4 Импульс

ИМПУЛЬС
ИМПУЛЬС
Сохранение импульса
Импульсом тела или материальной точки
называют произведение массы точки на вектор
скорости, p=mv (другой термин для этой
величины — количество движения). Импульс р
является, таким образом, векторной величиной.
Если речь идет о системе тел или системе точек,
то импульс такой системы равен геометрической
сумме импульсов точек, составляющих систему:
𝑷 = 𝒑1 + 𝒑2 + 𝒑3 + ⋯
ИМПУЛЬС
Сохранение импульса
Основная особенность, делающая эту векторную
величину интересной для физика, заключается в
том, что в замкнутой системе вектор Р не
изменяется, какие бы движения ни происходили
внутри системы. Это положение носит название
закона сохранения импульса.
ИМПУЛЬС
Сохранение импульса
Закон сохранения импульса следует
непосредственно из законов Ньютона. Для
каждого из тел, входящих в замкнутую систему,
справедливо уравнение
𝑑
𝑚𝒗 = 𝑭
𝑑𝑡
или
𝑑𝒑
=𝑭
𝑑𝑡
ИМПУЛЬС
Сохранение импульса
Сложим такие уравнения, записанные для всех
тел системы. В правой части равенств стоят
силы, действующие на данное тело со стороны
остальных. Скажем, сила, действующая на
первое тело, равна сумме сил, действующих на
него со стороны второго, третьего и т. д. тел.
Пользуясь двойными индексами, это можно
записать так: F12+F13+F14+... Совершенно
аналогично можно записать выражение силы,
действующей на второе тело: F21+F22+F23+..., на
третье: F31+F32+F33+..., и т.д.
ИМПУЛЬС
Сохранение импульса
Нетрудно сообразить, что при сложении правые
части равенств дают нуль. Каждому слагаемому
одной строки всегда найдется в другой строке
ему равное и противоположное по знаку в
соответствии с правилом действия и
противодействия. Так, сила F12 даст нуль в
сложении с F21 сила F13 — в сложении с F31 и т.д.
Поэтому в замкнутой системе имеет место
равенство
ИМПУЛЬС
Сохранение импульса
Поэтому в замкнутой системе имеет место
равенство
𝑑𝒑𝟏 𝑑𝒑𝟐 𝑑𝒑𝟑
+
+
+ ⋯ = 𝟎;
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 + ⋯ = 𝟎;
𝑑𝑡
или
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 + ⋯ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
ИМПУЛЬС
Сохранение импульса
Это и есть закон сохранения импульса. Величины
и направления импульсов отдельных тел могут
меняться, но их геометрическая сумма для
замкнутой системы не меняется.
ИМПУЛЬС
Центр инерции
Известны способы нахождения центра тяжести
любого тела. Если тело закреплено в центре
тяжести, то оно находится в положении
безразличного равновесия. Если имеется
система материальных точек или если сплошное
тело условно разбить на элементарные объемы,
рассматривая каждый как материальную точку, то
можно дать аналитическое выражение для
положения центра тяжести.
ИМПУЛЬС
Центр инерции
Используя
правило
сложения
параллельных
сил, мы можем
найти для
случая, когда
материальные
точки
расположены вдоль одной линии, скажем, вдоль
оси x, следующее выражение для положения
центра тяжести:
ИМПУЛЬС
Центр инерции
𝒎𝟏 𝒙𝟏 + 𝒎𝟐 𝒙𝟐 + 𝒎𝟑 𝒙𝟑 + ⋯
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + 𝒎𝟑 + ⋯
Здесь x1 , x2 , x3, ...— координаты материальных
точек, а m1 m2, m3 ,..— их массы. Массы
появляются вместо весов, так как ускорение силы
тяжести сокращается.
В теоретической механике показывается, что при
произвольном расположении материальных точек
выражение для положения центра тяжести имеет
вид
ИМПУЛЬС
Центр инерции
𝒎𝟏 𝒓𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐 + 𝒎𝟑 𝒓𝟑 + ⋯
𝑅=
𝒎𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎𝟑 + ⋯
Здесь R – радиус-вектор центра, а r1 , r2 , r3, ...—
радиус-векторы точек.
