Лекция VI. Шумы

С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
1
Характеристики случайного процесса
Эргодическая гипотеза: усреднение по времени
эквивалентно усреднению по ансамблю.
Стационарный процесс: x̄, σ не зависят от времени.
x̄ = lim
T→∞
1
T
Z T/2
−T/2
∆x(t) = x(t) − x̄,
x(t)dt ≡ hxi,
σ = ∆x2 = (x(t) − x̄)2 ,
Пусть u(t) = 0, B(τ) = u(t)u(t − τ),
Z
1 T/2
B(τ) = lim
u(t)u(t − τ) dt, B(τ) = B(−τ),
T → ∞ T −T/2
Z T/2
1
u(t)2 dt.
B(0) = σ = lim
T → ∞ T −T/2
(1)
(2)
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
2
Спектральная плотность
Традиционное определение спектральной плотности S̃(ω):
Z∞
dω
σ =
S̃(ω)
2π
−∞
1
a
∆ω
Uш
b
∆u2 ≡ lim
T→∞
1
T
Z T/2
−T/2
(3)
Физический смысл спектральной плотности: среднеквадратичное напряжение
шума, генерируемое в единичной спектральной полосе:
uab (t)2 dt ≃ S̃u (ω) × 2 ×
∆ω
2π
(4)
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
3
Дисперсия на выходе узкополосного фильтра ∆ω (4):
∆u2∆ω
=
Z
Z
∆ω ∆ω
i(ω−ω ′ )t
u(ω) u(ω ′ )∗ e
{z
}
|
dω dω ′
=
2
(2π)
(5)
2πδ(ω−ω ′ ) S̃(ω)
= S̃u (ω) × 2 ×
∆ω
,
2π
1
ω
(6)
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
4
Другое определение спектральной плотности
Фурье преобразование случайной реализации шума на отрезке
времени T :
Z
1 T/2
v(t) eiωt dt
(7)
VT (ω) = √
T −T/2
В пределе T ≫ τc — сумма большого числа ≃ T/τc интегралов.
Это подобно задаче о случайных блужданиях, в которой, как
√
известно, среднеквадратичный уход пропорционален T .
√
√
VT (ω) имеет размерность Вольт сек или V/ Hz.
Спектральная плотность (“двустороннее” определение):
SVV (ω) = lim h|VT (ω)|2 i = lim hVT (ω)VT (−ω)i
T→∞
T→∞
(8)
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
5
Теорема Винера-Хинчина
Формальное преобразование Фурье случайного процесса:
Z∞
u(ω) =
u(t) eiωt dt, u(ω) = 0,
−∞
Z∞ Z∞
i(ωt−ω ′ t ′ )
′
∗
′
u(ω) u(ω ) =
u(t)u(t ) e
dt dt ′ =
−∞
−∞
t + t′
τ=t−t , τ =
, dt dt ′ = dτ dτ ′ , u(t)u(t ′ ) = B(t − t ′ ) = B(τ),
2
τ
τ
τ
′
′
′
′ ′
+ τ − ω − + τ = (ω + ω ′ ) + (ω − ω ′ )τ ′ ,
ωt − ω t = ω
2
2
2
Z∞
u(ω) u(ω ′ )∗ = 2π δ(ω − ω ′ )
B(τ) eiωτ dτ
′
′
−∞
u(ω) u(ω ′ )∗ = 2π δ(ω − ω ′ ) × S̃u (ω).
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
6
Теорема Винера-Хинчина:
Z∞
S̃u (ω) =
B(τ) eiωτ dτ
−∞
Z∞
dω
B(τ) =
S̃u (ω) e−iωτ
2π
−∞
Здесь S̃(ω) — “двусторонняя” спектральная плотность.
Очевидно, что это совпадает с традиционным определением (3).
