1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип

1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля.
Принцип суперпозиции
Вопросы
1. В точку A, расположенную вблизи неподвижного заряженного тела, поместили пробный заряд
G
q1 и измерили действующую на него силу F1 : F1x = 3 мкН, F1 y = 4 мкН, F1z = 0 . Затем заряд
q1 убрали на большое расстояние, поместили в точку A другой пробный заряд q2 и измерили
проекцию действующей на него силы: F2 x = − 9 мкН. Определите F2 y , F2 z и отношение q2/q1.
2. Закон сохранения заряда является:
А) следствием закона Кулона;
Б) следствием закона сохранения энергии;
В) самостоятельным законом природы.
G
3. Неподвижные точечные
заряды q1 и q2 находятся в вакууме. Вектор r проведен от заряда q1 к
G
заряду q2. Сила F , действующая на заряд q2 со стороны q1, равна:
G
G
G
А) G q1q 2 r
Б) G
В) G | q1 || q2 | r
q1q 2 r
F=
F=
F =−
;
;
.
4πε 0 r 3
4πε 0 r 3
4πε 0 r 3
G
4. Пусть F - сила, действующая со стороны электрического поля на неподвижный пробный заG G
ряд qпр, помещенный в данную точку поля. Тогда вектор E = F / qпр не зависит от знака и величины заряда qпр:
А) только для электростатического поля;
Б) для произвольного электрического поля.
G
5. Вектор r проведен от неподвижного точечного заряда Q в точку A. Вектор напряженности
электрического поля, созданного зарядом Q в точке A, равен:
G
G
G
Б) G | Q | r
В) G
А) G
Qr
Qr
E=
E=
E=
;
;
.
4πε 0 r 3
4πε 0 r 3
4πε 0 r 2
G
G
G
G
6. Точечный заряд q находится в плоскости XY в точке с радиус-вектором r = ae x + be y , где e x ,
G
e y - орты осей. Вектор напряженности электрического поля в начале координат равен:
G
G
G
G
А) G
Б) G
q ( ae x + be y )
q ( ae x + be y )
;
.
E=
E=−
4πε 0 (a 2 + b 2 ) 3 / 2
4πε 0 (a 2 + b 2 ) 3 / 2
7. Имеются три неподвижных точечных заряда. В некоторойG точке A первый и второй заряды
создают электрическое поле суммарной напряженностью E12 , первый и третий заряды создаG
G
G
ют в той же точке поле E13 , а второй и третий – поле E 23 . Тогда вектор напряженности E поля, созданного тремя зарядами в точке A, равен:
G G
G
G
А) E = E12 + E13 + E 23 ;
G
G
G
G
Б) E = E12 + E13 + E 23 / 2 ;
G
G
G
G
В) E = E12 + E13 + E 23 / 3 .
(
(
)
)
8. Точечные заряды q и 2q расположены в вершинах A и B прямоугольного равнобедренного треугольника АВС (С - вершина прямого угла). Во сколько раз уменьшится модуль вектора напряженности электрического поля в точке C, если заряд 2q убрать?
1
G
9. Заряженное тело Q создает в некоторой точке A поле напряженностью E . В точку А помещают
точечный заряд q. Сила, действующая на заряд q, оказалась по модулю больше величины
G
| qE | . Это возможно, если:
А) размеры заряженного тела Q превышают расстояние от этого тела до точки A;
Б) величина q настолько велика, что происходит перемещение зарядов, расположенных на теле Q.
Задачи
Закон Кулона. Электростатическое поле системы точечных зарядов
1.1. Оцените:
А) величину силы, которая необходима для извлечения электрона из молекулы (ионизация молекул). Используйте, что ионизация наступает во внешнем электрическом поле
с напряженностью 108 В⋅м-1 (в таком поле происходит “пробой” воздуха);
Б) отношение силы электрического отталкивания двух электронов к силе их гравитационного притяжения;
В) с какой силой отталкивались бы два одноименных заряда величиной каждый по 1 Кл,
находясь на расстоянии 1 км друг от друга;
Г) величину силы электростатического притяжения электрона к ядру в атоме водорода (в
рамках модели Н. Бора). Радиус орбиты электрона примите равным 0,05 нм.
1.2. Три заряда q, 2q и –2q помещены в вершинах равностороннего треугольника со стороной
а. Определите величину результирующей силы F, действующей на: а) заряд -2q; б) заряд 2q.
