Векторы И Операции Над Ними Геометрические векторы uuur • Геометрический вектор AB – это направленный отрезок c начальной точкой A и конечной точкой B. uuur uuur • Длиной AB вектора AB называется длина отрезка AB uuur uuuur • Векторы AB и A1 B1 считаются равным, если они параллельны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины, т.е такие векторы определяют r uuur uuuur один и тот же вектор a = AB = A1 B1 B. B1 A A1 Линейные операции над векторами • • • • r r Сложение векторов a + b , Правила параллелограмма и треугольника. Умножение вектора на действительное число r r r λ a , λ ∈ R, λ a = λ a . r r Нулевой вектор 0, 0 = 0 Множество геометрических векторов в пространстве, с определёнными на нём операциями сложения и умножения на число, называется трёхмерным векторным пространством. Проекция вектора на ось. • r Проекцией вектора a на направленную прямую L (ось L ) называется произведение длины вектора на косинус угла между вектором и осью. r a ϕ L r r прL a = a cos ϕ . r r r r r r 1. прL λ a = λ прL a 2. прL (a + b ) = прL a + прL b . • Свойства проекций. • Аналогично определяется проекция вектора на вектор. Декартова (прямоугольная) система координат • Три взаимно перпендикулярные направленные прямые (координатные оси), проходящие через точку O , называются декартовой (прямоугольной) системой координат. Предполагается, что для данной системы координат выбран единичный отрезок, при помощи которого измеряются другие отрезки. r • Проекции вектора a на оси координат x , y, z называются координатами вектора и записываются r равенством a = (a x , a y , a z ). Изоморфизм пространств геометрических векторов и арифметических R3 . Орты. r • Равенство a = (a x , a y , a z ). устанавливает взаимно однозначное соответствие между пространством геометрических векторов в пространством и арифметических векторов R 3 . • В силу свойства проекций операциям сложения векторов и умножения на число геометрических векторов соответствуют операции сложения и умножения арифметических векторов, т.е. r r r a + b = (a x + bx , a y + by , a z + bz ) λ a = (λ a x , λ a y , λ a z ). • Такое соответствие называется изоморфизмом пространств. Орты. Разложение вектора по ортам. r r r • Единичные векторы i , j , k , направленные, соответственно, по координатным осям Ox , Oy, Oz называются ортами координатных осей. • По теореме о разложении по базису для арифметических векторов справедливо равенство (a x , a y , a z ) = a x (1, 0, 0) + a y (0, 1, 0) + a z (0, 0, 1), • которому соответствует следующее равенство для геометрических векторов r r r r a = a x i + a y j + az k . Геометрическое истолкование линейной зависимости. • Коллинеарные векторы. r a r r b r b = λ a, λ = r a r b • Компланарные векторы r a r c r b r r r c =α a + βb Координаты точки. r uuur • Вектор r = OA называется радиус-вектором. Координатами точки A( x , y, z ) называются uuur r координаты радиус вектора r = OA . z A y O x Координаты вектора и координаты начала и конца вектора • Пусть заданы координаты точекuuur начала A( x1 , y1 , z1 ) и конца B ( x2 , y2 , z2 ) вектора . Найдём uuur AB координаты вектора . AB z A O x uuur AB B y Деление отрезка в заданном отношении • Пусть заданы координаты точек A( x1 , y1 , z1 ) и B ( x2 , y2 , z2 ) . Требуется найти координаты точки C ( x0 , y0 , z0 ) . которая делит отрезок AB заданном отношении AM λ= MB в