Модель индивидуального риска

Лекция 8
Модель
индивидуального риска
1
Две основные модели в теории риска
Главная задача теории риска –
разработка модели финансовой устойчивости страховой компании
В моделировании финансовой устойчивости сложилось 2 принципиальных подхода
Индивидуальная модель риска:
Если у страховой компании: • портфель однородный, • средние выплаты (суммы требований) в понятны, Моделируем • их количество прогнозируется (на основе прошлого опыта) число требований то такая страховая компания является устойчивой с вероятностью :
в

п
Коллективная модель риска:
Страховая компания устойчива, если у нее: • портфель неоднородный и рассматривается как бы как единый совокупный иск в целом Моделируем • моделируем размер требования в
совокупное • моделируем количество требований требование в
Вероятностное уравнение устойчивости выглядит так же:
в
п

Финал теории – динамические модели разорения; перестрахование
2
Модель I – индивидуального риска
Индивидуальный риск – выплата по одному договору со страховой суммой и вероятностью выплаты .
В индивидуальных моделях выплата по договору может произойти только один раз, при этом размер выплаты может быть фиксированным, либо являться случайной величиной, распределенной по некоторому закону с плотностью вероятности Вероятность разорения определяется превышением суммарных выплат по портфелю суммарных активов страховой компании ⋯
Структурированная модель риска: – выплаты по договору, – размер ущерба, – индикатор события
1,
0
·
0,
0
Математическое ожидание и дисперсия индивидуального возмещения через моменты ущерба можно выразить следующим образом:
·
·
·
1
·
·
1
1 ·
0
3
Задача 1. Этап 1. Находим закон распределения ущерба
Портфель состоит из трех независимых однотипных договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих:
• гибель всего объекта, возможную с вероятностью 0,05 и при которой выплаты составляют 2 000 000 руб.;
• разрушение главного агрегата объекта, вероятность которого оценивают как 0,1 и выплаты равны 1 000 000 руб.;
Найдите:
а) точное распределение единичного ущерба по портфелю, используя метод сверток
Решение:
Запишем закон распределения ущерба в ЕСС:
0
1
2
0,85
0,1
0,05
Этап 2. Определяем необходимый размер премии
Портфель состоит из трех независимых однотипных договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих:
• гибель всего объекта, возможную с вероятностью 0,05 и при которой выплаты составляют 2 000 000 руб.;
• разрушение главного агрегата объекта, вероятность которого оценивают как 0,1 и выплаты равны 1 000 000 руб.;
Найдите:
б) размер рисковой премии, собираемой по такому портфелю и обеспечиваемую собранной суммой вероятность неразорения страховой компании;
Решение:
Запишем закон распределения ущерба в ЕСС:
0
0,614125
1
0,21675
2
0,133875
3
4
0,0265
0,007875
5
6
0,00075
0,000125
Размер суммарной рисковой премии будет равен математическому ожиданию ущерба по портфелю:
0 · 0,61
1 · 0,216
2 · 0,133
6 · 0,000125
Размер премии по 1 договору: 600000: 3
Вероятность неразорения 1
0,61.
3 · 0,0265
0,6ECC
4 · 0,0078
5 · 0,00075
200000.
Вероятность разорения 1
0,61
0,39
40%
Этап 3. Определяем рисковую надбавку
Требуется найти:
в) суммарную рисковую надбавку, необходимую чтобы достичь вероятности неразорения 0,95.
Решение:
Запишем закон распределения ущерба в ЕСС:
0
1
2
3
4
5
6
0,614125
0,21675
0,133875
0,0265
0,007875
0,00075
0,000125
0,614125
0,830875 0,96475
0,99125
0,999125 0,999875
По условию, суммарная рисковая надбавка должна покрывать все ущербы, превышающие среднее значение 600 000 с вероятностью 0,95. Рисковая надбавка – некоторая процентная добавка к среднему: 1
Рисковая надбавка должна быть пропорциональна коэффициенту вариации (степени риска) и выбранной надежности :
⟹
784448
1,645
600000
Или, по абсолютной величине: 1,4
100%
0,6
, %
2,333 · 0,6
, ЕСС
Задача 2.
Этап 1. Распределение ущерба методом сверток
Портфель состоит из трех независимых договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих гибель всего объекта и разрушение главного агрегата объекта. Вероятности этих событий и выплаты при этом составляют:
1 000 000
2 000 000
0,2
0,1
500 000
2 000 000
0,1
0,1
500 000
1 500 000
0,1
0,2
Необходимо найти:
а) точное распределение суммарного ущерба по портфелю Х + У + Z, используя метод сверток;
Решение:
Этап 2. Определяем размер премии
Портфель состоит из трех независимых договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих гибель всего объекта и разрушение главного агрегата объекта. Вероятности этих событий и выплаты при этом составляют:
1 000 000
0,2
2 000 000
0,1
500 000
0,1
2 000 000
0,1
500 000
0,1
1 500 000
0,2
Необходимо найти:
б) размер суммарной рисковой премии, собираемой по такому портфелю, и обеспечиваемую собранной суммой вероятность неразорения страховой компании;
Решение:
Если страховая компания будет собирать только рисковую премию, она не разорится с вероятностью:
2
0,616
1
Этап 3. Определяем рисковую надбавку, обеспечивающую заданную вероятность неразорения
Портфель состоит из трех независимых договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих гибель всего объекта и разрушение главного агрегата объекта. Вероятности этих событий и выплаты при этом составляют:
1 000 000
0,2
2 000 000
0,1
500 000
0,1
2 000 000
0,1
500 000
0,1
1 500 000
0,2
Необходимо найти:
в) размер рисковой надбавки, обеспечивающей вероятность неразорения, равную 0,98;
Решение:
Этап 4. Необходимый размер собственного капитала
Портфель состоит из трех независимых договоров страхования неких крупных объектов, учитывающих гибель всего объекта и разрушение главного агрегата объекта. Вероятности этих событий и выплаты при этом составляют:
1 000 000
0,2
2 000 000
0,1
500 000
0,1
2 000 000
0,1
500 000
1 500 000
0,1
0,2
Необходимо найти:
г) сколько денежных средств необходимо иметь страховой компании в собственных активах, если при заданной в пункте в) надежности относительная рисковая надбавка не должна превышать15%.
Решение:
Чтобы определить, сколько денежных средств необходимо иметь страховой компании в собственных активах, если при заданной в пункте в) надежности относительная рисковая надбавка не должна превышать 15%, определим, чему тогда должна быть равна суммарная рисковая надбавка:
Развитие темы:
3 ноября – Модель коллективного риска
(моделируем совокупное требование)
10 ноября – Динамические модели разорения
11