Уравнения Максвелла для магнитного поля в веществе

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
ЛЕКЦИЯ 5
Уравнения Максвелла для магнитного поля в веществе. Магнитная проницаемость. Сущность ферромагнетизма. Молекулярное поле Вейса. Обменное взаимодействие. Спонтанная намагниченность. Опыт Дорфмана. Магнитная восприимчивость
ферромагнетика выше температуры Кюри. Закон Кюри-Вейса.
Антиферромагнетики.
Уравнения Максвелла для магнитного поля в веществе
В прошлый раз мы ввели понятие намагниченности вещества M как
магнитного дипольного момента единицы объема. Покажем теперь как
это понятие возникает естественным образом, если мы попытаемся из
уравнений Максвелла для микроскопических величин (магнитного поля и плотности тока) получить уравнения, усредненные по физически
бесконечно малому объему вещества, т. е. для макроскопических величин. Среднее магнитное поле в веществе мы в прошлый раз обозначили
как B и теперь мы будем его считать постоянным, т. е. не зависящим от
времени.
Уравнения Максвелла для микроскопических величин: магнитного поля h и плотности тока j = ρv выглядят так
1 ∂e 4π
+ ρv,
(1)
c ∂t
c
где e — микроскопическое электрическое поле. Поскольку среднюю напряженность магнитного поля в веществе мы договорились называть
магнитной индукцией B
B = h,
(2)
div h = 0,
rot h =
то результат усреднения первого из уравнений (1) даст нам одно уравнение для B
div B = 0.
(3)
Как и в случае вакуума это уравнение является следствием отсутствия
магнитных зарядов. Во втором же уравнении производная по времени
исчезает при усреднении, поскольку среднее поле предполагается постоянным и мы имеем
4π
rot B =
ρv.
(4)
c
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
Среднее значение микроскопической плотности тока отлично от нуля
как в проводниках, так и в диэлектриках. Разница заключается в том,
что в диэлектриках всегда отсутствует полный ток через любое поперечное сечение тела, т. е.
Z
ρv · ds = 0,
(5)
S
где интеграл берется по полной площади S любого поперечного сечения
тела — рис. 1. В проводниках этот интеграл может быть отличен от нуля,
если по проводнику течет ток.
S
Рис. 1: Поперечное сечение тела.
Для начала, однако, предположим, что такой полный ток (даже если
тело является проводником) отсутствует в теле и равенство (5) выполняется для любого поперечного сечения тела. Равенство нулю этого интеграла по любому поперечному сечению означает, что вектор ρv можно
записать в виде ротора некоторого другого вектора, который отличен от
нуля только внутри тела. Этот другой вектор принято обозначать как
cM
ρv = c rot M ,
(6)
(учитывая, что ρv = j, это совпадает с формулой (55), полученной в
Лекции 1). Тогда мы можем убедиться, что интеграл
Z
ρv · ds
(7)
S
по поверхности, ограниченной контуром охватывающим тело и везде
проходящим вне его, действительно равен нулю. Используя теорему Сток2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
са, получаем
Физика Магнитостатика
Z
Z
ρv · ds = c
S
Лекция 5
I
rot M · ds = c
S
M · dl = 0,
(8)
L
поскольку, по нашей договоренности вектор M отличен от нуля только
внутри тела и равен нулю вне тела.
ds
S
L
Рис. 2: Поверхность S, ограниченная контуром L, охватывающим тело.
Вектор M называют намагниченностью тела. При вводе его в уравнение Максвелла получим
rot B =
4π
ρv = 4π rot M,
c
(9)
или
rot B − 4π rot M = 0,
или rot (B − 4πM) = 0.
(10)
Вводя вектор
H = B − 4πM ,
(11)
rot H = 0.