σ = B(0) =
Z∞
−∞
S̃u (ω)
dω
2π
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
7
“Одностороннее” определение спектральной плотности
Мы будем пользоваться “односторонним” определением
спектральной плотности:
Sω
S̃ω
S(ω) = 2S̃u (ω)
ω
Теорема Винера - Хинчина для “односторонней” спектральной
плотности:
Z∞
Su (ω) = 4
B(τ) cos ωτ dτ
−∞
Z∞
dω
B(τ) =
Su (ω) cos ωτ
2π
−∞
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
8
Докажем теорему Винера - Хинчина для “односторонней”
спектральной плотности. Имеем:
Z∞
S̃u (ω) =
B(τ) eiωτ dτ,
Su (ω) = 2S̃u (ω)
−∞
Z∞
−iωτ dω
B(τ) =
S̃u (ω) e
,
B(τ) = B(−τ)
2π
−∞
Su (ω) ≡ 2S̃u (ω) = 2
= 4
Z∞
Z∞
iωτ
B(τ) e
−iωτ
+e
0
dτ =
B(τ) cos(ωτ) dτ ,
0
B(τ) =
Z∞
0
Su (ω) iωτ
−iωτ dω
e
+e
=
2
2π
Z∞
0
dω
Su (ω) cos(ωτ)
2π
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
9
Преобразование шума в линейных цепях
uвх
K
uвых
uвх (ω) uвх (ω ′ )∗
=
uвых (ω) uвых (ω ′ )∗
=
uвых (ω) = K(ω) uвх (ω)
2π δ(ω − ω ′ ) × S̃вх (ω),
2π δ(ω − ω ′ ) × S̃вых (ω),
uвых (ω = K(ω) uвх , ⇒ S̃вых (ω) = |K(ω)|2 S̃вх (ω),
Результат:
Sвых (ω) = |K(ω)|2 Sвх (ω)
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
10
Пример: преобразование шума в линейных цепях
a
C
Uш
R
L
Uab = Uш × K(ω),
Sab
b
Пусть S(ω) — спектральная мощность шумового напряжения Uш . Какова спектральная мощность Sab (ω)
напряжения Uab ?
K(ω) =
2
= S(ω) × K(ω) =
iωL
,
R + iωL + 1/iωC
S(ω) ω2 L2
R2
2
+ ωL − 1/ωC
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
Основные виды шумов
1). Тепловой шум (белый шум).
2). Дробовой шум (белый шум).
3). Фликкер шум (избыточный шум или “1/f” - шум).
Белый шум
(не зависит от ω).
Z
Z∞
S0 ∞ iωτ dω
S0
dω
=
=
δ(τ)
e
B(τ) = B(τ) =
Su (ω) cos(ωτ)
2π
2
2π
2
−∞
0
Su (ω) = S0
Это модель шума без памяти. Это только модель.
11
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
12
“Абсолютно пьяный человек”
Шаг длины ±∆x, через время ∆τ: h∆xi i = 0, h∆x2i i = ∆x2
N шагов: yi = {∆xi }, 1 < i < N.
N
y =
1 X
∆xi = 0,
lim
N→ ∞ N
i=1
y2
=
⇔
N
1 X
(∆xi )2 = ∆x2 ,
lim
N→ ∞ N
i=1
1
u = lim
T→ ∞ T
⇔
Z T/2
u(t) dt,
−T/2
u2 = lim
T→ ∞
1
T
Z T/2
u(t)2 dt.
−T/2
N
Bj
1 X
∆xi ∆xi−j = (∆x)2 δ0j ,
= lim
N→ ∞ N
i=1
Z
1 T/2
u(t)u(t − τ) dt.
⇔ B(τ) = lim
T→ ∞ T −T/2
(9)
(10)
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
13
B
∆x2
−1
1
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
2
j
Bj = (∆x)2 δ0j
B
−∆τ
Устремляем ∆τ → 0 так,
что ∆x2 ∆τ = B0 — постоянная.
δij /∆τ → δ(τ):
⇔
∆x2 ∆τ Время “памяти” — ∆τ.
∆τ 2∆τ
t
B(τ) = B0 δ(τ)
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
Тепловой шум
R
UC
Uтш C
UC (ω)
=
U2C
=
CU2C
2
∆U2тш
Sтш (ω) = S0 ,
Z∞
dω
2
SC (ω).
UC =
2π
0
Uтш /(iωC)
S0
, SC (ω) =
,
2
R + 1/(iωC)
1 + (ωRC)
∞
Z∞
dω
S0
S0
S0
arctg(ωRC) =
,
=
2
2π
1
+
(ωRC)
2π
RC
4RC
0
0
κT
,
⇒ S0 = 4κTR,
2
Флуктуации в полосе ∆ω = 2π∆f :
2
≃ 4κTR ∆f = κTR ∆ω
π
=
14
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
15
Эквивалентные источники теплового шума
R
Uтш
SU (ω) = 4κTR,
R
4κT
SI (ω) =
R
R
Iтш
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
.
Шумы. Лекция 6.
16
№9 “Найквист”
L
R
Uш
C
Доказать теорему Найквиста исходя из
схемы. L и C – произвольные.