ИМПУЛЬС
Центр инерции
То, что ускорение силы тяжести сократилось в этих
формулах, позволяет нам считать, что найденная
точка имеет объективный смысл и в том случае,
когда тело будет перенесено в другие
гравитационные условия и даже если будет
находиться в условиях невесомости в
межпланетном пространстве. Поэтому
целесообразно распространенное название
«центр тяжести» заменить на название, имеющее
прямое отношение к существу дела - «центр
инерции».
ИМПУЛЬС
Центр инерции
Сейчас же мы увидим глубокий смысл этого
названия. Рассмотрим скорость движения центра
инерции
𝑑𝑹
𝑽=
𝑑𝑡
Пользуясь формулой местонахождения центра
инерции, получим:
𝒎𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒎 𝟐 𝒗 𝟐 + 𝒎𝟑 𝒗 𝟑 + ⋯
𝑉=
𝒎𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎𝟑 + ⋯
ИМПУЛЬС
Центр инерции
В числителе стоит суммарный импульс, который
сохраняется в замкнутой системе; значит, в правой
части равенства находится постоянная величина.
Отсюда вывод: вектор скорости центра инерции не
меняется ни по величине, ни по направлению. Или,
иначе говоря, центр инерции замкнутой системы
материальных точек совершает инерционное
движение.
ИМПУЛЬС
Центр инерции
Но все инерциальные системы координат равноправны. Можно поэтому всегда перейти к системе
координат, связанной с центром инерции изучаемой системы, и считать эту точку покоящейся. В
атомной физике часто рассматриваются
соударения частиц между собой. Для этой цели
используются две системы координат:
лабораторная (система наблюдателя) и система,
связанная с центром инерции соударяющихся
частиц. Удобство последней системы отсчета
очевидно: суммарный импульс частиц равен нулю.
ИМПУЛЬС
Соударения
Слово «соударение» надо понимать в несколько
более широком смысле, чем это принято в житейской практике. Для механических задач к соударениям относят любые встречи двух или более тел,
при которых взаимодействие длится короткий срок.
Таким образом, кроме явлений, которые можно
отнести к соударениям во всех смыслах этого
слова,— удара биллиардных шаров, столкновений
атомов или атомных ядер,— сюда можно отнести и
такие события, как прыжок человека с трамвая или
на трамвай или попадание пули в стенку.
ИМПУЛЬС
Соударения
При таких коротких взаимодействиях возникают
столь большие силы, что роль всех постоянно
действующих сил можно считать ничтожной. Это
дает нам право рассматривать соударяющиеся
тела как замкнутую систему и применять к ним
закон сохранения импульса.
Во многих соударениях длительность
взаимодействия измеряется тысячными
долями секунды. За это время сила доходит до
своего максимального значения, затем падает до
нуля.
ИМПУЛЬС
Соударения
Типичная кривая силы
при ударе показана на
рисунке. В каждое мгновение удара соотношение между силой, действующей на любое из тел,
и импульсом этого тела
дается вторым законом
Ньютона:
𝑑
𝑚𝒗 = 𝑭
𝑑𝑡
ИМПУЛЬС
Соударения
Переписывая его в виде Ft=(mv), мы можем
сказать, что произведение среднего значения силы
на время ее действия должно равняться
изменению импульса. Более точное утверждение
мы получим, проинтегрировав написанное
уравнение от начального времени удара до
окончания взаимодействия. Очевидно,
𝜏
𝑭𝑑𝑡 = 𝑚𝒗
0
2
− 𝑚𝒗
1
ИМПУЛЬС
Соударения
Интеграл в левой части называют иногда импульсом силы. Геометрический смысл этой величины на
графике — площадь под кривой удара.
В зависимости от упругих свойств тел соударения
могут протекать весьма различно. Принято
выделять два крайних случая: идеально упругий и
абсолютно неупругий удары.
Остановимся сначала на втором из них. Под
неупругим ударом понимают такую встречу двух
тел, в результате которой эти тела объединяются.
ИМПУЛЬС
Соударения
К неупругим ударам относятся столкновение глиняных шаров, прыжок человека на движущуюся
вагонетку, столкновение двух разноименных ионов
с образованием молекулы, захват электрона
положительным ионом и т. д.