(12)
получим
Вектор H обычно называют напряженностью магнитного поля по аналогии с электростатикой. В результате мы получаем (сравни с электростатикой)
D = E + 4πP,
(13)
B = H + 4πM,
(14)
где вектора D и B — индукция электрического и магнитного поля; E и H
— напряженность электрического и магнитного поля; P — поляризация
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
(электрический дипольный момент единицы объема); M — намагниченность (магнитный дипольный момент единицы объема). Однако, необходимо помнить, что истинным магнитным полем в веществе является B,
а не H.
Выясним теперь физический смысл введенного с помощью (6) вектора
M. Для этого подсчитаем полный магнитный момент, создаваемый всеми
движущимися внутри тела заряженными частицами. По определению
магнитного момента это есть интеграл
Z
Z
1
1
[r × ρv] dV =
[r × rot M] dV.
(15)
2c
2
V
V
Поскольку, вне тела ρv ≡ 0, то интеграл (15) мы можем брать по любому объему, выходящему за пределы тела. Преобразуем этот интеграл
следующим образом
Z
Z
[r × rot M] dV = [r × [∇ × M]] dV =
(16)
V
=
Z
=
dV [∇M (r · M) − (∇M · r)M] =
(17)
V
Z
=
V
Z
{[∇(r · M) − ∇r (r · M)] − [(∇ · r)M − (∇r · r)M]} =
V
(18)
Z
dV [∇(r · M) − (∇ · r)M] +
V
V
I
=
dV [M(∇r · r) − ∇r (r · M)] = (19)
Z
[r × [ds × M]] +
S
dV (3M − M).
(20)
V
При этом мы воспользовались теоремой Гаусса-Остроградского, согласно
которой можно заменить
dV ∇ → ds,
(21)
и воспользоваться формулой для двойного векторного произведения. Интеграл по замкнутой поверхности S, проходящей вне тела, обращается в
ноль и мы получаем
Z
Z
1
[r × ρv] dV = dV M.
(22)
2c
V
V
Таким образом, вектор намагниченности M, введенный нами в (6), действительно представляет собой магнитный момент единицы объема тела.
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
Магнитная проницаемость
Как мы уже выяснили в диамагнетиках и парамагнетиках магнитный
момент пропорционален индукции B (т. е. среднему магнитному полю в
веществе)
M = χB,
χ — магнитная восприимчивость.
(23)
Подставляя это равенство в уравнение, связывающее поля B и H, получим
B = H + 4πM = H + 4πχB,
(24)
или
H = (1 − 4πχ)B.
(25)
Но в диамагнетиках и парамагентиках χ ¿ 1, т. е. очень мало, поэтому
H ≈ B. Следовательно, в этих веществах магнитное поле H и магнитная
индукция B практически совпадают. Поэтому,
M = χB ≈ χH.
(26)
Ирония судьбы заключается в том, что обычно это второе равенство и
принимают за определение магнитной восприимчивости χ
M = χH.
(27)
Разница между двумя определениями ничтожна в парамагнетиках и диамагнетиках, где χ ¿ 1. Однако она очень существенна в ферромагнетиках!!!
Соотношение M = χH, где χ — магнитная восприимчивость, напоминает соотношение P = χE, где χ — диэлектрическая восприимчивость.
Если теперь воспользоваться этим определением, то
B = H + 4πM = H + 4πχH = (1 + 4πχ)H = µH,
(28)
µ = 1 + 4πχ.
(29)
где
Величину µ называют — магнитной проницаемостью (по аналогии с
диэлектрической проницаемостью ε). Не путайте магнитную проницаемость µ с магнитным моментом µ! Пользуясь этими обозначениями, мы
можем записать
D = εE,
B = µH,
5
(30)
(31)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
где D и B — электрическая и магнитная индукция; E и H — электрическое и магнитное поле.
Если же в проводнике течет отличный от нуля полный ток, то средняя
плотность тока в нем может быть представлена в виде суммы
ρv = c rot M + j.
(32)
Первый член, связанный с намагниченностью среды, не дает вклада в
полный ток, так что полный перенос заряда через поперечное сечение
тела определяется интегралом
Z
ds · j.
(33)
S
Величину j — называют плотностью тока проводимости.
