Курс лекций НГ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Тимофеев В.Н., Маслова Н.М., Пакулин А.П., Демина Ю.Ю.
КРАТКИЙ КУРС
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
Москва 2010
УДК
ББК
Рецензент: Шашин Андрей Дмитриевич, доцент кафедры графики
МГИУ.
Авторский коллектив: Тимофеев Виктор Николаевич,
Маслова Нэля Михайловна, Пакулин Александр Павлович,
Демина Юлия Юрьевна.
Краткий курс начертательной геометрии: учебное пособие. – М.: МГИУ, 2010. ISBN
Учебное пособие соответствует программе курса «Начертательная геометрия». Изложены методы построения изображений
пространственных геометрических объектов на плоскости. Большинство задач и примеров сопровождается решениями, поэтому
пособие может быть полезно при самостоятельном изучении
предмета.
Пособие подготовлено с учетом требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования.
Предназначено для студентов всех машиностроительных
специальностей очного, очно-заочного, заочного отделений и
может быть использовано при работе над курсовыми и дипломными проектами.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………
Принятые обозначения…………………………………………..
Глава 1. Точка, прямая, плоскость……………………………..
1.1. Цель дисциплины……………………………………………..
1.2. Центральное проецирование………………………………….
1.3 Параллельное проецирование ……………………………….
1.4 Свойства параллельного проецирования…………………….
1.5 Метод Монжа…………………………………………………..
1.6 Пространственная система прямоугольных координат……….
1.7 Проекции прямой линии………………………………………..
1.8 Определение натуральной величины отрезка прямой и углов
наклона прямой к плоскостям проекций (метод прямоугольного треугольника)……………………………………
1.9 Следы прямой линии……………………………………………
1.10 Проекции прямых частного положения………………………..
1.11 Взаимное положение двух прямых…………………………….
1.12 Проецирование плоского прямого угла ………………………
1.13 Плоскости……………………………………………………….
1.14 Плоскости общего положения. Следы плоскости……………
1.15 Плоскости частного положения……………………………..
1.16 Точка и прямая на плоскости ………………………………….
1.17 Прямые особого положения плоскости…………………….
1.18 Определение недостающей проекции точки,
принадлежащей плоскости …………………………………
1.19 Построение параллельных плоскостей……………………….
1.20 Параллельность прямой линии и плоскости………………….
1.21 Построение линии пересечения двух плоскостей ……………
1.22 Построение точки пересечения прямой линии
с плоскостью ……………………………………………………
1.23 Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость…………….
1.24 Взаимно перпендикулярные плоскости………………………
1.25 Многогранники…………………………………………………
1.26 Точки и линии на поверхности многогранника………………
1.27 Сечение многогранника плоскостью…………………………. .
1.28 Пересечение многогранника прямой линией………………….
1.29 Взаимное пересечение многогранников………………………
Глава 2. Способы преобразования чертежа……………………
2.1 Способ перемены плоскостей проекций……………………….
2.2 Способ вращения…………………………………………………
2.2.1 Вращение вокруг проецирующих прямых……………………
2.2.2 Вращение вокруг линии уровня……………………………….
2.3 Способ плоскопараллельного перемещения……………………
Глава 3. Поверхности
3.1 Кривые линии…………………………………………………….
3.2 Задание кривых линий и их свойства……………………………
3.3 Задание поверхности……………………………………………..
3.4 Поверхности линейчатые развертываемые……………………..
3.5 Поверхности линейчатые неразвертываемые…………………..
3.6 Нелинейчатые поверхности……………………………………..
3.7 Поверхности вращения…………………………………………..
3.8 Винтовые поверхности…………………………………………...
3.9 Точка и линия на поверхности………………………………….
3.10 Плоскости, касательные к поверхности……………………….
3.11 пересечение поверхности вращения плоскостью…………….
3.12 Пересечение поверхности с прямой…………………………..
3.13 Взаимное пересечение поверхностей (метод секущих
плоскостей) ……………………………………………………..
3.14 Взаимное пересечение поверхностей ( метод концентрических сфер) ……………………….
3.15 Взаимное пересечение поверхностей ( метод эксцентрических сфер……………………………
3.16 Частные случаи пересечения поверхностей…………………..
3.17 Развертка поверхностей…………………………………………
3.18 Аксонометрические проекции………………………………….
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………..
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………..
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время начертательная геометрия истолковывается как раздел математики, который изучает теорию методов
графического моделирования объектов, а чертеж рассматривается
как графическая модель геометрического образа пространства.
Начертательная геометрия изучается студентами высших технических учебных заведений на первом курсе обучения. При изучении курса необходимо, прежде всего, ознакомится с программой, приобрести необходимую учебную литературу и тщательно
продумать план самостоятельной учебной работы. Начертательной геометрии следует уделить особое место, учитывая, что наряду с изучением теории необходимо ознакомиться с решением
типовых задач каждой темы курса и выполнить контрольные задания.
Студентам необходимо уметь достаточно точно и аккуратно
выполнять графические построения при решении конкретных
геометрических задач. Самостоятельные занятия по начертательной геометрии разрешат трудности в изучении этой дисциплины
и научат студента представлять себе всевозможные сочетания
геометрических форм в пространстве. Начертательная геометрия
способствует развитию пространственного мышления, умению
“читать” чертежи, с помощью чертежа передавать свои мысли и
правильно понимать мысли другого, что крайне необходимо инженеру.
При изучении начертательной геометрии следует придерживаться следующих общих указаний:
1. Начертательную геометрию нужно изучать строго последовательно и систематически;
2. Прочитанный в учебной литературе материал должен быть
глубоко усвоен. При изучении курса следует избегать механического запоминания теорем, отдельных формулировок и решений
задач. Такое запоминание непрочно. Студент должен разобраться
в теоретическом материале и уметь применить его как общую
схему к решению задач;
3. Очень большую помощь в изучении курса оказывает хороший конспект учебника или аудиторных лекций, где записывают-
ся основные положения изучаемой темы и краткие пояснения
графических построений в решении геометрических задач;
Каждую тему курса по учебнику желательно прочитать дважды. При первом чтении учебника глубоко и последовательно
изучается весь материал темы. При повторном изучении темы
рекомендуется вести конспект, записывая в нем основные положения теории, теоремы курса и порядок решения типовых задач.
В конспекте надо указать ту часть пояснительного материала, которая плохо сохраняется в памяти и нуждается в частом повторении;
4. В курсе начертательной геометрии решению задач должно
быть уделено особое внимание. Решение задач является наилучшим средством более глубокого и всестороннего постижения основных положений теории. Задачи решаются в специальной рабочей тетради.
Прежде чем приступить к решению той или иной геометрической задачи, надо понять ее условие и четко представить себе
схему решения, т. е. установить последовательность выполнения
операций. Надо представить себе в пространстве заданные геометрические образы;
5. В начальной стадии изучения курса начертательной геометрии полезно прибегать к моделированию изучаемых геометрических форм и их сочетаний. Значительную помощь оказывают зарисовки воображаемых моделей, а также их простейшие макеты.
Можно использовать компьютерные программы геометрического
моделирования объектов. В дальнейшем надо привыкать выполнять всякие операции с геометрическими формами в пространстве на их проекционных изображениях, не прибегая уже к помощи
моделей и зарисовок.
Учитывая роль, которую играет начертательная геометрия в
развитии пространственного мышления студентов, авторы уделили большое внимание вопросу наглядности чертежей, определению на эпюре относительной видимости геометрических объектов. Большое внимание в учебном пособии уделено современной методике обучения, используя которую, формируются и развиваются способности учащихся наглядно выражать творческую
мысль с помощью чертежа и в дальнейшем перейти к изображению объектов средствами компьютерной графики.
Принятые обозначения
1. Плоскости проекций – буквой П с добавлением подстрочного или надстрочного индекса;
- горизонтальная плоскость проекций - П1;
- фронтальная плоскость проекций - П2;
- профильная плоскость проекций - П3;
- дополнительная плоскость проекций - П4, П5;
- произвольная плоскость проекций - П0.
2. Оси проекций – строчными буквами - x,y, z.
Начало координат – прописной буквой O.
3. Точки в пространстве – прописными буквами латинского
алфавита: А, В, С…, а также цифрами: 1, 2, 3 … .
4. Проекции точек:
- на горизонтальную плоскость проекций П1 - А', В', С'… .
- на фронтальную плоскость проекций П2 - А" , В", С" … .
- на профильную плоскость проекций П3 - А"' , В"', С"' ... .
5. Линии в пространстве – крайними точками (АВ, СD…),
или строчными буквами латинского алфавита a, b, c… .
6. Проекции линий - по проекциям точек, кроме этого линии
частного положении:
- горизонтальная линия – буквой « h »
- фронтальная линия – буквой « f »
- профильная линия – буквой « p »
7. Углы наклона:
- к горизонтальной плоскости проекций  1;
- к фронтальной плоскости проекций  2;
- к профильной плоскости проекций  3.
8. Следы прямых:
- горизонтальный след прямой - М;
- фронтальный след прямой - N ;
- профильный след прямой - P.
9. Плоскости – строчными буквами греческого алфавита:
 ,  ,  ,
.
10. Обозначение плоскостей (общего положения) заданных
следами:
- горизонтальный след плоскости  – « h  »;
- фронтальный след плоскости  – « f   »;
- профильный след плоскости  –«
p   ».
11. Следы проецирующих плоскостей (плоскостей перпендикулярных к плоскостям проекций):
- горизонтально проецирующая плоскость   ;
- фронтально проецирующая плоскость   ;
- профильно проецирующая плоскость   .
12. Точки схода следов плоскости „  ” – Xa , Ya, Za.
13. Поверхности - прописными буквами русского алфавита:
цилиндр- Ц; конус - К; сфера - Сф .
Глава 1. Точка, прямая, плоскость
1.1 Цель дисциплины
1. Дать знание законов и правил образования чертежа, развивать пространственное мышление будущих инженеров.
2. Научить читать и создавать чертежи машиностроительных
узлов.
Начертательная геометрия – наука, изучающая (способы)
правила построения изображений пространственных фигур на
плоскости, а также способы решения геометрических задач по
заданным изображениям этих фигур.
В основу правил построения чертежа положен метод проекций (метод Монжа). Проекционное изображение, по которому
можно восстановить его форму, размеры, взаимное расположение
отдельных геометрических элементов, называется чертежом. Существует два основных вида проецирования: центральное
и параллельное.
1.2 Центральное проецирование
Центральное проецирование задается центром S и плоскостью проекций П0, причем S не принадлежит П0. Дано: точки
пространства А, В, подлежащие проецированию на плоскость П0
(рис.1.1).Требуется построить проекции точек А и В на плоскость П0.
Рис.1.1
Решение: проводим проецирующие лучи SA и SB до пересечения
с плоскостью П0, получаем точки АП0 и ВП0, которые являются
проекциями точек А и В на плоскость П0. Если точка D принадлежит П0, то проекция такой точки совпадает с самой точкой D =
DП0.
