Геометрические векторы и операции над ними

Векторы И
Операции Над
Ними
Геометрические векторы
uuur
• Геометрический вектор AB
– это направленный
отрезок c начальной точкой A и конечной точкой B.
uuur
uuur
• Длиной AB
вектора AB называется длина
отрезка AB
uuur
uuuur
• Векторы AB и A1 B1 считаются равным, если они
параллельны, одинаково направлены и имеют
одинаковые длины, т.е такие
векторы определяют
r uuur uuuur
один и тот же вектор a = AB = A1 B1
B.
B1
A
A1
Линейные операции над векторами
•
•
•
•
r
r
Сложение векторов a + b
, Правила
параллелограмма и треугольника.
Умножение вектора на действительное число
r
r
r
λ a , λ ∈ R, λ a = λ a .
r r
Нулевой вектор 0, 0 = 0
Множество геометрических векторов в пространстве,
с определёнными на нём операциями сложения и
умножения на число, называется трёхмерным
векторным пространством.
Проекция вектора на ось.
•
r
Проекцией вектора a на направленную прямую L (ось L )
называется произведение длины вектора на косинус угла между
вектором и осью.
r
a
ϕ
L
r r
прL a = a cos ϕ .
r
r
r
r r
r
1. прL λ a = λ прL a 2. прL (a + b ) = прL a + прL b .
•
Свойства проекций.
•
Аналогично определяется проекция вектора на вектор.
Декартова (прямоугольная) система
координат
•
Три взаимно перпендикулярные направленные
прямые (координатные оси), проходящие через
точку O , называются декартовой
(прямоугольной) системой координат.
Предполагается, что для данной системы координат
выбран единичный отрезок, при помощи которого
измеряются другие отрезки.
r
• Проекции вектора a на оси координат x , y, z
называются координатами
вектора и записываются
r
равенством a = (a x , a y , a z ).
Изоморфизм пространств геометрических
векторов и арифметических R3 . Орты.
r
• Равенство a = (a x , a y , a z ). устанавливает взаимно
однозначное соответствие между пространством
геометрических векторов в пространством и
арифметических векторов R 3
.
• В силу свойства проекций операциям сложения
векторов и умножения на число геометрических
векторов соответствуют операции сложения и
умножения арифметических векторов, т.е.
r r
r
a + b = (a x + bx , a y + by , a z + bz ) λ a = (λ a x , λ a y , λ a z ).
• Такое соответствие называется изоморфизмом
пространств.
Орты. Разложение вектора по ортам.
r r r
• Единичные векторы i , j , k ,
направленные,
соответственно, по координатным осям Ox , Oy, Oz
называются ортами координатных осей.
• По теореме о разложении по базису для
арифметических векторов справедливо равенство
(a x , a y , a z ) = a x (1, 0, 0) + a y (0, 1, 0) + a z (0, 0, 1),
• которому соответствует следующее равенство для
геометрических векторов
r
r
r
r
a = a x i + a y j + az k .
Геометрическое истолкование линейной
зависимости.
• Коллинеарные векторы.
r
a
r
r
b
r
b = λ a, λ = r
a
r
b
• Компланарные векторы
r
a
r
c
r
b
r
r
r
c =α a + βb
Координаты точки.
r uuur
• Вектор r = OA называется радиус-вектором.
Координатами точки A( x , y, z )
называются
uuur
r
координаты радиус вектора r = OA .
z
A
y
O
x
Координаты вектора и координаты начала и
конца вектора
• Пусть заданы координаты точекuuur
начала A( x1 , y1 , z1 )
и конца B ( x2 , y2 , z2 ) вектора
. Найдём
uuur AB
координаты вектора
.
AB
z
A
O
x
uuur
AB
B
y
Деление отрезка в заданном отношении
• Пусть заданы координаты точек A( x1 , y1 , z1 )
и
B ( x2 , y2 , z2 ) . Требуется найти координаты
точки C ( x0 , y0 , z0 ) . которая делит отрезок AB
заданном отношении
AM
λ=
MB
в