Рассмотреть случай C → 0.
В квантовом случае (T → 0):
h̄ω
h̄ω
,
+ h̄ω/κT
2
e
−1
ωгр
κT
◦
T = 300 K ⇒ fгр =
=
≃ 6 · 1012 Гц.
2π
h
При f > fгр надо пользоваться квантовой формулой.
Теорема Найквиста — частный случай
флуктуационно-диссипационной теоремы (ФДТ). Смысл ФДТ:
чем больше потери, тем больше спектральная плотность шумов.
S0
=
4κTR ⇒ 4R
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
17
№10 “Вариация шумовой амплитуды”
2Q
,
ω0
UC (t) = UC0 (t) cos(ω0 t + ϕ(t))
τ∗ =
L
C
Uш R
Uш
κT
C
t
UC0 (t) и ϕ(t) — случайные медленные функции с характерным
временем (временем корреляции) τ∗ . Доказать, что при τ ≪ τ∗
вариация амплитуды напряжения на конденсаторе равна
r r
q
κT
τ
2
δUC0 = h(UC0 (t + τ) − UC0 (t)) i ≃
C τ∗
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
18
Минимально обнаружимая мощность
R
ρ
Uc
Согласование: ρ = Rн = R.
Тепловая мощность:
Rн
R
Rн
Uc
Uт
U2T R
= κT ∆f
WT =
(R + Rн )2
Условие обнаружения: U2сигн > U2T , или Wсигн > WT .
Если диаграмма вне ярких радиоисточников, то WT
соответствует T ≃ 3◦ K — реликтовый э.м. шум.
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
19
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
Эквивалентная шумовая температура усилителя
Пусть все согласовано. Выходное напряжение:
U2вых
= K2 · 4κ(Tвх + Tу )Rвх ∆f,
,
2
2
Tу
Tвх + Tу
Us
Us
F =
=1+
=
Un вход
Un выход
Tвх
Tвх
F — коэффициент шума усилителя (“s” – сигнал, “n” – шум
(noise)).
Условно принято Tвх = 300◦ K .
Мазеры (СВЧ): Tу = 6 . . . 10◦ K.
Усилитель на полевых транзисторах (FET): Tу = 1◦ K (очень
хорошие, при физической T = 4◦ K).
20
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
21
Дробовой шум
I
τ0
I0
I0
t
I =
τ1
I(t)I(t − τ)
τ0 ≪ τ1
Z T/2
1
I(t)I(t − τ)dt =
T −T/2
Z
1
T τ0
×
I(t)I(t − τ)dt.
T
τ1 −τ0
= B(τ) =
=
=
e
,
τ0
e
.
τ1
B(τ
−τ0
τ0 τ
I20
(τ0 − |τ|), если |τ| < τ0 ,
B(τ) =
τ1
B(τ) = 0, если |τ| > τ0 .
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
Нас интересуют частоты ω ≪ 1/τ0 , поэтому можно считать, что
Z t0
e2
I20 τ20
′
′
δ(τ) =
δ(τ)
B(τ ) dτ =
B(τ) ⇒ δ(τ) ×
τ
τ
1
1
−t0
Рассчитываем спектральную плотность:
Z∞
e
1
Sдр (ω) = 4
= 2eI,
B(τ) cos ωτ dτ = 4 × × e ×
2
τ1
0
∆ω
∆I2 = Sдр (ω) ·
= 2eI ∆f.
2π
Это есть теорема Шоттки: Sдр (ω) = 2eI
22
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
Условия вывода теоремы Шоттки:
• Малое время τ0 “импульса тока” — ωτ0 ≪ 1.
Если ωτ0 ≥ 1, то Sдр (ω) меньше (!).
• Нет корреляции между зарядами.
(На самом деле из-за кулоновского отталкивания есть
депрессия дробового шума).
• Нет сгустков зарядов.
(На самом деле есть — спектральная плотность Sдр (ω)
растет на низких частотах).
23
С. П. Вятчанин, Радиофизика.
Шумы. Лекция 6.
24
Обобщенная формула теоремы Шоттки:
Sдр
=
β(f ) Γ × 2eI ,
β(f ) =
β(f ) ≃ 0.5 при f ≃ 1/τ0 ,
Sдр
1
3
,
α
≃
1
f
<
10
Гц,
α
f
0.05 < Γ ≤ 1.
≃ 1/fα
2eI
Депрессия
∼ 103 Гц
f
∼ 108 Гц