1.3 Параллельное проецирование
8
8
Если центр проецирования S сделать бесконечно удаленным, то все проецирующие лучи станут параллельными и мы получим параллельные проекции. Для построения проекций заданных элементов направление проецирующих лучей должно быть
задано.
При построении параллельных проекций направление проецирования может быть задано под острым углом к плоскости
проекций П0, тогда параллельные проекции называются косоугольными (рис.1.2).
Если направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций, то параллельные проекции называются прямоугольными или ортогональными (рис.1.3).
Рис. 1.2
Рис.1.3
Рассмотрим построение проекций при параллельном проецировании. Дано: S – направление проецирования, П0 – плоскость
проекций, точки А,В,С подлежащие проецированию. Требуется
построить проекции этих точек на плоскость П0. Как и в случае
центрального проецирования, построение ведется в два этапа
(рис. 1.3):
1. Проведение через данные точки проецирующих лучей, параллельных направлению проецирования;
2. Построение точек пересечения лучей ААП0, ВBП0, СCП0 с
плоскостью П0.
1.4 Свойства параллельного проецирования
1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой на плоскости есть прямая.
3. Проецирующая прямая (перпендикулярная к плоскости проекции) проецируется в точку.
4. Если точка принадлежит линии, то проекция этой точки
принадлежит проекции линии.
5. Если точка принадлежит плоскости проекций, то проекция
точки на эту плоскость проекций совпадает с заданной точкой.
6. Положение точки в пространстве не определяется одной ее
проекцией.
7. Для построения проекции прямой, достаточно спроецировать две ее точки и через их проекции провести прямую.
8. Проекции параллельных прямых (отрезков прямых) взаимно
параллельны, а отношение параллельных отрезков прямых
равно отношению их проекций.
9. Соотношение отрезков на прямой сохраняется и на ее проекции.
10. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на нее без искажения.
11. Плоская фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в виде отрезка прямой линии.
12. Плоский многоугольник в общем случае проецируется в
многоугольник с тем же числом вершин.
1.5 Метод Монжа
Метод, которым в начертательной геометрии получают изображения, называется методом проекций. Впервые подобный метод проецирования был разработан французским ученым Гаспаром Монжем (1746-1818) и до сих пор носит его имя. Сутью этого метода является метод параллельного прямоугольного проецирования на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Этот метод является наиболее распространенным при выполнении технических чертежей.
Положение точки в пространстве определяется ее проекциями на две плоскости проекций, пересекающихся под прямым
углом:
- горизонтальную П1;
- фронтальную (вертикальную) П2;
Эти плоскости П1 и П2 в пересечении дают координатную ось
проекций Х (рис.1.4).
''
'
Рис.1.4
Плоскость Q проходит через перпендикуляр АА'' к плоскости
П2 и перпендикуляр АА' к плоскости П1, перпендикулярна к самим плоскостям проекций П1 и П2, к линиям их пересечения ОХ.
А''Ах
ОХ, А'Ах ОХ, ОАх=ХА, АхА'= YА, А''Ах= ZА.
А''АхА' - линия связи. Линия связи – линия соединяющая разноименные проекции точки. Изображенный рисунок – пространственная модель. Более удобный плоский чертеж получается совмещением горизонтальной плоскости П1 с фронтальной плоскостью П2 вращением плоскости П1 вокруг координатной оси ОХ
до совмещения с П2. Полученный чертеж называется комплексным или эпюром Монжа (epure (франц.) – чертеж). Он показал,
что двух проекций точек вполне достаточно, чтобы определить
местоположение точки в пространстве (рис.1.5).
В инженерной практике часто пользуются третьей плоскостью проекций – профильной П3, перпендикулярной к П1 и П2.
Точка пересечения трех плоскостей (О) служит началом координат (рис.1.6): ОАх– абсцисса – широта; ОАy– ордината – глубина;
ОАz– аппликата – высота.
''
''
'''
'
Рис.1.5
'
Рис.1.6
Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П1 с плоскостью П2, вращая плоскость П1 вокруг оси Х в
направлении указанном на рис. 1.6. Плоскость П3 совместим также с плоскостью П2, вращая вокруг оси Z. В результате получим
комплексный чертеж точки А (эпюр Монжа) (рис.1.7). Эпюр точки есть ее чертеж, так как отвечает условию обратимости. Обратимость изображения дает возможность реконструировать предмет в пространстве. На этом чертеже видно, что если известны
две любые проекции точки, то всегда можно построить третью
проекцию. В дальнейшем ограничивать плоскости проекций прямоугольниками не будем.
'''
''
45
'
Рис.1.7
1.6 Пространственная система прямоугольных координат
Чтобы иметь возможность точной передачи и точного построения комплексных чертежей, каких либо пространственных
форм, необходимо уметь задавать положение проекций точек,
определяющих данные пространственные формы, при помощи
чисел. Для этого используют координатный метод. Все простран-
ство делится взаимно перпендикулярными плоскостями П1, П2,
П3 на восемь частей (октантов). Четыре слева от плоскости П3 –
1, 2, 3, 4 и четыре справа (рис.1.8).
II
I
III
IV
I, II, III, IV – четверти пространства
Рис.1.8
В дальнейшем, будем рассматривать октанты (четверти пространства) расположенные слева от профильной плоскости проекций П3. Чертеж точки, расположенной в первой четверти пространства показан на рис.1.7. Чертеж точки расположенной во
второй четверти пространства показан на рис.1.9. Чертеж точки
расположенной в третьей четверти пространства показан на
рис.1.10. Чертеж точки расположенной в четвертой четверти пространства показан на рис.1.11.
Считают, что зритель всегда находится в первой четверти
(условно - на бесконечно большом расстоянии от П1 и от П2 ).
Плоскости проекций считают непрозрачными; поэтому видимы
только точки, расположенные в первой четверти, если они не закрыты от наблюдателя другими фигурами, а также на полуплоскостях П1 и П2.
''
'
'''
'
'''
''
Рис. 1.9
Рис.1.10
'
''
'''
Рис.1.11
1.7 Проекции прямой линии
Прямая определяется двумя точками (А, В). Точки А и В находятся на расстоянии от каждой из плоскостей проекций П1, П2,
П3, т.е. прямая АВ не параллельна ни одной из плоскостей. Соединив одноименные проекции точек, получим проекции прямой АВ (А'В', А'' В''). Такая прямая называется прямой общего
положения (рис.1.12). Проекции прямой короче самой прямой.
Прямая может быть задана направлением и обозначена строчной
буквой латинского алфавита a, b, c, l, m, n и т.д. (рис. 1.13).
''
''
''
'
'
'
Рис.1.12
Рис.1.13
1.8 Определение натуральной величины отрезка прямой и
углов наклона прямой к плоскостям проекций (метод
прямоугольного треугольника)
Очень часто на чертеже необходимо определять натуральную величину отрезка по его проекциям. Для этого используют
способ прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка прямой определяется по прямоугольному треугольнику
(АВВо), одним катетом которого является проекция отрезка
(А'В'=АВо), а вторым - разность расстояния конечных точек отрезка от плоскости проекций (Zв- Zа) (рис.1.14).
Гипотенуза такого треугольника – натуральная величина отрезка. Угол между гипотенузой (натуральной величиной) и катетом (проекцией отрезка) – угол между прямой и плоскостью проекцией. На рис. 1.15 приведен пример определения натуральной
величины отрезка АВ и углов его наклона к плоскостям проекций П1 и П2. На рис.1.15 обозначено: угол φ1 - угол наклона отрезка к плоскости проекций П1; угол φ2 - угол наклона отрезка к
плоскости проекций П2. Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной
величины отрезка. Очевидно, зная по чертежу катеты треугольника, можно его построить в любом месте поля чертежа.
'
'
Рис.1.14
''
''
'
'
Рис.1.15
1.9 Следы прямой линии
Следами прямой линии называются точки пересечения прямой с плоскостями проекций. Таких следов три:
- горизонтальный М (М', М'', М''');
- фронтальный N (N', N'', N''');
- профильный Р (Р', Р'', Р''').
Для нахождения горизонтального следа М прямой АВ, нужно
продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с
осью проекций Х (получим фронтальную проекцию горизонтального следа М'') и из точки М'' восстановить перпендикуляр (линию связи) до пересечения с продолженной горизонтальной проекцией прямой (в пересечении будет горизонтальная проекция
фронтального следа М') (рис.1.16, рис. 1.17).
Для нахождения фронтального следа прямой АВ, нужно продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с
осью проекций Х (получим горизонтальную проекцию фронтального следа N') и далее из точки N' провести линию связи до пересечения с продолженной фронтальной проекцией прямой (получим фронтальную проекцию фронтального следа N'') (рис.1.16,
рис. 1.17).
''
''
''
''
'
'
'
'
Рис.1.16
I I
I I
I I
IV
II
I
''
''
''
'
''
'
'
'
I , II , IV – четверти пространства
Рис.1.17
1.10 Проекции прямых частного положения
Прямые, перпендикулярные либо параллельные плоскостям
проекций, называются прямыми частного положения. Прямые,
параллельные плоскостям проекций называются линиями уровня:
1. Горизонтальная прямая - прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 1.18);
2. Фронтальная прямая - прямая параллельная фронтальной плоскости проекций П2 (рис.1.19);
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
Рис.1.18
'
'
Рис.1.19
3. Профильная прямая - прямая параллельная плоскости
проекций П3 (рис.1.20).
Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций называются проецирующими прямыми:
1. Горизонтально - проецирующая прямая - прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1(рис.1.21).
''
'''
''
'''
'''
''
'
''
''
'''
'
'
'
'
Рис.1.20
Рис.1.21
2. Фронтально - проецирующая прямая - прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2 (рис.1.22).
3. Профильно - проецирующая прямая - прямая перпендикулярная профильной плоскости проекций П3 (рис.1.23).
''
''
'''
'
'
Рис.1.22
Рис.1.23
1.11 Взаимное расположение двух прямых
Параллельные прямые. Плоскости, образованные проецирующими лучами АА'BB' и CC'DD' параллельны и пересекаются
третьей плоскостью П1 по прямым A'B' ║ C'D'. Вывод: если прямые в пространстве параллельны, то одноименные проекции их
также параллельны:A'B' ║ C'D' и A''B'' ║ C''D''.
Если на двух плоскостях проекций проекции прямых общего
положения параллельны, то сами прямые в пространстве также
параллельны (рис.1.24, рис. 1.25).
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
Рис.1.24
'
Рис.1.25
Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие общую точку.
Точка K — общая для прямых n (n' n'') и m (m' m'') (рис.1.26), поэтому горизонтальная и фронтальная проекции точки К должны
лежать на пересечении одноименных проекций данных прямых.
Точки К' и К'' - как проекции одной и той же точки располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций.
Скрещивающиеся прямые - прямые не параллельны и не
имеющие общей точки. Прямые n (n', n'') и m (m', m'') - скрещивающиеся прямые (рис.1.27). Точке пересечения горизонтальных
проекций прямых (1'  2') соответствуют две точки (1'') и (2'') на
фронтальной проекции. Точке пересечения фронтальных проекций прямых (3''  4'') соответствуют две точки (3') и (4') на горизонтальной проекции.
