Описание расположения электрических частиц

Вычисление структуры кристалла
Якубовский Е.Г.
e-mail yakubovski@rambler.ru
Аннотация
Уравнение ОТО описывает одно тело и определяет метрический тензор,
зависящий от координат, связанных с этим телом. При этом должно быть
соответствие между количеством неизвестных функций и количеством
аргументов. Причем как будет доказано в статье, количество аргументов
может быть меньше чем количество неизвестных функций, но не больше,
т.е. нельзя использовать компоненты одного метрического тензора,
зависящего от 4N переменных. При использовании одного метрического
тензора невозможно определить импульс каждого тела, а можно
определить импульс всех тел. На основе вычисленного метрического
тензора N электрических тел, построены координаты, являющиеся
сферическими в искривленном пространстве. Удалось обобщить ОТО для
описания электрических тел. При этом для системы периодических по
пространству частиц, удалось вычислить зависимость этих сферических
обобщенных, искривленных
пространства.
координат относительно не искривленного
В этих искривленных координатах частица движется в
электромагнитном поле по инерции. При этом как показано в [4], в
комплексном пространстве можно описывать элементарные частицы с
помощью классических методов.
1. Уравнение ОТО для N тел
Будем обозначать номер тела индексами α , β , пространственные и
временные координаты индексами i, k , l , n .
2
Для каждой из совокупности двигающихся частиц тензор энергииdsα
. Причем этот тензор
− gα dt
импульса равен Tikα = mα δ [xα − xα0 ( s )]uiα u kα
энергии-импульса
и
будем
исследовать.
Этот
случай
описывает
гравитационное поле, созданное взаимодействием N тел, и вместе с
уравнением движения описывает систему N тел.
Метрический интервал запишется в виде
N
N
ds = ∑ dsα = ∑
2
2
α =1
3
∑
α =1 i , k = 0
g ikα dxαi dxαk .
Т.е. квадраты метрических интервалов каждого тела складываются.
При этом тензор Риччи каждого тела равен
Rikα =
∂Γikl α
∂xαl
−
∂Γill α
∂xαk
m
m l
+ Γikl α Γlm
α − Γilα Γkmα
Где величина символа Кристоффеля равна
Γkli α
gαim ∂g mkα ∂g mlα ∂g klα
=
+
−
(
)
l
k
m
2
∂xα
∂xα
∂xα
Тогда уравнение ОТО запишется в виде
Rikα − Rα g ikα / 2 =
8πk
c4
Tikα
Где величины тензоров и символа Кристоффеля зависят от всех координат.
Где для тел имеем выражение для тензора энергии-импульса материи
Tαik = mα δ [xα − xα0 ( s )]uαi uαk
dsα
= mα δ (y α )uαi uαk
− gα dt
dsα
− gα dt
Уравнение движения α тела или частицы запишется в виде
N
duαi
dxαi
i
p q i
= − ∑ Γ pq
u
u
,
u
=
β α β α
ds
ds
β =1, β ≠α
(1.1)
Координаты xαl соответствуют координатам свободного пространства, в
котором находится тело α . При этом символ Кристоффеля Γlpqβ зависит от
3
координат xγl , l = 0,...,3; γ = 1,..., N , определяющих «силу», действующую на
тело α . От этих же аргументов зависит правая часть выражения для
суммарной силы в задаче многих тел.
В случае наличия нескольких приращений dxαq ,α = 1,..., N , имеем формулы
N
для приращений δu = − ∑
i
α =1
i
p q
Γ pq
α u dxα ,
du =
i
N
∑
α =1
∂u i
∂xαq
dxαq . Так как, имеем
Du i = du i − δu i , значит формула для нескольких приращений выглядит таким
образом
N
Du = ∑
i
α =1
N
∂u i
i
p
q
i
i
p
q
( q + Γ pqα u )dxα = du + ∑ Γpq
α u dxα
∂xα
α =1
Или уравнение движения запишется в виде
dx q
du i N i
+ ∑ Γ pqα u p α = 0 .
ds α =1
ds
Где уравнение записано для β тела, со скоростью равной u =
p
dxβp
dsβ
. При этом
суммарный импульс тела не сохраняется, так как необходимо учитывать
импульс поля.