1.3. Имеются три неподвижных точечных заряда одинаковой величины, два из которых положительные, а один отрицательный. В некоторой точке A, удаленной от отрицательного заряда на
G
расстояние l = 12 см, один из этих зарядов создает электрическое поле напряженностью E1 , друG
G
G
G
гой заряд создает в той же точке поле E 2 = E1 , а третий – поле E3 = 9E1 . Определите расстояние x
(оно отлично от нуля) между положительными зарядами.
1.4. Имеются три неподвижных точечных заряда одинаковой величины. В некоторой точке A
G
первый заряд создает электрическое поле напряженностью E1 , второй заряд в той же точке создаG
G
G
G
ет поле E 2 = E1 , а третий заряд – поле E3 = 2E1 . Определите расстояние между первым и третьим
зарядами, если расстояние между первым и вторым зарядами равно l.
1.5. Два точечных заряда Q1 = 7,5 нКл и Q2= –14,7 нКл расположены на расстоянии R = 5 см.
Найдите модуль вектора напряженности электрического поля Е в точке, находящейся на
расстояниях a = 3 см от положительного заряда и b = 4 см от отрицательного заряда.
1.6. Точечные заряды q1 = 1 нКл и q2 = 4 нКл расположены в точках A и B, расстояние между
которыми a = 30 см. Точечный заряд Q находится в середине отрезка AB. При каком Q, отличном
от нуля, электрические силы, действующие на заряды q1 и q2 в данной системе, будут равны по
величине?
1.7. Точечный положительный заряд q1 расположен в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AC = BC, ∠ACB = α ). Какой точечный заряд q2 нужно поместить в вершину B, чтобы модуль вектора напряженности суммарного электрического поля зарядов q1 и q2 в вершине C был
минимальным?
1.8. В однородном электрическом поле напряженностью E0 = 9 кВ/м закреплен точечный заряд q = –10 нКл. В точке A, положение которой определяется
расстоянием r = 10 см и углом α (см. рис.), модуль вектора напряженности результирующего электрического поля E = E0. Определите угол α.
A
r
α
G
E0
q
2
1.9. Точечные заряды –q и +q расположены на одной силовой линии однородного электрического поля E, как показано на рисунке.
Расстояние между зарядами l. При каких значениях E вектор напряженности результирующего поля равен нулю а) только в двух точках?
б) в бесконечном числе точек?
G
E
–q
+q
1.10. Два одинаковых небольших металлических шарика с зарядами q1 и q2, находясь на расстоянии l = 200 м друг от друга, притягиваются с силой F0 = 36 мН. После того, как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же расстояние l, они стали отталкиваться с силой
F = 64 мН. Найдите q1 и q2.
1.11. На дне длинной стеклянной пробирки, закрепленной вертикально, находится положительно заряженный диэлектрический шарик массой m = 0,1 г чуть меньшего, чем пробирка диаметра. В точке A, расположенной под пробиркой, он создает электрическое поле напряженностью E = 105 В/м. Найдите силу Кулона, которая будет действовать на точечный
положительный заряд q, если его поместить в точку A и дождаться установления равновесия.
Рассмотрите случаи:
A
а) q = 0,5.10−8 Кл;
б) q = 2.10−8 Кл.
Влиянием стеклянной пробирки на электрическое поле пренебречь.
1.12. На рисунке изображена одна из линий напряженности электрического поля двух неподвижных точечных зарядов q1 и q2. Известно, что
q1 = 1 нКл. Определите q2.
q1
q2
1.13. На рисунке изображены две линии напряженности электрического поля двух неподвижных точечных зарядов. Величина меньшего
по величине заряда q1 = 1 нКл. Определите величину второго заряда q2.
1.14. Точечный заряд q расположен в однородном электрическом
поле, линии напряженности которого направлены в положительном
направлении оси X , а модуль вектора напряженности равен E0. ПолоG
G G
G G G
G
жение заряда q задано радиус вектором r = ai + bj + ck , где i , j , k орты осей прямоугольной системы координат X Y Z. Определите вектор напряженности результирующего электрического поля в начале координат.
1.15. Точечные заряды q1 и q2 = –2q1 расположены в плоскости XY в точках, определяемых раG
G
G
G
G
G
G
G G
диус-векторами r1 = ae x + be y и r2 = ae x − be y , где e x , e y - орты осей. Определите вектор E напряженности электрического поля этих зарядов в начале координат.
