Линейная алгебра Лекция 8 Векторы (продолжение)

Линейная алгебра
Лекция 8. Векторы (продолжение)
Геометрическая интерпретация
Вектор в геометрии – упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом,
вторая – концом вектора. В конце вектора ставится стрелка. Вектор обозначают
двумя заглавными буквами AB , первая буква – точка начала, вторая – точка
конца, или одной прописной буквой a . Над буквами ставится черта или буквы
пишутся жирным шрифтом. Есть три типа векторов - «свободные»,
«скользящие» и «фиксированные». В математике рассматриваются «свободные» векторы. Это
векторы, у которых точкой приложения может быть любая точка пространства, и при переносе
которых сохраняется направленность вектора и его длина.
Если начало вектора и конец совпадают, то вектор называется нулевым. Направляющим
вектором прямой называется вектор, лежащий на этой прямой или ей параллельный.
Углом между ненулевыми векторами a и b называется угол между прямыми, на которых
лежат эти векторы или которые параллельны этим векторам. Угол между нулевым вектором и
любым другим вектором по определению равен нулю. Векторы называются ортогональными,
если угол между ними прямой.
Линейные операции с векторами
1. Равенство векторов. a = b ⇔ 1) векторы параллельны, 2) векторы сонаправлены, 3) их
длины равны.
2. Умножение вектора на число. λ a = b ⇔ 1) векторы a и b параллельны, 2) сонаправлены,
если λ > 0 , и противоположно направленные, если λ < 0 , 3) длина вектора a изменяется в
λ раз. Равенство λ a = b является условием параллельности векторов.
3.
векторов.
Суммой
векторов a и b является вектор
c = a + b , определенный по правилу «треугольников»: если конец первого вектора
соединить с началом второго вектора, то вектор-сумма соединяет начало первого и конец
второго вектора и направлен к концу второго вектора.
По этому правилу можно сложить n векторов a1 + a 2 + ... + a n = c .
Сумму двух векторов можно определить по правилу «параллелограмма»: на
векторах-слагаемых, выходящих из одной точки, построить параллелограмм,
как на сторонах, тогда вектор-сумма совпадает с диагональю
параллелограмма, выходящей из точки приложения векторов, и направлен к
противоположной вершине параллелограмма.
4. Вычитание векторов. Разностью векторов a и b является вектор
c = a − b , который соединяет концы этих векторов, выходящих из одной
общей точки, и направлен в сторону уменьшаемого вектора.
Сложение
Проекция вектора на ось
Рассмотрим векторы AB , CD , EF . Из концов этих
векторов проведем прямые, перпендикулярные к оси l .
Полученные векторы A1 B1 , C1 D1 , E1 F1 называются
ортогональными составляющими векторов AB , CD , EF соответственно. Проекция вектора на
1
ось есть число, равное длине ортогональной составляющей данного вектора на эту ось, взятое
со знаком плюс, если ортогональная составляющая и ось сонаправлены, и со знаком минус,
если ортогональная составляющая и ось противоположно направлены. Обозначение
npl AB = A1 B1 . Проекция вектора AB положительна, проекция вектора CD равна нулю,
проекция вектора EF отрицательна.
Свойства проекций:
• npl ( a + b) = npl a + npl b . Проекция суммы векторов равна сумме проекций этих векторов.
•
npl λ a = λ npl a . Проекция вектора, умноженного на число, равна произведению этого числа на
проекцию вектора.
•
npl a = a cos α . Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на
косинус угла наклона вектора к оси.
Разложение вектора по базису
Рассмотрим пространство E 3 . Выберем в нем
базисные векторы i = (1,0,0) , j = (0,1,0) , k = (0,0,1) .
Они лежат на осях ОХ, OY, OZ соответственно,
являются единичными и ортогональными. Данный
вектор a разложить по базису i, j , k . Геометрически
это значит, найти ортогональные составляющие этого
вектора, лежащие на осях координат, аналитически –
представить вектор в виде линейной комбинации
базисных векторов a = xi + yj + zk , где x, y, z
координаты вектора a в базисе i, j , k .
Вектор a образует с осями координат углы α , β , γ
соответственно. Вектор a 0 - единичный вектор. Его
проекции на оси координат равны косинусам углов
α , β , γ . Они называются направляющими косинусами вектора a и являются координатами
единичного вектора a 0 в базисе i, j , k , то есть a 0 = (cos α , cos β , cos γ ) . Направляющие
косинусы удовлетворяют условию cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
Координаты вектора, заданного координатами начала и конца
Пусть заданы точки A( x1 , y1 , z1 ) и B( x2 , y 2 , z 2 ) . Спроектируем их на
оси координат. npox AB = x2 − x1 , npoy AB = y 2 − y1 , npoz AB = z 2 − z1 .
