора D ) и помощью уравнения Пуассона (для потенциала φ) найти:
r
r
1) напряженность электростатического поля E (r ) , электрическое смещение D (r ) ,
r
поляризованность P (r ) и потенциал ϕ (r ) как функцию расстояния x от центра системы;
2) объемную плотность связанного заряда ρ ' (r ) внутри диэлектрика и поверхностную плотность
связанного заряда σ ' (r = R1 ) и σ ' (r = R2 ) на поверхности диэлектрика;
3) проверить равенство нулю суммарного связанного заряда диэлектрика ( ∑ q i = 0 ).
'
вариант
1
ρ = f (r )
α
( где α > 0, α = const )
r2
2
3
(рис.5)
⎡
ρ 0 ⎢1 −
r ⎤
⎥ ( где ρ 0 > 0, ρ 0 = const )
R1 ⎦
⎣
⎡ r2 ⎤
ρ 0 ⎢1 − 2 ⎥ ( где ρ 0 > 0, ρ 0 = const )
⎣ R1 ⎦
r 1 ∂ 2
∂ϕ r
Указание: для сферической системы координат: divA = 2
(
r Ar ) + ... ; gradϕ =
er + ... ;
∂r
r ∂r
1 ∂ ⎛ 2 ∂ϕ ⎞
∆ϕ = 2
⎜r
⎟ + ...
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
Задача №3 Граничные условия для векторов электростатического поля на стыке двух
диэлектриков.
ВАРИАНТ 1-3 Часть пространства между обкладками плоского конденсатора заполнено
диэлектриком с проницаемостью ε1, другая часть - диэлектриком с проницаемостью ε2 (рис. 1,а).
r
r
Найти напряженность электростатического поля
E , электрическое смещение
D,
r
поляризованность P в конденсаторе, поверхностную плотность свободного заряда σ и
поверхностную плотность связанного заряда σ ' на граничных поверхностях диэлектрика в
случаях:
а) если между обкладками конденсатора приложено постоянное напряжение U (рис. 1,б);
б) если конденсатор отключен от источника и остаются неизменными заряды его обкладок q и –q
(рис. 1,в).
рис. 1,б
рис. 1,а
рис. 1,в
12
Вариант
1
l1
l
2
l
2
l
2
l
3
l
2
l
d1
d
2
d
2
3
d
3
d
2
d
4
5
6
d
3
d
2
d
3
d
7
ε1
ε
ε2
2ε
2ε
3ε
0
ε
ε
0
ε
0
ε
2ε
ε
0
l
2ε
ε
l
3
3ε
9
ε
l
3
4ε
10
ε
d
l
4
ВАРИАНТ 11-15 Часть пространства между обкладками цилиндрического
конденсатора
заполнено диэлектриком с проницаемостью ε1, другая часть - диэлектриком с проницаемостью ε2
(рис. 2,а). Радиусы обкладок равны R1 и R2 соответственно. Найти напряженность
r
r
r
электростатического поля E , электрическое смещение D , поляризованность P в конденсаторе,
поверхностную плотность свободного заряда σ и поверхностную плотность связанного заряда
σ ' на граничных поверхностях диэлектрика в случаях:
а) если между обкладками конденсатора приложено постоянное напряжение U (рис. 2,б);
б) если конденсатор отключен от источника и остаются неизменными заряды его обкладок q и –q
(рис. 2,в).
8
рис. 2,б
рис. 2,в
рис. 2,а
вариант
11
12
13
14
15
α
π
π
π
2
π
2
π
3
ε1
ε
ε
ε
ε2
2ε
0
0
R1
R
R
R
R2
2R
3R
4R
ε
3ε
R
2R
0
ε
R
2R
13
Тема№3 Электроемкость. Электрические цепи с конденсаторами. Энергия
электростатического поля конденсатора.
Задача№1 Расчет электроемкости плоского конденсатора. Эквивалентные
преобразования емкостей.