Таким образом, полная система уравнений, описывающих постоянное
магнитное поле в веществе, сводится к трем уравнениям
div B = 0,
4π
rot H =
j,
c
B = µH.
(34)
(35)
(36)
Сущность ферромагнетизма
Выше мы предполагали, что в результате теплового движения магнитные моменты отдельных атомов равновероятно распределены по направлениям так, что в отсутствие внешнего магнитного поля средний магнитный момент единицы объема равен нулю. С математической точки
зрения, разлагая функцию M(H) в ряд Тейлора при малых H
M(H) = M(0) + χH,
(37)
мы полагали, что M(0) = 0. Однако существует целый класс веществ,
в которых намагниченность в отсутствие магнитного поля тем не менее
отлична от нуля
M(0) 6= 0.
(38)
В этом случае говорят о спонтанной (самопроизвольной) намагниченности Ms = M(0), а вещества, обладающие спонтанной намагниченностью
называются ферромагнетиками.
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
Самопроизвольная намагниченность существует только ниже определенной температуры, называемой точкой Кюри Tc . Выше этой температуры вещество становится парамагнетиком (в ограниченном смысле
этого слова). Этот факт легко продемонстрировать. Кусок никелевого
провода (Tc = 631K) при комнатной температуре притягивается магнитом. Но, если мы его нагреем выше температуры Кюри, то он станет
практически немагнитным и не будет притягиваться к магниту даже,
если его поднести очень близко. Если же его оставить остывать возле
магнита, то в тот момент, когда его температура упадет ниже критической, он внезапно снова притянется к магниту!
Металлы Fe
Co Ni Gd
Tb
Dy
Ho
Er
Tc (K)
1043 1403 631 289 223
87
20 19.6
M(0) (Гс) 1735 1445 509 1980 2713 1992 3055 1872
Таблица 1: Ферромагнитные металлы. Температура Кюри Tc и спонтанная намагниченность M (0)
при T = 0.
В общей теории магнетизма предполагается, что за намагниченность
ответственен спин электрона. Он равен 1/2 и сопровождается магнитным
моментом, равным одному магнетону Бора
|e|~
≈ 0.9 · 10−20 эрг/Гс.
(39)
2mc
Спин электрона может быть направлен либо вверх, либо вниз. Поскольку заряд электрона отрицателен, то магнитный момент и спин электрона направлены противоположно друг другу. Когда спин смотрит вверх,
магнитный момент смотрит вниз и наоборот. Если бы спины электронов соседних атомов были нескоррелированы друг с другом — рис. 3,
то никакого спонтанного магнитного момента в веществе не существоµB =
Рис. 3: Нет корреляции в ориентации спинов.
вало бы. Причина ферромагнетизма как раз и заключается в том, что
имеется корреляция в ориентации спинов соседних атомов, а именно, в
ферромагнитных материалах спины выстраиваются параллельно друг
другу — рис. 4. Что же это за причина, которая заставляет спины со7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
седних атомов, а следовательно и их магнитные моменты выстраиваться
параллельно друг другу?
Рис. 4: Есть корреляция в ориентации спинов.
Первое предположение, которое приходит на ум, это магнитное дипольдипольное взаимодействие магнитных диполей соседних атомов. Действительно, рассмотрим два магнитных диполя с магнитными моментами µ1 и µ2 расположенных друг от друга на расстоянии R12 — рис. 5.
Тогда, как известно, второй диполь µ2 создает магнитное поле B21 в
1
R 12
2
Рис. 5: Два взаимодействующих диполя.
месте расположения первого диполя
B21
2
3R12 (µ2 · R12 ) − µ2 R12
.
=
5
R12
(40)
Энергия первого диполя в этом магнитном поле
U12 = −µ1 · B21
2
(µ1 · µ2 ) R12
− 3 (R12 · µ1 ) (R12 · µ2 )
=
.