Ортогональными составляющими вектора AB будут векторы ( x2 − x1 )i ,
( y 2 − y1 ) j , ( z 2 − z1 )k . Их сумма равна вектору AB , то есть
AB = ( x2 − x1 )i + ( y 2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k . Тогда координаты вектора
AB = {( x 2 − x1 ), ( y 2 − y1 ), ( z 2 − z1 )} . Отсюда получаем формулу вычисления расстояния между
точками AB =
( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 .
2
Произведение векторов
Скалярное произведение. Из определения скалярного произведения
a b = a b cos α следует, что a b = b npb a .
Если
известны
координаты
векторов
в
базисе
i, j , k ,
a = xa i + y a j + z a k и b = xb i + y b j + z b k , то их скалярное произведение
( xa i + y a j + z a k ) ( xb i + yb j + zb k ) после раскрытия скобок будет содержать сомножители
i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1 , (i , j ) = (i , k ) = ( j , k ) = 0 . Следовательно, a b = x a xb + y a y b + z a z b .
Векторное произведение. Определение. Векторным произведением
двух ненулевых и непараллельных векторов a и b называется третий
вектор c = a xb , который располагается на прямой, перпендикулярной
плоскости, содержащей векторы a и b . Он ориентирован так, что
последовательность векторов a , b , c образует правую тройку векторов.
Длина вектора c равна произведению модулей векторов на синус угла между ними, то есть
c = a xb = a b sin(a ∧ b ) . Модуль вектора численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторах как на сторонах.
Правая тройка векторов a , b , c - это значит, что поворот от первого сомножителя a ко
второму b по кротчайшему пути на угол α против хода часовой стрелки виден с конца вектора
c . Следовательно, произведение b xa = − c .
Пример. Вычислить i xj ,
i xk ,
jxk .
Решение. Векторы i , j , k в пространстве E 3 единичные и ортогональные. Значит, i xj = k ,
так как вектор k перпендикулярен плоскости, содержащей векторы i , j и
i xj = i j sin 90 0 =1.
Аналогично рассуждаем в случае других произведений. i xk = − j , jxk = i . Следующее
правило поможет легче вычислять векторное произведение орт-векторов
Стрелки показывают порядок сомножителей в векторном произведении, за ними следует
вектор-результат, и берется он со знаком плюс или минус в соответствии с движением слева
направо или наоборот.
Свойства векторного произведения.
1. a xb = − b xa , векторное произведение некоммутативно. Это следует из определения.
2.
a xa = 0 . Действительно, a xa = a a sin 0 0 = 0 , и вектор a xa - нулевой вектор.
3.
λ [a , b ] = [λ a , b ] = [a , λ b ] - сочетательное свойство относительно умножения на
число. Умножение вектора на число влияет на модуль вектора, и меняет направление
вектора на противоположное, если число меньше нуля. Значит, выполняется
равенство
λ [a , b ] = λ a b sin( a ∧ b ) = λ a b sin(a ∧ b ) = [λ a , b ] . Аналогично со
второй частью формулы.
4. c x ( a + b ) = c xa + c xb - распределительное свойство справедливо при любом числе
слагаемых. Менять местами сомножители нельзя в силу первого свойства.
3
Для начала пусть один из сомножителей будет орт e .
Спроектируем векторы
на плоскость,
a,b , a + b
перпендикулярную вектору e . Проекциями векторов
a , b , a + b на этой плоскости будут векторы a1 , b1 , a1 + b1 .
Сделаем поворот вокруг вектора e на 900 по ходу часовой
стрелки, если смотреть с конца вектора e .
Параллелограмм, построенный на векторах a1 ,b1 с
диагональю
a1 + b1 ,
перейдет
в
конгруэнтный
параллелограмм со сторонами e xa1 , e xb1 и диагональю
e x( a1 + b1 ) . То есть выполняется равенство e xa1 + e xb1 = e x( a1 + b1 ) . Теперь, если заменить
орт e любым вектором c , то доказательство останется справедливым, так как вектор c можно
c = λ e , где λ число, c e . Аналогично доказывается свойство
представить
(a + b ) xc = a xc + b xc .
