Линейная алгебра Лекция 10 Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве
Содержание:
Уравнение плоскости
Взаимное расположение плоскостей
Векторно-параметрическое уравнение прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Взаимное расположение прямых
Расстояние между двумя параллельными прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости
Угол между прямой и плоскостью
Точка пересечения прямой и плоскости
Уравнение плоскости
Пусть дана плоскость П в декартовой прямоугольной
системе координат Oxyz в пространстве Е3 и вектор
N ( A, B, C ) , перпендикулярный к этой плоскости. Он
называется
нормальным
вектором
плоскости.
Плоскость П проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) .
Возьмем на плоскости П текущую точку M ( x, y, z ) ,
N ⊥ M 0M .
тогда M 0 M ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) и
Следовательно, их скалярное произведение равно нулю
Раскроем
A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 .
скобки Ax + By + Cz − Ax0 − By 0 − Cz 0 = 0 и введем обозначение D = − Ax0 − By 0 − Cz 0 ,
получим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .
Равенство A( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 есть уравнение плоскости, проходящей через
заданную точку. Точка и нормальный вектор однозначно определяют положение плоскости в
пространстве. Если менять координаты нормального вектора, то получим пучок плоскостей,
проходящих через заданную точку.
Угол между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами, косинус
∧
которого равен cos( N1 N 2 ) =
A1 A2 + B1 B2 + C1C 2
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C 22
.
Взаимное расположение плоскостей
Пусть плоскости заданы своими уравнениями
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 .
Если две плоскости параллельны, то параллельны их
нормальные векторы, а это значит, что их координаты
пропорциональны. И наоборот, если координаты
нормальных векторов плоскостей пропорциональны,
то плоскости параллельны.
Следовательно, две плоскости параллельны тогда и
только тогда, когда их коэффициенты при
соответствующих переменных пропорциональны, а
1
свободные члены непропорциональны, то есть
равенство
A1 B1 C1 D1
=
=
≠
. Если выполняется
A2 B2 C 2 D2
A1 B1 C1 D1
=
=
=
, то плоскости совпадают.
A2 B2 C 2 D2
Если две плоскости перпендикулярны, то
перпендикулярны их нормальные векторы, а это
значит, что их скалярное произведение равно нулю.
И наоборот, если скалярное произведение
нормальных векторов равно нулю, то плоскости
перпендикулярны.
Следовательно, плоскости
перпендикулярны
тогда и только тогда, когда сумма произведений
соответствующих коэффициентов при переменных
равна нулю, то есть A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0 .
Пример 1. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку M (− 2,0,3) и
• параллельно плоскости x − 4 y + 5 z + 1 = 0 ;
• перпендикулярно плоскостям 2 x + 6 y − 7 = 0 , 4 y + z + 1 = 0 и 2 x + 10 y + z + 2 = 0 .
Решение. В уравнение A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 подставим координаты точки
M (− 2,0,3) , получим A( x + 2) + B( y − 0) + C ( z − 3) = 0 . Чтобы эта плоскость была параллельна
плоскости x − 4 y + 5 z + 1 = 0 , надо чтобы выполнялось условие
A B C
=
= . Пусть эти
1 − 4 5
отношения равны k . Тогда A = k , B = − 4k , C = 5k . Подставим найденные значения в
k ( x + 2) − 4k ( y − 0) + 5k ( z − 3) = 0
уравнение
искомой
плоскости,
получим
или
( x + 2) − 4( y − 0) + 5( z − 3) = 0 , упростим x − 4 y + 5 z − 13 = 0 .
Теперь найдем коэффициенты в уравнении плоскости A( x + 2) + B( y − 0) + C ( z − 3) = 0 при
условии, что она перпендикулярна трем плоскостям. Коэффициенты из этих уравнений
подставим в условие перпендикулярности плоскостей, получим 2 A + 6 B + 0C = 0 ,
0A + 4B + C = 0 и 2 A + 10 B + C = 0 . Теперь надо решить систему этих уравнений, так как
искомые коэффициенты должны удовлетворять всем трем уравнениям одновременно. Главный
2
6 0
4 1 = 0 . Значит, система однородных уравнений имеет
2 10 1
бесчисленное множество решений, общее решение которой A = − 3B, C = − 4 B . Тогда искомое
уравнение будет − 3B ( x + 2) + B ( y − 0) − 4 B ( z − 3) = 0 или − 3x + y − 4 z + 6 = 0 .
определитель этой системы 0
Частные случаи:
1. D = 0 Ax + By + Cz = 0
2. C = 0
Ax + By + D = 0
2
3. C = D = 0
Ax + By = 0
4. B = C = 0
Ax + D = 0
5. x = 0 , y = 0 , z = 0
уравнения координатных
плоскостей
Пример 2. Что можно
задать уравнением х=а?