Вывод уравнений для символа Кристоффеля, для тензора кривизны,
уравнения ОТО одного из множества тел ничем не отличается от вывода
уравнения для одного тела, приведенный в [1]. Только дифференцировать
надо по координатам α
тела, как у тензора кривизны Riknmα , у тензора
Риччи и у определения символа Кристоффеля и у метрического тензора
имеется зависимость от координат всех N тел. Величина тензора кривизны
для α тела равна
∂ 2 g ilα
∂ 2 g ilα
1 ∂ 2 g imα ∂ 2 g klα
Riklmα = [ k l + i m − k m − i m ] +
2 ∂xα ∂xα ∂xα ∂xα ∂xα ∂xα ∂xα ∂xα
p
p
n
+ g mpα (Γkln α Γim
α − Γkmα Γilα )
4
Причем он обладает теми же свойствами при перестановке индексов iklm ,
что и тензор кривизны для одного тела.
При этом получим 4 N координат, описывающих 6 N независимых
метрических тензоров
Вычислим для начала метрический тензор, для неподвижной системы
тел. Метрический интервал для решения уравнение ОТО для взаимодействия
α и β тела, при этом определен метрический интервал каждого тела,
который имеет вид
2
2
2
2
2
2
dsαβ
= exp(vα )c 2 dtαβ
− Rαβ
[dθαβ
+ sin 2 θαβ dϕαβ
] − exp(λα )dRαβ
dsα =
2
N
∑
β =1
2
dsαβ
/ N = exp(vα )c 2 dtα2 − Rα2 [dθα2 + sin 2 θα dϕα2 ] − exp(λα )dRα2
dtα2 =
N
∑
β =1
2
/ N , Rα2 =
dtαβ
N
2
/ N , Rα2 dθα2 =
Rαβ
∑
β =1
Rα2 sin 2 θα dϕα2 =
N
∑
β =1
N
∑
β =1
2
2
/ N,
Rαβ
dθαβ
(1.2)
2
2
Rαβ
sin 2 θαβ dϕαβ
/N
N
N
β =1
β =1
Где величина ν α = ∑ ν αβ ( Rαβ , tα ) , λα = ∑ λαβ ( Rαβ , tα ) . Величина
sh
sh
sh
2
2
g 00
α = g 00αβ = exp(ν α ), g11α = g11αβ = − exp(λα ) , g 22α = − Rα , g 22αβ = − Rαβ ,
sh
2
2
2
2
g 33
α = − Rα sin θ α , g 33αβ = − Rαβ sin θ αβ .
(1.3)
Уравнение ОТО для α тела, нужно рассматривать относительно координаты
центра инерции этого тела, равного rα . При этом радиус другого тела равен
Rαβ =| rβ − rα | . При этом уравнение ОТО для индексов α , β имеем α ≠ β .
При этом уравнения ОТО распадутся на уравнения координат каждого тела.
Уравнения для α тела, относительно координат β тела при тензоре энергии
импульса равном нулю (см.[1]) сведутся к уравнениям
exp(−λα )(
exp(−λα )(
′
ν αβ
Rαβ
′
λαβ
Rαβ
+
1
1
)− 2 =0
2
Rαβ
Rαβ
1
1
− 2 )+ 2 =0
Rαβ
Rαβ
.
(1.4)
5
λ&αβ = 0
Где штрих означает производную по радиусу Rαβ , а точка производную по
′ + ν αβ
′ =0,
времени. Складывая первое и второе уравнение (1.4) получим λαβ
откуда имеем λα + ν α = fα (tα ) , где в силу выбора формулы (1.2) имеется
произвол в преобразовании времени, т.е. к величине vα можно добавить
произвольную функцию времени, поэтому можно выбрать fα (tα ) , равной
нулю. Решая второе уравнение (1.2), получим
exp(−λαβ )c( Rα 1 )c[ Rα ( β −1) ]c[ Rα ( β +1) ]...c( RαN ) = 1 +
const
. (1.5)
Rαβ
Постоянную можно выбрать из условия совпадения с законом тяготения
Ньютона, используя формулу при малом потенциале g 00 = 1 +
Имеем формулу c( Rαβ ) =
N
имеем соотношение
∏
β =1
λα + ν α = 0 ,
и
exp(−λα ) = exp(ν α ) =
2ϕ
2km
=1− 2 .
