237 Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 1. Определение векторного

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
1. Определение векторного поля.
2. Векторные линии.
3. Поток векторного поля.
4. Дивергенция векторного поля.
1. Определение векторного поля.
О п р е д е л е н и е 1. Стационарным векторным полем называется пространство R n (или его часть – область Q ), в каждой точке M которого определена векторная функция
r r
r r
a = a (M ) = a (r ) ,
r
где r – радиус-вектор точки M .
Другими словами, каждой точке M поставлен в соответствие
r r
некоторый вектор a = a (M ) .
Пример. Векторными полями могут служить поле скоростей
движущейся жидкости, гравитационное поле, электростатическое поле, поле градиентов некоторого скалярного поля, магнитное поле и др.
В пространстве R 3 в случае декартовой прямоугольной сисr r
темы координат векторная функция a = a (M ) , M (x; y; z ) , определяется тремя скалярными функциями – проекциями вектора
r
a (M ) на оси координат:
r
r
r
r r
a = a (M ) = X (M )i + Y (M ) j + Z (M )k
или
r
r
r
r r
a = a (M ) = X ( x; y; z )i + Y (x; y; z ) j + Z (x; y; z )k .
(1)
Будем считать, что X (M ) , Y (M ) , Z (M ) непрерывными
функциями координат точки M , имеющими непрерывные частные производные первого порядка. Тогда векторная функция
r r
a = a (M ) называется непрерывно дифференцируемой в области Q .
Основными характеристиками векторного поля являются:
векторные линии, поток и дивергенция, циркуляция и вихрь.
237
2. Векторные линии.
О п р е д е л е н и е 2. Векторной (силовой) линией векторноr r
го поля a = a (M ) называется линия, для которой в каждой ее
r
точке M вектор a (M ) направлен по касательной к данной линии.
Пример. Векторными линиями могут служить линии тока
движущейся жидкости. В электростатическом поле векторными
линиями являются его силовые линии, в магнитном поле – линии, соединяющие северный и южный полюсы, в поле gradU –
линии, ортогональные к эквипотенциальным поверхностям скалярного поля U = U (M ) , и т.д.
r
r
r
r
Если r (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k – уравнение векторной линии Γ векторного поля (1), то вектор
r
r
r
r
d r = dx ⋅ i + dy ⋅ j + dz ⋅ k
в каждой точке направлен по касательной к Γ и потому коллиr
неарен вектору a (M ) . Поэтому их проекции пропорциональны
dx
dx
dx
.
(2)
=
=
X (x; y; z ) Y (x, y, z ) Z (x, y, z )
Таким образом, система дифференциальных уравнений (2)
определяет векторные линии поля (1). Она может быть записана
в нормальной форме:
dy Y (x, y , z ) dz Z (x, y, z )
,
.
(3)
=
=
dx X (x, y , z ) dx X (x, y , z )
Общий интеграл системы (3) имеет вид
⎧ϕ1 (x, y, z ) = c1 ,
⎨
⎩ϕ 2 (x, y, z ) = c2 .
С геометрической точки зрения, это два семейства поверхностей, которые в совокупности определяют искомые векторные
линии. Если в некоторой области Q для системы уравнений (3)
выполнены условия теоремы о существовании и единственности
решения задачи Коши, то через каждую точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
проходит единственная векторная линия
238
⎧ϕ1 (x, y , z ) = ϕ1 (x0 , y0 , z0 ),
⎨
⎩ϕ 2 (x, y , z ) = ϕ 2 (x0 , y0 , z0 ).
Пример. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника, по которому проходит ток силой I .
Р е ш е н и е . Выберем направление оси Oz , совпадающее с
направлением тока I . В этом случае вектор напряженности магr
r
r
r
2 r r
нитного поля H = 2 I × r , где I = I ⋅ k – вектор тока; r – ради-
ρ
ус-вектор точки P(x; y; z ) ; ρ – расстояние от оси проводника до
точки M . Найдем
r r r
i j k
r
r
r r
I × r = 0 0 I = − yI ⋅ i + xI ⋅ j ,
x y z
r r
правлении n ( n – единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности).