5
R12
(41)
Это и есть энергия взаимодействия двух магнитных диполей. Диполи должны повернуться так, чтобы эта энергия была минимальна. Не
задумываясь пока над тем какая ориентация диполей является предпочтительной, оценим величину этой энергии. Пусть величина каждого
диполя равна одному магентону Бора µB и расположены они на расстоянии порядка межатомного расстояния R12 ' a ' 1 Å. Тогда энергия
взаимодействия по порядку величины равна
U12
(0.9 · 10−20 )2
µ2B
≈ 10−16 эрг,
' 3 ≈
−8
3
a
(10 )
8
(42)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
или в градусах Кельвина
10−16
' 1 K.
(43)
1.4 · 10−16
Магнитное поле, создаваемое одним диполем в месте расположения другого,
µB
10−20
B21 ' 3 ∼
' 104 Гс = 1 T.
(44)
−8
3
a
(10 )
Таким образом, мы видим, что магнитная энергия порядка 1К слишком мала, чтобы выстроить дипольные моменты. Температура Кюри
многих ферромагнетиков Tc ' 1000K т. е. в тысячу (!) раз больше. Можно было бы допустить, что в ферромагнетиках имеется внутреннее магнитное поле неизвестной природы, выстраивающее все магнитные моменты параллельно самому себе и друг другу. Но тогда это магнитное
поле должно иметь величину ≈ 107 Гс ≈ 103 T.
U12 /k '
Молекулярное поле Вейса. Обменное взаимодействие
Интересно отметить, что именно по этому (неправильному) пути и пошла вначале физика ферромагнетизма, а соответствующее внутреннее
магнитное поле было названо молекулярным полем Bмол . Оно было впервые введено русским физиком Розингом еще в 1892 году и независимо
в 1907 году французским физиком Пьером Вейсом. Поэтому, его часто
называют полем Вейса. И хотя, впоследствии, в опытах Я. Г. Дорфмана
(1927) было доказано, что никакого внутреннего магнитного поля порядка 107 Гс в веществе нет (было обнаружено лишь магнитное поле порядка
104 Гс, что соответствует нашей оценке), теория молекулярного поля позволила объяснить многие экспериментальные факты существовавшие к
тому времени.
Физическая природа молекулярного поля Вейса была установлена в
1927 году Я. И. Френкелем и почти одновременно с ним В. Гейзенбергом
на основе квантовой механики. Оказывается, что электрические силы,
действующие между атомами, зависят от ориентации спинов их электронов. Рассмотрим, например, молекулу водорода H2 — рис. 6. Она состоит
из двух протонов и двух вращающихся вокруг них электронов. Имеются две возможности: либо спины обоих электронов ориентированы параллельно друг другу, либо антипараллельно. Сооответственно, энергия
молекулы как функция расстояния между ядрами будет, вообще говоря,
зависеть от того как ориентированы спины электронов.
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
-
+
+
+
+
-
-
спины антипараллельны
спины параллельны
Рис. 6: Молекула водорода.
Последовательный квантово-механический расчет показывает, что при
антипараллельной ориентации спинов — синглетное состояние, энергия
U↑↓ (r) имеет глубокий минимум, соответствующий образованию устойчивой молекулы H2 . В состоянии же с параллельной ориентацией спинов
двух электронов — триплетное состояние, энергия U↑↑ (r) монотонно
падает с увеличением расстояния между ядрами, что соответствует взаимному отталкиванию обоих атомов — рис. 7.
U(r)
U (r)
r
U (r)
Рис. 7: Взаимодействие двух атомов в молекуле водорода.
Оказывается, что этим удивительным свойством обладают молекулы
практически всех устойчивых соединений элементов главных групп периодической системы. Таким образом, изменение направления спинов с
параллельного на антипараллельный приводит к возниконовению мощных электрических сил, которые называются обменными и которые
вызывают притяжение обоих атомов. Эти силы тесно связаны с силами
химической валентности.
