ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ - Сайт кафедры Радиоэлектроники и

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Утверждаю:
Зав. каф. РЗИ
___________ Задорин А.С.
Методическое пособие по практическим занятиям по курсу
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
для специальностей 075300 (организация и технология защиты информации)
и 075400 (комплексная защита объектов информатизации)
доц. каф. РЗИ
_______ Литвинов Р.В.
ТОМСК 2007
2
1. Примеры решения задач
1.1.
Условие.
Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в
вакууме так, что ее волновой вектор k перпендикулярен оси Z и составляет
угол α = 60° с ортом оси X. Найти скорость распространения колебаний
вдоль оси X.
Решение.
Условие задачи изображено на рис. 1.1. В соответсвии с этим рисунком найдем, что искомая скорость υ= с/сова=2с! Полученный результат
не противоречит теории относительности: фазовая скорость может быть любой, в отличие от скорости сигнала, которая не может быть больше с –
скорости света в вакууме.
Рис. 1.1.
3
1.2.
Условие.
В вакууме распространяется гармоническая плоская электромагнитная волна,
электрическая составляющая которой имеет вид
E = Em e cos(ωt − k ⋅ r )
Найти векторную амплитуду магнитной составляющей этой волны Н.
Решение.
Видно, что данная волна распространяется в направлении вектора k. Значит,
три вектора, E m = Em e , Hm, k должны составлять правовинтовую систему
(см. рис. 1.2).
а
y
Em
k
x
Hm
z
Рис. 1.2
Отсюда следует, что вектор Hm должен быть сонаправлен с вектором k × E m , направление которого совпадает с ортом m × z o , где орт
m = k k . Остается найти модуль вектора Hm, т. е. воспользоваться формулой
Hm =
n& E m
ε0
Em =
Z0
µ0
4
В результате получим:
Hm = m × zo
ε0
Em .
µ0
1.3.
Условие.
Плоская электромагнитная волна E = E m cos(ωt − k ⋅ r ) распространяется в вакууме. Найти вектор Н как функцию времени в точке с радиусомвектором r=0.
Решение.
Искомый вектор H = H m cos ωt , где H m можно найти из условия,
что векторы E, H и k составляют правую тройку, откуда H m ↑↑ k × E m .
Кроме того,
µ 0 H m = ε 0 Em . Поэтому H m = H m h , где h – орт вектора H m
равный [k × E m
]
kE m и, следовательно
Hm =
ε 0 [k × E m ]
.
µ0
k
В результате получим:
H=
1 ε0
[k × E m ]cos ωt .
k µ0
1.4.
Условие.
В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда электрической составляющей которой равна Ет. Найти среднюю за
период колебаний плотность потока энергии.
Решение.
Модуль вектора Пойнтинга, Π=ЕН, с учетом соотношений
5
Π = [E × H ] ,
µµ 0 H m = εε 0 Em
и условия ортогональности векторов E и H примет вид
Π=
ε0 2
Em cos 2 ωt
µ0
Отсюда его среднее за период T = 2π ω значение будет равно
2
ε0 2 T
ε 0 Em
2
.
Π =
Em ∫ cos ωtdt =
2
µ0
µ
0
0
1.5.
Условие.
В вакууме вдоль оси X распространяются две плоские электромагнитные волны, электрические составляющие которых изменяются по закону
E1 = E m cos(ωt − kx ) и
E 2 = E m cos(ωt − kx + φ) . Найти среднее значение
плотности потока энергии.
Решение.
Исходим из соотношений Π=ЕН и
Π =
µ 0 H = ε 0 E . Отсюда
ε0 2
E ,
µ0
2
где в любой E 2 = Em
cos 2 ωt (начальная фаза φ не существенна). Найдем
2
Em
. Согласно векторной (или фазовой) диаграмме эта амплитуда вектора Е
является суммой векторов Е0 разность фаз между которыми равна φ (см рис.).
6
Рис. 1.3.
Из теоремы косинусов имеем
В результате искомая величина
Π =
ε0
(1 + cos φ)E02 ,
µ0
где учтено
2
T
cos ωt = ∫ cos 2 ωtdt =
0
1
,
2
где в свою очередь T = 2π ω – период.
1.6.
Условие.
В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны,
одна – вдоль оси X, другая – вдоль оси Y:
E1 = E m cos(ωt − kx ) и E 2 = E m cos(ωt − ky ) .
где вектор Em направлен параллельно оси Z. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости =х.
Решение.
7
В плоскости у = х векторы Е1 и Е2 будут колебаться в фазе с амплитудой
Ет=2Е0. Векторы же H1 и Н2 –тоже в фазе, но под углом π/2 друг к другу, поэтому амплитуда результирующего вектора Н m = 2H 0 , где H 0 связано с Е0
µ 0 H m = ε 0 Em . Поэтому среднее значение плотности по-
соотношением
тока энергии в плоскости у=х равно
ε
Π = 2 2 E0 H 0 = 2 0 E02 ,
µ0
где учтено, что cos 2 ωt = 1 2 .
1.7.
Условие.
Пусть электрическая составляющая стоячей электромагнитной волны имеет вид E y = E m cos (kx ) cos (ω t ) . Найти выражение для магнитной
составляющей этой волны.
Решение.
Учитывая поперечность электромагнитного поля и применяя уравнение Максвелла
∇ × H = ε0
∂E
∂t
к рассматриваемому случаю
xo
∂
∇× H =
∂x
0
= ε0
yo
∂
∂y
Hy
zo
 ∂H z ∂H y
∂
= x o 
−
∂z
∂z
 ∂y
Hz
∂E y o
y = −ωε 0 Em cos(kx )sin (ωt ) y o
∂t
получим следующие соотношения

