Íå óäàëîñü âûâåñòè ðèñóíîê!

Ñåìèíàð 13. Ôîðìóëà Âàéöçåêåðà
Ïîÿñíåíèå. Ôîðìóëà Âàéöçåêåðà äëÿ ýíåðãèè ñâÿçè ÿäðà
Ïóñòü ÿäðî ìàññû M ñîäåðæèò A íóêëîíîâ, Z èç êîòîðûõ ïðîòîíû, à N íåéòðîíû (A = Z + N ).
Ïðåäñòàâèì ìàññó ÿäðà â ñëåäóþùåì âèäå
M = mp Z + mn N − E,
ãäå E ýíåðãèÿ ñâÿçè íóêëîíîâ â ÿäðå. Òåìà ñåãîäíÿøíåãî ñåìèíàðà ïîëóýìèïèðè÷åñêàÿ ôîðìóëà (C. F.
von Weizs
acker, 1935) äëÿ E :
2
E = ²A = bîá A − bïîâ A2/3 − bñèìì
bîá = 16 MeV,
3 Z 2 e2
(N − Z)
−
,
2A
5 Rc
(1)
bïîâ = 17 MeV,
Rc ≈ 1.24A1/3 fm .
bñèìì = 50 MeV,
Ýòà ôîðìóëà êðàéíå ïðèâëåêàòåëüíà òåì, ÷òî êàæäûé èç åå ÷ëåíîâ èìååò ïðîñòóþ ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ, à, ñ ïîìîùüþ âõîäÿùèõ â íåå ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ, ìîæíî äîâîëüíî òî÷íî îöåíèòü
ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû êîëëåêòèâíûõ âîçáóæäåíèé ÿäåð.
1
Íà ðèñóíêå (1.1) ñèíèìè òî÷êàìè èçîáðàæåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî ýíåðãèè ñâÿçè íà îäèí íóêëîí, çåëåíîé êðèâîé ðåçóëüòàò ðàñ÷åòà ïî ôîðìóëå (1) . Âèäíî, ÷òî ñîãëàñèå áëèçêî ê èäåàëüíîìó, îäíàêî
íà ôîíå ãëàäêîé êðèâîé îò÷åòëèâî âèäíû íåêîòîðûå ïðèïóïèíû. ×èñëà ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ, ïðè êîòîðûõ
îáðàçóþòñÿ ïðèïóïèíû, íàçûâàþòñÿ ìàãè÷åñêèìè, î íèõ â ñëåäóþùåì ñåìèíàðå.
Çàäà÷à 13.1. Êóëîíîâñêàÿ ýíåðãèÿ ÿäåð
Âû÷èñëèòü ýíåðãèþ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ â ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîì øàðå ñ ïîëíûì çàðÿäîì Z .
Ðåøåíèå
EColomb
1
=
2
Z
Z
ρ (r) ρ (r0 ) 3 3 0
d r d r = ρ20
|r − r0 |
14 3
3 2 2
3 2 2
πr dV =
ρ Ω =
e Z .
r3
5R 0
5R
Îòâåò
EColomb =
3 2 2
e Z .
5R
Çàäà÷à 13.2. Àñèììåòðèÿ ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ
Âû÷èñëèòü âêëàä â ýíåðãèþ àñèììåòðèè (÷ëåí ïðîïîðöèîíàëüíûé bñèìì ) âîçíèêàþùèé îò íåñèììåòðè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìåæäó ïðîòîíàìè è íåéòðîíàìè â ìîäåëè âûðîæäåííîãî ôåðìè-ãàçà.
Ðåøåíèå
µ
pF = }
3π 2 Z
Ω
¶1/3
µ
=}
3Z
3Z 2
Ep =
EF (p) =
}
5
5
µ
9π
4r03
9πZ
4r03 A
¶1/3
,
¶2/3 µ ¶2/3
Z
1
,
A
2m
µ
µ
¶5/3
¶5/3
2/3
(Z − N )
(Z − N )
}2
3 (9π)
}2
A
1
+
A
1
−
+
,
2mr02
A
40
2mr02
A
µ
¶
2/3
10 (Z − N )2
3 (9π)
}2
3
2
(Z − N )2
2A
+
≈
=
A
(E
)
+
(E
)
.
F
F
Z=N
Z=N
40
2mr02
9
A
5
3
2A
2/3
Ep + En =
3 (9π)
40
Îòâåò
δbñèìì ≈ 25 MeV.