Пусть до встречи тела двигались со скоростями v1
и v2, суммарный импульс равнялся m1v1+m2v2.
После встречи тела имеют общую массу, равную
т1+т2 и движутся с какой-то скоростью V. Импульс
системы после встречи равен (m1+m2)V.
ИМПУЛЬС
Соударения
Закон сохранения импульса требует равенства
(m1+m2)V = m1v1+m2v2,
откуда скорость тел после неупругого удара
представится формулой
𝒎𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒎𝟐 𝒗 𝟐
𝑉=
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐
ИМПУЛЬС
Соударения
Вектор импульса после встречи тел должен
равняться сумме векторов импульса тел до удара.
Если встречное движение происходит вдоль одной
прямой, то после удара тела будут двигаться в том
направлении, куда ранее шло тело с большим
импульсом. Если импульсы тел равны по величине,
то т1v1= — m2v2 и, значит, V равно нулю —
столкнувшиеся тела остановятся.
ИМПУЛЬС
Соударения
Неупругий удар сопровождается энергетическим
превращением. Из только что приведенного
примера видно, что кинетическая энергия может
даже обратиться в нуль. Нетрудно подсчитать
величину, на которую возрастает внутренняя
энергия встретившихся тел в том или ином случае:
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 2
𝒎𝟏 𝒗𝟐𝟏 𝒎𝟐 𝒗𝟐𝟐
𝑉 −
+
.
2
𝟐
𝟐
ИМПУЛЬС
Соударения
Рассмотрим теперь идеально упругие
столкновения, т. е. такие, при которых тела
полностью восстанавливают свою форму. Это
значит, что в состоянии этих тел не происходят
какие-либо изменения, их потенциальная и
внутренняя энергия до и после удара неизменна и,
следовательно, кинетическая энергия должна
сохраняться. Для двух тел, соударяющихся таким
образом, можно составить два уравнения: закон
сохранения импульса и закон сохранения
кинетической энергии.
ИМПУЛЬС
Соударения
Обозначим массы тел через т и М. Всегда можно
выбрать начало координат совпадающим с одним
из тел. Это упрощает задачу, нисколько не
уменьшая общности рассмотрения. Мы положим
поэтому тело с массой М покоящимся до удара.
Указанные два закона сохранения дадут тогда
такие равенства:
𝑚𝒖 = 𝑚𝒗 + 𝑀𝑽;
1
1
1
2
2
𝑚𝑢 = 𝑚𝑣 + 𝑀𝑉 2 .
2
2
2
ИМПУЛЬС
Соударения
здесь и и v — скорости шара т до и после удара, V
— скорость шара М после удара.
Рассмотрим несколько примеров применения этих
уравнений. Прежде всего, изучим нецентральное
соударение двух шаров равной массы. Тогда
массы сокращаются в обоих уравнениях и мы
получим
𝒖 = 𝒗 + 𝑽; 𝑢2 = 𝑣 2 + 𝑉 2 .
ИМПУЛЬС
Соударения
Из векторного равенства
ясно, что вектор и
является замыкающей
стороной треугольника,
построенного на
векторах v и V. Из
правого уравнения
следует, что треугольник,
в котором u - гипотенуза,
должен быть
прямоугольным.
ИМПУЛЬС
Соударения
Отсюда следует, что скорости после столкновения
двух частиц равной массы должны быть
направлены под прямым углом друг к другу. Этот
интересный вывод легко проследить для
биллиардной игры: направления движений шара,
который подвергся удару, и «своего» шара
образуют угол в 90°. В остальном характер
изменения вектора скорости не определяется
нашими уравнениями, в которых не учитывается
отклонение линии удара от линии, проходящей
через центры шаров.