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'')
'
'
')
'
'
Рис.1.26
Рис.1.27
При определении видимости прямых используют метод конкурирующих точек. Пусть две прямые скрещиваются в пространстве (рис.1.28). Точка (М'') на фронтальной плоскости проекций невидимая, т.к. расположена за другой точкой N''.
'')
''
''
''
'
'
'
'
Рис.1.28
Точкам (M'')  N'' пересечения фронтальных проекций прямых m и n соответствуют две точки: M на прямой m и N на прямой n. Такие точки называются конкурирующими. Определим
какая из двух названных точек M и N ближе к фронтальной плоскости П2 . Восстановим положение точек M и N в пространстве.
Точки M и N лежат на одном луче перпендикулярном плоскости
П2, причем точка M ближе к П2, чем точка N . Точка N видима на
плоскости П2 и загораживает точку M, т.е точка M – невидима на
плоскости П2. На фронтальной плоскости проекций точка M показана в скобках , как невидимая (для глаза наблюдателя, смотрящего на плоскость П2 по направлению луча К.
На эпюре (чертеже) видимость на плоскости П2 точек M и N
определяется по горизонтальным проекциям этих точек.
1.12 Проецирование плоского прямого угла
Теорема: если одна из сторон плоского прямого угла параллельна какой либо плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна этой плоскости, то на эту плоскость проекций прямой угол
проецируется без искажения (рис.1.29).
Дано:  ABC=90°; BC ║ П1 (BC ║ B'C');
Сторона AB не перпендикулярна плоскости проекций П1. Требуется доказать:  A'B'C'=90°.
Доказательство: 1. АВ пересекает плоскость П1 в точке К;
2. Проводим KL ║ BC, по теореме о трех перпендикулярах: если
прямая перпендикулярна наклонной прямой (KL  AB), то она
перпендикулярна и её проекции (KL  A'B'), тогда:
 AKL=90° и  A'KL=90°; 3. KL ║ B'C', тогда:  A'B'C'=90°.
Обратная теорема №1: если одна из сторон прямого угла параллельна какой либо плоскости проекций и угол проецируется
прямым, то и проецируемый угол также прямой.
Обратная теорема №2:если угол на какую либо плоскость
проекций проецируется в виде прямого, то хотя бы одна из сторон параллельна этой плоскости проекций.
'
'
Рис.1.29
'
Пример: построить прямую СК через точку С, пересекающую
прямую АВ под углом 90  .
Решение: прямая АВ – частного положения, горизонтальная прямая, на горизонтальную плоскость проекций проецируется в натуральную величину. По теореме о проецировании прямого угла
на П1 из точки С' опускаем перпендикуляр на прямую АВ
(рис.1.30). Основание перпендикуляра обозначаем точкой К'. Из
точки К' проводим линию связи до пересечения с А''В''. Получаем
фронтальную проекцию С''К''.
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
Рис.1.30
1.13 Плоскости
Плоскость на чертеже считается заданной, если по одной проекции точки принадлежащей плоскости, можно построить ее другую проекцию.
Плоскость на чертеже может быть задана:
1. Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой
(рис. 1.31);
2. Проекциями двух пересекающихся прямых (рис.1.32);
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
Рис. 1.31
Рис. 1.32
3. Проекциями двух параллельных прямых (рис.1.33);
4. Проекциями прямой и точки (рис.1.34);
''
''
'
Рис. 1.33
'
''
''
'
'
Рис. 1.34
5. Проекциями любой плоской фигуры (рис. 1.35);
6. Плоскость может быть задана следами (рис.1.36).
''
''
''
''
'
'
'
Рис. 1.35
'
Рис. 1.36
1.14 Плоскости общего положения. Следы плоскости
Следом плоскости называется линия пересечения заданной
плоскости с плоскостью проекций.
При пересечении плоскости  с плоскостями проекций П1,
П2, П3 получим треугольник следов X  , Y , Z  . Точки X  , Y , Z 
четко фиксируют положение плоскости  относительно плоскостей проекций П1, П2, П3 (рис.1.37, 1.38). Такая плоскость называется плоскостью общего положения. На этих рисунках обозна''
 ; f o - фронталь'''
ный след плоскости  ; po - профильный след плоскости  .
'
чено: ho - горизонтальный след плоскости
Точки X  , Y , Z  называются точками схода следов плоскости
.
При построении следов плоскости точка их пересечения
может быть использована для проверки построения: оба следа
должны пересекаться между собой в точке на оси проекций. Угол
между следами на чертеже не равен углу, образованному следами
плоскости в пространстве. Действительно, в пересечении следов
находится вершина трехгранного угла, две грани которого совпадают с плоскостями проекций. Но сумма двух плоских углов
трехгранного угла больше третьего плоского угла. Поэтому угол,
''
'
образованный следами f o и ho на чертеже, всегда больше угла между этими следами в пространстве.
''
''
'''
'
''
'''
'
'
Рис. 1.37
Рис.1.38
1.15 Плоскости частного положения
Плоскости уровня – плоскости, параллельные плоскостям
проекций П1, П2, П3.
1.  ||П1 – горизонтальная плоскость или плоскость горизонтального уровня (рис.1.39.а);
2.  ||П2 – фронтальная плоскость или плоскость фронтального уровня (рис.1.39.б);
3.  ||П3 – профильная плоскость или плоскость профильного уровня (рис.1.39.в).
Проецирующие плоскости – плоскости перпендикулярные
плоскостям проекций П1, П2, П3:
1.   П1– горизонтально- проецирующая плоскость рис.1.40);
2.   П2 – фронтально- проецирующая плоскость (рис.1.41);
3.   П3 – профильно- проецирующая плоскость (рис.42).
''
''
а)
Рис. 1.39
'
'
б)
в)
''
''
''
''
'
'
'
'
Рис.1.40
''
''
''
''
'
'
'
Рис. 1.41
'
''
'''
''
'''
'
'
Рис.1.42
1.16 Точка и прямая на плоскости
Если хотя бы две точки прямой принадлежат плоскости, то
прямая также принадлежит этой плоскости. Точка принадлежит
плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей
этой плоскости.
Рассмотрим пример о принадлежности прямой АВ плоскости  (рис.1.43). Продолжим прямую АВ до пересечения со следами заданной плоскости  . Точки прямой М и Р принадлежат
плоскости  . В то же время точки М и Р являются следами прямой АВ, т.к. принадлежат плоскостям проекций П1 и П3.
Значит, чтобы прямая принадлежала заданной плоскости,
необходимо, чтобы следы прямой лежали на одноименных с ними следах плоскости.
Пример. Найти следы плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми n (n', n") и m (m', m"). Для построения следов заданной плоскости, необходимо найти следы прямых n (n',
n") и m (m', m") и через следы прямых провести следы плоскости.
'
Контролем точности построения ho и f o является их общая
точка X  (точка схода следов) на оси Х (рис. 1.44).
''
Рис.1.43
''
''
''
''
''
''
''
'
''
'
'
'
'
'
'
'
Рис. 1.44
1.17 Прямые особого положения плоскости
''
''
1. h (h', h") - горизонталь, прямая, принадлежащая заданной плоскости (  ) и параллельная горизонтальной плоскости
проекции П1 (рис.1.45).
2. f (f ', f ") - фронталь, прямая, принадлежащая заданной
плоскости (  ) и параллельная фронтальной плоскости проекций
П2 (рис.1.46).
3. p (p', p") - профильная прямая, прямая принадлежащая
заданной плоскости (  ) и параллельная профильной плоскости
проекций П3 .
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
''
''
''
''
Рис.1.45
''
''
''
'
'
''
'
'
'
Рис.1.46
4. Линия наибольшего наклона плоскости к плоскости
проекций - прямая, принадлежащая заданной плоскости и перпендикулярна либо горизонтали, либо фронтали, либо профильной прямой данной плоскости. Линия наибольшего наклона к
плоскости проекций П1 называется линией ската плоскости.
Угол между заданной плоскостью и плоскостью проекций
может быть определен с помощью линии наибольшего наклона
(Л.Н.Н.) плоскости к плоскости проекций. Например, согласно
теореме о проецировании прямого угла горизонтальная проекция
линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости или к ее горизонтальному следу.
Для определения угла наклона заданной плоскости (  ) к горизонтальной плоскости проекций П1 необходимо выполнить
следующие построения (рис.1.47):
1. На горизонтальной проекции произвольно проводим линию ската (Л.Н.Н.) перпендикулярно горизонтальному следу
плоскости (горизонтали). По крайним точкам M', N' строим
фронтальную проекцию линии ската. Применяя способ прямоугольного треугольника, находим натуральную величину линии
ската. Угол между горизонтальной проекцией линии ската и ее
натуральной величиной - искомый угол
1 .
''
''
''
''
'
'
'
'
Рис.1.47
1.18 Определение недостающей проекции точки, принадлежащей плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она находиться на прямой принадлежащей данной плоскости (рис.1.48). Через точку
проводят произвольно прямую, принадлежащую плоскости.
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Рис.1.48
1.19 Построение параллельных плоскостей
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые
одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости. Построение параллельных плоскостей на чертеже удобно выполнять с помощью главных линий плоскости –
''
горизонталей и фронталей. f o и ho - тоже две пересекающиеся прямые, поэтому для параллельности плоскостей, необхо'
''
f o'' || f o , ho'  || ho' 
дима параллельность их следов:
(рис.1.49).
Вывод: если следы плоскостей на всех плоскостях проекций параллельны, то заданные плоскости параллельны.
''
''
''
'
''
'
'
'
Рис.1.49
Задача: В точке А построить плоскость

, параллельную
заданной плоскости  (рис.1.50).
Решение: через точку А проводим горизонталь искомой
плоскости: h"|| X; h'||h'оa (горизонтали параллельных плоскостей параллельны). Находим след горизонтали N (N', N") и через
фронтальную проекцию фронтального следа N" проводим фрон''
''
тальный след искомой плоскости f o || f o до пересечения с
осью Х в точке Хb (точка схода следов). Через точку Хb проводим горизонтальный след плоскости
 : ho'  || ho'  .
1.20 Параллельность прямой линии и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей (расположенной на) плоскости.
Пример: через точку А провести прямую параллельную заданной
плоскости  (рис. 1.51а). Решение задачи показано на рис.
1.51.б, рис.1.52 а, рис.1.52 б. На плоскости  проводим прямую
12 (1'2', 1"2" ) произвольно. Далее через точку А: n'||1'2',
n''||1"2".
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
''
Рис.1.50
''
''
''
''
''
'
'
'
''
''
'
'
'
'
'
а)
б)
''
Рис.1.51
''
''
''
''
''
''
''
'
'
''
'
''
'
а)
'
'
б)
Рис.1.52
'
'
'
'
1.21 Построение линии пересечения двух плоскостей
Линия пересечения строится по двум точкам, одновременно
принадлежащим плоскостям a и b , т.е. она должна пройти
через две точки, принадлежащие плоскостям a и b . Если
плоскости заданы следами, то линия пересечения должна иметь
следы, лежащие на следах плоскостей a и b , т.е. в точках пе'
'
''
''
ресечения fo и f o , ho и ho .