Åñòü åùå äîïîëíèòåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè îáóñëîâëåííàÿ íàëè÷èåì òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö

 ∆, (Z, N ) − (even, even),
0 − odd,
δE =

−∆, (Z, N ) − (odd, odd).
Ñëåäóÿ íàèâíîé ìîäåëè ôåðìè-ãàçà, ∆ ìîæíî îöåíèòü êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó îäíî÷àñòè÷íûìè óðîâíÿìè
âáëèçè ïîâåðõíîñòè ôåðìè
¯
d² ¯¯
2 ²F
,
∆∼
=
dn ¯²=²F
3 A
îäíàêî ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ îêàçûâàþòñÿ çíà÷èòåëüíî áîëüøå
∆ ≈ 12 A−1/2 MeV.
Òàêîé ïðîáåë â ñïåêòðå îäíî÷àñòè÷íûõ âîçáóæäåíèé óêàçûâàåò íà ñèëüíûå ïàðíûå êîððåëÿöèè ñïàðèâàíèå
òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö âáëèçè ïîâåðõíîñòè ôåðìè.
Çàäà÷à 13.3. Ïàðàìåòðû êðèâîé Âàéöçåêåðà.
Äàâàéòå èññëåäóåì ïàðàìåòðû ôóíêöèè Âàéöçåêåðà íà ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ Z , N .
2
1. Ìàêñèìóì ýíåðãèè ñâÿçè íà îäèí íóêëîí ïðèõîäèòñÿ íà æåëåçî F e26
56 (ñì. ðèñóíîê (1.1) ):
bïîâ A−4/3
2 e2 −1/3
∂²
=
−
A
⇒
∂A
3
5 4r0
10 bïîâ r0
A=
≈ 50
3 e2
2. Ñåðåäèíà äîëèíû β -ñòàáèëüíîñòè
"
Ã
!#
µ
¶
2
∂M
∂
1
(2N − A)
3 (A − N )2 e2
2/3
=
mp (A − N ) + mn N − bîá A − bïîâ A − bñèìì
−
=0
∂N A=const
∂N
2
A
5 r0 A1/3
⇒ mn − mp = −2bñèìì
(N − Z) =
(N − Z) 3 e2
+
(A − (N − Z)) ⇒
A
5 r0 A1/3
e2
3
5 r0 A1/3 A
− (mn − mp )
¡
¢.
2bñèìì /A + 3e2 / 5r0 A1/3
Ýòà ôîðìóëà ïðåäñêàçûâàåò çàìåòíîå îòêëîíåíèå îò ïðÿìîé N = Z äëÿ áîëüøèõ A.
3. Ýíåðãèÿ îòäåëåíèÿ íåéòðîíà:
2
1
(N − Z)
3 Z 2 e2
E = bîá A − bïîâ A2/3 − bñèìì
−
2
A
5 Rc
µ
¶
∂E
2bïîâ A−1/3
bñèìì
1 Z 2 e2
=0
≈ bîá −
−
(N
−
Z)
+
∂N Z=const
3
2A2
5 r0 A2/3
µ
¶
e2
bñèìì
2bïîâ A−1/3
bñèìì
2
Z
+
Z
+
b
−
−
=0
îá
A2
3
2A
5r0 A2/3
Ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííàÿ êðèâàÿ (A − Zmax (A) , Zmax (A)) íà ïëîñêîñòè (N, Z) îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíûé èçáûòîê íåéòðîíîâ íàä ïðîòîíàìè. ßäðà ëåæàùèå íèæå ýòîé êðèâîé íåñòàáèëüíû ïî îòíîøåíèþ ê íåéòðîííîìó
"èñïàðåíèþ ò.å. îòäåëåíèþ åäèíè÷íîãî íåéòðîíà.
Çàäà÷à 13.4. Äåëåíèå ÿäåð. Ýíåðãåòè÷åñêîå óñëîâèå.
Ïóñòü ÿäðî ñîäåðæèò A íóêëîíîâ. Îíî ìîæåò ðàçäåëèòüñÿ íà äâà ÿäðà ñ êîëè÷åñòâîì íóêëîíîâ xA è
(1 − x) A, ñîîòâåòñòâåííî, åñëè óðàâíåíèå
E (A) = E (xA) + E ((1 − x) A)
èìååò ðåøåíèå ïðè 0 < x < 1, ãäå E (A) åñòü ýíåðãèÿ ñâÿçè (1) . Îöåíèòü çíà÷åíèå A ïðè êîòîðîì ïîÿâëÿåòñÿ
ïåðâîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ.