∂H z
o ∂H y
 − yo
+
z
=

∂x
∂x

,
8
∂H z
= ωε 0 Em cos(kx )sin (ωt )
∂x
∂H z ∂H y
−
=0
.
∂y
∂z
∂H y
=0
∂x
Последние два соотношения выполняются автоматически, так как у
плоских электромагнитных волн амплитуды постоянны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. В рассматриваемом случае это
означает, что они не зависят от y и z.
Проинтегрировав первое из этих выражений по х, получим:
ω
ε 0 Em sin (kx )sin (ωt ) + const = cε 0 Em sin (kx )sin (ωt ) + const =
k
ε
1
=
ε 0 Em sin (kx )sin (ωt ) + const = 0 Em sin (kx )sin (ωt ) + const =
µ0
ε 0µ 0
Hz =
= H m sin (kx )sin (ωt ) + const
Нас интересует только переменное поле, поэтому const = 0. Тогда
H z = H m sin (kx )sin (ωt )
т. е. Нг имеет вид тоже стоячей волны, но сдвинутой в пространстве (по х) на
четверть волны и по времени – на четверть периода.
1.8.
Условие.
В вакууме распространяется плоская гармоническая линейно поляризованная электромагнитная волна частоты ω. Интенсивность волны равна
I. Найти амплитудное значение плотности тока смещения в этой волне.
Решение.
По определению, плотность тока смещения
9
jсм =
∂D
∂t
где D = ε 0 E . Пусть E = E m cos(ωt − kx ) тогда амплитудное значение плотности тока смещения jm = ωε 0 Em .Остается найти амплитуду Ет, которая может быть найдена из формулы для интенсивности
2
εε 0 Em
I=
µµ 0 2
в виде
Em = 2 I
µ0
.
ε0
Тогда из предыдущих формул получим
jm = ω
2ε 0 I
.
c
1.9.
Условие.
Электромагнитная волна, излучаемая диполем, распространяется в
вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном оси диполя, на
расстоянии г от него интенсивность равна /0. Найти среднюю мощность Р излучения диполя.
Решение.
Прежде всего найдем мощность dP излучения, проходящего через
кольцевую полоску dS на сфере радиуса r (см. рис.). Площадь этой полоски
равна произведению
ее длины 2πr sin θ на ширину rdθ. Учитывая, кроме
того, что, согласно формуле
10
1
I= Π∞
r
2
sin θ ,
интенсивность под углом θ относится к интенсивности под углом θ = 90° как
I/I0 – sin2θ, запишем
dP = IdΠ = I 0 sin 2 θ ⋅ 2πr sin θ ⋅ rdθ
Проинтегрировав это выражение по θ от 0 до π, получим:
P=
8π 2
r I0 .
3
1.10.
Условие.
Постоянный по модулю электрический диполь р вращают с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной оси диполя и
проходящей через его середину. Найти мощность излучения такого диполя.
Решение.
Согласно формуле
µ0 d 2 p2
P=
,
6πc dt 2
справедливой для рассматриваемого случая, вопрос сводится к определению
второй производной вектора дипольного момента р по времени. За время dt
модуль приращения ветора р равен |dp|=pωdt, значит
dp = [ω × p]dt и
dp
= [ω × p].
dt
Из последнего равенства видно, что при вращении постоянного по модулю
вектора р его производная по времени dp dt определяется как векторное
11
произведение ω на вектор р. Это справедливо для любого вектора, в частности и для вектора производной dp dt . Его производная по времени, т. е.
d2p
dt 2
= [ω × [ω × p ]] ,
или по модулю
d2p
dt 2
= ω2 p
После подстановки этого выражения в формулу для мощности получим
P=
µ0 4 2
ω p .
6πc
1.11.
Условие.
Одна из спектральных линий, испускаемых возбужденными ионами
Не+ в состоянии покоя, имеет длину волны λ, Если эту линию наблюдать под
углом α к пучку данных ионов, то обнаруживается ее доплеровское смещение ∆λ<0, причем |∆λ|<<λ. Определить скорость ионов в пучке.
Решение.