Причина возникновения этих сил заключается в том, что в квантовой
механике есть так называемый принцип запрета Паули (W. Pauli,
1925). Он гласит, что два электрона не могут находиться в одном и том
же квантовом состоянии. В частности, они не могут двигаться по одним и тем же ”орбитам” (если вульгарно здесь использовать термины
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
классической механики, которые вообще говоря в квантовой механике
не работают), имея одинаковое расположение спинов. Если два электрона находятся в одном и том же месте, то единственной возможностью
им различаться будет только противоположное направление их спинов.
Таким образом, если между атомами скапливаются электроны (как это
происходит при химической связи), то из-за принципа Паули у них имеется сильная тенденция направить свои спины противоположно друг другу. Принцип Паули связан с тем фундаментальным обстоятельством, что
спин у электронов полуцелый — т. е. они являются фермионами.
Но постойте, скажете вы. Ведь это объясняет отсутствие магнетизма
(сильного) практически у всех веществ! Как же тогда объяснить, что
в веществах, подобных железу магнитные моменты электронов соседних атомов стремятся выстроиться параллельно друг другу. Фактически, строгого ответа на этот вопрос не существует и по сей день. Очень
сложно решать квантомеханическую задачу с несколькими электронами.
Есть лишь некоторые гипотезы как все может быть происходит — рис. 8.
электроны проводимости
-
-
Fe
-
Fe
-
-
электрон внутренней оболочки
Рис. 8: Обменное взаимодействие между атомами железа.
Спин электрона внутренней оболочки (которая как раз и обладает магнитным моментом) ориентирует противоположно себе спины электронов
проводимости, которые снуют туда-сюда. Те, в свою очередь, ориентируют антипараллельно себе спин другого электрона на внутренней оболочке соседнего атома. Но никто не в состоянии сосчитать величину эффекта (величину энергии взаимодействия)! Само же взаимодействие между
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
спинами обоих атомов обычно записывают в виде
Uij = −I(Si · Sj ),
где I > 0,
(45)
а Si , Sj — спины атомов i и j (напомним, что спин S связан с моментом количества движения J соотношением J = ~S и может быть либо
целым, либо полуцелым). Величина константы взаимодействия I имеет
размерность энергии и чем она больше, тем больше температура Кюри
данного ферромагнетика.
Это обменное взаимодействие спинов можно переписать через магнитные моменты, а не спины. Вспоминая, что µ = γJ, считая γ одинаковыми
для обоих атомов, получаем
Uij = −
I
(µ · µ ).
~2 γ 2 i j
(46)
Заменяя магнитный момент атома µj на его среднее значение µ и суммируя по всем ближайшим соседям атома i (их число равно Z), имеем
Ui = −
IZµ
· µi .
~2 γ 2
(47)
IZµ
,
~2 γ 2
(48)
Или, вводя обозначение
Bмол =
получаем
Ui = −µi · Bмол ,
(49)
т. е. формулу, которая использовалась Вейсом еще задолго до создания
квантовой механики, который предполагал, что молекулярное магнитное
поле пропорционально средней намагниченности
Bмол = λM
(50)
(помните, однако, что молекулярное магнитное поле не является истинным магнитным полем в веществе).
Вводя магнитный момент единицы объема M = µ/a3 , где a3 — объем
атома, мы получаем
IZa3
IZ
λ= 2 2 = 2 2 ,
(51)
~γ
~γ N
где N = 1/a3 — число атомов в единице объема. Константа λ называлась в теории Вейса постоянной молекулярного поля. Она безразмерная
величина и оказывается порядка нескольких тысяч (!) для типичных
ферромагнетиков типа железа.
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
Спонтанная намагниченность
Посмотрим теперь, как теория молекулярного поля Вейса, квантовое
обоснование которой мы предоставили, объясняет существование спонтанной намагниченности в ферромагнетиках. Посколько ферромагнетизм
явление сугубо квантовое, то мы проведем наше рассмотрение для атомов со спином 1/2 обладающих магнитным моментом
|e|~ 1 g
= µB .
(52)
2mc 2 2
В магнитном поле энергия такого атома может принимать только два
значения
U = ± µa B.
