Задачи решаются легко, если один ... проецирующее положение или являются линиями ...

ЛЕКЦИИ № 15-16
Решение задач методами преобразования комплексного чертежа. 4 основные задачи
преобразования комплексного чертежа. Метод замены плоскостей проекций. Метод вращения
вокруг проецирующей оси. Метод вращения вокруг линии уровня.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Задачи решаются легко, если один или оба геометрических образа занимают
проецирующее положение или являются линиями или плоскостями уровня.
Поэтому бывает полезно преобразовать комплексный чертеж так, чтобы этого
добиться. При этом должны соблюдаться принципы ортогональности и
параллельности проецирования.
4 основные задачи преобразования КЧ:
1) преобразование прямой общего положения в прямую уровня
2) преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую
3) преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость
4) преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня
Задачи будем решать 3-мя методами преобразования КЧ:
Метод перемены плоскостей проекций
Метод вращения вокруг проецирующей оси
Метод вращения вокруг линии уровня
Метод перемены плоскостей проекций
Преимущество: прост.
Недостаток: решение занимает много места на чертеже и заранее не всегда
можно заранее предсказать, как будет развиваться чертеж.
Суть метода: ввести новые плоскости проекций так, чтобы проекции объектов на
этих плоскостях имели натуральную величину или занимали проецирующее
положение. Тогда задача решается легко. При этом каждая новая плоскость
проекций должна быть перпендикулярна одной из уже существующих плоскостей
проекций, чтобы не нарушать ортогональности проецирования.
В этом методе используется линия пересечения плоскостей проекций, которую
можно расположить в любом месте между проекциями. Будем называть ее
базовой линией.
Пример 1. Образование проекции точки на новой плоскости проекций П3 ⊥ П1.
Рис.15.1.
Рис.15.1
Пример 2. Образование проекции точки на новой плоскости проекций П4 ⊥ П2.
Рис.15.2.
Рис.15.2
Преобразование прямой
1) преобразование прямой общего положения в прямую уровня
(1-е преобразование)
Ввести новую плоскость проекций параллельно заданной прямой/
Пример 3. Рис.15.3
П3 ⊥ П1
П3 параллельна АВ
2) преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую
(1-е и 2-е преобразования)
Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня
(см. 1-е преобразование)
Ввести новую плоскость проекций перпендикулярно заданной прямой/
Пример 4. Рис.15.3
1. П3 ⊥ П1, П3 параллельна АВ
2. П4 ⊥ П3, П4 ⊥ АВ
Рис.15.3
Преобразование плоскости
3) преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость
(1-е преобразование)
Ввести новую плоскость проекций перпендикулярно горизонтали или фронтали
заданной плоскости.
Пример 5. Рис.15.4
П3 ⊥ П1
П3 ⊥ h
4) преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня
(1-е и 2-е преобразования)
Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость
(см. 1-е преобразование)
Ввести новую плоскость проекций параллельно заданной плоскости
Пример 6. Рис.15.4
1. П3 ⊥ П1, П3 ⊥ h1
2. П4 ⊥ П3, П4 параллельна АВС
Рис.15.4
МЕТОД ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ОСИ
Преобразование прямой
1) преобразование прямой общего положения в прямую уровня
Пример 7. Рис.16.1.
Отрезок АВ занимает общее положение.
1) Через любую точку отрезка АВ задать
проецирующую ось, например, через точку
В
задать
ось
i,
занимающую
проецирующее положение на П1.
2)
На
горизонтальной
плоскости
проекций повернуть проекцию А1В1
вокруг оси i1 до положения фронтали.
Точка В1 остается на месте, а А1 при
повороте перемещается в точку А1′.
3) На фронтальной плоскости проекций
точка В2 при вращении остается на месте,
т.к. принадлежит оси, а А2 перемещается в
плоскости Σ, перпендикулярной оси, в
Рис.16.1
точку А2′.
2) преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую
Для того, чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую
прямую, надо сначала преобразовать ее в линию уровня.
Пример 8. Рис.16.2.