Пример №1(рис.1.53). Точки N (N', N") и M (M', M") одновременно принадлежат двум плоскостям a и b .Соединив одноименные проекции точек N и M (N'M'; N"M"), получим проекции линий пересечения.
Вывод: если пересекаются обе пары одноименных следов
плоскостей, то точки пересечения этих следов являются проекциями линий пересечения двух заданных плоскостей. Соединив
одноименные проекции точек, получим проекции линий пересечения плоскостей.
Пример №2. Построение линии пересечения в общем случае. Дано: плоскость D АВС и плоскость a, заданная следами.
Необходимо построить линию пересечения двух плоскостей. Для
построения (нахождения) двух точек K1 и K2 вводим последовательно (произвольно) две дополнительные плоскости γ1 и γ2 –
плоскости-посредники. Построение линии пересечения К1К2 видно из чертежа (рис.1.54).
''
''
''
''
'
'
'
Рис.1.53
'
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
''
''
''
''
''
'
'
''
'
'
'
'
'
Рис.1.54
1.22 Построение точки пересечения прямой линии
с плоскостью
Вариант №1. Дано: Горизонтально проецирующая плоскость α и прямая общего положения l (l', l")(рис.1.55).
Требуется найти общую точку – точку встречи прямой
l (l', l") и плоскости α . Точки принадлежат прямой, если их проекции лежат на проекциях прямой. Точка встречи «К» должна
принадлежать прямой и плоскости α, то есть ее горизонтальная
проекция должна принадлежать следу α'. Точка К (К', K") удовлетворяет этим условиям и является искомой точкой пересечения
прямой l с плоскостью α (рис.1.55). Достаточно найти горизонтальную проекцию К' и отобразить соответствующую ей проекцию K".
''
'
''
''
''
''
'
'
'
'
Рис.1.55
Вариант №2. Дано: α – плоскость общего положения;
l (l’, l”) – прямая общего положения. Найти точку K(K’, K”) –
точку пересечения плоскости α и прямой l.
Решение. Известно, что прямая принадлежит плоскости, если ее следы лежат на следах плоскости. Воспользуемся этим и
проведем через прямую l (l', l") плоскость β – вспомогательную
плоскость (горизонтально - проецирующую) (рис.1.56). Найдем
линию пересечения плоскостей α и β – 1-2. Линия пересечения
1-2 пересекается с прямой l, лежащей в плоскости β в точке
K (K', K"). Точка К принадлежит прямой и линии пересечения
K
плоскости α и β, то есть принадлежит плоскости α. Точка
(K', K") является искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью α.
Вывод: для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо:
1. Через заданную прямую провести вспомогательную
плоскость (прямую заключить во вспомогательную плоскость)
2. Построить линию пересечения заданной плоскости и
вспомогательной.
3. Искомая точка будет на пересечении данной прямой и
линии пересечения плоскостей.
Точку пкресечения прямой с плоскостью называют также точкой встречи прямой с плоскостью.
''
''
''
''
'
''
''
' = ''
'
' '
''
'
'
'
'
'
'
'
Рис. 1.56
Вариант №3. Дано: Треугольник ABC – плоскость общего
положения, прямая l – прямая общего положения. Найти точку
пересечения K(K', K") (рис.1.57).
Решение. Плоскость β пересекает сторону треугольника
AB в точке 1(1', 1"), а сторону AC в точке 2(2', 2"), то есть 1-2(1'2', 1"-2") – линия пересечения треугольника ABC плоскостью β.
В плоскости β расположена и прямая l (l', l"), пересекающаяся с
линией 1-2 в точке K (K', K"). Значит точка K (K', K") является
точкой встречи прямой l с треугольником ABC.
Видимость прямой l относительно треугольника ABC определяют методом конкурирующих точек. Точка K(K', K") является границей видимости частей прямой l (l', l"). Определим видимость отдельных частей прямой l на горизонтальной плоскости
проекций П1. Точки 1 и Е, принадлежащие прямым AB и l – конкурирующие точки, расположенные на одном проецирующем луче к фронтальной плоскости проекций П2. Точка 1, принадлежащая прямой AB, расположена выше точки F, принадлежащей
прямой l. Значит на горизонтальной плоскости проекций П1 прямая l до точки K (K') будет невидима. Сторона треугольника AB
расположена выше прямой и прямая l (l') до точки K (K') будет
находиться под плоскостью треугольника. Используя тот же
принцип, определяем видимость прямой l на фронтальной плоскости проекций П2. Точка F, принадлежащая стороне BC треугольника ABC, расположена на одном проецирующем луче с
точкой D. Точка D принадлежит прямой l. Из чертежа видно, что
точка F закрывает точку D, значит на фронтальной плоскости
проекций П2 прямая l справа от точки K (K") невидима.
Вывод: видимость заданных элементов на горизонтальной
плоскости проекции П1 определяют по фронтальной плоскости
проекций П2, по величине координаты «Z». Видимость элементов
на фронтальной плоскости проекций П2 определяют по горизонтальной плоскости проекций П1 по величине координаты «Y».
''
''
''
''
''
''
''
''
'
' '
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
Рис.1.57
В разделе 1.21 изложен общий способ построения линии пересечения двух плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей. Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям общего положения.
Необходимо построить линию пересечения треугольников АВС
и DEF. В пересечении двух плоских фигур получают прямую ли-
нию, которую строят по двум общим точкам. Такими точками являются, например, точки пересечения сторон одной плоскости с
другой плоскостью. Для их нахождения необходимо дважды решить задачу о нахождении точки пересечения прямой с плоскостью. Линия пересечения К1 К2 (рис. 1.58) построена по точкам
пересечения сторон ВС и СА треугольника АВС с плоскостью
треугольника DEF. Для этого проведены две вспомогательные
фронтально проецирующие плоскости '' и '' . Плоскость '' ,
проведенная через ВС, пересекает треугольник DEF по прямой 12 (1"2",1'2'); в пересечении проекций В'С' и 1'2' получена горизонтальная проекция точки К1 пересечения прямой ВС и треугольника DEF. Аналогично найдена и точка К2.
Видимость треугольников определяется по видимости их
сторон методом конкурирующих точек. При определении видимости на фронтальной плоскости проекций (рис.1.55) берем
две скрещивающиеся прямые, например ЕD(E"D") и СА(С"А").
Точки 3 и 30 (3"30 ") есть фронтальные проекции конкурирующих точек. Построив горизонтальные проекции этих точек, устанавливаем что точка 30' имеет координату "Y" больше чем точка
3'. Значит прямая АС в этой точке будет закрывать прямую ED.
Следовательно на фронтальной плоскости проекций прямая АС
будет видимая, а ED невидимая. При определении видимости на
горизонтальной плоскости проекций берем две скрещивающиеся
прямые, например EF(E'F') и АC(А'С'). Точки 5' и 50 ' (5'50 ') есть
горизонтальные проекции конкурирующих точек. Построив
фронтальные проекции этих точек, устанавливаем, что точка 50 "
имеет координату "Z" больше, чем точка 5". Значит прямая EF в
этой точке будет закрывать прямую АС. Следовательно на горизонтальной плоскости проекций прямая EF будет видимая, а АС
невидимая. О видимости остальных отрезков можно судить, рассмотрев соответствующие конкурирующие точки в местах кажущегося пересечения прямых. Кроме этого следует иметь в
виду, что выясненная видимость действует до линии пересечения, а затем меняется на обратную.
Сущность построения линии пересечения не поменяется,
если в качестве вспомогательных взять, например одну горизонтальную другую фронтальную плоскость.
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Рис.1.58
'
1.23 Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а горизонталь и фронталь, то можно воспользоваться свойством проекции прямого угла (рис. 1.59, а).
Пример 1. Провести перпендикуляр из точки D к плоскости треугольника ABC(рис.1.59, б).
Для того, чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали f плоскости треугольника ABC. После этого из проекции D" восстанавливаем перпендикуляр к f", а из проекции D' – к горизонтали h'.
Полученная прямая m (m', m") - есть перпендикуляр к плоскости.
''
''
т"
''
''
''
''
'
'
'
''
''
''
''
.)
''( Н.В
'
'( Н . В
m
.)
'
'
'
'
'
'
'
а)
б)
Рис.1.59
Пример 2. Из точки А опустить перпендикуляр на плоскость α . Плоскость α задана следами (рис.1.60). Полученная
прямая m (m', m") - есть перпендикуляр к плоскости.
Вывод: построение проекций перпендикуляра к плоскости
основано на теореме о проецировании плоского прямого угла.
Фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна фронтальной проекции фронтали ( в том числе фронтальному следу плоскости). Горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости.
В.)
( Н.
''
''
''
= ''
'
'
(Н
'
. В.
)
Рис.1.60
1.24 Взаимно перпендикулярные плоскости
Построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α,
может быть произведено двумя путями: 1) плоскость β проводится через прямую, перпендикулярную к пл. α; 2) плоскость β проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. α или параллельной этой плоскости.
Таким образом, плоскости перпендикулярны, если одна из
них имеет (содержит) прямую перпендикулярную к другой плоскости.
Пример: Построить плоскость, проходящую через т. А b
плоскости α (рис.1.61).
Решение: Задаем искомую плоскость двумя пересекающимися прямыми «n» и «m» в точке А. Одну прямую «n» проводим
через точку А перпендикулярно заданной плоскости:
n '  ho'  ( Н .В.), n ''  f o'' ( Н .В.) . Вторую прямую m ( m ' , m '' ) проводим через точку А произвольно. Если искомую плоскость необходимо задать следами, надо построить следы прямых «n» и «m»
и через следы прямых провести следы плоскости.
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
Рис.1.61
1.25 Многогранники
Многогранниками называются тела, ограниченные плоскостями, называемыми гранями. Стороны многоугольников называются ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Многогранники бывают прямые и наклонные.
К прямым относятся:
- призмы, у которых ребра перпендикулярны основанию;
- пирамиды, у которых высота проходит через центр основания. Многогранники, не отвечающие этим требованиям относятся
к наклонным.
1.26 Точки и линии на поверхности многогранника
Недостающая проекция точки на поверхности многогранника находится при помощи вспомогательной прямой, проведенной на грани многогранника (рис.1.62). Построение понятно из
чертежа. Нахождение недостающей проекции точки на грани показано на рис. 1.62,а; точки на ребре многогранника -рис. 1.62,б;
Нахождение недостающей проекции линии на грани многогранника показано на рис.1.63.
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
а)
б)
Рис.1.62
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Рис.1.63
'
1.27 Сечение многогранника плоскостью
При сечении многогранника плоскостью получаем фигуру
сечения в виде многоугольника, вершины которого расположены
на ребрах многогранника, а стороны – на гранях (рис.1.64).
