Момент силы

5. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Момент силы.
Моментом силы относительно точки называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:
r
r
r
i
j
k
r
r
r
r
r r
M = r , F = x y z = i ⋅ y ⋅ Fz − z ⋅ Fy − j ⋅ (x ⋅ Fz − z ⋅ Fx ) + k ⋅ x ⋅ Fy − y ⋅ Fx .
Fx Fy Fz
[ ]
(
)
(
)
Для модуля момента силы имеем
M = F ⋅ r ⋅ sin α = F ⋅ l .
r
Плечом l силы F относительно точки O называется расстояние l от точки O до
r
линии действия силы F :
( )⎞⎟
r r
⎛ r,F
l = r ⋅ sin α = r ⋅ 1 − cos2 α = r ⋅ 1 − ⎜⎜
⎝ r ⋅F
2
⎟ =
⎠
(x
) (x ⋅ FF + +y F⋅ F ++Fz ⋅ F )
2
2
+ y 2 + z2 −
x
y
2
x
z
2
y
2
z
r
r
r
К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j ,
r
r
r
r
r
сила F = 1,5i + 2j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O.
r
r
r
5.2.
К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j ,
r
r
r
r
r
сила F = −1,5i − 2j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O.
r
r
r
5.3.
К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j ,
r
r
r
r
r
сила F = −2i + 1,5j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O.
r
r
r
5.4.
К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j ,
r
r
r
r
r
сила F = 2i − 1,5j . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O.
r
r
r
5.5.
К материальной точке, радиус – вектор которой относительно начала координат O равен r = 3i + 4j ,
r
r
r
r
сила F = 2i . Вычислите момент M и плечо l силы F относительно точки O.
5.1.
.
приложена
приложена
приложена
приложена
приложена
Момент импульса материальной точки.
Моментом импульса материальной точки относительно точки O называется
физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки на вектор импульса материальной точки:
r
r r
L = [r , m v ] .
r
r
r
r
i
j
k
r
r
r
r r
L
= [r , v ] = x
y z = i ⋅ y ⋅ v z − z ⋅ v y − j ⋅ (x ⋅ v z − z ⋅ v x ) + k ⋅ x ⋅ v y − y ⋅ v x
m
vx vy vz
(
)
(
)
Для модуля момента импульса имеем
L = m ⋅ v ⋅ r ⋅ sin α = m ⋅ v ⋅ l .
42
r
Плечом l вектора импульса m v материальной точки относительно точки O назыr
вается расстояние l от точки O до линии, на которой лежит вектор m v .
r r 2
⎛ (r , v ) ⎞
l = r ⋅ sin α = r ⋅ 1 − cos2 α = r ⋅ 1 − ⎜
⎟ =
⎝ r ⋅v ⎠
(x
) (x ⋅ v v + +y v⋅ v ++vz ⋅ v )
2
2
+ y 2 + z2 −
x
y
2
x
2
y
z
2
z
r
r
r
Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr
r
r
r
ной точки равен p = 1,5i + 2j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O.
r
r
r
5.7.
Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr
r
r
r
ной точки равен p = −1,5i − 2j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O.
r
r
r
5.8.
Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr
r
r
r
ной точки равен p = −2i + 1,5j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O.
r
r
r
5.9.
Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr
r
r
r
ной точки равен p = 2i − 1,5j . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O.
r
r
r
5.10.
Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = 3i + 4j . Импульс этой материальr
r
r
ной точки равен p = 2i . Вычислите момент импульса L материальной точки относительно точки O.
5.6.
Уравнение моментов
r
r
dL
=M
dt
или закон изменения момента импульса.
r r
r
Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = vt i + l j . Импульс этой материальr
r
ной точки равен p = mv i . Здесь v - величина постоянной скорости материальной точки. Найдите момент импульr
r
dL
са L материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную
. После этого определите вектор силы,
dt
действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь убедитесь в
справедливости уравнения моментов.
5.11.
r at 2 r r
i + l j . Импульс этой материРадиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r =
2
r
r
альной точки равен p = mat i . Здесь a - величина постоянного ускорения материальной точки. Найдите момент имr
r
dL
пульса L материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную
. После этого определите вектор
dt
силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов.
5.12.
r
r
r
Радиус – вектор материальной точки относительно начала координат O равен r = r ⋅ cos(ωt )i + r ⋅ sin(ωt )j . Импульс
r
r
r
этой материальной точки равен p = − mv ⋅ sin (ωt )i + mv ⋅ cos(ωt )j . Здесь v и ω- постоянные величины. Найдите моr
r
dL
мент импульса L материальной точки относительно точки O. Затем найдите производную
. После этого определите
dt
вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно начала координат O. Теперь
убедитесь в справедливости уравнения моментов.
5.13.
r
Небольшое тело массой m брошено со скоростью v 0 под углом α к горизонту в однородном поле сил тяжести (ускореr
r
ние свободного падения равно g ). Найдите момент импульса L материальной точки относительно стартовой точки O.
5.14.
43
r
dL
. После этого определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец,
Затем найдите производную
dt
найдите момент силы относительно точки O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов.
5.15.
Небольшой брусок массой m скользит по гладкой наклонной плоскости с углом наклона α в одr
нородном поле сил тяжести (ускорение свободного падения равно g ) из состояния покоя. Найдите моr
мент импульса L материальной точки относительно точки O ( см. рис. ). Затем найдите произr
dL
. После этого определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найводную
dt
дите момент силы относительно точки O. Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов.
5.16.
