ЛЕКЦИЯ 21 Релятивистский импульс. 4-вектор энергии

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
ЛЕКЦИЯ 21
Релятивистский импульс. 4-вектор энергии-импульса. Закон сохранения энергии-импульса. Зависимость массы от скорости. Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна E = mc2 .
Релятивистский импульс. 4-вектор энергии-импульса.
По аналогии с 4-скоростью ui введем 4-импульс для свободной частицы
pi = m0 cui ,
(1)
где m0 — масса в системе покоя частицы (масса покоя), или в компонентах


 mc
m0 v 


0
p = r
, r
.

v2
v2 
1− 2
1− 2
c
c
Пространственная компонента 4-импульса
mv
r 0
v2
1− 2
c
i
(2)
(3)
в пределе c → ∞ переходит в обычный (классический) импульс p = m0 v.
Поэтому мы, по аналогии с классической механикой, будем называть
величину
m0 v
p=r
(4)
v2
1− 2
c
релятивистским импульсом. Этому выражению можно придать обычный для классической механики вид
m0
p = mv, где m = r
(5)
v2
1− 2
c
есть масса частицы, зависящая от ее скорости.
Выясним теперь,
p что представляет из себя временная компонента 4импульса — m0 c/ 1 − v 2 /c2 . Для этого посмотрим, во что переходит это
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
p
выражение при v ¿ c. Разлагая функцию 1/ 1 − v 2 /c2 в ряд Тейлора
по малому параметру v/c, мы имеем 1
µ
¶
m0 c
1 v2
1 m0 v 2
r
≈ m0 c 1 + 2 = m0 c +
.
(6)
2c
2 c
v2
1− 2
c
Умножая это выражение на c, получим
m0 c2
m0 v 2
2
r
≈ m0 c +
.
(7)
2
v2
1− 2
c
Первое слагаемое в правой части этой формулы есть некоторая константа, не зависящая от скорости частицы и имеющая размерность энергии, а
второе — есть не что иное, как кинетическая энергия частицы в классической механике. Поэтому по аналогии с классической механикой величина
m0 c2
= mc2
E=r
(8)
2
v
1− 2
c
называется энергией частицы в релятивистской механике, а энергия
частицы при v = 0, т. е. величина m0 c2 называется энергией покоя.
После этих определений можно представить 4-импульс частицы в виде
µ
¶
E
pi = m0 cui =
(9)
, p ,
c
т. е. временная компонента 4-импульса представляет собой энергию частицы, деленную на скорость света c, а пространственная — импульс частицы. Поэтому часто 4-импульс называют 4-вектором энергии-импульса.
Вспомнив о том, что 4-скорость является ”единичным” 4-вектором, т. е.
ui ui = 1, мы получаем следующее релятивистски инвариантное соотношение:
pi pi = m20 c2 ,
(10)
или
1
E2
− p2 = m20 c2 ,
2
c
Поскольку при x ¿ 1, разлагая в ряд Тейлора
¶0
µ
1
1
1
√
· x = 1 + x.
≈1+ √
2
1−x
1 − x x=0
2
(11)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
которое справедливо независимо от выбора инерциальной системы отсчета. В другой системе отсчета K 0 имеет место такое же соотношение
E0 2
− p0 2 = m20 c2 .
(12)
2
c
Иными словами, полученная формула Лоренц инвариантна.
Сами E и p меняются при переходе к другой системе отсчета в соответствии с преобразованиями Лоренца для 4-векторов
E0 V 0
+ px
E
c
=r c ,
c
V2
1− 2
c
V E0
+
px = r c c ,
V2
1− 2
c
p0x
py = p0y ,
pz = p0z .
(13)
pz = p0z .
(14)
Домножая первое соотношение на c, получим
0
E +V
E=r
1−
p0x
,
2
V
c2
V
p0x + 2 E 0
px = r c ,
V2
1− 2
c
py = p0y ,
Закон сохранения энергии-импульса
Какой смысл во всех этих обозначениях, определениях и названиях?
Ведь если исходить только из совпадения данной величины с ее классическим пределом при c → ∞, то мы могли бы назвать, например,
”импульсом” величину
m0 v
(15)
(1 − v 2 /c2 )
(она переходит в классическое выражение при c → ∞), а ”энергией”
величину
1 m0 c2
m0 c2 m0 v 2
≈
+
(16)
2 (1 − v 2 /c2 )
2
2
(второе слагаемое в этой формуле есть кинетическая энергия частицы в
классической механике).
