АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Пусть даны два натуральных числа k и n, k

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Пусть даны два натуральных числа k и n, k > n. Часто требуется найти их
наибольший общий делитель НОД(k, n), например, для того, чтобы сократить
дробь nk . Можно, конечно, разложить числа k и n на простые множители, а
затем посмотреть, есть ли среди простых делителей чисел k и n одинаковые.
Если числа k и n большие, то такой способ требует очень большого труда и,
кроме того, не годится для многочленов — мы не умеем разлагать произвольный многочлен на множители. Поэтому поищем что-нибудь получше.
Попробуем разделить k на n с остатком. Пусть частное равно q, а остаток
равен r. Тогда k = qn + r. Если k и n делятся на некоторое число, то остаток
r делится на это число. Наоборот, если n и r делятся на какое-то число, то и k
делится на это число. Мы заключаем, что общие делители чисел k и n совпадают с общими делителями чисел n и r. В частности, НОД(k, n) = НОД(n, r).
«Ну и что?» — можете спросить вы, — «раньше нужно было искать неизвестный наибольший делитель чисел k и n, а теперь мы заменили эти числа на
n и r. Вторая задача ничуть не лучше первой.» В том-то и дело, что лучше.
Ведь числа n и r меньше, чем числа k и n. Теперь мы можем повторить наше
рассуждение и еще уменьшить числа, НОД которых мы хотим найти. Так мы
будем действовать, пока ответ не станет очевидным. Покажем, как «работает»
этот метод, на примере.
• Найти наибольший общий делитель чисел (267, 213).
Решение. Прежде всего, выполним деление с остатком. Разделим сначала
267 на 213:
267 213
213 1
54
Здесь делимое k = 267, делитель n = 213 и остаток r = 54. Так как 267 =
213 · 1 + 54, то наибольший общий делитель чисел 267 и 213 равен наибольший
общий делитель чисел 213 и 54. Теперь разделим 213 на 54:
213 54
162 3
51
Здесь делимое 213, делитель 54 и остаток 51. Так как 213 = 54 · 3 + 51, то
наибольший общий делитель чисел 213 и 54 равен наибольший общий делитель
чисел 54 и 51. Теперь разделим 54 на 51:
54 51
51 1
3
Здесь делимое 54, делитель 51 и остаток 3. Так как 54 = 51 · 1 + 3, то
наибольший общий делитель чисел 54 и 51 равен наибольший общий делитель
1
2
чисел 51 и 3. Теперь разделим 51 на 3:
51 3
3 17
21
21
0
Остаток от деления равен нулю, значит, число 51 делится на 3. Поэтому
наибольший общий делитель чисел 51 и 3 равен 3. Но он равен наибольший
общий делитель чисел 267 и 213. Таким образом, этот метод позволил достаточно просто найти ответ: наибольший общий делитель чисел 267 и 213 равен
3.
• Сократить дробь 714/833.
Решение. Выполним деление с остатком. Разделим 833 на 714:
833 714
714 1
119
Здесь делимое k = 833, делитель n = 714 и остаток r = 119. Наибольший
общий делитель чисел 833 и 714 равен наибольший общий делитель чисел 714
и 119. Теперь разделим 714 на 119:
714 119
714 6
0
Таким образом, наибольший общий делитель чисел 833 и 714 равен 119. Тогда
714
119 · 6
6
=
= .
833
119 · 7
7