Разобьем поверхность Ω на n достаточно малых частей Ω1 ,
Ω 2 , ... , Ω n , площади которых обозначим ∆S1 , ∆S 2 , ... , ∆S n со-
ответственно. Выберем точки M i ∈ Ω i , i = 1, n . В виду малости
r
поверхности Ω i будем считать ее плоской, а значение a (M i )
постоянным для любой точки M i ∈ Ω i . При таких предположениях количество жидкости ∆Π i , протекающей через, поверхr
ность ∆Ω i за единицу времени в направлении a (M i ) , будет
приближенно численно равно объему цилиндра с площадью осr
нования ∆S i и образующими, равными a (M i ) . Высота этого
цилиндра равна проекции вектора a(M i ) на направление нормаr
ли n (M i ) (рис.1).
r 2I r
r
2I
H = − 2 y⋅ i + 2 x⋅ j.
ρ
ρ
Система дифференциальных уравнений векторных линий (2)
имеет вид
dx dy dz
=
=
.
−y x
0
Отсюда
⎧ x 2 + y 2 = c1 ,
⎧ xdx + ydy = 0,
и
⎨
⎨
⎩dz = 0,
⎩ z = c1 ,
где c1 ≥ 0 . Таким образом, векторными линиями магнитного поля бесконечного проводника являются окружности с центрами
на оси Oz .
Рис.1.
Суммируя соответствующие выражения по всем элементарным поверхностям Ω i , i = 1, n , получаем приближенное значение количества жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность Ω :
n
n
r
r
r
Π ≈ ∑ пр nr ( M i ) a (M i )∆S i = ∑ (a (M i ) ⋅ n (M i ))∆S i .
(4)
3. Поток векторного поля.
r
Пусть вектор a (M ) в некоторой области Q определяет поле
линейных скоростей стационарно движущейся несжимаемой
жидкости и Ω ⊂ Q – двусторонняя гладкая незамкнутая ориентированная поверхность. Вычислим Π – количество жидкости,
протекающей за единицу времени через поверхность Ω в на-
Для определения точного значения этого количества жидкости необходимо увеличивать число поверхностей ∆Ω i , уменьшая их диаметры. За точное значение Π принимается предел
суммы (4) при условии λ → 0 , где λ – наибольший из диамет-
239
240
i =1
i =1
ров ∆S i , i = 1, n .
Выражение (4) является интегральной суммой для функции
r r
a = a (M ) по ориентированной поверхности Ω . Предел суммы
(4) при λ → 0 , если он существует, конечен и не зависит от способа построения этой суммы, определяет поверхностный интеr r
грал второго рода от векторной функции a = a (M ) , описывающей поле линейных скоростей движущейся жидкости:
n
r
r
r r
= lim ∑ (a (M i ) ⋅ n (M i ))∆S i = ∫∫ a ⋅ n dS .
λ →0
i =1
Ω
r r
О п р е д е л е н и е 3. Потоком ∏ векторного поля a = a (M )
через ориентированную поверхность Ω называется число, равr r
ное значению поверхностного интеграла второго рода ∫∫ a ⋅ n dS :
r r
Π = ∫∫ a ⋅ n dS .
Ω
Ω
Термин «поток» для введенной скалярной характеристики
векторного поля употребляется независимо от физического
r
смысла a (M ) . Поток вектора зависит от выбора стороны поr
верхности (направления вектора n ); ему присущи и другие
свойства, которыми обладает поверхностный интеграл второго
рода.
Физический смысл потока. Выберем внешнюю сторону
r r
замкнутой поверхности Ω (рис.2), помещенной в поле a = a (M )
линейных скоростей движущейся несжимаемой жидкости. Будем считать, что Ω состоит из двух частей Ω1 и Ω 2 , через которые жидкость соответственно втекает и вытекает из объема, ограниченного поверхностью Ω .
Рис.2.
r
Поток ∏ вектора a (M ) через внешнюю сторону замкнутой
поверхности Ω будет равен сумме двух поверхностных интегралов второго рода, т.е. сумме двух потоков
r r
r r
r r
∏ = ∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫ a ⋅ n dS + ∫∫ a ⋅ n dS = ∏1 + ∏ 2 .