3
Ðåøåíèå
³
´
´
3 A5/3 e2 ³
−bïîâ A2/3 1 − 2 · 2−2/3 −
1 − 2 · 2−5/3 = 0 ⇒
20 r0
³
´·
´¸
3 e2 −2/3 ³ 1/3
2/3
1/3
A
2 − 1 bïîâ −
A2
2 + 1 = 0,
20 r0
¶−1
µ
3 e2
b
¡ ïîâ
¢ = A ≈ 70.
−2/3
20 r0
2
21/3 + 1
Îòâåò
A ≈ 70.
Çàäà÷à 13.5. Äåëåíèå ÿäåð. Íåñòàáèëüíîñòü êîëåáàíèé.
Ðàññìîòðèì êîëåáàíèÿ ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ÿäðà â ìîäåëè æèäêîé êàïëè.  ýòîé ìîäåëè ïîëüçóþòñÿ
ñëåäóþùèì ïðèáëèæåíèåì äëÿ ïëîòíîñòü ÿäåðíîé ìàòåðèè
ρ (r) = ρ0 θ (|r| − R (t, n)) ,
n= r/ |r| .
Èçìåíåíèå ñî âðåìåíåì ðàäèóñà â íàïðàâëåíèè n îò öåíòðà ÿäðà ìîæíî ïàðàìåòðèçîâàòü ñ ïîìîùüþ íàáîðà
íåçîâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ αλ,µ àìïëèòóä íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé:


X
?
R (t, n) = R0 1 +
αλ,µ (t) Yλ,µ
(n) .
λ,µ
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýíåðãèþ ÿäðà ñâÿçàííóþ ñ êîëåáàíèÿìè ïîâåðõíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû
ýíåðãèé íåçàâèñèìûõ ìîä êîëåáàíèé (ôîíîíîâ):
X
E = E0 +
H (α̇λ,µ , αλ,µ ) ,
λ,µ
H (α̇λ,µ , αλ,µ ) =
2
Dλ α̇λ,µ
2
+
2
Cλ αλ,µ
.
2
Ïðè ýòîì àìïëèòóäû αλ,µ áóäóò óäîâëåòâîðÿòü îáû÷íûì óðàâíåíèÿì äëÿ ìàÿòíèêà:
α̈λ,µ = −
Cλ
2
αλ,µ = −ωλ,µ
αλ,µ .
Dλ
Îöåíèòü âåëè÷èíû Dλ , Cλ è ω , à òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíîå ÷èñëî ïðîòîíîâ Zcrit. ïî îòíîøåíèþ â ïîëíîìó ÷èñëó íóêëîíîâ, òàêîå ÷òî, äëÿ ÿäåð ó êîòîðûõ
µ 2¶ µ 2¶
Z
Z
>
= const
A
A crit.
2
êîëåáàíèÿ ôîðìû ñòàíîâÿòñÿ íåñòàáèëüíûìè, ò.å. ωλ,µ
ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, ÷òî ïðèâîäèò èëè ê äåôîðìàöèè ÿäåð èëè ê èõ äåëåíèþ.
Ðåøåíèå
Z
v2
dV ∼ AmR2 α̇2 ,
2
mA5/3 r02
mr2
Ep ∼ bïîâ A2/3 α2 ⇒ ω 2 ∼
∼ A 0,
2/3
bïîâ
bïîâ A
Z
2 2
Z e
1
ρ (r1 ) ρ (r2 )
dV1 dV2 ∼ −α2
Ec =
.
2
|r1 − r2 |
r0 A1/3
¯ ¯
µ 2¶
2 2
¯ Ec ¯
10 bïîâ r0
17
¯ ¯∼ Z e >1⇒ Z
=
≈
14 ≈ 49.
¯ Ep ¯ bïîâ Ar0
A crit.
3 e2
5
Ekin = ρ
4
Îòâåò
mr02
,
bïîâ
10 bïîâ r0
=
≈ 49.
3 e2
ω2 ∼ A
µ
Z2
A
¶
crit.
5