( OE ) возьмем произвольную точку

Лекция№2
Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки. Построение
точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости.
Преобразование проективных координат
1.
2.
3.
4.
План лекции
Понятие проективного репера и проективных координат точки.
Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой.
Построение точки по ее координатам на модели проективной плоскости.
Преобразование проективных координат
Понятие проективного репера и проективных координат точки
Пусть
- мерное векторное пространство над полем
и пусть
− базисы в
Если
то эти базисы называются гомотетич-
ными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать
Отношение гомотетичности является отношением эквивалентности на множестве
всех базисов векторного пространства
множество базисов пространства
Элементы фактор-множества
(
−
) называется проективными реперами пространства
. Значит проективный репер – это множество всех гомотетичных между собой
базисов векторного пространства
Проективный репер служит системой координат в проективном пространстве.
Каждый базис
принадлежит только одному проективному реперу
-
репер, полученный из базиса
В векторном пространстве
вектор
выберем базис
, тогда каждый
представим в виде линейной комбинации базисных векторов
коэффициенты которой служат аффинными координатами
вектора
в базисе
Если точка
в репере
Рассмотрим базис
мерного векторного пространства
то числа
где
называются проективными координатами точки
проективного пространства
гомотетичный базису
20
, то есть
. Пишут:
Так как (*)
С
.
другой
, отсюда
стороны
Следовательно,
Таким образом, проективные координаты точки
репера
относительно данного
определяются не однозначно, а с точностью до общего множителя
возьмем связку прямых с центром в точке O .
В аффинном пространстве
Прямые этой связки изображают точки
- мерного проективного пространств
Если задан базис
векторного пространства
проективный репер
а также определена упорядоченная система из
то этим базисом будет определяться
. Система
точек
не определяет репера R
однозначно, так как эти точки можно задать и при помощи других векторов
базис
.
, таких что
не обязательно будет гомотетичен базису
Рассмотрим
− единичная точка. Система
.
уже определяет проективный репер
Система из
никакие
однозначным образом.
точек называется системой точек общего положения, если
из них не принадлежат проективному пространству, размерностью
меньше чем
E
Рис. 3
Теорема 1. Пусть
положения в
единственный
- упорядоченная система
- мерном проективном пространстве
проективный
точек общего
, тогда существует и притом
репер
такой
что
.
Доказательство. Пусть точке
),
,
где
такие
соответствуют векторы
что
Возможны два случая:
21
1 случай:
E
Рис. 4
, тогда проективный репер
искомый.
Такую систему называют согласованной.
2 случай:
Рис. 5
Определим
базис
такой
что
вектор
Существуют числа
.
тогда система
− согласованная система и проективный репер
− искомый проективный репер.
Числа
называются нормирующими множителями, а сама операция перехода от
несогласованной системы к согласованной называется нормированием.
Замечание 1. На проективной прямой репер определяется упорядоченной тройкой
различных точек.
Замечание 2. На проективной плоскости репер определяется упорядоченной
четверкой точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Замечание 3. Репер в трехмерном проективном пространстве определяется пятью
точкам, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости.
22
Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой
Пусть дана модель проективной прямой - расширенная прямая
репер
Построим точку M по ее координатам
Возьмем точку
и на ней задан
в этом репере.
и пучок прямых
на аффинной плоскости. Этот пучок будет также моделью проективной прямой
На прямой (OE ) возьмем произвольную точку
отличную от точки O , и вектор
разложим по направлениям прямых
порождающие точки
есть
(рис. 5). Получим векторы
соответственно, причем векторы
,
. Следовательно, данный проективный репер
векторным
базисом
векторного
пространства
согласованы, то
можно задать
Построим
. Этот вектор порождает искомую точку
вектор
(рис.
6).
O
M′
E
M
Рис. 6
Рассмотрим на прямой
частный случай проективного репера:
(рис. 6). Каждая точка
имеет проективные координаты
относительно репера ; эти координаты определяются из условия:
(*)
где
- какой-либо направляющий вектор прямой
Несобственная точка получится, когда прямая
прямой
.
займет положение особой
, направляющий вектор которой коллинеарен вектору
собственная точка
прямой имеет координату
23
, равную нулю:
. Значит, в репере
Для всех остальных (собственных) точек прямой
будет
,
. Рассмотрим, такие точки.
Выберем базис
репер
, т. е. точек обычной прямой
так, чтобы
. При этом проективный
останется прежним. По формуле (*) имеем:
(**)
где - абсцисса точки
Векторы
в аффинной системе координат
на прямой .
