электромагнитные волны в двухпроводной линии

Московский государственный университет
им. М.В.Ломоносова
Физический факультет
Кафедра общей физики
Лабораторный практикум по
общей физике
(электричество и магнетизм)
Лабораторная работа № 319
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
В ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
В.М. Буханов, Э.Б. Завязкин,
А.В. Матюнин, А.М. Салецкий
I
E
Д
I
B
мкA
мкA
М О С К В А - 2011
Изучается распределение амплитуд напряженности электрического поля и индукции
магнитного поля в пространстве около двухпроводной линии, вдоль которой распространяется бегущая электромагнитная волна или устанавливается стоячая волна. Экспериментальная установка состоит из генератора синусоидальных напряжений, двухпроводной линии и поглотителя (или отражателя) электромагнитных волн. Это  линия Лехера, названная так по имени ученого, впервые реализовавшего ее (рис. 1).
Теория
Получим уравнение, описывающее процесс распространения электромагнитной волны
вдоль двухпроводной линии. Для этого рассмотрим бесконечно малый участок линии dx,
показанный на рис. 2. Ограничимся случаем, когда поперечные размеры линии (диаметр
проводов и расстояние между ними) много меньше длины волны, что позволяет считать
ток квазистационарным (в пределах рассматриваемого участка). Условие квазистационарности дает возможность использовать закон Ома для этого участка цепи, а также ввести в
рассмотрение понятия емкости C и индуктивности единицы длины линии на основе соl
отношений L
l
q CV ,
l
l
 LI.
l
l
(1)
Здесь q и   соответственно электрический заряд и поток вектора магнитной индукl
l
ции, приходящиеся на единицу длины линии, V - напряжение между проводами, а I - сила
тока, протекающего в проводах линии.
Генератор
Линия
Приемник
Рис. 1. Линия Лехера
Применим закон сохранения заряда для рассматриваемого участка линии dx (например,
отрезка AD на рис. 2). За время dt внутрь этого участка через сечение А входит электрический заряд dq(x) = I(x) dt, а через сечение D выходит заряд dq(x + dx) = I(x + dx) dt. Избыток входящего заряда над выходящим составляет
[I(x) – I(x + dx)] dt = 
1
dI
dx dt .
dx
(2)
B
C
I
V(x)
V(x+dx)
I
A x
(x+dx) D
Рис. 2. Участок линии (к выводу волнового уравнения)
Обозначив избыточный заряд, отнесенный к единице длины линии через q , будем иметь:
l
dI
q   dt.
l
dx
(3)
Применим теперь закон электромагнитной индукции для контура DCBAD:
d
l dx ,
E
dl


 l
dt
(4)
Запишем далее линейные интегралы, соответствующие отдельным участкам контура, используя закон Ома для участка цепи:
 El dl =V(x + dx); CB El dl = I ( Rl dx );
DC
 El dl =  V(x); AD El dl = I ( Rl dx ),
BA
( R - сопротивление единицы длины провода). Таким образом, равенство (4)
l
можно переписать как
 El dl = V(x + dx) + Rl
=
I dx - V(x) + R I dx =
l
d
dV
l dx.
dx + 2 R I dx = 
l
dt
dx
(5)
Здесь учтено, что цепь, в которую включена двухпроводная линия, является неразветвленной, а значит, по проводам AD и CB течет один и тот же ток I. Из (5) получаем:
2
d
dV
l.
+ 2R I = 
l
dt
dx
(6)
Считая, что электропроводность проводов достаточно велика, примем R = 0. Исключая
величины q и  из уравнений (3) и (5) с помощью (1), получаем:
l
l
dV
dI
= ;
C
l dt
dx
dV
dI
= L
.
l dt
dx
(7)
Дифференцируя первое из уравнений (7) по x, а второе по t, и исключив из них
d 2V
, поdxdt
лучим волновое уравнение для тока I:
2I
2I
=
.
L
C
l l t 2
x 2
(8)
Аналогичным образом, т. е. дифференцируя первое из уравнений (7) по t, а второе по x,
и исключив смешанную производную, получим волновое уравнение для V:
 2V
 2V
=
.
L
C
l l t 2
x 2
(9)
Таким образом, из приведенного рассмотрения следует, что вдоль безграничной двухпроводной линии распространяется бегущая волна тока и бегущая волна напряжения с
одинаковой скоростью
1
.
LC
l l
v=
(10)
Для тонких цилиндрических проводов радиуса r с расстоянием d между осями, находящихся в вакууме, величины L и C могут быть рассчитаны согласно [2] по формулам
l
l