Так как |∆λ|<<λ, то это значит, что ионы движутся с нерелятивистской скоростью и справедлива формула
∆λ υ x υ cos α
=
=
.
λ
c
c
Условие же ∆λ<0 означает согласно этой же формуле, что cosα >0, т. е. угол
α<π/2. Искомая скорость
12
1.12.
Условие.
При наблюдении спектральной линии λ =0.51 мкм в направлениях
на противоположные края солнечного диска на его экваторе обнаружили
различие в длинах волн на δλ=8,0 пм. Найдите период Т вращения Солнца
вокруг собственной оси.
Решение.
Так как данные края диска движутся при вращении Солнца в противоположных направлениях с одинаковой скоростью и, то доплеровское
смещение этой линии будет одинаково по модулю, но противоположно по
знаку. Поэтому суммарная разность смещенных длин волн равна удвоенному
доплеровскому смещению:
где ω – циклическая частота вращения солнца, R≈7⋅108 м – его радиус. Отсюда следует, что период вращения солнца равен
1.13.
Условие.
Радиолокатор работает на частоте f0. Найти скорость υ приближающегося самолета, если частота биений между сигналами передатчика и
отраженными от самолета в месте расположения локатора равна ∆f .
Решение.
В этой задаче мы имеем дело с нерелятивистским эффектом Доплера. Частота сигналов, воспринимаемая самолетом как приемником, к которому приближается локатор, описывается формулой
13
f = f 0 [1 + (υ c )] .
Сигналы такой же частоты f самолет и отражает – уже как движущийся источник. Поэтому приемник локатора принимает сигналы с частотой
f ′ = f [1 + (υ c )] = f 0 [1 + (υ c )]2 ≈ f 0 [1 + 2υ c ] .
Частота биений
∆f = f ′ − f 0 = 2 f 0 υ c .
Отсюда
υ = c∆f 2 f 0 .
1.14.
Условие.
С какой скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы
красный свет светофора, λ 0 = 0.70 мкм, воспринимался как зеленый,
λ 0 = 0.55 мкм?
Решение.
Согласно формуле
f = f0
1 + (υ c )
.
1 − (υ c )
Отсюда
(f
υ=c
(f
f 0 )2 − 1
(λ λ 0 )2 − 1
=c
f 0 )2 + 1
(λ λ 0 )2 + 1
В результате находим υ=7⋅104 км/с!
14
1.15.
Условие.
Источник S, испускающий электромагнитные сигналы с частотой f0,
движется с релятивистской скоростью υ по прямой, отстоящей на некоторое
расстояние от неподвижного наблюдателя Р (см. рис.). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда:
а) источник окажется в точке O;
б) наблюдатель увидит его в точке O.
Рис. 1.4.
Решение.
а) В этот момент в точку Р должны прийти сигналы, испущенные
источником S левее точки O, когда его скорость составляла некоторый угол α
с прямой SP. Этот угол должен удовлетворять условию
cos α =
υτ υ
=
cτ c
где τ – время, за которое источник из точки S достигнет точки O. За это же
время сигналы достигнут Р. Тогда, согласно формуле
15
1 − β2
f = f0
1 − (υ x c )
Получим
1 − (υ c )2
1 − (υ c )2
f0
f = f0
= f0
=
.
2
1 − (υ c )cos α
1 − (υ c )(υ c )
1 − (υ c )
б) В этом случае будет наблюдаться чисто поперечный эффект Доплера:
f = f 0 1 − (υ c )2 .
2. Задачи для самостоятельного решения
2.1.
При каком условии гармоническая волна
f ( x, t ) = Re{A exp[i(ωt − kx )]}
будет решением волнового уравнения
∂2 f
∂t
2
2∂ f
−υ
=0
2
2
∂x
Какова скорость распространения этой волны?
2.2.
Покажите, что функции f(x–υt) и g(x+υt) являются решениями волнового уравнения для произвольных функций f и g. Установите физический
смысл решений волнового уравнения вида f(x±υt). Для этого определите, как
они ведут себя с течением времени, если при t=0 функция f(x) имеет вид уединенного прямоугольного импульса.
16
2.3.
Поперечные волны в натянутой струне описываются волновым