2
c
c R
exp(−λαβ )
, которая следует из (1.4). При этом
2kmβ
1− 2
c Rαβ
c( Rαβ ) = 1. Причем, используя выведенную формулу
определенное
N
∏
β =1, β ≠α
(1 −
rgβ
Rαβ
), rgβ =
значение
c( Rαβ ) ,
имеем
2kmβ
2e 2
+
.
mβ c 2
c2
Для получения такой зависимости гравитационного радиуса от зарядов
правую часть уравнения ОТО надо умножить на величину 1 +
e2
, которая
m2k
при большой массе или нулевом заряде стремится к единице, при этом
образуется приведенное выше значение гравитационного радиуса.
Откуда имеем формулы для метрического тензора для α тела g 00α , который
будет равен
6
N
∏
=
sh
g 00
α
rgβ
(1 −
| rα − rβ |
β =1, β ≠ α
).
(1.6)
При этом для величины g rrα имеем
значение
g rrshα
=−
1
N
∏
(1 −
β =1, β ≠α
, rgβ
rgβ
| rα − rβ |
N
)
2kmβ
2e 2
=
+
. (1.7)
mβ c 2
c2
N
2
g 22α = − ∑ Rαβ , g 33α = − ∑ Rαβ
sin 2 θαβ ,
2
β =1
β =1
( xα − xβ ) 2 + ( yα − y β ) 2
Rαβ =| rα − rβ |, θαβ =
Rαβ
Функция Лагранжа релятивистской задачи N тел для α тела имеет вид
N
N
α =1
α =1
L = ∑ Lα = − ∑ mα c 2 g ikα
N
= − ∑ mα c
N
∏
2
α =1
N
= − ∑ mα c
(1 −
β =1
β ≠α
2
α =1
rgβ
Vα2r / c 2
)−
Rαβ
dxαi dxαk
=
cdt cdt
N
∏
(1 −
β =1,β ≠α
N
rgβ
β =1
β ≠α
Rαβ
1− ∏
rgβ
Rαβ
N
rgβ rgγ
β ,γ =1
β ,γ ≠α
Rαβ Rαγ
+
∏
)
2
Vαθ2 Vαϕ
− 2 − 2 sin 2 θα =
c
c
Vα2r
− 2
c
N
rgβ
β =1, β ≠α
Rαβ
∏
Vα2
− 2
c
Разложение в первом порядке малости функции Лагранжа для 1 тела
имеет вид
L1α = − mα c +
2
N
∑
β =1, β ≠α
kmα mβ
Rαβ
mα Vα2
+
2
Во втором порядке малости добавляются члены
L2α = −
N
∑
β ,γ =1,β ,γ ≠α
3k 2 mα mβ mγ
2c 2 Rαβ Rαγ
mα Vα4
+
+
8c 2
2
kmα mβ 3Vα2r Vαθ2 Vαϕ
+ ∑
( 2 + 2 + 2 sin 2 θα )
c
c
c
β =1,β ≠α 2 Rαβ
N
При этом функция Лагранжа для всех тел не равна сумме функций Лагранжа
для каждого тела. В самом деле, если сложить функции Лагранжа всех тел, то
7
кинетическая энергия будет считаться в первом приближении правильно, но
вычисленная
потенциальная
энергия
равна
удвоенному правильному
значению.
Суммарный метрический тензор построить невозможно, так как тогда он
должен зависеть от 4 N координат, описывающих N тел. Каждое тело
описывается
4
координатами.
При
этом
пространство
координат,
описывающих метрический тензор, будет не полностью заполнено, так как
имеется 10 уравнений
неизвестных
g ik = g ik ( y10 , y11 , y12 , y13 ,..., y N0 , y1N , y N2 , y N3 )
y α = xα − xα0 ( s ),α = 1,..., N ,
где
вектор
при
4N
координаты
четырехмерны. Решение этого уравнения определит множество 10 мерных
подобластей в 4 N мерном пространстве. Т.е. получится множество значений
энергий, импульсов и моментов импульса, так как это множество 10 мерных
областей имеет разный объем, причем соответствующий разным ветвям
корней этого уравнения. Поэтому размерность координат, описывающих
параметры задачи, может быть меньше размерности параметров задачи, но не
больше.