Однако можно показать, что эти величины не являются компонентами
какого-либо 4-вектора. А почему нам надо, чтобы они были компонентами 4-вектора? Все дело в том, что в релятивистской физике, так же
как и в физике нерелятивистской, выполняются законы сохранения
импульса и энергии. Это есть, можно сказать, опытный факт. Не
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
обнаружено пока отклонений от этих законов сохранения 2 . Но в силу
принципа относительности эти законы сохранения должны выполняться
во всех инерциальных системах, движущихся друг относительно друга
равномерно и прямолинейно.
3
2
1
4
Рис. 1: Столкновение 2-х частиц в лабораторной системе.
Рассмотрим, например, столкновение 2-х частиц в лабораторной системе с образованием двух (вообще говоря, других) частиц. Закон сохранения импульса гласит
p1 + p2 = p3 + p4 .
(17)
А закон сохранения энергии
E1 + E2 = E3 + E4 .
(18)
Но такие же законы сохранения должны выполняться и в любой другой инерциальной системе K 0 , движущейся относительно лабораторной
системы со скоростью V
p01 + p02 = p03 + p04 ,
E10 + E20 = E30 + E40 .
(19)
Если величины E/c и p являются компонентами 4-вектора, то это следует автоматически из преобразований Лоренца. Например, в проекции
на ось x
p1x + p2x = p3x + p4x ,
(20)
E1 + E2 = E3 + E4 .
Когда такие отклонения обнаруживаются, то в конце концов оказывается, что это либо ошибка,
либо, если выясняется, что ошибки нет, это приводит к открытию новых элементарных частиц.
Наиболее яркий пример такого рода — это открытие нейтрино.
2
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
Применяя преобразования Лоренца, получаем из (20)
V
V
V
V
p03x + 2 E30 p04x + 2 E40
p01x + 2 E10 p02x + 2 E20
r c
+ r c
= r c
+ r c ,
V2
V2
V2
V2
1− 2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
c
E10 + V p01x E20 + V p02x
E30 + V p03x E40 + V p04x
r
+r
= r
+r
.
V2
V2
V2
V2
1− 2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
c
p
После сокращения на 1 − V 2 /c2 имеем
p01x + p02x +
V 0
V 0
0
0
0
(E
+
E
)
=
p
+
p
+
(E3 + E40 ),
1
2
3x
4x
2
2
c
c
E10
(p01x
+
E20
+V
+
p02x )
=
E30
+
E40
+V
(p03x
+
(21)
(22)
(23)
p04x ).
Домножая второе уравнение на V /c2 и вычитая его из первого, получим
(1 − V 2 /c2 )(p01x + p02x ) = (1 − V 2 /c2 )(p03x + p04x ).
(24)
В итоге мы приходим к закону сохранения импульса в системе K 0
p01x + p02x = p03x + p04x .
(25)
Но если выполняется закон сохранения импульса, то из первого уравнения системы (23) следует закон сохранения энергии
E10 + E20 = E30 + E40 .
(26)
Таким образом, мы приходим к выводу, что
сохраняющиеся величины в релятивистской физике должны быть компонентами 4-векторов (или 4-тензоров).
Тогда законы сохранения, будучи справедливы в одной инерциальной
системе отсчета, будут справедливы и в любой другой инерциальной системе.
Зависимость массы от скорости
Возможно, кто-то остался неудовлетворенным этим довольно формальным выводом выражений для энергии и импульса релятивистской частицы. Поэтому приведем еще один вывод, заимствованный из книги
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
М. Борна ”Эйнштейновская теория относительности”, Мир, Москва, 1972 г.
(стр. 262). Давайте будем искать выражение для импульса частицы в виде
p = m(v)v,
(27)
считая, что масса частицы m(v) есть некоторая функция ее скорости, которую нам предстоит определить исходя из предположения, что импульс
частицы — сохраняющаяся величина.
Рассмотрим для этого неупругое столкновение двух одинаковых тел
одно из которых покоится (в некоторой лабораторной системе отсчета
K), а другое движется к нему со скоростью v. После столкновения тела
слипаются и продолжают движение вместе с некоторой скоростью u,
которую нам надо найти.
K
M(u)
m(v)
v
u
2
1
До
после
и
столкновения
Рис. 2: Неупругое столкновение двух одинаковых тел.
Закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направления движения (которое мы выбираем качестве оси x) в лабораторной
системе гласит
m(v)v = M (u)u,
(28)
где M (u) — масса образовавшегося тела. Посмотрим теперь на то же
столкновение из другой инерциальной системы K 0 , которая движется
вправо относительно системы K со скоростью v (рис. 3). В этой системе
K
K'
u
v
v
1
после
столкновения
2
до столкновения
Рис. 3: То же столкновение в системе K 0 .
первая частица покоится, а вторая налетает на нее со скоростью −v. В
результате образующаяся составная частица движется со скоростью −u
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
(так как процесс симметрично выглядит в этой системе по сравнению
с системой K). Применяя теперь закон сложения скоростей, мы можем
связать u и v. Для этого в формулу релятивистского закона сложения
скоростей, определяющей скорость слипшейся частицы в двух системах
отсчета K и K 0
vx0 + V
(29)
vx =
vx0 V
1+ 2
c
0
подставим vx = u, vx = −u и V = v. В результате получим уравнение
для u
−u + v
u=
(30)
uv .
1− 2
c
Относительно скорости u это есть квадратное уравнение. Выбирая из
двух корней тот корень, который соответствует скорости, меньшей скорости света, получим
Ã
!
r
2
2
c
v
v
r
u=
1− 1− 2 =
.
(31)
v
c
v2
1+ 1− 2
c
В пределе c → ∞ это переходит в известный классический результат:
u = v/2.
Рассмотрим теперь то же столкновение из системы K 00 , которая движется вниз со скоростью V . В этой системе отсчета, если мы развернем
X
K
K''
V
Y
Рис. 4: Система K 00 .
картинку и снова сделаем ось x горизонтальной, столкновение тел будет выглядеть так, как показано на рис 5. Для определения компонент
скоростей тел до и после столкновения в системе K 00 воспользуемся фор-
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
2
u
y''
K''
1
V
-c2
V
V
V
2
после
столкновения
x''
2
v
1
V
-c2
V
1
до столкновения
Рис. 5: Столкновение в системе K 00 .
мулами преобразования скоростей
vx00 =
r
V2
vy 1 − 2
c .
00
vy =
vx Vx
1− 2
c
vx − V x
,
vx V x
1− 2
c
(32)
В данном случае
Vx = −V
(33)
v1x = v2x = vσx = 0
(34)
и
(значок σ относится к телу образовавшемуся в результате столкновения).
Поэтому из формул (32) следует для x компонент скоростей в системе
K 00
00
00
00
= V.
(35)
= vσx
v1x
= v2x
Аналогичным образом, поскольку
v1y = v,
v2y = 0,
vσy = u,
(36)
получаем для y компонент скоростей
r
r
2
V
V2
00
00
00
v1y
(37)
= v 1 − 2 , v2y
= 0, vσy
=u 1− 2 .
c
c
Запишем теперь закон сохранения импульса в системе K 00 в проекции
на ось x
Ãs
Ãs
µ
¶!
µ
¶!
2
2
V
V
m
V 2 + v2 1 − 2
V + m(V )V = M
V 2 + u2 1 − 2
V.
c
c
|
{z
} | {z } |
{z
}
сост.
част.
2
част.
1 част.
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
Сокращая на V , получаем
Ãs
Ãs
¶!
¶!
µ
µ
2
2
V
V
=M
. (38)
m(V ) + m
V 2 + v2 1 − 2
V 2 + u2 1 − 2
c
c
Это равенство должно выполняться при любом V , в том числе и при
V =0
m(0) + m(v) = M (u).
(39)
В таком виде оно представляет собой не что иное, как закон сохранения
массы при неупругом столкновении двух тел. Подставляя теперь M (u)
в закон сохранения импульса (28), получим
m(v)v = uM (u) = u [m(0) + m(v)] .
(40)
Разрешая это уравнение относительно m(v), приходим к соотношению
u
m(v) = m(0)
.
(41)
v−u
Нам теперь осталось вычислить только отношение u/(v − u). Подставляя в него скорость u из уравнения (31), получим
v
r
v2
1+ 1− 2
u
1
c
=r
.
(42)
=
v
v−u v−
v2
r
1− 2
v2
c
1+ 1− 2
c
Таким образом, мы приходим к уже известному нам выражению для
массы тела, зависящей от его скорости
m(0)
m(v) = r
.