коллинеарны, поэтому
(*), (**)
.
Рис. 7
Относительно репера
1.
Несобственная точка
:
имеет координаты (0,
) то есть
а
-
любое вещественное число, не равное нулю;
2.
Для любой несобственной точки
аффинная координата точки
координата
в системе координат
Проективные координаты точек прямой
, а отношение
есть
на прямой
относительно репера
называют однородными координатами этих точек.
Построение точки по ее координатам на модели проективной плоскости
Пусть дана модель проективной плоскости – расширенная плоскость
задан репер
. Построим точку
по ее координатам
этом репере.
Возьмем точку
и связку прямых
аффинной плоскости. Эта связка будет также моделью проективной плоскости
24
и на ней
в
На прямой
отличную от точки O , и вектор
возьмем произвольную точку
разложим по направлениям прямых
.
Получим векторы
векторы
порождающие точки
согласованы, то есть
,
причем
(рис. 3).
Следовательно, данный проективный репер
можно задать векторным базисом
векторного пространства
порождает вектор
Искомую точку M
Поэтому
(рис.8).
O
→
a0
M
a1
a2
A2
'
M
A0
→
→
ε
П
Е
M2
A1
E2
Рис. 8
Теорема 2. Пусть
проекции точек
и
- проективный репер на плоскости и
из центра проектирования
- координаты точки
на прямую
-
. Тогда, если
в репере
на плоскости, то
- координаты точки
в репере
на прямой
Точно так же
координаты точки
-
координаты точки
в репере
на прямой
в репере
На основании теоремы строим точки
на прямой
в реперах
на соответствующих прямых.
Затем точка
строится так:
Рассмотрим на расширенной плоскости
где точки
частный случай проективного репера
- собственные, а точки
25
- несобственные.
Возьмем точку
и рассмотрим перспективное отображение
Точкам
плоскости
соответствуют
, причем прямые
В плоскости
плоскости
в
связке
прямые
особые.
проведем прямые
точки
.
Тогда на расширенной
дополняют прямые
расширенных прямых. Вектор
соответственно до
можно разложить по направлениям
.
Обозначив
определяется
, получим:
векторным
. Следовательно, репер
базисом
Возьмем
векторы
.
Пусть
соответствует
- какая-либо несобственная
некоторая
особая
и точка
Проведем на плоскости
точка плоскости
прямая
.
Если
ей
точка
имеет координаты
какую-либо прямую
. В связке
то
в репере
.
. Вектор
- направляющий вектор прямой
Пусть теперь точка
отлична от нуля. Если
- собственная точка плоскости
- направляющий вектор прямой
,
то
- проективные координаты точки
, тогда ее координата
и
(1)
в репере
. Далее,
(2)
где
и, значит,
координат
на плоскости
- аффинные координаты точки
в системе
.
Векторы
коллинеарны,
поэтому
(1),
(2)
Таким образом в проективном репере
1.
Всякая несобственная точка
координаты
плоскости
имеет координату
являются координатами направляющего вектора
26
:
, а две другие
какой-либо собственной прямой
точку
2.
расширение которой
, содержит
;
Каждая собственная точка
отношения
имеет координаты
, такие что
, а
представляют собой аффинные координаты точки
в
системе координат
Проективные
координаты
точек
плоскости
относительно
репера
называют однородными координатами этих точек.
Преобразование проективных координат
Пусть на проективной плоскости
заданы два проективных репера:
− старый и
− новый. Известно
положение нового репера относительно старого. Пусть точка
а точки
,
и та же точка
, определяющие репер
координаты
.
В
имеют в репере R
развернутой
форме:
.
Пусть точки
порождаются векторами
, а
Пусть
1 случай:
Пусть
Возможны два случая:
согласованны.
векторный
базис
определяет
репер
.
имеет место равенство
базис определяет именно репер
Если
Точно так же вектор
Для
базиса
,
, и, значит, этот
.
- проективные координаты точки
порождает точку
Так как
вектором
в репере
, то это значит, что вектор
.
порождает точку
порождают одну и ту же точку
27
, то
.
, или
и так как векторы
линейно независимы, то
2 случай:
.
несогласованны.
Найдем векторы
, такие, чтобы для них имело место условие:
. Тогда
, отсюда
.
Так как
, то система
имеет единственное
решение.
Тогда формулы преобразования проективных координат при переходе от репера
реперу
к
имеют вид:
1)
, или
- для согласованных систем;
, или
систем, где
- для несогласованных
- нормирующие множители, которые определяются из условия:
, или
.
28