Существует точка зрения, что можно построить один метрический
тензор уравнения ОТО в зависимости от произвольной точки пространства
времени для N тел. Но при этом он будет зависеть от 4 N начальных
условий координаты. Тогда метрическому тензору g lk будет соответствовать
4 N чисел, причем определить можно только 10 чисел, по значениям
заданных метрических тензоров. Решение этого уравнения определит
множество 10 мерных подобластей в 4 N мерном пространстве.
Причем
необходимо определить импульс и момент импульса каждого тела. Если
определять импульс и момент импульса α тела, по метрическому тензору,
определяемому по координатам α тела, то не понятно, каковы значения
других координат. Если вычислить метрический тензор в зависимости от
метрического интервала и начальных условий, при заданном значении
метрического интервала, то невозможно будет определить импульс и момент
8
импульса каждого тела. Если бы пространство аргументов было бы 10
мерным, сохраняющийся импульс и момент импульса были бы однозначны.
Причем каждой области соответствует свой сохраняющийся импульс и
момент импульса. Т.е. заданному метрическому тензору соответствует
множество импульсов и моментов импульса. Скорость тел определяется по
другим уравнениям и определяет тензор энергии импульса материи.
Но как определить запаздывание вычисленных метрических тензоров,
ведь они получены в случае статического состояния тел, а под действием
силы взаимодействия они придут в движение.
Для
этого
необходимо
определить
метрический
тензор
с
учетом
запаздывания по формуле
g llα = hlα ( s ) g llshα (x1 ,..., x N ) .
(1.8)
Где величина xα четырехмерная координата α тела, и используется решение
Шварцшильда для N статических тел. Подставляя решение (1.8) в уравнение
ОТО, умножим на величину
sh
g mm
α ( x1 ,..., x N )
и проинтегрируем по
четырехмерным координатам. Кроме того, необходимо ввести функции
координат для каждого тела в зависимости от метрического интервала и
решить уравнение движения (1.1), при известных метрических тензорах (1.3),
(1.6) и (1.7). Это определит движение каждого тела с учетом запаздывания и
распределение метрического интервала в пространстве и во времени.
При этом производная от величины метрического интервала равна
∂s
=
∂xβp
∂
N
∑
α =1
g ikα dxαi dxαk
∂xβp
g ikβ (δ pi dxβk + δ pk dxβi ) +
=
N
2
∑
α =1
∂g ikα i k
dxα dxα
∂xβp
=
g ikα dxαi dxαk
k
= g pkβ
∂g ikα dxαk i
+
dxα
ds
∂xβp ds
dxβ
∂g pkβ dxβk ∂g qkγ dxγk
∂2s
=
+
∂xβp ∂xγq
∂xγq ds
∂xβp ds
.
9
Получим
систему
дифференциальных
нелинейную
уравнений
обыкновенных
относительно
автономных
hlα (s ) , xα (s ) ,
относительно второй производной по метрическому тензору.
dx α ( s )
ds
Начальные
условия этой задачи следующие, статическое поле тел, т.е. условие hlα (0) = 1 ,
начальное положение и скорость тел произвольны. Решение этих уравнений
описано в [2], причем в случае наличия комплексных координат положения
равновесия, эти решения являются комплексными.
Физический смысл
комплексного решения см. [3].
В
результате
решения
нелинейной
системы
дифференциальных
уравнений ОТО, получим
N
∑
α =1
hllα ( s ) g llshα
dxαl ( s ) 2
(x1 ,..., x N )[
] = 1.
ds
Из этого нелинейного уравнения определим величину s , как функцию
g llshα (x1 ,..., x N ) и скорости, получим не стационарный метрический тензор,
g llα =
sh
hllα {s[ g 001
(x1 ,..., x N
sh
),..., g 33
N
dx 3N
dx10
(x1 ,..., x N ),
,...,
]}g llα (x1 ,..., x N ) (1.9)
ds
ds
с двигающими телами.
В результате вычисления метрических тензоров, решение получится
зависящим от всего внешнего по отношению к телам пространства, т.е.
получается не локальное решение, а глобальное.
Но какой суммарный параметр можно определить для системы N тел.
Оказывается это псевдотензор энергии-импульса, для каждого тела и для
всех тел. Причем определится импульс и момент импульса каждого тела.
Определяется псевдотензор энергии-импульса каждого тела, который
суммируется, образуя суммарный псевдотензор энергии-импульса.