2
v
1− 2
c
(43)
Попутно мы доказали, что если сохраняется импульс (во всех инерциальных системах отсчета), то сохраняется и масса (зависящая от скорости),
или, что то же самое, энергия, равная произведению массы тела на квадрат скорости света.
Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна E = mc2
Важнейший результат специальной теории относительности относится
к понятию массы. В дорелятивистской физике было два закона сохра9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
нения: закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Оба
этих фундаментальных закона считались совершенно независимыми друг
от друга. Теория относительности объединила их в один. Так, если тело,
движущееся со скоростью v и получающее энергию E0 в форме излучения 3 без изменения своей скорости, увеличивает при этом свою энергию
на величину
E0
p
.
(44)
1 − v 2 /c2
В результате полная энергия тела становится равной
(m0 + E0 /c2 )c2
p
.
1 − v 2 /c2
(45)
Следовательно, тело обладает такой же энергией, как и тело, движущееся со скоростью v и имеющее массу покоя m0 + E0 /c2 . Таким образом,
можно сказать, что если тело получает энергию E0 (в системе отсчета, где тело покоится), то его масса покоя увеличивается на величину
E0 /c2 . Так, например, нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, и, если бы в нашем распоряжении были бы очень точные весы, мы
бы убедились в этом непосредственно с помощью взвешивания.
Однако в нерелятивистской физике изменения энергии E0 , которые
мы могли сообщить телу, были, как правило, недостаточно велики, чтобы
можно было заметить изменения инертной массы тела. Величина E0 /c2
в нашей обыденной жизни слишком мала по сравнению с массой покоя
m0 , которую имело тело до изменения энергии. Этим обстоятельством
объясняется тот факт, что закон сохранения массы так долго имел в
физике самостоятельное значение.
Совершенно по-другому обстоит дело в релятивистской физике. Хорошо известно, что с помощью ускорителей мы можем сообщить телам
(элементарным частицам) огромную энергию, достаточную для рождения новых (элементарных) частиц — процесс, который наблюдается сейчас сплошь и рядом на современных ускорителях элементарных частиц.
Формула Эйнштейна E = mc2 ”работает” в ядерных реакторах атомных
электростанций, где энергия высвобождается за счет процесса деления
ядер тяжелых элементов. Масса конечных продуктов реакции меньше
массы исходного вещества. Эта разница масс, деленная на квадрат скорости света, и представляет собой полезную высвобожденную энергию.
3 Здесь E — полученная телом энергия при наблюдении из системы координат, движущейся
0
вместе с телом.
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Специальная теория относительности
Лекция 21
Подобным же образом нас обеспечивает теплом и наше Солнце, где за
счет реакции термоядерного синтеза водород превращается в гелий и
выделяется огромное количество энергии в виде излучения 4 .
Сейчас можно считать твердо установленным, что инертная масса тела определяется количеством запасенной в теле энергии. Эту энергию
сполна можно получить в процессе аннигиляции вещества с антивеществом, например, электрона с позитроном. В результате такой реакции
образуются два гамма-кванта — фотона очень большой энергии. Этот
источник энергии, возможно, будет использоваться в будущем в фотонных двигателях ракет для достижения ими субсветовых скоростей при
полетах к далеким галактикам.
Задачи
1. Частица с массой покоя m0 , движущаяся со скоростью 4c/5, испытывает неупругое соударение с покоящейся частицей такой же массы.
а) Чему равна скорость u образовавшейся составной частицы? б) Чему равна ее масса покоя M0 ?
Ответ:
c
2m0
4m0
u= ,
M0 = 2mu = r
= √ .
2
3
u2
1− 2
c
Анекдот
Однажды на физическом практикуме МГУ была задана такая задача:
разобрать принципиальную схему осциллографа и измерить его чувствительность. Через 40 минут прибегает один студент и виновато сообщает,
что дела идут успешно, но вот трубка никак не вытаскивается... Когда
руководитель занятий в предчувствии беды прибежал в лабораторию,
то увидел груду панелей, сопротивлений и ламп... Студент, правда, оказался добросовестным и два дня собирал осциллограф, но он так и не
заработал...
Как мы убедимся на следующей лекции, масса четырех протонов больше массы ядра атома He4
на 50 электронных масс. Эта энергия и выделяется при термоядерном синтезе в Солнце и других
звездах.
4
11