Выражение векторного произведения через координаты векторов. Пусть a = xa i + y a j + z a k
и b = xb i + y b j + z b k . Тогда векторное произведение равно
a xb =[ ( xa i + y a j + z a k ) , ( xb i + yb j + zb k ) ] = xa xb [i , i ] + y a yb [ j , j ] + z a z b [k , k ] +
+ xa yb [i , j ] + xa z b [i , k ] + y a xb [ j , i ] + y a zb [ j , k ] + z a xb [ k , i ] + z a yb [ k , j ] =
= x a y b k + x a z b ( − j ) + y a xb ( − k ) + y a z b i + z a xb j + z a y b ( − i ) =
i
x
(
x
y
−
y
x
)
k
+
(
z
x
−
x
z
)
j
+
(
y
z
−
z
y
)
i
= a b
= a
a b
a b
a b
a b
a b
xb
j
ya
yb
k
za .
zb
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A(-1,0,2), B(-2,1,0) и C(0,3,4).
Решение. Найдем координаты векторов AB, AC . Для этого из координат точки конца
вектора вычтем координаты точки начала вектора, получим AB = (-2+1, 1-0, 0-2)=(-1,1,-2),
AC = (0+1, 3-0, 4-2)=(1,3,2). Вычислим их векторное произведение, составив определитель из
векторов i , j , k и координат векторов AB, AC .
i
j k
[ AB, AC ] = − 1 1 − 2 = 1 − 2 i − − 1 − 2 j + − 1 1 k = 8i + 0 j − 4k
1
2
1 3
1 3 2 3 2
Вычислим модуль векторного произведения [ AB, AC ] =
8 2 + 0 2 + (− 4) 2 =
80 = 4 5 .
Эта величина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, как на
сторонах. Площадь треугольника ∆ABC будет равна половине площади параллелограмма, то
есть S∆=2 5 (кв.ед.).
Смешанное произведение трех векторов. Определение. Смешанным или векторноскалярным произведением трех векторов a , b , c , взятых в указанном порядке, называется
скалярное произведение вектора a на векторное произведение [b , c ] , то есть число (a , [b , c ])
или ([b , c ], a ) . Обозначение a b c .
Определение. Три вектора называются компланарными, если они, приведенные к общему
началу, лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из трех векторов нулевой вектор, то три
вектора тоже считаются компланарными.
4
1.
2.
3.
4.
5.
Свойства смешанного произведения
Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей, то есть
ab c = b ca = cab .
Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух сомножителей, то есть a b c =
− b ac = − acb = − cb a .
(a + b )c d = a c d + b c d распределительное свойство распространяется на любое число
слагаемых
(λ a )b c = λ (a b c ) сочетательное свойство относительно скалярного множителя
Если в смешанном произведении есть хотя бы два одинаковых сомножителя, то оно равно
нулю, то есть a a b = 0 .
Геометрический смысл смешанного произведения.
Из определения смешанного произведения следует, что
a b c = a xb c cos β . Модуль векторного произведения
a xb
численно
равен
площади
параллелограмма,
на
векторах
Выражение
a, b .
c cos β = np a xb c есть число, как положительное, так и
построенного
отрицательное, модуль которого равен высоте параллелепипеда, построенного на векторах
a , b , c , как на сторонах. С учетом знака проекции высота равна H = ± np a xb c . Следовательно,
смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах
a , b , c , то есть V = ± a b c . Если a , b , c правая тройка векторов, то a b c > 0 , если a , b , c левая тройка векторов, то a b c < 0 . Если a , b , c - компланарны, то смешанное произведение
a b c = 0 . Это условие можно принять за признак компланарности трех векторов.
Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Пусть дано
a = x a i + y a j + z a k , b = xb i + y b j + zb k , c = xc i + y c j + z c k . Как уже известно, что
i
a xb = x a
xb
j
ya
yb
k
 y
z a , координаты векторного произведения равны  a
 yb
zb
za za
,
zb zb
xa xa
,
x b xb
ya 
.
yb 
Скалярное произведение векторов в координатной форме равно сумме произведений
одноименных координат,
y
a b c = ya
b
za
z
xc + a
zb
zb
xa
x
yc + a
xb
xb
xa
ya
z = xb
yb c
xc
ya
yb
yc
za
zb .
zc
Пример. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
a =(0, 3, -2), b =(1, -1, 2), c =(0, 2, -1).
0 3 − 2
1
− 1 2 =-1(-3+4)= -1, V=1 (куб.ед.)
Решение. a b c =
0 2 −1
Пример. Доказать компланарность векторов a =(1, 3, -2), b =(1, -1, 2), c =(1, 2, -1).
1 3 −2
Решение. Вычислим смешанное произведение векторов a b c = 1 − 1 2 =(1-4)-(-3+4)+(61 2 −1
2)= -3-1+4=0. Следовательно, данные векторы компланарны.
http://www.matematika5.com/
5