Отрезок АВ является линией уровня
(фронталью)
1) Через любую точку отрезка АВ задать
проецирующую ось, например, через точку
В задать ось j, занимающую проецирующее
положение на П2.
2) На фронтальной плоскости проекций
повернуть проекцию А2В2 вокруг оси j2 до
проецирующего положения на П1. Точка В2
остается на месте, а А2 при повороте
перемещается в точку А2′.
3)
На
горизонтальной
плоскости
проекций точка В1 при вращении остается
на месте, т.к. принадлежит оси, а А1
перемещается
в
плоскости
Σ,
перпендикулярной оси в точку А2′.
Рис.16.2
Преобразование плоскости
3) преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость
Пример 9. Рис.16.3.
1) Через любую точку плоскости АВС
задать проецирующую ось, например, через
точку А задать ось i, занимающую
проецирующее положение на П1.
Плоскость
займет
проецирующее
положение на П2, если ее горизонталь h
займет проецирующее положение на П2.
2)
На
горизонтальной
плоскости
проекций повернуть проекцию h1 вокруг
оси
i1 до проецирующего положения.
Точка А1 остается на месте, а В1 и С1 при
повороте перемещаются в точки В1′ и С1′.
3) На фронтальной плоскости проекций
точка А2 при вращении остается на месте,
т.к. принадлежит оси, а точки В2 и С2
перемещаются
в
горизонтальных
плоскостях, перпендикулярных оси, в
точки В2′ и С2′.
Рис.16.3
4) преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня
Для того, чтобы преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня,
надо сначала преобразовать ее в проецирующую плоскость.
Пример 10. Рис.16.4.
Плоскость АВС занимает проецирующее
положение на П2.
1) Через любую точку плоскости АВС
задать проецирующую ось, например,
через точку В задать ось i, занимающую
проецирующее положение на П2.
2)
На
фронтальной
плоскости
проекций повернуть проекцию А2В2C2
вокруг оси i2 до положения плоскости
уровня Σ. Точка В2 остается на месте, а
точки А2 и С2 при повороте
перемещается в точки А2′ и С2′.
3) На горизонтальной плоскости
проекций точка В1 при вращении
остается на месте, т.к. принадлежит оси,
а А1 и С1 перемещаются в плоскостях,
перпендикулярных оси, в точки А1′ и С1′.
Рис.16.4
МЕТОД ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ЛИНИИ УРОВНЯ
Метод используется для определения натуральных величин некоторых
геометрических образов и решения задач, требующих геометрических
построений. Он компактен и прост.
Суть метода заключается в следующем: геометрический образ следует повернуть
вокруг линии уровня до совмещения с плоскостью уровня, на которой объекты
отображаются в натуральном виде.
Для решения задачи следует уяснить следующее:
1) какая линия уровня является осью вращения;
2) какую точку следует повернуть вокруг оси;
3) какая точка является центром поворота.
Пример 11. Рис.16.5.
Точку А следует повернуть вокруг горизонтали h до положения горизонтальной
плоскости уровня.
h – ось вращения, О – центр вращения. Точка А вращается в плоскости
перпендикулярной h (т.е. А1О1 ⊥ h1 ). Для построения точки А″1 найти
натуральную величину отрезка АО и отложить его на продолжении отрезка А1О1.
Рис.16.5
Пример 12. Рис.16.6
Дано: треугольник АВС.
Определить натуральную величину треугольника АВС
Решение.
Сторона ВС треугольника АВС является горизонталью.
Чтобы получить натуральный треугольник, надо повернуть его вокруг стороны
ВС (горизонтали) до совмещения с плоскостью уровня Σ.
В данном случае осью вращения является горизонталь ВС, а объектом,
вращающимся вокруг нее, будет точка А. На П1 проекция точки А перемещается
перпендикулярно оси (В1С1) и центром вращения является точка О.
Положение точки А после поворота определяется отрезком О1А, который
является натуральной величиной отрезка АО (расстояния от точки вращения до
центра вращения). Треугольник А″1С1В1 является натуральным.
Рис.16.6