Решение. В пространстве Е1 это уравнение задает на оси точку, удаленную от начала
координат на расстояние равное │а│. На координатной плоскости Е2 это уравнение описывает
прямую перпендикулярную оси Ох и проходящую через точку на этой оси с абсциссой х=а. В
пространстве Е3 это уравнение плоскости, параллельной плоскости Oyz.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующуй с
плоскостью x − y + 2 z − 3 = 0 угол 450.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через ось Oz, имеет вид
Ax + By = 0 .
Нормальный вектор этой плоскости N1 ( A, B,0) , а другой заданной плоскости - N 2 (1,− 1, 2 ) .
Угол между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами. В данном случае
∧
cos( N1 N 2 ) =
A− B + 0⋅ 2
A + B
2
2
1+ 1+ 2
=
равными нулю. Пусть B ≠ 0 . Тогда
A/ B − 1 =
2
. В этом уравнении А и В не могут одновременно быть
2
A/ B − 1
A2 / B 2 + 1 4
=
2
2 . Приведем к общему знаменателю,
2 ( A / B ) 2 + 1 . Левая часть равенства должна быть положительной, то есть
A / B − 1 > 0 или A > B . Возведем в квадрат обе части уравнения ( A / B − 1) 2 = 2[( A / B ) 2 + 1]
или ( A / B) 2 − 2( A / B) + 1 = 2( A / B ) 2 + 2 . Перенесем все в одну часть уравнения и применим
формулу сокращенного умножения, получим [( A / B) + 1]2 = 0 . Откуда A / B = − 1 , или A = − B .
Тогда искомое уравнение плоскости − Bx + By = 0 или окончательно имеем x − y = 0 .
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
M 1 (1,− 2,0), M 2 (− 3,0,1), M 3 (2,3,5) .
Решение. Пусть точка M ( x, y, z ) принадлежит искомой плоскости. Тогда три вектора M 1 M ,
M 1 M 2 , M 1 M 3 тоже лежат на искомой плоскости, следовательно, они компланарны и их
смешанное
определитель
произведение
по
равно
элементам
5 x + 21 y − 22 z + 37 = 0 .
нулю,
первой
то
есть
строки,
x− 1 y+ 2 z− 0
− 3 − 1 0 + 2 1 − 0 = 0 . Разложим
2− 1 3+ 2 5− 0
получим
искомое
уравнение
Векторно-параметрическое уравнение прямой
3
При задании прямой на плоскости векторным уравнением было замечено, что таким способом
удобно задавать прямую, как на плоскости, так и в пространстве
Пусть к точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) приложен вектор M 0 M 1 ( x1 − x0 , y1 − y 0 , z1 − z 0 ) . Эти данные
определяют
прямую,
как
геометрическое
место
точек
концов
вектора
M 0 M ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) . То есть M 0 M = t ⋅ M 0 M 1 - векторное уравнение прямой линии в
пространстве. Вектор M 0 M 1 ( x1 − x0 , y1 − y 0 , z1 − z 0 ) называется направляющим вектором
прямой.
Если вектор M 0 M 1 имеет координаты (m, n, p ) , то векторное уравнение равносильно
 x − x0 = tm,
системе уравнений  y − y 0 = tn, (параметрическое уравнение прямой в пространстве). Выражая
 z − z 0 = tp,
из него параметр t, получим канонические уравнения прямой линии в пространстве
x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
= t.
m
n
p
Уравнения прямой по двум точкам
Пусть прямая проходит через две точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) и M 1 ( x1 , y1 , z1 ) . Выберем на этой
прямой текущую точку
M ( x, y, z ) . Тогда векторы M 0 M 1 M 0 M , следовательно, их
координаты пропорциональны, то есть
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
x1 − x0 y1 − y 0 z1 − z 0
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей. Для этого надо решить
 A x+ B y+ C z+ D = 0
1
1
1
систему уравнений, которыми задаются эти плоскости, то есть  1
, при
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
 2
2
2
2 = 0
этом соответствующие коэффициенты не должны быть пропорциональны. Векторное
произведение нормальных векторов этих плоскостей даст направляющий вектор искомой
i
прямой, s = [ N1 , N 2 ] = A1
A2
j
B1
B2
k
B
C1 = 1
B2
C2
C1
C
i+ 1
C2
C2
A1
A
j+ 1
A2
A2
B1
k.
B2
Пример 5. Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения
 x − 2 y + 3z − 5 = 0
плоскостей  − x + 3 y − 4 z + 2 = 0 .