Ω
Ω1
Ω2
r
r
Поток ∏1 < 0 , так как угол между векторами a и n на поверхности Ω1 – тупой. Поток Ω 2 > 0 , так как указанный угол на
поверхности Ω 2 – острый. Поток ∏1 выражает количество жидкости, поступающей в часть пространства, ограниченную замкнутой поверхностью Ω , за единицу времени, ∏ 2 – соответственно количество вытекающей из него жидкости. Суммарный
поток ∏ = ∏1 + ∏ 2 выражает алгебраическую сумму количеств
поступающей и вытекающей жидкости. Если ∏ > 0 , то жидкости вытекает больше, чем поступает, следовательно, внутри поверхности Ω имеются источники. Если ∏ < 0 , то внутри поверхности Ω имеются стоки, ибо вытекает меньше жидкости,
чем поступает.
r
r
r
Пример. Вычислить поток вектора a = y 2 j + z ⋅ k через часть
поверхности z = x 2 + y 2 , отсеченную плоскостью z = 2 в направлении внешней нормали (рис.3).
Р е ш е н и е . В данном случае любая прямая, параллельная
241
242
оси Oz , пересекает данную поверхность Ω в единственной точке (кроме осей Ox и Oy ). Значит, поверхность правильная.
Предварительно найдем U = U (x, y, z ) = z − x 2 − y 2 .
(
= ∫∫ ⎡ 2 y 3 − z
⎢⎣
G
z= x2 + y2
(
)
⎤ dxdy = 2 y 3 − x 2 − y 2 dxdy =
∫∫
⎥⎦
G
⎡ x = r cos ϕ ,
⎤
⎢
⎥
3
3
2
= ⎢ y = r sin ϕ , J = r ,
⎥ = ∫∫ 2r sin γ − r rdrdϕ = .
⎢
⎥ G
⎣0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ⎦
(
2π
= ∫ dϕ
0
2
∫ (2r
4
)
)
sin 3 ϕ − r 3 dr = −2π .
0
4. Дивергенция векторного поля.
r r
В поле a = a (P ) , выберем точку P , принадлежащую области
∆Q ⊂ Q объема ∆V , границей которой служит замкнутая поверхность ∆Ω ⊂ Ω . Отношение
r r
∫∫ a ⋅ n dS
Рис.3.
Тогда единичный нормальный вектор
r ⎛
−1
2x
2y
n =⎜
;
;
⎜ 1 + 4x2 + 4 y 2 1 + 4x2 + 4 y 2 1 + 4x2 + 4 y 2
⎝
π
(Знак «–» взят потому, что
2
cos γ < 0 .) Имеем:
dS =
Искомый поток
r r
∏ = ∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫
Ω
1 + 4x2 + 4 y 2
,
dxdy
= 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy ,
cos γ
r r
a⋅n =
2 y3 − z
1 + 4x2 + 4 y 2
2 y3 − z
2
1 + 4x + 4 y
2
243
∆Ω
⎞
⎟.
⎟
⎠
≤ γ ≤ π , и, следовательно,
1
cos γ = −
Ω
)
.
⋅ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy
,
(5)
∆V
называется средним расходом жидкости через поверхность ∆Ω .
Когда ∆V будет стремиться к нулю (при этом поверхность ∆Ω
стягивается в точку P ), средний расход жидкости будет характеризовать расход жидкости в точке M ∈ Q в единицу времени.
Определение
4. Дивергенцией (расходимостью)
r
r r
diva (M ) векторного поля a = a (M ) в точке P называется скалярная величина, равная пределу отношения потока векторного
r r
поля a = a (M ) через замкнутую поверхность ∆Ω к величине
∆V объема, ограниченного этой поверхностью, при ∆V → 0
r r
a ⋅ n dS
∫∫
r
div a (M ) = lim ∆Ω
,
(6)
∆V →0
∆V
С учетом физического смысла потока векторного поля дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока, «исходящего» из точки P , т.е. мощность находяr
щегося в точке P источника: при div a (M ) > 0 или стока при
r
r
div a (M ) < 0 . Если diva (M ) = 0 , то в точке P нет ни источника,
244
ни стока.
В случае декартовой системы координат дивергенция векторного поля
r
r
r
r
a(M ) = X (x, y, z )i + Y (x, y, z ) j + Z (x, y, z ) k
определяется формулой
r
∂X (M ) ∂Y (M ) ∂Z (M )
div a (M ) =
+
+
,
(7)
∂x
∂y
∂z
Пример.
Найти
дивергенцию
векторного
поля
r
r
r
r r
2
2
2
2
a = a(x, y, z ) = y ⋅ i − x + y ⋅ j + + z 3 y + x ⋅ k
в
точках
M 1 (− 2;1;−2) , M 2 (7;0;1) , M 3 (0;0;0) .