уравнением, причем скорость волны υ=1 м/с. В начальный момент времени
на струне существует два одинаковых импульса в форме равнобедренных
треугольников разной полярности, распространяющихся влево и вправо, как
показано на рис.
υ
υ
Нарисуйте профиль струны спустя 2 с и 4 с после начала волнового процесса.
2.4.
Длинная струна прикреплена к стенке. По струне распространяется
со скоростью 1 м/с возмущение, имеющее вид равнобедренного треугольного
импульса как показано на рис.
υ
В начальный момент времени вершина импульса отстоит от стены на расстояние 2 м. Нарисуйте профиль струны спустя 2 с и спустя 5 с после начала.
17
2.5.
Введем в волновом уравнении вместо переменных (x,t) новые переменные (ξ, η) с помощью соотношений ξ=х–υt, η= х+υt. Как выглядит
волновое уравнение в этих переменных? Покажите, что общее решение волнового уравнения представимо в виде F(x t)=f(x — vt) + g(x + vt), где f и g –
произвольные функции.
2.6.
Получите общее решение волнового уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям
2.7.
2.8.
18
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
19
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
20
2.19.
Предположим, что в условиях предыдущей задачи 2.18 начальное распределение f(x) представляет собой волновой пакет со всевозможными волновыми
2.20.
2.21.
2.22.
В условиях предыдущей задачи 2.21 получите уравнение в частных
производных, которому удовлетворяет огибающая пакета F(x,t).
21
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
22
2.29.
2.30.
2.31.
2.32.
β
2.33.
23
2.34.
2.35.
2.36.
2.37.
3. Методические указания по расчету распространения элек-
тромагнитных волн в немагнитных изотропных периодических слоистых средах
3.1. Теорема Блоха
Современные приложения ориентированы на применение электромагнитных полей с высокой степенью монохроматичности, т.е. гармониче-
24
ской временной зависимостью векторов электрической и магнитной напряженности генерируемых световых волн.
{E~ (r , t ), H~ (r , t )}= {E (r ), H (r )}exp[iωt ]
(3.1)
где E (r ), H (r ) вектор-функции, описывающие зависимость световых волн от
радиус вектора.
Периодическими называются среды зависимость материальных параметров которых от пространственных координат обладает трансляционной
симметрией относительно перемещения на вектор
R = la1 + ma 2 + na3 ,
(3.2)
где a j - линейно независимые векторы задающие пространственную периодичность в трех неколлинеарных направлениях трехмерного пространства,
l, m, n - любые целые числа.
Периодичность материальных параметров приводит к тому, что если некоторые вектор-функции
E (r ), H (r ) удовлетворяют уравнениям Мак-
свелла, то этим же уравнениям удовлетворяют и функции E (r + R ), H (r + R ) .
Выразим E (r + R ), H (r + R ) через E (r ), H (r ) при помощи линейных соотношений
{E (r + R ), H (r + R)}= ζ{E (r ), H (r )},
r
(3.3)
где ζ - некоторый постоянный коэффициент.
Помножим полученное соотношение на exp[− ik ⋅ (r + R )], где k пока не определенный постоянный квазиволновой вектор (смысл этого названия станет понятен ниже), получим
{E (r + R ), H (r + R )}exp[− ik ⋅ (r + R )] = ζ{E (r ), H (r )}exp[− ik (r + R )] .
(3.4)
25
Подберем квазиволновой вектор так, чтобы выполнялось равенство
exp[− ik ⋅ R]ζ = 1
(3.5)
Тогда соотношение (4) переписывается в виде
{E (r + R ), H (r + R )}exp[− ik ⋅ (r + R )] = {E (r ), H (r ,)}exp[− ik ⋅ r ] ,
(3.6)
