Векторы и их геометрические приложения

12. Векторы и их геометрические приложения
ГРУППА А
r
1. Найти длину вектора a {3;4} . Ответ: 5 .
r
r
2. При каких значениях x и y векторы a {3; −2; x} и b { y;4;2} коллинеарны? В ответе
записать произведение найденных значений x и y . Ответ: 24 .
r
r
3. Найти скалярное произведение векторов a {2;4;1} и b {3;5;7} . Ответ: 5 .
r
r
4. При каких значениях x векторы a {−1;1;2} и b x 2 ; x − 2; x 2 −12 коллинеарны?
{
}
Ответ: -2.
r
r
5. При каком значении x векторы a { x;3;4} и b {5;6;3} перпендикулярны? Ответ:-6.
r
6. Найти произведение координат x и z вектора a { x;2; z} , перпендикулярного
r
вектору b {2;3; −2} и оси Ox . Ответ: 0.
r
r r
r
7. При каких значениях z длина вектора c = 2i − 9 j + zk равна 11? В ответе записать
произведение всех найденных значений z . Ответ:-36.
8. Найти координату z середины отрезка AB , где A ( 3;5;7 ) , B ( 3;1; −1) . Ответ: 3.
r
r
r r r
9. Найти длину вектора c = a + b , где a {1; 2;3} и b {4; −2;9} . Ответ: 13.
r
r
r
r r
10. Даны векторы a {6; 2;1} и b {0; −1; 2} . Найти длину вектора c = 2a − b . Ответ:13.
r
r r r r r r r
11. Найти угол в градусах между векторами a = 2i + 5 j − k и b = i − j − 3k . Ответ: 90o .
r r
r r
12. Найти площадь треугольника построенного на векторах a и b , если векторы a и b
r r
составляют угол 45o и a ⋅ b = 4 . Ответ: 2.
r r
r
13. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если векторы a
r
r r
и b составляют угол 30o и a ⋅ b = 3 . Ответ: 1.
14. Найти в градусах наибольший угол треугольника, вершины которого расположены
в точках A 1; 2 , B 1; 4 , C 3; 2 . Ответ: 90o .
(
) ( ) (
)
15. Найти угол в градусах между диагоналями четырехугольника с вершинами в
точках A 3;3 , B 2;6 , C 1;5 , D 6; 2 . Ответ: 90o .
(
1.
2.
3.
4.
) (
) ( )
(
)
ГРУППА Б
r
r
rr
2π
Зная, что a = 2, b = 5, a,b =
, найти, при каком значении a векторы
3
ur
r
r r
r r
p = aa + 17b и q = 3a − b перпендикулярны. Ответ: 40.
r
r r
r
r r
Векторы a и b образуют угол в 120o и a = 3, b = 5 . Найти a − b . Ответ: 7.
r
r 1r
r
Найти угол между векторами 2a и b , если a {−4; 2; 4} и b {2; −2;0} . Ответ: 135o
2
ur r
r r
r
Найти произведение координат x, y, z вектора p { x; y; z} , если p ⋅ a = 6, p ⋅ b = 9,
r
r r
r r
r
r
p ⋅ c = 4 p ⋅ c = 4 , a {1;1;0} , b {1; −2;3} , c {1; −1;0} . Ответ: 10.
( )
5. Найти координату x точки M , лежащей на оси Ox и одинаково удаленной от
точек A (1; 2;3) и B ( −3;3; 2 ) . Ответ:-1 .
r
6. Найти значение выражения yz − x 2 , где x, y, z -- координаты вектора с { x; y; z} ,
r
r
r
r
зная, что c = 30 . Вектор c перпендикулярен векторам a {2; 2; −1} , b {3; −1;1} , и
образует с осью Ox тупой угол. Ответ: 13.
r r
7. Длины ненулевых векторов a и b равны. Найти угол между этими векторами, если
r r
r
r r
r
известно, что векторы p = a + 2b и q = 5a − 4b перпендикулярны. Ответ: 60o
8. Найти значение выражения A = S ⋅ x ⋅ y , где S —площадь треугольника ABC ,
координаты вершин которого A (1; 2 ) , B (1; 4 ) , C ( 3; 2 ) , а x и y -- координаты центра
описанной вокруг треугольника окружности. Ответ: 12.
9. Дан треугольник с вершинами в точках A ( 3; −2;1) , B ( 3;0; 2 ) , C (1; 2;5 ) . Найти угол,
образованный медианой BD и основанием AC . Ответ: 45o
10. Дан треугольник с вершинами в точках A ( 0;0 ) , B ( 2; 4 ) , C (1;3) . Найти квадрат
длины высоты BD треугольника ABC . Ответ: 0,4.