d
L = 0 ln ;
l

r
Cl =
 0
,
d
ln
r
(11)
где  0 = 8.854  10-12 Ф/м, а 0 = 1.256  10-6 Гн/м. С учетом (11) формула (10) принимает
следующий вид:
1
v=
 0 0
.
(12)
В соответствии с (12) скорость распространения волны тока и напряжения вдоль двухпроводной линии равна скорости света в вакууме.
Из волновых уравнений (8) и (9) также следует, что в бегущей волне напряжение и ток
пропорциональны друг другу:
3
V = ZI.
(13)
Величину Z называют волновым (или характеристическим) сопротивлением линии. Можно показать (см., например, [3] стр. 403), что
Z=
Ll
.
Cl
(14)
На основании формул (11) и (14) волновое сопротивление определяется геометрическими
размерами линии:
Z = 120 ln
d
.
r
(15)
Так как величина Z вещественна, из (13) следует, что в бегущей волне V и I (а вместе с


ними также E и B ) совпадают по фазе.
Если сопротивление нагрузки равно волновому, то вся передаваемая по линии электромагнитная энергия поглощается нагрузкой (см. [3]). В этом случае говорят, что нагрузка и
линия согласованы между собой. Если такого согласования нет, волна частично отражается от нагрузки и распространяется в противоположном направлении.
Когда частота колебаний источника становится близкой к одной из собственных частот
линии, наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний тока и напряжения в линии
(явление резонанса). Частоты собственных колебаний линии определяются, как известно,
граничными условиями. Например, для коротко замкнутой линии, это условие состоит в
том, что на длине линии укладывается целое число полуволн.
Если линия закорочена на нагрузочном конце ( RН = 0), происходит отражение падающей волны и последующее ее сложение с отраженной волной; возникают две стоячие волны - волна тока с пучностью на закороченном конце и стоячая волна напряжения с узлом

на этом конце. Заметим, что току соответствует магнитная компонента B , а напряжению 
электрическая компонента E электромагнитного поля, поэтому все сказанное о стоячих
волнах тока и напряжения относится также к стоячим волнам, соответственно, индукции
магнитного поля и напряженности электрического поля. Таким образом, в отличие от бе

гущей волны, в стоячей волне E и B изменяются не в фазе, т.к. при отражении от закоро
ченного конца вектор E скачком меняет фазу на противоположную.
Следует иметь в виду, что в реальных двухпроводных линиях практически невозможно
осуществить режим чисто бегущих или стоячих волн. Причинами этого являются два обстоятельства. Во-первых, на конце линии с поглотителем всегда имеется отражение, хотя
бы незначительное. Во-вторых, при распространении электромагнитной энергии вдоль
4
линии всегда есть потери на джоулево тепло и на излучение в окружающее пространство,
в силу чего амплитуды падающей и отраженной волн оказываются несколько различными.
В настоящей работе можно добиться условий, при которых преобладает либо стоячая,
либо бегущая волна. В первом случае линию закорачивают проводящим диском с прорезями под провода линии ( RН = 0), во втором - либо подключают к ее концам нагрузку, соответствующую волновому сопротивлению ( RН
 Z), либо ставят поглотитель (приемник)
электромагнитной энергии, выполненный в виде войлочного или пенопластового конуса,
пропитанного графитом (аквадагом), либо просто оставляют линию разомкнутой.
Экспериментальная установка
Рис. 3. Общий вид экспериментальной установки. 1 – генератор,1 а – индикатор частоты генератора, 2 – двухпроводная линия, 3 – закорачивающий латунный диск, 4 –
датчик электрического поля, 5 – датчик магнитного поля, 6 – ручка регулировки положения датчиков.
В состав установки входят генератор (2.6 – 4 ГГц) (1), двухпроводная линия (2), медный (латунный) диск с прорезями (для закорачивания линии и отражения волны) (3) и два
датчика – детектора с регистрирующими приборами – микроамперметрами (рис. 3). Основным элементом генератора является клистрон отражательного типа. Клистрон – элек5
тровакуумный прибор, генерирующий незатухающие электромагнитные колебания в указанном диапазоне частот, которому соответствуют длины волн 11.5 – 7.5 см.
Устройство отражательного клистрона схематически показано на рис. 4. Внутри вакуумного баллона находятся катод К, отражатель О, объемный резонатор Р с сетками С1 и
С 2 , а также ускоряющая сетка С у .
Резонатор Р клистрона, являющийся электрической колебательной системой (т.е. разновидностью колебательного контура), представляет собой тороидальную полость (индуктивный элемент резонатора) из медной фольги с двумя плоскопараллельными вольфрамовыми сетками (емкостной элемент), вваренными в среднюю часть тора. Для уменьшения потерь на джоулево тепло поверхности тора серебрят.
Ускоряющая сетка С у (и весь соединенный с нею резонатор Р – корпус и сетки) находится под положительным (относительно катода К) потенциалом, а отражатель О  под
отрицательным. Поскольку резонатор является колебательной системой, любое электрическое воздействие на него, например, включение электропитания, приводит к возникновению собственных затухающих колебаний. Соответствующей настройкой (подбором
напряжений между отражателем и резонатором или расстояния между ними) можно создать условия для реализации автоколебательного режима, при котором колебания становятся незатухающими.
Механизм обратной связи, поддерживающий автоколебания в клистроне, состоит в
следующем:
O
P
отр
C
C
C
K
рез
6 В
Рис. 4. Схема клистрона отражательного типа
1) Электроны, испускаемые катодом, ускоряются сеткой С у и попадают в резонатор с
некоторой скоростью, соответствующей разности потенциалов между этой сеткой и
6
катодом. В пространстве между сетками С1 и С 2 скорость электронов модулируется
переменным электрическим полем собственных колебаний резонатора;
2) Сразу на выходе из резонатора электроны группируются в сгустки вследствие модуляции их скорости. Далее к отражателю и обратно к резонатору движется уже поток
электронов переменной плотности (сгустки и разряжения);
3) Проходя пульсирующим потоком через резонатор в обратном направлении, электроны поддерживают колебания, если попадают в область между сетками, когда электрическое поле тормозит их движение (что обеспечивается либо подбором потенциала отражателя, либо изменением расстояние между сеткой С 2 резонатора и отражателем).
Компонентами электромагнитной волны, как известно, является переменное электриче