2. Определение координат кристалла
10
Ставится задача по определению системы координат в искривленном
пространстве, причем в этом пространстве ее метрический тензор
соответствует сферической системе координат. Оказалось, что для
периодических в пространстве тел, метрический тензор, вычисленный на
основании ОТО для многих тел в точках координат тел является
константой. Причем, зная массы, заряды тел и периодическое расстояние
между телами, можно определить их расположение. Т.е. определить
структуру кристаллической решетки тел.
Формула для определения обобщенных осей координат следующая, где
формулы справедливы для α тела
dRkα
dRα
= g rrα
ds
ds
dθ
dθα
Rkα kα = g 22α
ds
ds
.
dϕ kα
dϕα
Rkα sin θ kα
= g 33α
ds
ds
dyk0α
dx 0
= g 00α α
ds
ds
(2.9)
Построим решение этой системы уравнений, считая метрический тензор
постоянной величиной, что справедливо для периодической структуры.
Имеем
Rkα = g rrα Rα
θ kα =
ϕ kα
θα
g rrα
sin θα
=
sin θα / g rrα
ϕα
.
g rrα
yk0α = g 00α xα0
Где если величины g rrα = 1, g 00α = 1 получаем тождественное равенство
криволинейных координат в правой и левой части. Причем это формулы для
внешней
поверхности
частиц,
гравитационного радиуса. При
имеющих
радиус
шара,
больше
этом течение времени замедлится, а
11
эффективный
Rα =
N
∏
2
радиус
| rα − rβ | / N =
1
g rrα =
N
∏
(1 −
β = − N , β ≠α
g 00α =
N
∏
(1 −
β =− N ,β ≠α
N
∏
β = − N , β ≠α
=
rgβ
| rα − rβ |
rgβ
| rα − rβ |
)
)=
dθα = ∑ dθαβ / N , tan θαβ =
2
N
2
β = − N , β ≠α
увеличится.
| (α − β ) Re d + i Im d |2 / N ,
1
N
∏
(1 −
β = − N , β ≠α
N
∏
(1 −
β = − N ,β ≠α
; | d |> rgβ
rgβ
| (α − β ) Re d + i Im d |
rgβ
| (α − β ) Re d + i Im d |
)
)
( xα − xβ ) 2 + ( yα − y β ) 2
2
β =1
сферы
( xα − xβ ) 2 + ( yα − y β ) 2 + ( zα − z β ) 2
N
2
sin θα dϕα = ∑ sin 2 θαβ dϕαβ
/ N , arg ϕαβ = arg[ yα − y β + i ( xα − xβ )]
2
2
β =1
Гравитационный радиус равен rgβ
2kmβ
2e 2
=
+
. В случае кристаллической
mβ c 2
c2
решетки, с периодом элементарной ячейки частиц равном d , получаем
постоянные метрические тензоры, действующие на частицы, расположенные
в узлах кристаллической структуры. Ячейку характеризуют три периода
a, b, c при радиус векторе, равном величине r = αa + βb + γc , изучим свойства
кристалла при изменении свойств в одном направлении. При этом получаем,
что внутренняя часть тела, состоит из сфер постоянного радиуса, на
поверхности которых и происходит перемещение, причем время всех
внутренних процессов замедленно в постоянное количество раз. При этом на
поверхности сферы имеются отдельные дискретные точки.
θαβ = θα = arg( d x2 + d y2 + d z2 + i d x2 + d y2 ), θα ∈ [0, π ] .
θ kα =
N
∏
β = − N , β ≠α
[1 −
rgβ
| (α − β ) Re d + i Im d |
] arg( d x2 + d y2 + d z2 + i d x2 + d y2 ) ,
12
sin θα
ϕ kα =
sin
1
g rrα
=
θα
ϕα
g rrα
, ϕα = arg(d y + id x ), ϕα ∈ [0,2π ]
g rrα
N
∏
β = − N , β ≠α
[1 −
rgβ
| (α − β ) Re d + i Im d |
].