из которого следует, что вектор-функции
{E~ (r , t ), H~ (r , t )}exp[− ik ⋅ r ] = {E m (r ), H m (r )}exp[iωt ]
(3.7)
являются периодическими функциями радиус-вектора с периодом равным
вектору трансляции. Учитывая (3.7) общее решение уравнений Максвелла с
периодическими материальными параметрами можно записать в Блоховских
волн
{E~ (r , t ), H~ (r , t )}= {E m (r ), H m (r )}exp[i(ωt + k ⋅ r )].
(3.8)
Заметим, что запись решения уравнений Максвелла в форме (3.8)
совпадает с выражением для плоской монохроматической волны. Однако,
r
r
векторная амплитуда E m (r ), H m (r ) в данном случае зависит от пространственных координат, а величина вектора k (ω) является сложной функцией частоты световой волны ω (отличной от простой пропорциональности, справедливой для плоских волн) и определяется средней величиной материальных
параметров, амплитудой и периодом их пространственных вариаций. Значения скалярной длины этого вектора
k 2 могут заполнять только определен-
ные интервалы (а не всю числовую ось). При этом сама скалярная длина может быть комплексным числом с отрицательной реальной частью, даже в
случае распространения света в не поглощающей среде. Отметим, что положительная реальная часть может быть только в случае если среда является
генератором света, как, например, активная среда в лазерах. Сказанное в зна-
26
чительной степени отличает вектор k от волнового вектора плоской световой волны, но чтобы подчеркнуть формальное совпадение в математической
записи Блоховской волны и плоской световой волны вектор k часто называют квазиволновым.
Приведенная выше теория при внимательном рассмотрении не достаточна строга в математическом отношении. Однако ее суть (пространственная периодичность векторной амплитуды в выражении (3.8)) полностью
совпадает с содержанием строгой теории Блоховских волн в пространственно периодичных твердых телах.
3.2. Распространение световых волн в немагнитных слоистых средах
Для простоты дальнейшего анализа рассмотрим нормальное падение света на границу x = 0 полубесконечной изотропной слоистой среды (см.
рис.3.1).
Λ
a1
d1
d2
x
0
Рис.3.1 Нормальное распространение света в слоистой среде
Эта среда представляет собой чередующиеся плоские слои с различной величиной показателя преломления
 n 2 ,
jΛ ≤ x < jΛ + d1
ε(r ) ≡ n( x )2 =  12
,
n2 , jΛ + d1 ≤ x < ( j + 1)Λ
(3.9)
27
где j - целое положительное число, Λ - пространственный период, n1,2 величина показателя преломления в соответствующем слое среды.
Для рассматриваемой среды магнитная проницаемость равна фундаментальной магнитной постоянной µ 0 и уравнения Максвелла можно свести к волновому уравнению стандартной формы
~r
~r
∇ × ∇ × E − k0 2 n( x )2 E = 0 ,
(3.10)
где k 0 = 2π λ 0 - волновое число в вакууме.
Для расчета прохождения света через рассматриваемую среду применим развитый в предыдущих пунктах подход основанный на последовательном применении теории Блоховских волн. Для этого найдем решение
волнового уравнения на пространственном интервале, равном первому от
границы x = 0 периоду изменения диэлектрической проницаемости. В силу
постоянства диэлектрической проницаемости на интервалах 0 ≤ x < d1 и
d1 ≤ x < d1 + d 2 = Λ общее решение волнового уравнения (3.10) можно пред-
ставить в виде суперпозиции падающей и отраженной плоской волны.
 E (x )
~
E ( x, t ) = exp[iωt ] 1 =
 E 2 (x )
,
[
]
[
]
E
exp
ik
x
+
E
exp
−
ik
x
,
0
≤
x
≤
d