При сечении многогранника проецирующей плоскостью одна проекция фигуры сечения совпадает со следом секущей плоскости, а вторая строиться по первой при помощи линий связи
(рис.1.65).
''
''
''
''
''
°
°
°
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
Рис.1.64
Рис.1.65
1.28 Пересечение многогранника прямой линией
Для нахождения (определения) точек пересечения прямой с
поверхностью многогранника, прямую надо заключить в проецирующую плоскость. Построить сечение многогранника проецирующей плоскостью. Точки пересечения проекции прямой с проекцией полученной фигуры сечения – искомые точки (рис.1.66).
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
Рис. 1.66
1.29 Взаимное пересечение многогранников
При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.
1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с
гранями другого и ребер второго с гранями первого. Через
построенные точки в определенной последовательности
проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те
построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.
2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой.. Эти отрезки являются
звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.
Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой и плоскости. Обе эти задачи рассмотрены выше.
Глава 2. Способы преобразования чертежа
Цель преобразования чертежа состоит в упрощении решения ряда геометрических задач, исходные элементы которых заданы в их общем положении относительно плоскостей проекции.
Преобразование чертежа идёт в двух направлениях:
1. Не меняя положения заданных элементов, выбирают новую
систему плоскостей проекции, относительно которой заданные элементы оказываются в частном положении – способ
перемены плоскостей проекций.
2. Не меняя положения заданной системы плоскостей проекции (П1, П2) перемещают заданные элементы в частное положение относительно плоскости проекции (П1,П2) – способ
вращения, способ плоскопараллельного перемещения.
2.1 Способ перемены плоскостей проекций
Сущность этого способа состоит в том, что не меняя положения заданных элементов, берут новую плоскость проекций
(П4), располагая её перпендикулярно к одной из оставляемых (П1
или П2) и так, чтобы заданные элементы оказались в частном положении относительно новой плоскости проекции. Перемену
плоскостей проекции можно выполнять последовательно несколько раз (рис.2.1).
Новая проекция т.А располагается на новой линии связи,
перпендикулярной к новой оси (Х1) проекций на расстоянии от
неё, равном расстоянию от заменяемой проекции до заменяемой
оси. Условия проецирования те же, т.е. точки находятся на перпендикуляре к новой оси. Ось Х1 представлена как линия пересечения плоскостей проекции П1 с новой плоскостью проекции П4
(рис.2.2). Способом перемены плоскостей проекции решают различные планиметрические и стереометрические задачи.
Ось проекций принято отмечать записью в виде дроби, считая, что черта лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы числитель и знаменатель дроби, причем
каждая буква ставится по ту сторону оси, где должны размещаться соответствующие проекции.
''
v
'
Рис.2.1
''
'
'
Рис.2.2
Пример 1.Определить натуральную длину отрезка АВ и
угол наклона АВ к плоскости П1 и П2 способом перемены плоскостей проекций..
Натуральная величина прямой АВ будет определена, если
одна из плоскостей проекции будет параллельна этой прямой. Для определения угла наклона прямой АВ к П1 проводим
новую ось проекции Х1 параллельно А'В'. Данную систему плоскостей проекции П2- П1 меняем на новую систему П1 - П4. На
плоскость П4 прямая АВ спроецировалась в натуральную величину. Угол φ1- угол наклона прямой АВ к плоскости проекции П1
(рис.2.3). Чтобы определить угол наклона прямой АВ к плоскости
проекций П2 необходимо ось проекций Х1 провести параллельно
А"В" и произвести аналогичные действия.
''
''
'
'
V
'
'
V
Рис.2.3
Пример 2. Определить натуральную величину треугольника
АВС способом перемены плоскостей проекций и угол его наклона к плоскости проекций П1. Решение: в треугольнике АВС проводим горизонталь. На плоскости проекции П1 горизонталь треугольника АВС проецируется в натуральную величину. Систему
плоскостей проекций П2 - П1, меняем на новую П1 - П4. Новую
плоскость проекций П4 и новую координатную ось Х1 необходимо провести перпендикулярно горизонтали h' (НВ). На новую
плоскость проекций П4 горизонталь h спроецировалась в точку
hIV. Плоскость треугольника АВС на П4 стала проецирующей
(спроецировалась в линию (СIVАIVВIV) (рис.2.4). Далее новую плоскость П5 необходимо провести параллельно плоскости треугольника АВС, т.е. систему плоскостей проекций П 1 - П4 меняем на
новую П4 - П5. На плоскость П5 треугольник АВС проецируется в
натуральную величину. Угол φ1 - угол наклона плоскости треугольника к плоскости проекций П1.
''
''
''
''
''
'
'
'
'
V
'
'
'
V
V
'
Рис.2.4
'
V
'
V
2.2 Способ вращения
2.2.1 Вращение вокруг проецирующих прямых
Не меняя положения заданной системы плоскостей проекции (П1 - П2) перемещают заданные элементы в частное положение относительно плоскостей проекций.
Пример1. Вращение вокруг проецирующих прямых. Дано:
точка А, ось вращения i  П1. Необходимо т.А повернуть на угол
φ (рис.2.5, а, б).
При вращении вокруг проецирующей (неподвижной оси)
точка «А» перемещается в плоскости (α) перпендикулярной к оси
вращения (i). Плоскость α называется плоскостью вращения. Заданная точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси (i) с плоскостью вращения (α), а
радиус окружности равен расстоянию от вращаемой точки до
центра (i). Если точка находится на оси вращения, она будет неподвижной.
Вывод: при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной
к плоскости проекций, перемещение точки «А» на одной из плоскостей проекций будет по окружности, а на другой – по прямой
линии, перпендикулярной к оси вращения.
''
''
''
''
''
''
'
'
''
'
'
'
'
а)
'
б)
Рис.2.5
Пример 2. Дано: Отрезок АВ(А'В', А''В''). Необходимо
определить натуральную величину отрезка и угол его наклона к
плоскости проекций П1.
Решение: угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1
определяется на П2 (фронтальной проекции) (рис.2.6). Отрезок
АВ необходимо повернуть таким образом, что бы он был параллелен фронтальной плоскости проекции. Ось вращения (i) располагаем в точке А и перпендикулярно горизонтальной плоскости
проекций. Точка А остаётся неподвижной, а точку В поворачиваем радиусом Rв, чтобы отрезок АВ стал параллелен фронтальной
плоскости проекций. На фронтальной проекции через т. В(В'')
проведём плоскость α'' (плоскость вращения) точки В перпендикулярно оси вращения i (i'').
На фронтальной проекции получаем натуральную величину
отрезка АВ и угол (φ1) его наклона к плоскости проекций П1.
Пример 3. Дано: Плоскость α ( h'0 , f ' '0 ) - плоскость общего положения. Заданную плоскость необходимо преобразовать
во фронтально проецирующую (рис.2.7).
Решение: Ось вращения i(i', i'') расположена на фронтальной плоскости проекции перпендикулярно к П1. Из точки i'
(центр вращения) необходимо опустить перпендикуляр на горизонтальный след плоскости h '0 . Затем точку 1' поворачиваем до
пересечения с осью Х, и отмечаем новое положение точки 1 ' .
Точка 2' (2'') распложена на оси вращения i(i'') – она неподвижна. Соединяя точки 2'' и 1 ' ' - получаем новую проекцию
фронтального следа плоскости α''.
Горизонтальный след h '0 получаем, построив перпендикулярно к оси Х из точки 1.
''
''
''
'' '
''
''
''
''
'
'
'
'
'
Рис.2.6
'
'
'
''
Рис.2.7
2.2.2 Вращение вокруг линии уровня
Вращение вокруг линий уровня (горизонтали, фронтали)
плоскость общего положения можно преобразовать в плоскость
уровня (горизонтальную, фронтальную). Этот способ применяют
для решения задач, исходные элементы которых располагаются в
одной плоскости.
Если за ось вращения принять горизонталь, то плоскости
вращения точек будут горизонтально-проецирующими. Горизонтальные проекции вращающихся точек будут перемещаться на
чертеже по перпендикулярам к горизонтальной проекции горизонтали, принятой за ось вращения.
Параллельность преобразуемой плоскости горизонтальной
плоскости проекций фиксируется в тот момент, когда радиусы
вращения точек будут проецироваться на горизонтальную плоскость проекций без искажения (т.е. параллельно П1).
В различные моменты вращения точки «С» радиусы вращения будут проецироваться на след α' с искажением за исключением положения ОС2 и ОС3, когда радиусы проецируются без
искажения т.е. в натуральную величину (рис.2.8). Для определения натуральной величины радиуса вращения точки С ( С ' С '')
вокруг горизонтали h (h',h'') необходимо из точки С ' опустить
'
'
'
'
'
'
'
Рис.2.8
перпендикуляр на горизонтальную проекцию горизонтали h'
(рис.2.9). Точка С вращается в горизонтально проецирующей
плоскости α (α'). Точка О (О'О") является центром вращения для
точки С. Далее способом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину радиуса вращения ОС. После вращения получаем точку C ' - новое положение точки С.
Пример 1. Дано: треугольник АВС. Определить натуральную величину треугольника АВС способом вращения вокруг горизонтали (рис.2.10).
Решение. Через точку В(В',В'') проводим горизонталь (ось
вращения). Точки В(В') и 1(1') остаются неподвижными на оси
вращения. Определяем плоскости вращения точек А(А') и С
(С').Точка А(А') вращается в горизонтально-проецирующей
плоскости α', точка С – в горизонтально проецирующей плоскости β'. Эти плоскости перпендикулярны к h'. Рассматриваем ту
точку, которая расположена дальше от h'. Центр вращения точки
С(С') – О(О'). Далее находим проекции радиуса вращения ОС
(О'С' и О''С''). Способом прямоугольного треугольника (можно
вращением ) определяем натуральную величину ОС. Построение
''
''
''
''
'
Ос
'
'
'
'
ь
'(
вр
ащ
ен
ия
Рис.2.9
видно из чертежа. Радиусом Rс точку С вводим в плоскость вращения β'. Соединяем точки C ' с 1' и на продолжении до пересечения с плоскостью α' получаем новое положение точки А( A ' ).
Треугольник A ' В' C ' - спроецирован в натуральную величину.
2.3 Способ плоскопараллельного перемещения
Способ плоскопараллельного перемещения иногда называют
способом вращения без указания оси вращения. Сущность способа плоскопараллельного перемещения состоит в том, что заданные элементы, как жёсткую систему, поворачивают в нужное
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
Рис.2.10
положение и одновременно переносят на новое место путём
вращения вокруг некоторой оси. Положение оси на чертеже не
указывают, подразумевая, что ось является проецирующей прямой. При перемещении заданных элементов одна их проекция
будет неизменной, а на другой проекции перемещения заданных
точек будут по линиям параллельным оси Х. Все точки перемещаются в плоскостях параллельно какой-либо плоскости проекций. Определение натуральной величины отрезка способом плоскопараллельного перемещения показано на рис. 2.11. φ1 - угол
наклона данного отрезка к плоскости проекций П1.
