Круги

09.09.2011
Круги
1.
2. Две равные окружности касаются в точке M. Через точку M проводится прямая, которая
пересекает повторно окружности в точках A и B. Докажите, что
• M является серединой отрезка AB;
• касательные, проведённые к этим окружностям в точках A и B, параллельны.
3. а) Даны окружность S и точка A на ней. Найдите геометрическое место середин хорд
окружности, проходящих через A.
б) Даны окружность S и на ней три точки A, B и C. Проведите хорду AX, которая хордой
BC делилась бы пополам.
4. Через точку A проведена прямая, пересекающая окружность с диаметром AB в точке K,
отличной от A, а окружность с центром B – в точках M и N. Докажите, что MK = KN.
5. Две окружности касаются друг друга в точке C и прямой l - в точках A и B. Прямая AC
пересекает вторую окружность в точке D. Докажите, что ∠ABD = 90◦ .
6. Постройте окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на
ней точке.
7. Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 , O2 касаются внешним образом. Прямая O1 O2
пересекает окружности ω1 , ω2 в точках A1 , B1 соответственно; A2 B2 – общая внешняя касательная, где A2 , B2 точки касания с окружностями ω1 , ω2 . Докажите, что A1 A2 ⊥ B1 B2 .
8. Окружности S1 и S2 c центрами в точках O1 и O2 соответственно касаются внешним
образом. Через точки O1 и O2 проводятся параллельные хорды AB и CD(точки A и C лежат
по одну сторону от O1 O2 ). Докажите, что AD ⊥ BC.
9. Три окружности S1 , S2 и S3 попарно касаются друг друга в трёх различных точках.
Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S1 и S2 с двумя другими
точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являющихся концами её диаметра.
10. Окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга внешним образом. Пусть A, B, C –
точки касания S1 и S2 , S1 и S3 , S2 и S3 соответственно. Прямая AB повторно пересекает S2 и
S3 в точках D и E соответственно. Прямая DC повторно пересекает S3 в точке F . Докажите,
что DEF прямоугольный.
11. Окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга внешним образом. Окружности S1 и
S2 имеют одинаковые радиусы и касаются в точке B. Окружности S1 и S3 касаются в точке
A. Окружность S2 касается S3 в точке C. Прямая AB вторично пересекает S2 в точке D.
Прямая DC вторично пересекает S3 в точке F . Прямая F A пересекает вторично S1 в точке
N. Прямая AC вторично пересекает S2 в точке L. Докажите, что четырёхугольник DNAL
является ромбом.
12. Докажите, что R = R1 + R2 (cм. рис.).
13. На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а окружность с диаметром AB – в точках M и
N. Докажите, что KM = LN.
14. Три окружности радиуса R проходят через точку H; A, B и C – точки их попарного
пересечения, отличные от H. Докажите, что:
а) H – точка пересечения высот треугольника ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.
15. Три окружности ω1 , ω2 и ω3 радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним
образом окружности радиуса R R > r в точках T1 , T2 и T3 соответственно. Докажите, что
прямая T1 T2 проходит через вторую (отличную от S ) точку пересечения окружностей ω1 и
ω2 .
16. Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точке A. Касательная,
проведённая к окружности ω1 в точке A, пересекает описанную окружность треугольника
O1 AO2 в точке A1 (cм. рис). Аналогично, определяется точка A2 . Докажите, что O1 O2 = A1 A2 .
17. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC(AB > AC) в точках
P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная AB, T – точка пересечения прямых
P Q и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.
18.