Небольшое тело массой m подвешено на легкой нерастяжимой нити длины l в однородном поле сил тяжести (ускореr
ние свободного падения равно g ) и движется по окружности в горизонтальной плоскости («конический маятник»). Найдите
r
r
dL
момент импульса L материальной точки относительно точки подвеса. Затем найдите производную
. После этого
dt
определите вектор силы, действующей на материальную точку и, наконец, найдите момент силы относительно точки подвеса.
Теперь убедитесь в справедливости уравнения моментов.
5.17.
Горизонтальный гладкий диск вращают с постоянной угловой скоростью Ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр – точку O. Из этой точки в момент t = 0 пустили шайбу массы m со скоr
ростью v 0 . Найдите момент импульса шайбы L (t ) относительно точки O в системе отсчета, связанной с диском.
Убедитесь, что этот момент импульса обусловлен действием силы Кориолиса.
5.18.
Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости,
составляющей угол α с горизонтом. Найдите зависимость от времени модуля момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент времени.
Сохранение момента импульса.
r
Если импульс момента силы M ⋅ dt , вычисленный относительно некоторой точки равен нулю, то момент импульса, вычисленный относительно той же точки, сохраняется:
r
r
если M ⋅ dt = 0 , то L = const .
5.19.
Частица движется в центральном поле сил с центром в точке О (см. рис.). На рисунке
показан участок траектории. Считая известными v1 , α, r1, β и r2 , найдите v 2 .
5.20.
Спутник движется по эллиптической орбите вокруг планеты. Напишите формулу, связывающую скорости
v1 , v 2 и соответствующие расстояния r1, r2 (от спутника до планеты) для моментов максимального и минимального удаления спутника от планеты.
44
Собственный момент импульса.
Собственным моментом импульса материальной точки называется ее момент импульса, вычисленный в системе отсчета центра масс:
r ~
~
r ~
r
L = r , mv ,
[
]
r
~
при этом вектор L от выбора начала отсчета радиус-вектора не зависит.
Момент импульса системы материальных точек определяется как сумма (конечно векторная) моментов импульса материальных точек, причем все моменты импульсов вычисляются относительно одной и той же точки пространства.
Наконец приведем формулу, связывающую момет импульса системы материальных точек в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета центра масс:
r ~
r
r r
L = L + Rc , P .
[
]
Здесь второе слагаемое в правой части равенства – векторное произведение
радиус – вектора центра масс системы материальных точек на импульс системы материальных точек в лабораторной системе отсчета.
r
r
Две частицы массами m1 и m2 движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v 1 и v 2 , причем
r
r
r
v1 = v 2 = v . Известен радиус-вектор l , проведенный от частицы 1 к частице 2. Вектор v 1 перпендикулярен l , а
r
r
вектор v 2 направлен вдоль l . Непосредственным вычислением найдите собственный момент импульса этой системы частиц.
5.21.
r
5.22.
Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v0 испытал упругое лобовое столкновение с
шариком массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2m, длина
легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите
r
~
собственный момент импульса L гантели после соударения.
r
5.23.
Шарик массы 2m, двигавшийся со скоростью v0 испытал упругое лобовое столкновение
с одним из шариков покоившейся жесткой гантели. Масса каждого шарика гантели равна m/2,
длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками,
r
~
найдите собственный момент импульса L гантели после соударения.
r
5.24.
Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v0 приклеился к шарику массы m
покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2m, длина легкого
соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите собственный
r
~
момент импульса L гантели после соударения и приращение ΔE механической энергии системы
тел.
r
5.25.
Шарик массы 2m, двигавшийся со скоростью v0 приклеился к шарику массы m покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 3m, длина легкого соединительного стержня равна l.
r
~
Считая шарики материальными точками, найдите собственный момент импульса L гантели после соударения.
r
5.26.
Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v0 приклеился к шарику массы m
покоившейся жесткой гантели. Масса второго шарика гантели равна 2m, длина легкого соединительного стержня равна l. Считая шарики материальными точками, найдите ΔE приращение кинетической энергии системы тел в результате соударения и количество N оборотов гантели за время
t.
45
Ответы
5.1
r
M . = 0;
5.2
l . = 0.
r
M . = 0;
l . = 0.
5.3
r
r
M . = 12,5 ⋅ k ;
M
= 5 м.
F
r
r
M . = −12,5 ⋅ k ;
l. =
5.4
l . = 5 м.
5.5
r
r
M . = −8 ⋅ k ;
5.6
l . = 4 м.
r
L . = 0.
r
L . = 0.
5.7
5.10
r
r
L . = 12,5 ⋅ k .
r
r
L . = −12,5 ⋅ k .
r
r
L . = −8 ⋅ k .
5.18
L . = mgR ⋅ sin α ⋅ t .
5.8
5.9
r1 sin α
⋅
.
r2 sin β
5.19
v 2. = v 1 ⋅
5.20
v1 ⋅ r1. = v 2 ⋅ r2 .
5.21
r
~
m1 ⋅ m 2 r r
L. =
v1 , l .
m1 + m 2
5.22
2
~
L . = mv 0l ;
3
5.23
~ 2
L . = mv 0l .
5
5.24
~ 1
L . = mv 0l ;
2
[ ]
ΔE. = −
mv 02
.
4
5.25
~
L . = mv 0l .
5.26
ΔE. = −
N. =
r
~
Вектор L . направлен от читателя, за лист.
mv 02
;
4
v0 ⋅ t
.
4π ⋅ l
46