ское поле (с напряженностью E ) и магнитное поле (с индукцией B ).
Регистрацию электрического поля можно осуществлять с помощью детектора Д, - полупроводникового (кремниевого) диода ДКВ-4 (Рис. 5), – подключаемого к измерительному прибору, которым может служить, например, микроамперметр постоянного тока.
Диод выступает в роли ненастроенной антенны, в которой переменное электрическое поле
вызывает движение свободных зарядов, т.е. появление переменного тока (или переменного напряжения на его концах).
I
E
Д
I
B
мкA
мкA
Рис. 5. Схема измерения интенсивности электрического
и магнитного полей вблизи двухпроводной линии
Регистрация магнитного поля осуществляется аналогичным образом. В качестве чувствительного элемента используется, на сей раз, проволочная петля, плоскость которой

лежит в плоскости проводов линии, (т.е. перпендикулярна линиям B ). Полупроводнико7
вый диод (ДКВ-4) включен последовательно в электрическую цепь проволочной петли и
измерительного прибора, но удален из области распространения электромагнитной волны
во избежание помехи со стороны электрического поля.
Эквивалентная электрическая схема измерения представлена на рис. 6 (а)), где введены
следующие обозначения: Ε~  ЭДС, возникающая в детекторе (она пропорциональна

напряженности Е электрического поля), R Д - внутреннее сопротивление детектора, Ri 
внутреннее сопротивление измерительного прибора, Ci - так называемая входная емкость
прибора. Видно, что схема фактически представляет собой цепь одно-полупериодного
выпрямителя. Среднее значение выпрямленного тока I в такой цепи зависит от вида вольтамперной характеристики используемого диода (рис. 6 (б)). Для малых напряжений характеристика диода ДКВ-4 может быть представлена как
I = U2.
(16)

Так как напряжение U пропорционально напряженности электрического поля E , ток I в
цепи диода пропорционален E 2 и, следовательно, плотности энергии (или интенсивности)
электромагнитного поля.
Д
E
R
мкA
C
а)
RД
IД
б)
U
Рис. 6. а) – Эквивалентная схема измерения интенсивности электромагнитного поля, б) – вид вольтамперной характеристики детектора.
Одно из основных требований к детектору состоит в том, чтобы он практически не
влиял на измеряемое поле. Значит нужно, чтобы размеры самого детектора были малы по
сравнению с длиной электромагнитной волны , а материал держателя, на котором кре8
пится детектор, имел бы практически такую же диэлектрическую проницаемость, как и
среда, в которой распространяется волна (т.е. ε ~ 1).
Оба эти условия выполнены в данной задаче, поскольку размеры детектора на порядок
меньше длины волны , а в качестве держателя взят пенопластовый стержень, диэлектрическая проницаемость которого мало отличается от проницаемости воздуха.
Провода, соединяющие концы детектора с микроамперметром, укладывают так, чтобы
они не образовали контур заметной площади: тогда ЭДС, наведенная в проводах, будет
значительно меньше ЭДС, индуцируемой в детекторе. С этой же целью “ось” детектора