ИМПУЛЬС
Соударения
Полные сведения о движении шаров после удара
мы получим, если ограничим себя случаем
центрального удара. Движение столкнувшихся
шаров будет тогда и после удара происходить
вдоль той же прямой. Поэтому можно не
пользоваться векторными символами, помня,
однако, что изменение знака скорости будет
означать изменение направления движения. В
этом случае нам нет зато нужды рассматривать
упрощенный случай равных масс. Уравнения
центрального соударения имеют вид
ИМПУЛЬС
Соударения
Уравнения центрального соударения имеют вид
𝑚𝑢 = 𝑚𝑣 + 𝑀𝑉; 𝑚𝑢2 = 𝑚𝑣 2 + 𝑀𝑉 2 .
Преобразовав эти уравнения к виду
𝑚 𝑢 − 𝑣 = 𝑀𝑉; 𝑚 𝑢2 − 𝑣 2 = 𝑀𝑉 2 .
и разделив их друг на друга, найдем
𝑢+𝑣 =𝑉
или 𝑢 = − 𝑣 − 𝑉
ИМПУЛЬС
Соударения
Таким образом, относительная скорость движения
шара т по отношению к шару М до удара (мы ее
обозначили через и) равна с обратным знаком той
же относительной скорости после удара.
Интересная формула возникает при подстановке
V=u+v в формулу закона сохранения импульса.
Находим выражение скорости шара т после удара
через скорость этого же шара до удара:
𝑚−𝑀
𝑣=𝑢
𝑚+𝑀
ИМПУЛЬС
Соударения
Если массы
шаров равны, то
скорость v обращается в нуль.
Это явление
можно продемонстрировать
на стальных или костяных шариках. Шары как бы
обмениваются скоростями при таком ударе. В
остальных случаях шар т замедляется. Чем
ближе массы соударяющихся шаров, тем
эффектнее замедление.
ИМПУЛЬС
Соударения
Нашими формулами не охватывается важный случай
упругого удара шара о стенку.
Так как кинетическая энергия
должна сохраняться, то скорость шара не может измениться по величине. Что же
касается направления движения шара после удара, то оно
должно образовывать тот же
угол (90°- a) с нормалью, что и
вектор скорости до удара.
ИМПУЛЬС
Соударения
Действительно, в случае удара о гладкую стенку
тангенциальная составляющая скорости остается
неизменной, так как отсутствуют тангенциальные
силы сцепления со стенкой. Как видно из рисунка,
приращение импульса численно равно 2mv sina и
направлено вдоль нормали к стенке. Согласно
основному закону механики, в момент удара сила,
действующая на шар со стороны стенки, должна
быть направлена туда же, куда направлен вектор
изменения импульса. Поэтому-то и угол падения
шара равен углу отражения.
ИМПУЛЬС
Соударения
Рассмотрим неупругий удар на примере
баллистического маятника (прибор для измерения
скорости пули). Ящик с песком массой М подвешен
на тросе. Пуля влетает в ящик и застревает в
песке. Импульс пули до удара ти, импульс
системы после удара (M+m)u. Имеем
𝑚
𝑣=
𝑢
𝑚+𝑀
ИМПУЛЬС
Соударения
𝑣2
𝑀 ,
2
Приобретя кинетическую энергию
ящик
израсходует ее, поднявшись на высоту h,
удовлетворяющую условию
𝑀𝑣 2
𝑢2 𝑚 2
𝑀𝑔ℎ =
,
т. е. ℎ =
𝑚≪𝑀
2
2𝑔 𝑀
Пусть М = 10 кг, т = 10 г, и = 900 м/с; тогда h = 4 см.
ИМПУЛЬС
Соударения
Если бы мы не пользовались законом сохранения
импульса, а определили бы h, основываясь на
полном переходе кинетической энергии пули в
потенциальную энергию маятника, то получили бы
h = 40 м (!). Это означает, что в нашем примере
3920 Дж механической энергии (99,9% общего
запаса) «исчезло» (пошло на нагревание системы).
Так как абсолютно упругих тел не существует, то
при каждом «упругом» ударе механическая энергия
не сохраняется, часть ее переходит в энергию
теплового движения молекул и рассеивается.
ИМПУЛЬС
Соударения
Теперь на примере соударений мы
проиллюстрируем достоинства системы координат,
связанной с центром инерции.
Пусть на шарик с массой m, покоящийся в
лабораторной системе координат, налетает другой
такой же шарик со скоростью v. Если удар
неупругий, то какая-то часть кинетической энергии
2
mv
системы
2 перейдет в тепло. В иных системах
координат кинетическая энергия этой пары
шариков выразится другими числами.