(53)
µa = g
Статистическая механика говорит нам, что вероятность нахождения атома в каком-то состоянии пропорциональна
e−U/kT .
(54)
Поэтому число атомов в единице объема со спином например вверх (пусть
магнитное поле смотрит вниз)
N↑ = Ae−µa B/kT ,
(55)
а со спином, направленным вниз (по магнитному полю)
N↓ = Aeµa B/kT .
(56)
Постоянная A должна определяться из условия нормировки
N↑ + N↓ = N,
(57)
где N — полное число атомов в единице объема. Получаем в итоге
N
A = µ B/kT
.
(58)
e a
+ e−µa B/kT
Нас интересует средний магнитный момент µср в направлении оси Z
(вниз, по магнитному полю). Каждый атом со спином, направленным
вверх (против поля), дает в этот момент вклад (−µa ), а со спином, направленным вниз, т. е. по магнитному полю (+µa ). В результате
−µa N↑ + µa N↓
µcp =
,
(59)
N
тогда M — магнитный момент единицы объема, будет равен
µ
¶
eµa B/kT − e−µa B/kT
µa B
M = N µcp = N µa µ B/kT
= N µa th
.
(60)
kT
e a
+ e−µa B/kT
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
В результате, мы приходим к соотношению
µ
¶
µa B
M = N µa th
.
kT
Лекция 5
(61)
График зависимости M от B показан ниже на рис. 9. При сильных
M
Nm a
B
Рис. 9: График зависимости M от B.
полях, так же как это было в классической ситуации, происходит насыщение. Все магнитные моменты выстраиваются в одном и том же направлении — направлении магнитного поля и M = N µa .
Подставим теперь в выражение (61) для намагниченности вместо B —
молекулярное магнитное поле Bмол
B = Bмол = λM,
где λ =
IZ
.
~2 γ 2 N
(62)
Вспоминая, что γ = ge/2mc, получаем, что
λ=
IZ
IZ
IZ
=
=
,
N (~γ)2
N (gµB )2
4N µ2a
поскольку µa = gµB /2. Отсюда получаем
µ
¶
µ
¶
µa λM
µa IZ
M = N µa th
= N µa th
M ,
kT
kT 4N µ2a
(63)
(64)
или вводя обозначение Mнас = N µa
µ
¶
Tc M
M
= th
,
Mнас
T Mнас
(65)
где Tc = IZ/4k. Это уравнение определяет в неявном виде спонтанную
намагниченность M (T ) — рис. 10.
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
th ( TTc
Физика Магнитостатика
M
M нас
)
Лекция 5
M
M нас
T=T c
T>T c
1
T<T c
M
M нас
Рис. 10: Графический способ нахождения решения уравнения (65).
Из рис. 10 видно, что отличное от нуля решение уравнения (65) не
существует при T > Tc . При высоких температурах лишь M = 0 удовлетворяет этому уравнению. Однако, при T < Tc у уравнения (65) существует решение M 6= 0. В результате графического решения уравнения
(65), получаем — рис. 11.
M
M нас
теория
1
эксперимент
1
T
Tc
Рис. 11: Зависимость намагниченности от температуры (решение уравнения (65)).
Такая зависимость спонтанной намагниченности от температуры качественно хорошо соответствует экспериментальной. Таким образом, при
T < Tc в материале возникает спонтанная намагниченность. А при T > Tc
такой намагниченности нет. Переход из немагнитной фазы в магнитную
при понижении температуры является фазовым переходом второго рода.
15
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
Опыт Дорфмана
Доказательство тому, что молекулярное поле Bмол не является истинным магнитным полем было дано в эксперименте Я.Г. Дорфмана в 1927
году. Между полюсами сильного электромагнита, параллельно магнитному полю, помещалась никелевая фольга толщиной ∼ 20 мкм. Через
фольгу, перпендикулярно к ее поверхности пропускался пучок быстрых
электронов (β лучей) от радиоактивного источника. После прохождения
через фольгу след пучка регистрировался на фотопленке.