располагают параллельно вектору E , а соединительные провода - перпендикулярно к
нему: в этом случае в антенне наводится максимальная ЭДС, а в проводах  практически
равная нулю.
Упражнение 1. Измерение длины волны
Для измерения длины волны используется режим стоячих волн, образующихся при замыкании линии проводящим диском, положение которого подобрано в соответствии с
условием максимальных показаний одного из детекторов (например, электрического поля). В том, что стоячие волны тока (а значит, и индукции магнитного поля) и напряжения
(а следовательно, напряженности электрического поля) действительно установились,
можно убедиться, перемещая оба детектора вдоль линии и наблюдая минимумы и максимумы в показаниях соответствующих микроамперметров. Регистрируя координаты узлов
и пучностей и определяя расстояние xi между соседними максимумами (минимумами)
тока (напряжения), которое равно  /2, находят длину электромагнитной волны
 = 2 xi .
(17)
Упражнение 2. Изучение распределения напряженности электрического и
индукции магнитного поля вдоль линии
Перемещение детекторов следует производить с помощью ручки (6) (с шагом 5 мм) на
расстояние не менее двух длин волн (см. Упражнение 1).
Изучение проводится сначала для режима стоячих волн, т.е. когда линия замкнута проводящим (отражающим) диском (R = 0). Затем диск удаляют и наблюдают показания приборов в режиме бегущей волны (на конце разомкнутой линии может находиться поглотитель электромагнитной энергии  войлочный конус, пропитанный раствором графита
9
(R
 Z)). Если поглотителя нет (линия просто не замкнута), на бегущую волну накладыва-
ется довольно заметная по интенсивности отраженная волна, т.е. имеет место некоторая
суперпозиция бегущей и стоячей волны.
В этом случае наблюдаются колебания интенсивности, но в отличие от чисто стоячей
волны, интенсивность в минимумах не равна нулю, а оказывается несильно отличающейся
от интенсивности в максимумах.
Обработка результатов эксперимента
В первом упражнении производится статистическая обработка массива данных о величинах xi - расстояниях между соседними максимумами (минимумами) в стоячей волне,
в результате чего находится среднее арифметическое x этих величин и среднеквадратичное отклонение  от него. Полученные величины используются для расчета средней
длины волны  по формуле (17) и ее среднеквадратичной ошибки   . Полученное
значение  сравнивают со значением, рассчитанным по известной частоте f генератора (см. на соответствующем индикаторе генератора)
ген 
c
, где c – скорость электроf
магнитной волны в вакууме (299.792 × 106 м/c). По найденным значениям  и по частоте f
генератора находят скорость распространения волны вдоль линии как v = f  и сравнивают со скоростью, рассчитанной по формуле (12).
Во втором упражнении строятся распределения амплитуд токов и напряжений (на
одном графике) отдельно для стоячей и для бегущей волны.
По этим графикам оценивается коэффициент
I
I
К = max min ,
I max  I min
(18)
который называют степенью “бегучести” волны. Как видно из (18) коэффициент К может
варьироваться в пределах от 0 до 1. При К = 0 имеем чисто бегущую волну, при К = 1 чисто стоячую.
10
Упражнение 3. Изучение поперечности электромагнитной волны
Электромагнитные волны являются поперечными, и их свойства зависят от ориентации




векторов E и B , характеризуемой понятием поляризации. Линии E и B около двухпроводной линии схематически показаны на рис. 5. Если вращать держатель датчика электрического поля в плоскости двухпроводной линии около оси, перпендикулярной плоско
сти, от положения, когда он параллелен E , сигнал датчика будет плавно убывать от максимального до нулевого при повороте на 90º.
Изучение (или проверка) поперечности стоячей электромагнитной волны состоит в измерении угловой зависимости I Е = f(φ) тока датчика электрического поля, где φ – угол
поворота, и в ее графическом представлении.


Упражнение 4. Изучение фазового соотношения между E и B в стоячей
волне
Как ранее упоминалось (см. стр. 4), при отражении от проводящего диска у электрического вектора происходит скачок фазы на π. Это приводит к тому, что стоячие волны век

торов E и B оказываются смещенными на четверть длины бегущей волны (максимумы
одного вектора совпадают с минимумами другого).


Если бы датчики E и B находились в “одной точке” или на расстоянии в точности равном половине длины бегущей волны, указанное совпадение можно было бы наблюдать


непосредственно на построенных зависимостях интенсивности векторов E и B . Однако,

расстояние между датчиками обычно отличается от λ/2, поэтому, максимумы E не совпа
дают с минимумами B . Легко видеть, что разность их координат должна равняться (в пределах ошибок измерений) модулю разности L (расстояния между датчиками) и λ/2. Выполнение упражнения состоит в проверке этого соотношения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сивухин Д.В. “Электричество”, М.: Наука, 2004.
2. Калашников С.Г. “Электричество”, М.: Наука, 2008.
3. Матвеев А.Н. “Электричество и магнетизм”, М.: Высшая школа, 2005.
4. “Радиофизическая электроника” (под ред. проф. Н.А. Капцова), М.: Изд. МГУ, 1960.
11