ИМПУЛЬС
Соударения
Что же касается выделяемого тепла, то оно будет
одним и тем же для данной пары шариков и будет
определяться скоростью их относительного
движения. Поэтому, вместо того чтобы с помощью
закона сохранения импульса искать переходящую
в тепло долю кинетической энергии, вычисленной
для лабораторной системы координат, достаточно
рассчитать кинетическую энергию для системы,
связанной с центром инерции.
ИМПУЛЬС
Соударения
Так как в этой системе координат суммарный
импульс тел равен нулю, то после неупругого
соударения шары останавливаются: вся
кинетическая энергия переходит в тепло.
Кинетическая энергия для системы, связанной с
центром инерции, будет иметь минимальное
значение.
ИМПУЛЬС
Соударения
В системе координат, связанной с центром
инерции, шары движутся навстречу друг другу со
скоростями ½v. Кинетическая энергия каждого
шарика равна ¼mv2, а полная энергия системы ½mv2.
Таково будет количество тепла, выделяемое при
неупругом соударении. Какой бы ни был удар,
выделение тепла (или другой формы энергии) за
счет кинетической энергии не может превысить
кинетическую энергию, подсчитанную для системы,
связанной с центром инерции.
ИМПУЛЬС
Соударения
И наоборот, для выделения заданного количества
тепла нужно эквивалентное количество
кинетической энергии, подсчитанное для системы
центра инерции.
Пример. Ядерная реакция бомбардировки азота
N14 α-частицами протекает согласно уравнению
N14 + He4 = O17 + H1
и идет с поглощением энергии 1,13 МэВ. Какой
кинетической энергией в лабораторной системе
координат должна обладать α-частица, чтобы
реакция пошла?
ИМПУЛЬС
Соударения
На первый взгляд кажется, что для этого
достаточно энергии 1,13 МэВ. Но мы уже знаем,
что это не так. В системе координат, связанной с
центром инерции, нужна энергия 1,13 МэВ, однако
в лабораторной системе координат нужна бóльшая
энергия.
Действительно, скорость центра инерции
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2
𝑣𝑐 =
𝑚1 + 𝑚2
где m1v1 - импульс первой частицы, m2v2 - второй.
ИМПУЛЬС
Соударения
Скорость первой частицы в системе координат
центра инерции
𝑚2
′
𝑣1 = 𝑣1 −𝑣𝑐 =
𝑣1 −𝑣2 ,
𝑚1 + 𝑚2
Для второй частицы можно написать
𝑚1
′
𝑣2 = 𝑣2 −𝑣𝑐 =
𝑣2 −𝑣1 .
𝑚1 + 𝑚2
Отсюда кинетическая энергия системы (α, N14) в
системе координат центра инерции будет
1
𝐾ц.и. = 𝜇 𝑣1 −𝑣2 2 .
2
ИМПУЛЬС
Соударения
Здесь μ =
𝑚1 𝑚2
𝑚1 +𝑚2
- так называемая приведенная
масса обеих частиц. Будем считать ядра N14
неподвижными (v2=0). Это предположение
справедливо, так как всегда можно пренебречь
медленным тепловым движением ядер-мишеней
по сравнению с огромными скоростями
налетающих частиц. Тогда кинетическая энергия в
1
лабораторной системе координат 𝐾л = 𝑚𝑣12 и,
следовательно, 𝐾л =
𝑚1 +𝑚2
𝐾ц.и.
.
𝑚2
2
ИМПУЛЬС
Соударения
Реакция идет, если Kц.и.= 1,13 МэВ. Учитывая, что
т1 =4, т2= 14, получим
18
𝐾л = 1,13 ∙
= 1,45 МэВ.
14
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Закон сохранения импульса помогает легко
разобраться в основных чертах явления отдачи при
выстреле, реактивном движении и при
рассмотрении других аналогичных проблем.
Рассмотрим прежде всего явление отдачи,
происходящее в системе отсчета, где в начальный
момент тела покоились. В случае выстрела из
орудия такое рассмотрение вполне естественно.