Р е ш е н и е . Заданное поле определено на всем пространстве
3
R . Для решения задачи воспользуемся формулой (5). Найдем
частные производные от функций, являющихся координатами
r
вектора a (M ) , и их значения в точках M 1 , M 2 и M 3 :
(
)
(
(
)
)
(
)
X ( x, y , z ) = y 2 , Y ( x , y , z ) = x 2 + y 2 , Z ( x , y , z ) = z 3 y 2 + x ,
∂X
≡0,
∂x
∂Y (M 3 )
∂Y
∂Y (M 2 )
∂Y (M 1 )
= −2 y ,
= −2 ,
=0,
= 0,
∂y
∂y
∂y
∂y
∂Z (M 3 )
∂Z (M 1 )
∂Z (M 2 )
∂Z
= 3y2 + x ,
= 1,
=7,
=0.
∂z
∂z
∂z
∂z
Тогда
r
r
diva (M 1 ) = 0 − 2 + 1 = −1 , diva (M 2 ) = 0 + 0 + 7 = 7 ,
r
diva (M 3 ) = 0 + 0 + 0 = 0 .
Таким образом, данное поле в точке M 1 имеет сток, в точке
M 2 – источник, а в точке M 3 нет ни источника, ни стока.
Теорема 1 (Остроградского–Гаусса). Если векторная функr r
ция a = a (M ) непрерывно дифференцируема в области Q , ограниченной замкнутой поверхностью Ω , то поток векторного
r r
поля a = a (M ) через поверхность Ω в направлении внешней
нормали равен тройному интегралу по области Q от дивергенции этого векторного поля
245
r r
r
∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫∫ diva dxdydz .
Ω
(8)
Q
Данная теорема является аналитическим выражением теоремы Остроградского-Гаусса в векторной форме. Для практических приложений удобно скалярное представление ее правой
части
⎛ ∂X ∂Y ∂Z ⎞
r r
∫∫ a ⋅ n dS = ∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz .
Ω
V
Пример. Используя теорему Остроградского – Гаусса, вычислить поток векторного поля
r 2 xz (1 + y ) + 1 + y 2 r
⎞ r
r ⎛ x2 y
⎟
+
a = ⎜⎜
yz
⋅
i
+
x
⋅
y
⋅
j−
⋅k
6
2
arctg
2
⎟
1+ y2
⎝1+ y
⎠
через внешнюю сторону поверхности z = 1 − x 2 − y 2 , расположенную над плоскостью Oxyz .
Р е ш е н и е . Для того чтобы можно было применить теорему
Остроградского–Гаусса, «замкнем» снизу данную поверхность
частью плоскости Oxy , ограниченной окружностью x 2 + y 2 = 1 .
Пусть Q – пространственная область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью Ω , состоящей из парабои круга Ω 2 на
лоида вращения Ω1 = (x; y; z ) z = 1 − x 2 − y 2
{
}
плоскости Oxy (рис.4).
Рис.4.
246
r
Найдем diva (M ) :
r
2 xy
2x
2 x(1 + y )
∂X ∂Y ∂Z
diva (M ) =
+
=
+
−
≡ 0.
+
2
2
∂x ∂y ∂z 1 + y
1+ y
1+ y2
На основании формулы Остроградского Гаусса поток ∏ через замкнутую поверхность Ω равен нулю.
С другой стороны, обозначим через ∏1 и ∏ 2 потоки через
поверхности параболоида и круга соответственно. Тогда по
свойству аддитивности
r r
r r
∏ = ∏1 + ∏ 2 = ∫∫ a ⋅ n1 dS + ∫∫ a ⋅ n2 dS = 0 .
Ω1
Ω2
Следовательно, искомый поток
r r
r r
∏1 = ∫∫ a ⋅ n1 dS = − ∫∫ a ⋅ n2 dS .
Ω1
Ω2
На поверхности Ω 2
r r
r
x2 y r
⋅
i
+
2
x
⋅
arctg
y
⋅
j −k .
a=
1+ y2
r
r
r r
Поскольку n2 = −k , то a ⋅ n2 = 1 .
Таким образом, ∏1 = − ∫∫ dS = −π ⋅ 12 = −π .
Ω2
Вопросы для самоконтроля
1. Какое поле называется стационарным векторным поле?
2. Дайте определение векторных линий.
3. Что называется потоком векторного поля? В чем состоит
физический смысл потока?
4. Что называется дивергенцией векторного поля? В чем состоит физический смысл дивергенции?
5. Сформулируйте теорему Остроградского-Гаусса в векторной форме.
247