i
j
k
Решение. Найдем направляющий вектор данной прямой s = [ N1 , N 2 ] = 1 − 2 3 =
−1 3 − 4
1 j + 1 − 2k =
= − 2 3 i+ 3
− i + j + k . Теперь найдем точку, через которую будет
3 − 4
− 4 −1
−1 3
проходить данная прямая. Система из двух однородных уравнений с тремя неизвестными будет
иметь бесчисленное множество решений. Найдем одно из базисных решений. Пусть х, у –
базисные переменные, z – свободная переменная, приравняем ее к нулю. Тогда система примет
 x − 2y = 5
вид  − x + 3 y = − 2 . Ее решение у=3, х=11. Координаты искомой точки (11, 3, 0) и

канонические уравнения
x − 11 y − 3 z − 0
=
=
.
−1
1
1
4
Взаимное расположение прямых
1. Прямые параллельны, но не совпадают. Пусть прямая
l1 проходит через точку M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и имеет
направляющий вектор s1 (m1 , n1 , p1 ) . Обозначим вектор
OM = r1 , этот вектор называют радиус-вектором точки
1
M 1 . Прямая l 2 проходит через точку M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) и
имеет направляющий вектор s 2 (m2 , n2 , p 2 ) , r2 - радиусвектор точки M 2 . Прямые параллельны, следовательно,
параллельны их направляющие векторы s1 s 2 . Вектор
M 1 M 2 = r2 − r1 соединяет точки M 1 и M 2 , которые
лежат на разных прямых. Значит, он не может быть параллельным векторам s1 s 2 . И так,
условие параллельности прямых линий l1 l 2 ⇔ s1 s 2 ∦ r2 − r1 .
2. Прямые совпадают. В этом случае направляющие векторы параллельны. Точки M 1 и M 2
лежат на одной прямой, следовательно, вектор
M M = r − r лежит на этой прямой и параллелен
1
2
2
1
векторам s1 s 2 . И так, условие совпадения прямых
l = l ⇔ s s r − r .
1
2
1
2
2
1
3. Прямые пересекаются. Такое положение прямых
означает, что они лежат в одной плоскости и не
параллельны. Следовательно, их направляющие
векторы не параллельны и они вместе с вектором
M M = r − r лежат в одной плоскости. Это
1
2
2
1
означает, что смешанное произведение трех
векторов равно нулю. И так, условие пересечения
прямых l1 × l 2 ⇔ s1 ∦ s 2 , (r2 − r1 ) s1 s 2 = 0 .
4. Прямые скрещивающиеся. Такое положение
прямых говорит о том, что они не параллельны и не
лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые
линии будут скрещивающимися тогда и только
тогда, когда их направляющие векторы не
параллельны s1 ∦ s 2 и смешанное произведение
направляющих векторов и вектора r2 − r1 не равно
нулю (r2 − r1 ) s1 s 2 ≠ 0 .
Угол между двумя прямыми
Угол между двумя прямыми равен углу между
направляющим векторами этих прямых, косинус
∧
которого равен cos( s1 s 2 ) =
s1 s 2
=
s2 s2
m1m2 + n1n2 + p1 p2
m12 + n12 + p12 m22 + n22 + p22
.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых
Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90 0. Значит, скалярное
произведение направляющих векторов равно нулю. И наоборот, если скалярное произведение
направляющих векторов равно нулю, то прямые перпендикулярны. l1 ⊥ l 2 ⇔ s1 ⊥ s2 ⇔ s1 s 2 = 0 .
5
Расстояние между двумя параллельными прямыми
Расстояние между параллельными прямыми линиями есть отрезок перпендикуляра,
проведенного к одной из этих прямых из точки, лежащей на другой
прямой. Этот отрезок равен длине вектора d , проведенного из
точки M 1 перпендикулярно к этим прямым. Площадь

параллелограмма, с одной стороны, равна S = d ks1 , с другой
стороны,
равна
модулю
векторного
произведения
,
который
численно
равен
длине
вектора
S = (r2 − r1 ) × ks1
d . От
сюда
d =
запишем в координатной форме
получаем,
k (r2 − r1 ) × s1
k s1
d=
y 2 − y1
n1

d ks1 = (r2 − r1 ) × ks1 ,
что
или d =
(r2 − r1 ) × s1
s1
2
z 2 − z1
z − z
+ 2 1
p1
p1
или
. Последнее равенство
2
x 2 − x1
x − x
+ 2 1
m1
m1
y 2 − y1
n1
2
,
m12 + n12 + p12
где направляющий вектор прямой s1 (m1 , n1 , p1 ) , r2 − r1 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) .