Если в начальный момент система, состоящая из
двух или более тел, покоится, то суммарный
импульс ее равен нулю.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Какие бы события далее не произошли, суммарный
импульс по-прежнему будет равен нулю. Поэтому
если в какое-то мгновение происходит взрыв, в
результате которого система делится на части с
массами т1 т2, т3,..., которые разлетаются со
скоростями v1, v2, v3, ..., то сумма импульсов
m1v1+m2v2+m3v3+... разлетающихся тел останется
равной нулю.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Если речь идет о выстреле из орудия (система
делится на две части), то условие равенства нулю
импульса этой системы из двух тел имеет вид
mv+MV=0; здесь малые буквы относятся к одному
телу, скажем снаряду, а большие — к другому, к
орудию. Разделение системы на две части может
происходить при разлете частей только вдоль
общей прямой линии. Поэтому векторные значки
можно отбросить и записать условие в виде
mv= -MV. Скорости орудия и снаряда должны быть
обратно пропорциональны их массам.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Итак, явление отдачи будет ощущаться тем резче,
чем больше масса снаряда по отношению к массе
орудия.
Чрезвычайно большой интерес представляют
явления «непрерывной отдачи», имеющие место в
реактивном движении. Подобные явления
составляют своеобразную главу механики, которую
можно назвать механикой переменной массы. Они
осуществляются не только в реактивном самолете.
Напротив, можно указать ряд обыденных явлений,
в которых мы имеем дело с подобным движением.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
В качестве примера достаточно указать
разматывающийся рулон бумаги или падение
непрерывно конденсирующейся в атмосфере
капли. Основания механики переменной массы
были заложены в конце XIX в. профессором И. В.
Мещерским. Не имея возможности
останавливаться на его работе, мы рассмотрим
лишь одну единственную проблему этой области,
касающуюся возможной скорости движения
ракеты.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Ракета движется со скоростью v и в какое-то
мгновение выбрасывает некоторую порцию
горючего газа с массой dM. Масса ракеты
естественно уменьшится на эту величину. Если
скорость истечения газов обозначить через и (это
скорость не по отношению к ракете, а по
отношению к той же инерциальной системе
отсчета, в которой описывается скорость движения
ракеты), то импульс отделившегося от ракеты
вещества будет равен иdM.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Ракета уменьшит свою массу и увеличит свою
скорость на величину dv. Импульс ракеты после
выброса горючего будет равен (М - dM)(v + dv). В
соответствии с законом сохранения импульса мы
можем приравнять импульс Mv ракеты до выброса
порции горючего и импульс системы после истечения порции газа. Последний будет равен
разности импульса ракеты и массы горючего. Итак,
Mv = (M - dM)(v + dv) - udM,
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
откуда с точностью до бесконечно малых второго
порядка
𝑑𝑀
𝑑𝑣 = 𝑢 + 𝑣
.
𝑀
Но u+v есть относительная скорость истечения
горючих газов (по отношению к ракете). Обозначая
эту скорость через с, мы приходим к следующему
уравнению для приращения скорости ракеты:
𝑑𝑀
𝑑𝑣 = −𝑐
.
𝑀
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Знак минус поставлен, чтобы учесть возрастание
скорости при убывании массы. Мы видим, что
прирост скорости равен доле потерянной массы,
умноженной на относительную скорость истечения
горючего.
Считая скорость истечения газов по отношению к
ракете величиной постоянной, мы легко
проинтегрируем написанное уравнение. Если
масса ракеты была М0, когда скорость ракеты была
v0, и стала равной М тогда, когда скорость ракеты
изменилась до v, то интегрирование дает
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
𝑣
𝑀
𝑑𝑀
𝑑𝑣 = −𝑐
, т. е.
𝑣0
𝑀0 𝑀
𝑀0
𝑣 − 𝑣0 = 𝑐 ∙ ln
.