Значение гравитационного радиуса каждой частиц и величина коэффициента
d определят структуру положения частиц в атоме, его радиус и угловое
распределение частиц. Причем ядро атома образует меньшую сферу, а
электроны большую, в связи с большим электрическим гравитационным
радиусом у частиц с малой массой. Причем потенциал в координатах
xα0 , xα1 , xα2 , xα3 в точках расположения частиц внутри тела почти постоянный,
отрицательный, значит, имеющие мнимый заряд ± ie частицы собираются в
этом потенциале. Причем граничные частицы имеют меньший по модулю
потенциал. Причем элементарные частицы, из которых состоит тело,
подчиняются условию rα − rβ = (α − β ) Re d + i Im d , они колеблются вокруг
стационарных точек с отрицательным потенциалом за счет мнимой части
расстояния между частицами. Причем колебание ядер мало, а электронов
гораздо больше, значит, для электронов величина d содержит большую
мнимую часть, но меньшую действительной части. Для свободных
электронов мнимая часть больше действительной части. Для ядра мнимая
часть мала, ядро колеблется с малой амплитудой. Причем, каждая частица
находится в своем стационарном месте в обобщенной системе координат.
Координаты движения тел в обобщенной системе координат
это
отдельные точки. Такова картина внутренности тела без учета множителя,
описывающее отличие от решения Шварцшильда. При этом в силу
постоянства метрического тензора для каждой частицы, символ Кристоффеля
равен нулю и скорости частиц постоянны, совпадают с начальными
условиями для скорости тела. При этом изменение скорости тела вызывает
изменение структуры тела, его деформирует. При этом величина hllα (s)
определится, где величина s = const , которая определится из нелинейного
13
уравнения, т.е. время в координатах частиц остановится. Но все это
справедливо для точек rα − rβ = (α − β ) Re d + i Im d . Отступление от этого
соотношения на границах области тела, и в местах деформаций тела делает
метрический тензор переменным. Но координаты, время и потенциалы всех
частиц
тела,
удовлетворяющих
rα − rβ = (α − β ) Re d + i Im d
являются
константами, возможно комплексными.
Вычисленные
координаты
частиц
Rkα ,θ kα ,ϕ kα , y k0α
являются
обобщенными, в которых траектории частиц при пересчете в декартовы
координаты
xkα = Rkα sin θ kα sin ϕ kα
y kα = Rkα sin θ kα cosϕ kα .
z kα = Rkα cosθ kα
Определят нулевую скорость в данном обобщенном пространстве, которое
является декартовым и инерциальным при отсутствии потенциала. В этом
пространстве возможно преобразование Лоренца, так как координаты
удовлетворяют
dsα2 = (dy k0α ) 2 − dRk2α − Rk2α (dθ k2α + sin 2 θ kα dϕ k2α )
Пересчет в истинное риманово пространство с действующими переменными
потенциалами между частицами и переменной скоростью свободных
электронов затруднен, так как, к примеру, величина Rαβ =| rα − rβ | . Описание
r = αa + βb + γc структуры кристалла не достаточно, так как внутри каждой
ячейки при фиксированных β , γ может быть свое распределение частиц.
В обобщенном пространстве все скорости постоянны, так как
потенциалы учтены при построении обобщенных координат. Метрический
тензор
обобщенного
пространства
пространства
Минковского
и,
является
значит,
метрическим
система
координат
тензором
является
инерциальной. Потенциалы в обобщенной системе координат отсутствуют.
Выводы
14
На основании решения уравнения ОТО, для электрически заряженных
элементарных частиц, определена структура периодических по пространству
частиц, образующих кристалл. Получены формулы для расположения
элементарных частиц в обобщенном пространстве, которые определяет масса
этих частиц, их количество и период по пространству. Описаны свободные
электроны с помощью комплексных координат в обобщенном пространстве.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля т.II, Наука, М.,1973,564с.
2. Якубовский
Е.Г.
Комплексные
решения
уравнений
в
частных
производных. Международный независимый институт Математики и
Систем «МиС», №8, 2014, с. 60-66
http://math-systems.ru/files/Arhiv/19-20.09.2014/mis8.pdf#page=66
3. Якубовский Е. Г. Модель комплексного пространства и распознавание
образов. На стыке наук. Физико-химическая серия. Т.2, Казань, - 2014,
стр. 186-187.
http://istina.msu.ru/media/publications/article/211/bd0/6068343/raspoznavobraz
ovwithouteqution.pdf
4. Якубовский Е.Г. Физический смысл уравнений квантовой механики,
электродинамики и уравнения ОТО. «Энциклопедический фонд
России». 2014г., 65с., http://russika.ru/sa.php?s=890