1.16. Точечные заряды q и –q расположены в плоскости XY в точках, определяемых радиусG
G
G G
G
G G
G G
векторами r1 = a(e x + e y ) и r2 = a(e x − e y ) , где e x , e y - орты осей. Определите вектор E напряG
G G
женности электрического поля этих зарядов в точке с радиус-вектором r = − a(e x + e y ) .
Электростатическое поле заряженных тел (непрерывное распределение зарядов)
1.17. На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ, имеющего форму дуги
окружности радиуса R с центром в точке О, приходится заряд λ. Найдите модуль вектора напряженности электрического поля в точке О, если угол АОВ равен α. Постройте график зависимости
E(α).
1.18. Тонкий непроводящий стержень согнут в почти правильную окружность радиуса R = 0,5
м. Между концами имеется промежуток ∆l = 0,02 м. По длине стержня однородно распределен
G
положительный заряд, равный q = 4 нКл. Найдите величину и направление вектора E в центре
окружности.
3
1.19. Две половины тонкого кольца радиусом R заряжены разноименными зарядами с линейG
ными плотностями заряда λ и –λ. Определите напряженность E электрического поля в центре
кольца.
1.20. Тонкое полукольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью λ = λ 0 sin α .
Найдите модуль напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца (см рис.).
α
1.21. По тонкому кольцу радиуса R однородно распределен заряд q. Найдите модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца на расстоянии х от
его центра. Постройте график зависимости модуля вектора напряженности поля от х.
1.22. Одна половина сферической поверхности радиуса R заряжена с поверхностной плотностью σ, а другая заряжена тоже однородно, но с плотностью 2σ. Покажите, что модуль вектора
напряженности электрического поля в центре сферы равен σ / 4ε 0 .
1.23. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень длинной однородно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити приходится заряд λ.
Найдите силу, с которой кольцо действует на нить.
1.24. Круглая тонкая пластинка радиуса R однородно заряжена с поверхностной плотностью
σ > 0. Найдите модуль вектора напряженности электрического поля на оси пластинки, как функцию расстояния l от ее центра. Рассмотрите также случаи l = 0 и l >> R .
1.25. Плоское кольцо с внутренним радиусом а и внешним радиусом b однородно заряжено с
поверхностной плотностью σ. Координатная ось X с началом в центре кольца перпендикулярна
плоскости кольца. Найдите проекцию Ех вектора напряженности электрического поля на ось X как
функцию координаты х. Решение проведите двумя способами: в первом используйте решение задачи (1.21), а во втором – задачи (1.24).
1.26. На тонкий прямой стержень длины l нанесен однородно положительный заряд q. Найдите
модуль вектора напряженности электрического поля Е в точке, лежащей вне стержня на его оси
на расстоянии r от ближайшего конца стержня. Исследуйте полученное выражение при r >> l.
1.27. Тонкий прямой стержень заряжен с линейной плотностью λ = λ 0 ( x / l ) 2 , где l - длина
стержня, x- расстояние от конца стержня, λ0 – положительная постоянная. Найдите модуль напряженности электрического поля при x = 0.
1.28. Однородно заряженная нить, на единицу длины которой приходится положительный заряд λ, имеет закругленный
участок. Радиус закругления R значительно меньше длины нити. Найдите модуль вектора напряженности электрического
поля Е в точке O для конфигураций, показанных на рисунке.
O
a)
O
б)
O
в)
O
г)
1.29. Длинная прямая однородно заряженная нить имеет заряд λ на единицу длины. Найдите
модуль и направление электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.
1.30. Одна половина тонкого длинного прямого стержня имеет положительный заряд с линейной плотностью λ, а другая половина – отрицательный заряд с линейной плотностью –λ. На перпендикуляре к оси стержня, восстановленном из его середины, на расстоянии y от стержня находится положительный точечный заряд Q. Определите силу, с которой стержень действует на точечный заряд.
1.31. Полубесконечный круглый цилиндр радиусом R заряжен однородно по поверхности так,
что на единицу его длины приходится заряд λ > 0. Найдите напряженность электрического поля в
центре основания цилиндра.
4
1.32. На тонкий прямой стержень длины 2a нанесен однородно положительный заряд q. Найдите модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра
стержня до точки прямой, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. Исследуйте
полученное выражение при r >> a .