𝑀
Последняя формула была впервые получена
первым создателем конструкции ракеты и
исследователем теории межпланетного сообщения
К. Э. Циолковским.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Для скорости истечения газов 2000 м/с расчет по
формуле дает такие характерные цифры:
т/М
0,25
v, м/сек 446
1,0
4,0
10,0
32,3
54
999
1386
3218
4817
7013
8000
13815
Как видно из этой таблицы, скорость ракеты
возрастает много медленнее с количеством
выброшенного горючего, чем хотелось бы. Для
придания ракете значительной скорости
необходимо выбросить огромное количество
горючего по отношению к начальной массе ракеты.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Так, для придания скорости 7 км/с от массы ракеты
должна остаться меньше чем 1/30 часть.
Чтобы ракета вышла за пределы земного
тяготения, ей нужно придать скорость, равную
примерно 11 км/с. Эта цифра получается
следующим простым рассуждением. Для отрыва от
Земли ракета должна обладать такой кинетической
энергией, которой хватило бы для производства
работы перемещения тела с земной поверхности в
бесконечность.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Но эта работа против сил тяжести равна разности
потенциальных энергий ракеты на поверхности
Земли и в бесконечности. Так как в бесконечности
потенциальная энергия равна нулю, то условие
отрыва от Земли имеет следующий простой вид:
𝑚𝑣 2
2
𝑚𝑀
𝛾
𝑅
=
,
где М и R — масса и радиус Земли.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Умножив числитель и знаменатель правой части
равенства на R, вспоминая формулу ускорения
𝑚𝑀
силы тяжести на поверхности Земли 𝑔 = 𝛾 2 и
𝑅
сокращая на массу ракеты, находим условие
отрыва от Земли: 𝑣 = 2𝑔𝑅, что и дает результат
около 11 км/с.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Если считать, что скорость истечения газов 2000
м/с, то можно по формуле Циолковского найти
отношение m/M. Оно составит 244. Желая оторвать
ракету от Земли, мы должны придать ей такую
конструкцию, чтобы в межпланетное путешествие
отправить всего лишь 1/244 долю той массы,
которой обладала покоящаяся ракета.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Меньшие трудности приходится преодолеть при
выведении на орбиту спутника Земли. Для
создания искусственного спутника требуется
меньшая начальная скорость. Если полагать, что
ускорение силы тяжести на тех высотах, где мы
желаем создать орбиту спутника, примерно то же,
что и на земной поверхности, то закон механики,
записанный для искусственной планеты, будет
иметь вид mg=ma, а так как спутник движется по
окружности, то центростремительное ускорение
a=v2/R.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Отсюда находим значение скорости обращения
спутника 𝑣 = 𝑔𝑅, т. е. 8 км/с. Если такая скорость
будет придана ракете, то она превратится в
спутник Земли. Из приведенной выше таблицы,
рассчитанной для скорости истечения газа в 2000
м/с, мы видим, что значение т/М, нужное для
придания ракете скорости 8 км/с, равно 54.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Пример движения тела с переменной массой.
Пусть водяная капля падает в насыщенной
водяными парами атмосфере. В момент времени t
капля имеет массу т и радиус r. За время dt объем
капли, а следовательно, и масса (при плотности,
равной 1) увеличатся на величину 4pr2dr.
Следовательно, скорость возрастания массы
𝑑𝑚
2 𝑑𝑟
= 4𝜋𝑟
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Пример движения тела с переменной массой.
В то же время из физических соображении ясно,
𝑑𝑚
что скорость конденсации водяного пара
𝑑𝑡
должна быть пропорциональной конденсирующей
𝑑𝑟
2
поверхности 4pr . Отсюда = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и r=kt, где k —
𝑑𝑡
некоторый коэффициент пропорциональности.
Составим уравнение движения этой капли в поле
тяготения Земли.
ИМПУЛЬС
Явления отдачи
Пример движения тела с переменной массой.
Нас интересует изменение импульса d(mv),
которое по основному закону механики равно
𝑑
Fdt, где F=mg. Имеем 𝐹 =
𝑚𝑣 , т. е.
𝑑𝑣
𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑚
𝑣
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑚𝑔 =
+
Подставляя сюда выражения для
m и r получим ^-=g—— . Интегрирование этого
урав0
нения показывает, что ут. е. капля падает с
постоянным ускорением -~g=2,45 м/с2.
Сопротивление воздуха в расчет не принималось