1
m1−
1
1
= exp[iωt ] m1+
 E m 2 + exp[ik 2 x ] + E m 2 − exp[− ik 2 x ], d1 ≤ x ≤ Λ
(3.11)
где k1,2 = n1,2 k 0 - волновые числа световых волн в соответствующем слое. В
силу непрерывности электрической и магнитной составляющей светового
поля на границе раздела (отсутствие поверхностных токов и зарядов) должны
выполняться равенства
E1 (d1 ) = E 2 (d1 ) ,
28
dE1 ( x )
dE 2 ( x )
=
.
dx x = d
dx x = d
1
1
Из пространственной периодичности вектор-функции (см.(3.7))
~
E ( x, t )exp[− ik x x] = E m ( x )exp[iωt ],
где k x - требующее определения квазиволновое число, следует также равенство
E1 (0 ) = E 2 (Λ )exp[− ik x Λ ] ,
 dE ( x )2

dE1 ( x )
− ik x E1 (0 ) = 
− ik x E 2 (Λ ) exp[− ik x Λ ].
 dx

dx x = 0
x=Λ


Используя последние равенства можно записать следующую систему уравнений
E m1+ exp[ik1d1 ] + E m1− exp[− ik1d1 ] −


− E m 2 + exp[ik 2 d1 ] − E m 2 − exp[− ik 2 d1 ] = 0

E m1+ exp[ik x Λ ] + E m1− exp[ik x Λ ] −


− E m 2 + exp[ik 2 Λ ] − E m 2 − exp[− ik 2 Λ ] = 0
,

E m1+ ik1 exp[ik1d1 ] − E m1−ik1 exp[− ik1d1 ] −


− E m 2 + ik 2 exp[ik 2 d1 ] + E m 2 − ik 2 exp[− ik 2 d1 ] = 0
 E m1+ i (k1 − k x )exp[ik x Λ ] − E m1− i (k1 + k x )exp[ik x Λ ] −

− E m 2 + i (k 2 − k x )exp[ik 2 Λ ] + E m 2 − i (k 2 + k x )exp[− ik 2 Λ ] = 0
(3.12)
Для того чтобы эта система имела не тривиальное решение ее определитель
должен быть равен нулю. Выполнение этого условия возможно при следующих значениях квазиволнового числа
29
k x1,2 = ± k x =
(
)

,
k12 + k 2 2 d1d 2
1
= ± arccoscos(k1d1 )cos(k 2 d 2 ) −
sinc(k1d1 )sinc(k 2 d 2 )
Λ
2