Вариант1-15. Для плоского конденсатора из Задача №3 (Тема№2) определить:
1) электроемкость С;
2) объемную плотность энергии ω эл , энергию в каждом из диэлектриков и воздушном слое (в тех
вариантах, где он есть) Wi для пункта а) (между обкладками конденсатора приложено постоянное
напряжение U);
3) работу внешних сил Авнеш по извлечению диэлектрика с проницаемостью ε1 (если ε1=0, то по
извлечению диэлектрика с проницаемостью ε2) и энергию конденсатора до Wнач и после Wкон
извлечения диэлектрика в случаях:
а) если между обкладками конденсатора приложено постоянное напряжение U;
б) если конденсатор отключен от источника и остаются неизменными заряды его обкладок q
и –q.
Задача№2 Расчет электроемкости уединенного проводника и конденсатора из
q
определения ( C = ) и разбиением на элементарные слои и используя формулы
U
эквивалентных преобразований ( C =
∫
dC и
1
1
=
).
C
dC
∫
Вариант1-3 Определить электроемкость С уединенного шарового проводника радиуса R1,
окруженного прилегающим к нему диэлектриком с внешним радиусом R2
(рис.1) с
проницаемостью ε = f (r ) , где f (r ) - некоторая функция расстояния r от центра системы.
вариант
1
R1
R
R2
2R
2
R
3R
3
R
4R
рис.1
ε = f (r )
ε1
3
2
3
R
( где ε 1 > 1,
r
ε 1 = const )
R22
( где ε 1 > 1,
r2
ε 1 = const )
r
ε1
( где ε 1 > 1,
R1
ε 1 = const )
ε1
Вариант 4-12 Для конденсатора из Задача №2 (Тема№2) определить электроемкость С.
Вариант13-15 Рассчитать взаимную емкость системы С (для бесконечных проводов на единицу
длины Сед ), изображенной на рисунке в таблице. Проводники расположены в вакууме, размеры и
их взаимное положение считать заданными.
14
вариант
13
заряженное тело –металлический шарик ( a << l )
14
заряженное тело –бесконечный прямой проводник
( a << l )
15
заряженные
параллельные прямые проводники ( a << l )
тела
–
бесконечные
Задача№3 Расчет электрических цепей с конденсаторами.
Вариант1-15 Для электрических цепи, изображенной на рисунке в таблице определить:
1) заряды конденсаторов qi;
2) суммарный заряд ∆q1 , который пройдет через сечение 1-1 в указанном стрелкой направлении
после размыкания ключа К и завершения переходного процесса.
вар
С1
С2
С3
С4
1
С
С
2С
0
2
С
2С
3С
0
3
С
2С
3С
0
4
С
С
С
С
5
С
2С
4С
4С
6
С
2С
2С
2С
ε1
ε
ε
ε
ε2
2ε
3ε
ε
ε
ε
ε
2ε
ε
2ε
электрическая цепь
15
7
С
С
С
0
8
С
2С
3С
0
9
С
3С
4С
0
10
С
С
С
2С
11
С
2С
3С
4С
12
С
С
2С
2С
13
С
С
С
2С
14
2С
2С
С
С
15
С
2С
С
3С
ε
ε
ε
2ε
3ε
2ε
ε
ε
ε
2ε
ε
3ε
ε
ε
ε
2ε
ε
3ε
Тема№3 Работа и энергия электростатического поля.
Задача№1 Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов и работа по
перемещению точеных зарядов.
Вариант1-15. Для системы точечных зарядов, описанной в Задача №1 (Тема№1) определить:
1) потенциальную энергию взаимодействия точечных зарядов Wвз ;
2) работу поля этих зарядов А по перемещению точечного заряда Q из точки О в точку А.
Задача№2
Для системы распределенного заряда, описанной в Задача №3 (Тема№1 )
определить:энергию электростатического поля в объеме W, ограниченном пунктирной линией (для
бесконечного цилиндра, цилиндрического слоя определить энергию на единицу длины Wl; для
бесконечной пластины определить энергию на единицу площади Ws )
16