11. Найти площадь четырехугольника, вершины которого расположены в точках
A ( 0;0 ) , B ( −1;3) , C ( 2; 4 ) , D ( 3;1) . Ответ: 10.
12. Найти квадрат расстояния от начала системы координат до центра окружности,
описанной вокруг треугольника ABC , координаты вершин которого
A (1;0;1) , B (1;1;0 ) , C (1;1;1) . Ответ: 1,5.
13. Найти диагональ AC параллелограмма ABCD , у которого AB = 7, AC = 8 ,
∠BAD = 60o . Ответ:13.
14. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке O . Найти сумму векторов
uuur uuur uuur
r
OA + OB + OC . Ответ: 0 .
15. Точки A (1;0; 2 ) , B ( 2;1;0 ) ; C (1; 2;0 ) являются тремя последовательными вершинами
параллелограмма. Найти сумму координат четвертой вершины. Ответ:3.
r
r
r
16. Вектор a { x;1; 2} перпендикулярен вектору b {2; y; −4} , а длина вектора b в два
r
раза больше длины вектора a . Найти x и y . Ответ: x = 2; y = 4.
r
r
r
17. Даны векторы a {2; −1; −1} и b {3; −4; −2} . Найти вектор c , коллинеарный вектору
r
r r
r
r
a и такой, что вектор c − b перпендикулярен вектору a . Ответ: c {4; −2; −2} .
18. Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике ABCD справедливо
uuur 1 uuur uuur
соотношение MP = AD + BC , где M и P —середины отрезков AB и
2
CD соответственно.
r r r
19. Даны три ненулевых вектора a , b , c , каждые два из которых неколлинеарны.
r r
r r
r
Найдите их сумму, если вектор a + b коллинеарен c , а b + c коллинеарен вектору
r
r
a . Ответ: 0 .
20. Дан параллелограмм ABCD . Длины сторон AB, AD, BD AB, AD, BD равны
uuur uuur
соответственно a, b, c . Найти скалярное произведение векторов AC и AD .
Ответ: a 2 + 3b2 − c 2 2
(
(
)
)
ТЕСТЫ
uuuur
А1. Известно, что NM {−4; −9} . Найдите координаты точки N , если M ( 2; −5 ) .
1) N ( 6; 4 )
2) N ( 6; −9 )
4) N ( −6; −4 )
3) N ( −2; −14 )
5) N ( −2; −4 ) N ( −2; −4 ) .
А2. Какие из данных пар векторов перпендикулярны?
r
r
r
r
r
r
2) a {−3; 4} , b {4; −3}
3) a {7;1} , b {0;1}
1) a {−3;7} , b {5; −5}
r
r
4) a {−3;7} , b {−5; −5}
5)Таких нет.
А3. Выберите верное равенство, при условии, что ABCD —параллелограмм.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
1) AB + CB = AC
2) AB − BC = AD
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
3) AB − CB = AC
4) AB + BC = AD
5) Все равенства не верны.
r
r
r
А4. Разложите вектор a {9;8} по векторам b {3; −1} и d {1; −4} .
r
r
r r
r
r
r
r
r
1) a = 4b − 3d
2) a = 3b + d
3) a = 2b + 2d
r
r
r
4) a = 4b − 4d
5) Разложить нельзя.
r
r r
r
r r
А5. Если векторы a и b образуют угол в 120 0 и a = 3, b =5, то величина a − b равна
1) 19 ;
2) 7;
3) 34 ;
4) 12;
5) 10.
r
r
n
А6. Если векторы a{1; m;2} и b{ + 1;3;1} коллинеарны, то m+n равно
2
1)3;
2) -4;
3) 5;
4) 9;
5) 7.
r
А7. Длина вектора a{m;2m;5} не превосходит 10, если
1) m < 15 ; 2) m ≤ 15 ;
3) m ≤ − 15 ; 4) m < 15 ; 5) m ≤ 15 ;
r
r
А8. Длина вектора a{m;7;−2} не меньше длины вектора b{1;2m;1}, если
1) m < 17 ;
2) m ≤ 17 ; 3) m ≤ 17 ;
4) m ≤ − 17 ; 5) m < 17 ;
r
r
А9. Угол между векторами a{2; m;−4} и b{m;1;1} тупой, если
4
4
4
4
4
2) m ≤ ;
3) m > ;
4) m = ;
5) m ≥ ;
1) m < ;
3
3
3
3
3
r r r r
А10. Если a + b = a − b , то
r
r r
r r
r r
r r
r
1) a || b
2) a = b
3) a = b
4) a ⊥ b
5) a = −b