Сначала опыт производился с выключенным электромагнитом. При
включении магнитного поля электромагнита след пучка смещался в сторону. Если бы молекулярное поле Вейса было магнитной природы, то
смещение вызывалось бы эффективным полем Bэфф = Bмагн + Bмол . В
этом случае ожидаемое смещение было бы ∼ 10 мм. В действительности,
смещение получилось 0.3 мм и соответствовало действию магнитного поля ∼ 104 Гс, т. е. в точности величине магнитной индукции в образце,
создаваемой электромагнитом — рис. 12.
смещение
фотопластинка
H=0
H=0
N
S
Ni
Рис. 12: Опыт Дорфмана.
В последующем подобные эксперименты повторялись неоднократно,
но результат оставался прежним. Молекулярное поле не является магнитным, а имеет какую-то другую природу (на самом деле — электростатическую). Как мы уже говорили, физическая природа молекулярного
поля была установлена в 1927 году Френкелем и почти одновременно с
16
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
ним Гейзенбергом на основе квантовой механики.
Магнитная восприимчивость ферромагнетика выше температуры Кюри. Закон Кюри-Вейса
Посмотрим теперь как себя ведет магнитная восприимчивость ферромагнетика при высоких температурах. Если бы не было обменного взаимодействия, то при µa B ¿ kT
¶
µ
µa B
µa B
= N µa
.
(66)
M = Mнас th
kT
kT
Отсюда
N µ2a
C
N µ2a
χ=
= , C=
.
kT
T
k
Но при наличии магнитного поля
µ
¶
µ
¶
µa B + µa Bмол
µ a B Tc M
M = Mнас th
= N µa
+
,
kT
kT
T Mнас
т. е.
µ a B Tc M
M
=
.
+
Mнас
kT
T Mнас
Решая это уравнение относительно M/Mнас , получим
M
=
Mнас
µa B
kT = (µa B)/k ,
Tc
T − Tc
1−
T
(67)
(68)
(69)
(70)
или
(µa B)/k
.
T − Tc
Отсюда магнитная восприимчивость при T > Tc
M = N µa
χ=
C
,
T − Tc
(71)
(72)
— закон Кюри-Вейса. По этой зависимости можно определить критическую температуру Tc , проводя измерение магнитной восприимчивости
при высоких температурах.
17
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Магнитостатика
Лекция 5
Антиферромагнетики
Из выражения для обменной энергии
Uij = −I(Si · Sj )
(73)
видно, что минимум энергии имеется при параллельной ориентации спинов лишь при I > 0. Однако, имеются тела, у которых I < 0. Тогда,
очевидно, что минимум энергии достигается при антипараллельной ориентации спинов атомов. Такие вещества получили название антиферромагнетиков.
Для антиферромагнетиков магнитная восприимчивость (при высоких
температурах)
C
χ=
,
(74)
T + TN
где TN — температура антиферромагнитного перехода (температура Нееля). Антиферромагнетики не описываются в рамках нашей макроскопической теории, потому что в них M = 0 и надо вводить другой вектор, характеризующий антиферромагнитное состояние. Среди элементов
антиферромагнетиками являются твёрдый кислород (α-модификация с
TN = 24 K), хром (TN = 310 K), а также ряд редкоземельных металлов. Число известных химических соединений, которые становятся антиферромагнетиками при определённых температурах, приближается к
тысяче. Например у окиси никеля (NiO) TN = 650 K.
Другие типы магнитного упорядочения
Существует множество других типов магнитного упорядочения. Они например изложены в обзоре К. М. Хёрд — Многообразие видов магнитного
упорядочения в твёрдых телах 1
Задачи
1. Бесконечный цилиндр намагничен вдоль своей оси равномерно с намагниченностью M. Найти магнитное поле H и индукцию магнитного поля B внутри цилиндра.
Ответ: H = 0, B = 4πM.
1
http://ufn.ru/ufn84/ufn84_2/Russian/r842e.pdf.
18