''
''
''
1
''
'
'
'
'
Рис.2.11
Пример 1. Определить натуральную величину треугольника
АВС и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций
способом плоскопараллельного перемещения (рис. 2.12).
На рис. 2.12 приведены две стадии поворота треугольника
АВС, расположенного в плоскости общего положения, с целью
получения натуральной величины этого треугольника. Треугольник в своем положении параллелен плоскости проекций П1, и,
следовательно, проекция треугольника представляет собой натуральную величину (Н.В.). Но чтобы получить такое положение,
необходимо предварительно повернуть плоскость общего положения, в которой расположен треугольник, так, чтобы эта плоскость оказалась перпендикулярной к П2. А для этого необходимо
взять горизонталь в треугольнике АВС и повернуть до перпендикулярности к П2; тогда и треугольник, содержащий эту горизонталь, окажется перпендикулярным к П2. Так как построение
производится без указания осей вращения, то горизонтальную
проекцию треугольника располагаем произвольно, но так, чтобы
горизонталь оказалась перпендикулярной к П2. При этом повороте горизонтальная проекция треугольника сохраняет свой вид и
величину, изменяется лишь ее положение. Фронтальная проекция
треугольника превращается в прямую линию (построение понятно из чертежа).
При втором повороте, приводящем треугольник в параллельное П1 положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к П2. Теперь фронтальная проекция при повороте сохраняет вид и величину, полученные во второй стадии поворота, а на
горизонтальной проекции получается натуральная величина треугольника. При таком способе несколько упрощаются построения
и не происходит наложения проекций одной на другую.
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
)
'
'(
'
'
'
)
''
''
'
'(
''
'
'
'
Рис.2.12
'
'
'
Глава 3. Поверхности
3.1 Кривые линии
Линию можно рассматривать как след непрерывно движущейся точки или как результат взаимного пересечения поверхностей. В зависимости от того, принадлежат ли все точки кривой
одной плоскости или нет, кривые линии разделяются на плоские
и пространственные.
Плоские: Окружность, эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, спираль Архимеда.
Пространственные: цилиндрическая, коническая, сферическая, винтовая.
3.2 Задание кривых линий и их свойства
В начертательной геометрии кривые лини изучаются по их
проекциям на чертеже. В общем случае достаточно двух проекций кривой.
Если кривая задана уравнением или координатами точек, то
на чертеже строят проекции её точек и соединяют их по лекалу.
При этом различают точки обыкновенные и особые.
 Обыкновенной точкой называется точка кривой в которой
направление вращения касательной последовательно и не
меняется (рис.3.1).
 Особыми называют точки, в которых направление вращения
касательной изменяется на обратное (точки возврата, точки
перегиба) (рис.3.2).
Для плоской кривой достаточно одной проекции, чтобы судить о характере её точек, а для пространственной кривой необходимо наличие двух её проекций.
Так же как и для плоской кривой, касательная к кривой в
пространстве проецируется в касательную к проекции этой кривой. Проецирующая плоскость, проведённая через касательную к
проекции кривой, касается кривой в пространстве. Примером
пространственной кривой является винтовая линия (рис.3.3). Цилиндрическая винтовая линия часто встречается в практике пространственных кривых. Такую линию описывает точка, совершающая равномерное движение по образующей цилиндра вра-
щения, которая в свою очередь, равномерно вращается вокруг
оси цилиндра. Смещение АВ точки «А» вдоль образующей при
полном одном обороте называется шагом. Различают правую и
левую винтовые линии.
Рис.3.1
Рис.3.2
Рис.3.3
3.3 Задание поверхности
В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Поверхность на
чертеже считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить ее другую проекцию.
Существует два основных способа задания поверхности:
1. Поверхности, заданные каркасом. Упорядоченное множество точек и линий, принадлежащих поверхности, называется
каркасом поверхности. В качестве линий, образующих каркас
обычно берут семейство плоских кривых, полученных в результате сечения поверхности пучком параллельных плоскостей.
Для того, чтобы по каркасу можно было судить о форме поверхности следует задавать ее двумя семействами плоских сечений «a» и «b» (рис.3.4).
Рис.3.4
2. Кинематический способ задания поверхности. Поверхность можно рассматривать как совокупность последовательных
положений некоторой линии «l», перемещающейся в пространстве по определенному закону.
Эта совокупность представлена в виде определителя поверхности:
Ф = ГА,
где Г – геометрическая часть, А – алгебраическая часть.
При образовании поверхности линию, перемещающуюся и
производящую поверхность в каждом своем положении, называют образующей. Линии, на которые опирается образующая в своем движении называют направляющими. В зависимости от вида
образующих поверхности разделяют на линейчатые и нелинейчатые. Линейчатые поверхности подразделяются на развертываемые и неразвертываемые. Развертываемые поверхности это
такие, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок.
3.4 Поверхности линейчатые развертываемые
Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии по криволинейной направляющей (m). Образующая
( l ) в каждом своем положении параллельна некоторому заданному направлению «S». Точка «А», принадлежащая цилиндрической поверхности задана фронтальной поверхностью А" (рис.3.5).
Для построения горизонтальной проекции точки, через точку А (А") проводим фронтальную проекцию образующей ( l" ),
параллельно направлению «S» до пересечения с направляющей в
точке 1 (1', 1"). На горизонтальной проекции через точку 1' проводим (l') параллельно направлению «S» и проецируем точку А
(А', А") (рис.3.5).
''
'
'
''
''
''
''
'
'
'
Рис.3.5
Коническая поверхность образуется движением прямой
линии ( l ) по криволинейной направляющей. Образующая в каждом своем положении проходит через точку, называемую вершиной «S» (рис.3.6).Точка А ( А") задана фронтальной проекцией. Горизонтальная проекция (А') построена при помощи образующей ( l ) ( l', l" ) конической поверхности.
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
Рис.3.6
Поверхность с ребром возврата (торс) – образуется движением прямой линии ( l ) ( образующей), в каждом своем положении касательной к пространственной кривой «m» (рис.3.7).
Рис.3.7
3.5 Поверхности линейчатые неразвертываемые
Цилиндроид – образуется движением прямой линии (l) по
двум не лежащим в одной плоскости криволинейным направляющим (n, m). Образующая (l) в каждом своем положении параллельна некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма (a) (рис3.8,а). Точка А ( А") задана фронтальной проекцией. Построение горизонтальной проекции точки А ( А') видно
из чертежа.
Коноид – образуется движением прямой линии (l) (образующей) по прямолинейной и криволинейной направляющим, не
лежащим в одной плоскости. Образующая в каждом своем положении параллельна плоскости параллелизма (a) (рис.3.8,б).
Точка А(А') задана горизонтальной проекцией. Фронтальная проекция точки А(А") построена по принадлежности образующей l
(l') .
''
''
''
''
''
'
'
'
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
''
'
'
а)
'
'
'
'
'
б)
Рис.3.8
Гиперболический параболоид (косая плоскость) – образуется движением прямой линии l (образующей) по двум, не лежащим в одной плоскости, прямолинейным направляющим. Обра-
зующая в каждом своем положении параллельна плоскости параллелизма a (рис3.9).
Точка А (А') на поверхности гиперболического параболоида
задана горизонтальной проекцией. Фронтальная проекция точки
А (А") построена по принадлежности образующей l (l') .
''
''
''
''
''
'
'
''
'
'
'
'
'
Рис.3.9
3.6. Нелинейчатые поверхности
Образующие и направляющие этих поверхностей являются
кривыми 2-го порядка. Одним из примеров является трехосный
эллипсоид (рис.3.10).
К этому типу поверхности относится циклическая поверхность, которая образуется окружностью переменного или постоянного радиуса, центр которой перемещается по какой либо кривой. Для такой поверхности встречается название каналовая. Направляющей кривой линией для такой поверхности может быть
цилиндрическая винтовая линия. Примером может служить поверхность цилиндрической пружины с круглым сечением витков.
''
'''
'
Рис.3.10
3.7 Поверхности вращения
Поверхности вращения общего вида образуется произвольной кривой при ее вращении вокруг неподвижной оси
(рис.3.11). Плоскости, перпендикулярные оси вращения, пересекают поверхность вращения по окружностям (параллелям). Горло
– малая параллель. Плоскость, проходящая через ось вращения
(i") пересекает поверхность по двум меридианам. Меридиан, который лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным меридианом. Можно назвать вершиной поверхности вращения точку пересечения меридиана этой поверхности с ее осью, если в пересечении не образуется прямой угол.
''
Рис.3.11
1.
2.
3.
4.
Рассмотрим некоторые поверхности вращения:
Сфера – получается вращением окружности вокруг оси, когда центр ее лежит на этой оси (рис. 3.12, а).
Тор – образуется вращением окружности ( l ) ( l', l" ) или
дуги окружности вокруг оси i (i', i") , когда центр ее не
лежит на этой оси (рис. 3.12, б).
Цилиндр вращения образуется вращением прямой ( l ) вокруг параллельной ей оси (i) (рис. 3.14).
Прямой круговой конус вращения образуется вращением
прямой ( l ) вокруг пересекающейся с ней оси (i) (рис. 3.14).
Для цилиндра и конуса вращения меридианы являются
прямыми линиями – в первом случае параллельными оси и
равноудаленными от нее, во втором случае пересекающими
ось в одной и той же точке под одним и тем же углом к оси.
''
''
''
''
''
' ''
'
а)
'
'
б)
Рис.3.12
3.8 Винтовые поверхности
Винтовой называется поверхность, которая описывается,
какой либо линией – образующей при ее винтовом движении. Так
как точки образующей при ее винтовом движении соосные цилиндрические винтовые линии, то винтовая поверхность может
быть образована движением образующей по соосным цилиндрическим винтовым линиям, которые будут ее направляющими.
Если образующей винтовой поверхности является прямая
линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая к
оси геликоида или наклонна.
Прямой геликоид образуется движением прямолинейной
образующей по двум направляющим, из которых одна является
цилиндрической винтовой линией, а другая – ее ось I (I', I»)
(рис.3.13)
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
''
'
'
'
'
'
'
Рис.3.13
3.9 Точка и линия на поверхности
Точка принадлежит поверхности, если она находиться на
линии (прямой, окружности) принадлежащей поверхности (рис.
3.14). Нахождение недостающих проекций точек на поверхности
цилиндра, конуса, сферы понятно из чертежа.
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'' ''
''
''
'
'
'
'
'
'
' '
'
'
'
'
'
'
Рис.3.14
3.10 Плоскости, касательные к поверхности
Через каждую точку поверхности, кроме особых точек,
можно провести любое число касательных, все они будут лежать
в одной плоскости называемой касательной плоскостью.
Для построения касательной плоскости к поверхности,
астаточно провести через заданную точку две произвольные
ассательные. Для их построения на поверхности выбирают наиболее простые линии (для поверхности вращения – окружности).
Например, на поверхности сферы выбирают две окружности, а к
этим двум окружностям проводят две касательные, которые образуют искомую плоскость (рис.3.15). Построение касательных
плоскостей к точке на поверхности конуса и самопересекающегося тора показано на рис. 3.16.