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Проведем
через
прямую
l1
плоскость
П,
l 2 . Отрезок перпендикуляра,
проведенного из любой точки прямой l 2 к плоскости
параллельную прямой
П будет расстоянием между скрещивающимися
прямыми
d . На этой плоскости построим
параллелограмм на векторах s1 и s 2 . Смешанное
произведение трех векторов r2 − r1 , s1 , s 2 численно
равно объему параллелепипеда, построенного на
векторах как на сторонах. Объем этого же
параллелепипеда можно вычислить как произведение
площади основания на высоту, S = s1 × s 2 , H = d .
Значит, s1 × s 2 d = ± (r2 − r1 ) s1 s 2 или d =
Это же уравнение в координатной форме d =
x 2 − x1
± m1
m2
n1
n2
p1
p
+ 1
p2
p2
Угол между прямой и плоскостью
Пусть задана плоскость П общим уравнением
каноническими уравнениями
2
y 2 − y1
n1
n2
(r2 − r1 ) s1 s 2
s1 × s 2
z 2 − z1
p1
p2
2
m1
m
+ 1
m2
m2
Ax + By + Cz + D = 0
.
.
n1
n2
2
и прямая
l
y − y 0 x − x0 z − z 0
=
=
.
m
n
p
6
Пусть они пересекаются в точке Т и точка М 1
ортогональная проекция точки М0 на плоскости П, а
отрезок ТМ1 ортогональная проекция отрезка ТМ0.
Тогда угол φ, образованный прямой и ее проекцией на
плоскость будет углом между прямой и плоскостью
sin ϕ = cos(90 0 − ϕ ) = cos( N ∧ s ) =
Ns
=
N s
Am + Bn + Cp
A2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2
Взаимное расположение прямой и плоскости
1.
Плоскость и прямая пересекаются. Следовательно, они не параллельны. Тогда
sin ϕ = cos( N ∧ s ) ≠ 0 .
2.
3.
Плоскость и прямая параллельны. Тогда sin ϕ = cos( N ∧ s ) = 0 и точка М0∉ П, то есть
( N , s ) = 0 и Ax0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0 . Следовательно, чтобы прямая и плоскость были
параллельны, необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и
направляющий вектор прямой были перпендикулярны, то есть их скалярное
произведение равно нулю, и координаты точки М0, через которую проходит прямая, не
удовлетворяли уравнению плоскости.
Прямая и плоскость перпендикулярны. Тогда нормальный вектор плоскости и
направляющий вектор прямой параллельны, а это означает, что координаты их
пропорциональны, то есть
4.
A B C
=
= .
m n p
Прямая принадлежит плоскости. Тогда sin ϕ = cos( N ∧ s ) = 0 и точка М0∈ П, то есть
( N , s ) = 0 и Ax0 + By0 + Cz 0 + D = 0 .
Точка пересечения прямой и плоскости
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости надо решить систему из их уравнений, то
 Ax + By + Cz + D = 0

есть  x − x0 = y − y 0 = z − z 0 . Из канонических уравнений прямой находим параметрическое
 m
n
p
 x = x0 + tm,
уравнение  y = y 0 + tn, и подставляем эти данные в уравнение плоскости, получим
 z = z 0 + tp,
A( x0 + tm) + B( y 0 + tn) + C ( z 0 + tp ) + D = 0 . Из этого уравнения находим параметр t .
Подставив его в параметрическое уравнение, найдем значения ( x, y, z ) - координаты точки
пересечения прямой и плоскости.
 x = 1 − 2t
Пример 6. Заданы прямая  y = − 2 + 3t и плоскость
 z = − 3 − 4t
y − 2 z + 7 = 0 . Найти их точку
пересечения и угол между ними.
7
Решение. ( x, y, z ) из параметрического уравнения прямой подставим в уравнение плоскости,
получим − 2 + 3t − 2(− 3 − 4t ) + 7 = 0 или t = − 1 . Тогда точка пересечении прямой и плоскости
 x = 1 − 2(− 1)
 x = 3
y
=
−
2
+
3
(
−
1
)
имеет координаты 
или  y = − 5 .
 z = − 3 − 4(− 1)
 z = 1
Угол
между
прямой
sin ϕ = cos(90 0 − ϕ ) = cos( N ∧ s ) =
и
Ns
=
N s
плоскостью
определяется
0(− 2) + 1 ⋅ 3 + (− 2)(− 4)
0 2 + 12 + (− 2) 2 (− 2) 2 + 32 + (− 4) 2
из
условия
=
11
≈ 0,9135
5 29
Тогда ϕ = arcsin 0,9135 ≅ 66 0 .
http://www.matematika5.com/
8