(3.13)
где sinc( x ) = sin ( x ) x .
После расчета квазиволновых чисел можно решить систему (3.12)
(для каждого k x1,2 ) относительно неизвестных векторных амплитуд. Тем са-
мым мы определим векторные амплитуды Блоховских волн, которые можно
описать выражением
exp[ik1 x ] + E m1− exp[− ik1 x ], 0 ≤ x ≤ d1
 E
.
E 1m,2 ( x ) = exp[± ik x x] m1+
 E m 2 + exp[ik 2 x ] + E m 2 − exp[− ik 2 x], d1 ≤ x ≤ Λ
(3.14)
Очевидно, что выражения для самих Блоховских волн, которые в
рамках модового описания световых полей в твердых телах являются собственными модами слоистой среды, можно представить в форме
~
E1,2 ( jΛ + x, t ) = E1m,2 ( x )exp[i (ωt ± k x { jΛ + x})],
(3.15)
где j- номер периода слоистой среды, а 0 ≤ x ≤ Λ .
~
Световое поле E Σ (t, x ) распространяющееся в рассматриваемой
среде в результате падения на нее плоской световой волны можно представить в виде суперпозиции Блоховских волн
~
E Σ (t , x ) =
= C1E1m ( x )exp[i (ωt + k x { jΛ + x})] + C2 E 2m ( x )exp[i (ωt − k x { jΛ + x})]
,
(3.16)
где константы C1,2 определяются из условий конечности энергии светового
поля и граничных условий.
Очевидно условия конечности вступают в силу при отличии от нуля
мнимой части квазиволнового числа, так как в этом случае амплитуда одной
30
из Блоховских волн (например, с индексом 2) неограниченно растет при распространении вглубь среды. В этом случае коэффициент при этой волне
должен быть равен нулю. Вторая волна будет быстро затухать при распространении вглубь среды. Поэтому основная энергия светового поля, в силу
граничных условий
m
m
E пад
(0) = C1E1m (0) + E отр
(0) ,
будет сосредоточена в отраженной волне. Область параметров в которой наблюдается такой эффект называется запрещенной зоной для света в данной
слоистой среде. В этой области, как следует из анализа выражения (43), выполняется условие
(
k12 + k 2 2 )d1d 2
cos(k1d1 ) cos(k 2 d 2 ) −
sinc(k1d1 ) sinc(k 2 d 2 ) > 1 .
2
(3.17)
Границы запрещенной зоны можно найти из решения уравнения (3.17) при
замене в нем знака неравенства на знак равенства.
Эффект запрещенной зоны для света в слоистой среде можно использовать для частотной фильтрации световых волн путем их отражения от
границы слоистой среды. В оптическом диапазоне полоса отфильтрованного
света может составляет десятые доли нанометра (см. рис. 3.2).
С физической точки зрения эффект запрещенной зоны для света в слоистой
среде можно рассматривать как эффект интерференционного гашения для
проходящего света и усиления для отраженного (см. рис.3.1).
Отличительной особенностью рассмотренного в данном пункте параметрического процесса от параметрических колебаний в электрических
цепях является то, что в данном случае параметрическая неустойчивость
приводит к затуханию процесса. Это связано с условием конечности энергии
светового поля, необходимость выполнения которого диктуется отсутствием
генератора света. Отметим, что в случае активной среды с отрицательным за-
31
туханием (например, активная среда лазера) энергия светового поля ограничена мощностью активной среды и условия параметрической неустойчивости
являются условиями эффективной генерации световых волн.
Im ( k x ) × 10 −3
14
12
10
8
6
4
2
0
0,61
0,15
0,62
0,625
0,63
0,635
0,64
λ 0 , мкм
Рис. 3.2 Зависимость абсолютной величины мнимой части квазиволнового числа от длины
волны света падающего на слоистую среду стекло-воздух с периодом Λ = 20 мкм и одинаковой толщиной слоев.
32
4. Список литературы
1. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: БИНОМ. Лаб. зн.
2006. 263 с.
2. Алегикевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Колебания и волны. Лек-
ции. М.: Физ. фак. МГУ. 2001. 143 с.
3. Кузнецов А.П., Рожнев А.Г., Трубецков Д.И. Линейные колебания и вол-
ны (сборник задач). М.: Издательство Физико-математической литературы. 2001. с.148.
4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.
М.: Наука, 1992. 561с.
5. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. М.: Наука. 1979. 383 с.
6. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оп-
тику М.: Изд-во физ.-мат. лит. 1959. 572 с.
7. Крауфорд Ф. Волны. под ред. Шальникова А.И. и Вайсенберга А.О. М:
Наука. 1984. 527 с.