''
''
''
''
'
'
'
'
Рис.3.15
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
''
'
'
'
'
'
'
Рис.3.16
3.11 Пересечение поверхностей вращения плоскостью
Основным способом построения точек линии пересечения
поверхности с плоскостью является способ вспомогательных
проецирующих плоскостей, который заключается в следующем:
вводится ряд вспомогательных проецирующих плоскостей, пересекающих данную поверхность по некоторым линиям, а данную
секущую плоскость – по прямым. Точки пересечения этих линий
с соответствующими прямыми, являясь общими для данной поверхности и данной плоскости, будут точками искомой линии пересечения.
Из чертежа взаимное положение плоскости и поверхности
вращения очевидно только в некоторых частных случаях, например, когда плоскость является проецирующей (рис.3.17). При построении линии пересечения поверхности прямого кругового
цилиндра с фронтально проецирующей плоскостью использовали
способ замены плоскостей проекций (рис.3.18).
''
''
'
Рис.3.17
'
'
''
''
''
''
''
''
'
''
''
''
' '
'
'
' '
'
Рис. 3.18
При пересечении конуса вращения (прямого кругового конуса) плоскостью могут быть получены следующие линии:
1. Две прямые – образующие конуса, если секущая плоскость
(  " ) проходит через вершину конуса (рис.3.19, а);
2. Окружность – если секущая плоскость (  " ) перпендикулярна оси конуса (рис. 3.19, б);
3. Эллипс – если секущая плоскость (  " ) пересекает все образующие конуса (и не перпендикулярна оси конуса)
(рис.3.20, а);
4. Парабола – если секущая плоскость (  " ) параллельна одной образующей конуса (рис.3.20, б);
5. Гипербола – если секущая плоскость (  " ) параллельна
двум образующим и оси конуса (рис.3.21).
Таким образом, для построения линии пересечения поверхности плоскостью необходимо определить характерные точки:
а) высшие, низшие ;
б) крайние левую и правую;
в) промежуточные (дополнительные) точки с помощью
вспомогательных плоскостей;
г) отделяющие видимую часть линии пересечения от невидимой;
д) расположенные на очерковых линиях.
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
а)
б)
Рис.3.19
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'' ( '')
''
'' ( '')
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
а)
б)
Рис.3.20
'''
''
''
'''
''
'
''
'
'''
'' ( '')
'
'
'
'''
'
'
'
Рис.3.21
'''
'''
3.12 Пересечение поверхности с прямой
Для построения (нахождения) точек пересечения линии и поверхности необходимо:
1. Заданную линию (прямую или кривую) заключить во вспомогательную плоскость или поверхность;
2. Построить линию пересечения заданной поверхности и
вспомогательной плоскости или поверхности;
3. Искомые точки (входа и выхода) пересечения линии и поверхности будут на пересечении построенной линии сечения и заданной линии.
Пример. Построить точки пересечения поверхности вращения
(тора) с прямой l (рис.3.22).
Решение. Прямую l(l') заключаем в горизонтальнопроецирующую плоскость α(α'). Пересечение поверхности тора
и плоскости α будет по кривой 4-го порядка. Отмечаем низшие
точки сечения A (A'A») и B (B'B»). Они расположены на основании тора. Высшая точка «С'» отмечена на перпендикуляре к следу плоскости α(α'). Построение видно на чертеже. Две промежуточные точки 1(1', 1») и 2(2', 2») берем произвольно, и на фронтальной проекции находим их по принадлежности окружности.
Точка D(D', D») расположена на фронтальном очерке. Соединяем
точки на фронтальной проекции, учитывая их расположение на
горизонтальной проекции, а также их видимость. Полученная линия сечения пересекает прямую l(l') в двух точках N(N', N») и
M(M', M»).
3.13 Взаимное пересечение поверхностей (метод
секущих плоскостей)
Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее
отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностей посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью (в частном
случае плоскостью) и определяя линии пересечения ее с данными
поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, при-
надлежащие искомой линии пересечения. Ряд точек, общих для
этих поверхностей, соединяют плавной кривой линией.
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Рис. 3.22
Точки определяют в следующем порядке:
1. Характерные или опорные точки:
'
а) точки, лежащие на крайних образующих или на очерке поверхности (на контурных линиях одной из поверхностей);
б) точки, отделяющие видимую часть линии пересечения от
невидимой.
2. Крайние точки (высшие, низшие, правые, левые).
3. Промежуточные или случайные точки.
Для нахождения произвольной (промежуточной) точки линии
пересечения необходимо:
1. Ввести вспомогательную плоскость или поверхность;
2. Построить линию пересечения вспомогательной плоскости
(или поверхности) с заданными поверхностями;
3. На пересечении построенных линий отметить искомые точки.
Пример. Построить линию пересечения конуса и сферы
(рис.3.23). Решение:
1. Определяем опорные точки: A(A',A») – низшая и B(B',B») –
высшая;
2. Две другие характерные точки C(C', C») и D(D', D») находим с помощью секущей плоскости α»1, проходящей через
экватор сферы;
3. Далее находим промежуточные точки 1(1', 1») и 2(2', 2») с
помощью плоскости
α2
и 3(3', 3») и 4(4', 4») с помощью
плоскости α3.
На фронтальной проекции соединяем полученные точки. На
горизонтальной проекции соединяем точки в той же последовательности с учетом видимости.
3.14 Взаимное пересечение поверхностей (метод
концентрических сфер)
Метод сфер применяется только в случаях, когда оси пересекающихся тел пересекаются и лежат в плоскости, параллельной
одной из плоскостей проекций. Центр этих сфер будет в точке
пересечения осевых линий заданных поверхностей. Такие сферы
называют концентрическими. Сферы проводятся в границах от
сферы, вписанной в одну из поверхностей (большую) и пересекающей вторую поверхность до сферы, проходящей через самую
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
' '
'
'
'
'
'
'
'
Рис.3.23
удаленную точку пересечения пересекающихся поверхностей.
Построение линии пересечения (перехода) двух поверхностей
вращения сводятся к нахождению точек этой линии. Полученная
линия, как правило, представляет собой пространственную кривую (точки кривой не лежат в одной плоскости) (рис.3.24).
Рассмотрим пример построения линии пересечения конуса и
цилиндра. На первом этапе определяют опорные точки A(A"),
B(B"), C(C"), D(D"). Сфера Rmin вписана в большую поверхность.
С помощью этой сферы определены точки 1(1', 1") и 2(2', 2"). Остальное построение видно из чертежа (рис.3.24).
При пересечении двух поверхностей вращения могут получаться плоские кривые (точки которых лежат в одной плоскости).
Это может быть:
-при пересечении сферы любой поверхностью вращения,
ось которой проходит через центр сферы (рис.3.25, рис.3.26). Такие поверхности называют соосными;
-когда обе пересекающиеся поверхности вращения описаны
вокруг общей сферы с центром в точке пересечения их осей
( рис.3.29).
Конус
''
Цилиндр
''
''
''
''
''
''
''
''
''
Рис.3.24
''
''
''
''
''
'
Рис.3.25
'
'
'
'
Рис.3.26
3.15 Взаимное пересечение поверхностей (метод
эксцентрических сфер)
Указанный метод построения линии пересечения двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры. Данный способ применяется для построения линии пересечения (перехода) двух поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии. Каждая из этих
поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для
обеих поверхностей. Такие пары поверхностей образуют при пересечении какой-либо поверхности вращения с торовой или эллиптической поверхностью. Торовые поверхности, кроме семейства окружностей-параллелей, имеют также окружностимеридианы.
Особенность данного метода состоит в отыскании таких
сфер, которые пересекают обе поверхности по окружностям. После определения опорных точек необходимо провести
несколько проецирующих плоскостей через ось торовой поверхности (рис.3.27). Каждая плоскость пересекает тор по окружности, центр которой лежит на центровой линии тора. Центр любой
сферы, проходящей через данную окружность, лежит на центровом перпендикуляре к плоскости этой окружности. Чтобы та же
сфера пересекала вторую поверхность (конус) также по окружности, необходимо, чтобы центр сферы располагался на оси второй
поверхности (конуса), т. е. в точках пересечения центровых перпендикуляров с осью второй поверхности (конуса).Радиус каждой сферы необходимо подбирать так, чтобы сфера прошла через
окружность выбранного сечения тора. Точки пересечения одноименных окружностей являются точками линии пересечения поверхностей.
3.16 Частные случаи пересечения поверхностей
1. При пересечении тел вращения, линия пересечения, как
правило, представляет собой пространственную кривую (точки
кривой не лежат в одной плоскости). В некоторых случаях могут
получаться плоские кривые (на чертеже на одной из проекций
''
''
''
''
''
''
''
''
''
Рис.3.27
прямые линии). Теорема о двойном соприкосновении: если две
поверхности второго порядка имеют две точки касания, линия их
пересечения распадается на две плоские кривые, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки (рис.3.28).
Нетрудно видеть, что линия пересечения в данном случае
будет представлять собой два одинаковых эллипса, большие оси
которых будут СD и EF, а малые - АВ. Эти эллипсы проецируются на плоскость П2 в отрезки прямых C"D" и E"F".
2. Теорема Монжа: если две поверхности второго порядка
описаны около третьей поверхности второго порядка, то линия
их пересечения распадается на две плоские кривые второго по-
рядка. Эта теорема является следствием теоремы о двойном соприкосновении. Требуется построить линию пересечения конуса
и цилиндра, каждый из которых описан около одной и той же
сферы, а оси их параллельны плоскости П2 (рис.3.29). На чертеже
построены линии m" и n" касания сферы с конусом и цилиндром. Отмечены точки «М» и «N» их пересечения, через которые
и проходят искомые плоские кривые АВ и СД (эллипсы).
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
Рис.3.28
''
Рис.3.29
3.17 Развертка поверхностей
Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения данной поверхности с плоскостью чертежа. На рис. 3.30 представлено выполнение развертки
боковой поверхности пирамиды ABCS без построения основания
АВС. Ребро S0А0 расположено произвольно. Далее построение
ведется методом засечек с определением натуральной величины
ребер пирамиды.
При построении развертки принимается, что материал поверхности является гибким, но нерастяжимым и несжимаемым.
Поэтому точно совместить с плоскостью (без складок и разрывов) можно только такие поверхности, которые касаются плоско-
сти по прямой линии (образующей). Такие поверхности называются развертываемые. К ним относятся цилиндрические, конические торсы. Остальные поверхности - неразвертываемые, для них
строят приближенные развертки.
''
''
''
''
'
''
''
'
'
'
'
'
'' ''
' '
'' ''
' '
'' ''
'
'
Рис.3.30
На рис. 3.31 показано построение развертки боковой поверхности цилиндра вращения и плоской кривой на этой поверхности. Построение понятно из чертежа.