1.33. Определите напряженность электрического поля в центре тонкой квадратной рамки, если
три стороны рамки имеют положительный заряд с линейной плотностью λ, а четвертая сторона не
заряжена. Длина стороны квадрата a.
G
1.34. Найдите напряженность E электрического поля, созданy
ного отрезком тонкой, однородно заряженной с линейной плотноλ>0
r
стью λ нити в точке наблюдения x = 0, y = 0 (см. рис.). Углы α1, α2
α2
и расстояние r известны. Рассмотрите, кроме того, предельные слу- G
E
x
0
чаи:
α1
x
б) α1 = 0, α2 = π/2.
а) α1 = 0, α2 = π;
G
E
G
Ey
Ответы
1.1.
А) 1,6⋅10-11 H; Б) 4⋅1042; В) 9 кН; Г) 9⋅10-8 H
1.2.
a) F =
1.3.
x = 2l / 3 = 8 см
1.4.
x=
l⎛
1 ⎞
⎜1 −
⎟
2⎝
2⎠
1.5.
E=
1
4πε 0
1.6.
Q=−
1.7.
q 2 = −q1 cos α
1.8.
cos α = − kq / 2 E0 r 2 = 0,5, α = 600
q2 2
2πε 0 a 2
(Q / a ) + (Q
2 2
1
q1q 2
2(q1 + q 2 )
q2 3
б) F =
,
2
2πε 0 a 2
/ b2
)
2
.
=112 кВ.
= –0,4 нКл
1.9.
а) E > 4kq / l 2 , б) E < 4kq / l 2 .
1.10.
q1, 2 = l 4πε 0 F 1 ± 1 + F0 / F = 1,20 и –0,133 мкКл или те же значения, но с противополож-
(
)
ными знаками.
1.11. а) F = qE = 0,5⋅10−3 Н, б) F = mg = 10 −3 Н
1.12.
q2 = −q1 (r2 / r1 ) = −8 нКл
1.13.
q 2 = 4 нКл
1.14.
G
G
E = E0 i −
1.15.
G
E=
3
G
G G
q (ai + bj + ck )
(
4πε 0 a 2 + b 2 + c 2
G
G
q1 (ae x − 3be y )
)
3/ 2
4πε 0 (a 2 + b 2 ) 3 / 2
5
1.16.
G
E=
G
ey ⎤
⎡⎛
1 ⎞G
⎟e x −
⎢⎜1 −
⎥
16πε 0 a 2 ⎣⎜⎝ 2 2 ⎟⎠
2 2⎦
1.17.
E=
λ
α
sin .
2πε 0
2
1.18.
E ≈ q∆l / 8π 2 ε 0 R 3 ≈ 0,92 В/м
1.19.
E = λ / πε 0
1.20.
E=
1.21.
E=
q
λ0
8ε 0 R
|q|x
4πε 0 ( R 2 + x 2 ) 3 / 2
.
1.22.
1.23.
F =| qλ | / 4πε 0 R .
E = ⎛⎜1 − 1 / 1 + ( R / l ) 2 ⎞⎟σ / 2ε 0 . При l = 0
⎝
⎠
2
q = σπR .
1.24.
σx
2ε o
⎛
1
1
⎜
−
⎜ 2
2
b2 + x2
⎝ a +x
1.25.
Ex =
1.26.
E=
1.27.
E = λ 0 / 4πε 0 l
E = σ / 2ε 0 . При l >> R
E = q / 4πε 0 l 2 , где
⎞
⎟.
⎟
⎠
q
q
. При r >> l E =
.
4πε 0 (r + l )r
4πε0 r 2
1.29.
λ 5
λ 5
λ
3λ
, б) E =
, в) E =
, г) E =
.
4πε 0 R
4πε 0 R
4πε 0 R
4πε 0 R
G
E = λ 2 / 4πε 0 y . Вектор E направлен под углом 450 к нити.
1.30.
F=
Q⋅λ
. Сила направлена параллельно стержню от λ к –λ.
2πε 0 y
1.31.
E=
G
λ
Вектор E направлен перпендикулярно плоскости основания цилиндра.
4πε 0 R
1.32.
E = q / 4πε 0 r r 2 + a 2 . При r >> a E = q / 4πε 0 r 2 .
1.33.
E=
1.34.
G
G
G
E = E x i + E y j , где E x = −
1.28. a) E =
λ
πε 0 a 2
λ
(sin α 2 − sin α1 ) , E y = λ (cos α 2 − cos α1 ) .
2πε o r
4πε o r
6