D
Рис.3.31
Рассмотрим построение развертки конической поверхности. Несмотря на то, что коническая поверхность является развертываемой и, теоретически имеет точную развертку, практически строят ее приближенную развертку, пользуясь способом триангуляции. Для этого заменяют коническую поверхность вписанной в нее поверхностью пирамиды.
Для прямого кругового конуса развертка представляет собой сектор круга радиусом равным длине образующей конуса с
углом при вершине φ = R/L x 360 (рис.3.32).
Для построения развертки необходимо разделить окружность основания конуса на восемь равных частей, провести образующие и пронумеровать их. На развертке необходимо построить
угол φ, и выполнить дугу радиусом, равным длине образующей
конуса. Для построения плоской кривой на боковой поверхности
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
Рис. 3.32
конуса необходимо дугу 1010 разделить на восемь равных частей
и начертить образующие. На образующих необходимо отложить
натуральные величины отрезков от вершины конуса до соответствующих точек кривой линии.
При построении приближенных разверток развертываемых поверхностей используют следующие способы:
1. Способ малых хорд. При графическом выполнении
развертки приходится спрямлять или разгибать кривые линии,
лежащие на поверхности. В спрямленную или разгибаемую кривую (плоскую или пространственную) вписывается ломаная линия, звенья которой представляют собой небольшие хорды кривой. Если кривую нужно спрямлять, то ее хорды последовательно
откладывают на некоторой прямой и полученный отрезок принимают за приближенную длину дуги кривой. Если же кривую разгибают, то ее хорды последовательно откладывают на той кривой, в которую должна быть разогнута данная кривая.
2. Способ триангуляции. Этот способ применяют, когда
многогранная поверхность, аппроксимирующая данную, имеет
треугольные грани. Рассмотрим построение приближенной развертки боковой поверхности наклонного конуса, заданного круговым основанием и вершиной. В данном примере поверхность
конуса заменяется поверхностью вписанной пирамиды. В процессе построения развертки определяется натуральная величина
граней пирамиды и производится построение примыкающих
один к другому треугольников с общей вершиной S0 (рис.3.33).
Каждый из этих треугольников строится по трем сторонам; при
этом две стороны равны натуральным величинам образующих, а
третья хорде, стягивающей дугу окружности основания между
соседними точками деления.
3.18 Аксонометрические проекции
Метод прямоугольного пpоециpования на несколько плоскос тей проекций, обладая многими достоинствами, вместе с тем
имеет и существенный недостаток: изображения не обладают наглядностью. Одновpеменноe pассмотpение двух (а иногда и бомысленное
воссоздание
лее)
изображений
затрудняет
пpостpанственного объекта. При выполнении технических чертежей часто оказывается необходимым наряду с изображениемпредметов в системе ортогональных проекций иметь изображения более наглядные.
Для построения таких изображений применяют способ аксонометрического пpоециpования, состоящий в том, что данный
предмет вместе с системой трех взаимно пеpпендикуляpных осей
координат, к которым он отнесен в пpостpанстве, параллельно
пpоециpуется на некоторую плоскость, называемую плоскостью
аксонометрических
проекций
или
картинной
плоскостью. Проекция на этой плоскости называется аксонометрической или сокращенно аксонометрией. Аксонометрические проекции, применяемые в чертежах всех отраслей промышленности,
устанавливает ГОСТ 2.317-69.
На рис.3.34 изображена пространственная система ортогональных координат Оx, Оy, Оz, единичные отрезки «е» на осях координат и их проекция в направлении «S» на некоторую плоскость «П», являющуюся аксонометрической плоскостью проекций.
''
'' ''
'' ''
'' ''
'' ''
''
''
'' '' ''
' '
'
''
'' ''
''
''
''
''
'
'
'
' '
' '
'
' '
'
'
'
'
' '
Рис.3.33
Проекции еx, еy, еz отрезка «е» на соответствующих аксонометрических осях ОоХо, ОоYо, ОоZо в общем случае не равны отрезку
«е» и не равны между собой. Отрезки еx, еy, еz являются единицами измерения по аксонометрическим осям – аксонометрическими
единицами
(аксонометрическими
масштабами).
Отношения k = ex /e, m = ey /e, n = ez /e называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям. Отношения
между аксонометрическими проекциями отрезков, параллельных
осям координат X, Y, Z и самими отрезками равны коэффициентам k, m, n. Коэффициенты искажения и угол «φ»,
Рис.3.34
образованный направлением проецирования с картинной плоскостью, связаны зависимостью k2+m2+n2=2+ctg2(φ).
Так как взаимное расположение картинной плоскости П и координатных осей X, Y, Z, а также направление пpоециpования
могут быть различными, то можно получать множество различных аксонометрических проекций.
Если направление пpоециpования не пеpпендикуляpно к картинной плоскости П, то аксонометрическая проекция называется
косоугольной; если же пеpпендикуляpно, - то прямоугольной.
Если все три показателя искажений между собой не равны,
то проекция называется триметрической; если два показателя
искажения равны (напpимеp, k = n), а третий отличен от них, то
проекция называется диметpической; наконец, если все три показателя равны (k = m = n), то проекция называется изометрической.
В практике большое pаспpостpанение получили прямоугольные изометрическая и диметpическая проекции.
Прямоугольные аксонометрические проекции. В прямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения связаны зависимостью: k2 + m2 + n2=2.
Изометрическая проекция. Так как k = m = n, то 3k2 = 2,
k = 0,82, следовательно, коэффициенты искажения по осям
X,Y,Z = 0,82.
Изометрическую проекцию для упрощения, как правило,
выполняют без искажения по осям X, Y, Z, т.е. приняв коэффициент искажения равным «1», что соответствует увеличению линейных размеpов изображения по сравнению с действительными в 1/0,82 = 1,22 pаза. Аксонометрические оси образуют углы
1200. Оси «Х» и «Y» образуют углы 300 с горизонтальной линией
(рис.3.35). При практическом выполнении аксонометрических
проекций ось «Z» принято располагать вертикально.
Диметрическая проекция. Если взять n = k и m = 1/2 k, то
получим k = 0,94, следовательно, по осям X и Z коэффициенты
искажения k = n = 0,94, а по оси «Y» коэффициент искажения m =0,47. Диметрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения по осям «X» и «Z» и с коэффициентом искажения 0,5 по оси «Y». В этом случае линейные pазмеpы увеличиваются в 1/0,94 = 1,06 pаза. Ось «Х» образует угол с горизонтальной линией 7025', а ось «Y» - 41010' (рис.3.36).
Нанесение штриховки. Согласно ГОСТ 2.317 - 69 ЕСКД
линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из проекций диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны координатным осям.
''
'''
'
Рис.3.35
'''
''
'
Рис.3.36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Дисциплина «Начертательная геометрия. Инженерная
графика» состоит из двух структурно и методически согласованных разделов: «Начертательная геометрия», «Инженерная графика». Она является одной из фундаментальных дисциплин в системе подготовки инженерных кадров для различных отраслей
промышленности. Полное овладение чертежом, как средством
выражения технической мысли, а также приобретение устойчивых навыков в черчении достигаются в результате усвоения всего
комплекса технических дисциплин соответствующего профиля,
подкрепленного практикой курсового и дипломного проектирования.
В последнее десятилетие, с развитием компьютерных
технологий, появились широкие возможности создавать чертежи
деталей, сборочных единиц средствами машинной графики,
вплоть до трёхмерного моделирования с параллельным выполнением рабочих чертежей-файлов. Значительно расширилась область применения задач, решаемых методами начертательной
геометрии, которые широко применяют в системах автоматизированного проектирования. Однако не следует забывать, что
компьютер и заложенная в него программа является только инструментом для создания чертежа, а исполнителем остаётся человек.
Изучив базовый курс начертательной геометрии с карандашом
и линейкой, студент становится подготовлен к изучению графических программ, у него уже имеются необходимые основные
знания для реализации компьютерных графических моделей.
Преподаватели кафедры графики дают знания и необходимые навыки не только в изучении предмета, но и в применении его на
практике, как это требует ритм современной жизни.
Пожелания по совершенствованию учебного пособия
просим направлять на кафедру графики (тел. 8-495-677-99-96,
674-63-77).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной
геометрии: Учебное пособие для втузов – М.: Высшая школа, 2008.- 272 с.: ил.
2. Нартова Л.Г., Якунин В.И. Начертательная геометрия:
Учебник для вузов – М.: Дрофа, 2003. – 208 с.: ил.
3. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.
для студ. высш. учеб. заведений.- М.: Гуманит. Изд. Центр
ВЛАДОС, 2002.- 472 с.: ил.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Вопросы для сомоконтроля и самоподготовки
1 глава
1. Проекции центральные и параллельные.
2. Инвариантные свойства параллельных проекций.
3. Положение точки и прямой в пространстве и их изображение
на чертеже. Метод Гаспара Монжа.
4. Особые (частные) положения прямой линии.
5. Точка на прямой.
6. Следы прямой.
7. Определение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и величины углов его наклона к
плоскостям проекций способом прямоугольного треугольника.
8. Взаимное положение двух прямых.
9. Теорема о проекции прямого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций.
10. Способы задания на чертеже плоскостей частного и общего
положения и их следов.
11. Прямая и точка на плоскости.
12. Изображение на чертеже прямых особого положения в плоскости. Определение угла наклона плоскости к плоскостям
проекций.
13. Построение точки пересечения прямой с плоскостью.
14. Построение линии пересечения двух плоскостей – частные и
общие случаи. Определение видимости линий.
15. Построение взаимно параллельных плоскостей, прямой линии
и плоскости.
16. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей, прямой
линии и плоскости.
17. Построение проекций многогранников и развертки боковой
поверхности.
2 глава
18. Способ перемены плоскостей проекций.
19. Способ вращения.
20. Способ плоскопараллельного перемещения.
21. Определение натуральной величины и углов наклона прямой
к плоскостям проекций способами преобразования чертежа.
22. Определение натуральной величины плоских фигур и углов
наклона к плоскостям проекций способами преобразования
чертежа.
23. Определение натуральной величины угла между плоскостями.
24. Определение расстояния от точки до прямой и до плоскости, а
также между параллельными и скрещивающимися прямыми
способами преобразования чертежа.
3 глава
25. Задание кривых линий и их свойства.
26. Кривые поверхности, их классификация, образование.
27. Поверхности вращения. Способы их образования и изображения на чертеже. Наименование их элементов.
28. Принадлежность точки поверхности. Определение недостающих проекций точек на различных поверхностях
(конической, цилиндрической, сферы, тора).
29. Построение плоскостей, касательных к поверхностям вращения.
30. Построение развертки поверхности вращения.
31. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
32. Построение точек пересечения прямой с поверхностями вращения с определением видимости прямой.
33. Построение линий пересечения двух поверхностей вращения
по найденным характерным (опорным) и нескольким
промежуточным точкам с помощью вспомогательных плоскостей уровня.
34. Построение линий пересечения двух поверхностей вращения
с помощью вспомогательных концентрических и эксцентрических сфер.
35. Теорема о пересечении двух поверхностей вращения , описанных около общей сферы (теорема Гаспара Монжа).