Лекция 3 Дифференцируемость С. А. Лавренченко

1
С. А. Лавренченко
www.lawrencenko.ru
Лекция 3
Дифференцируемость
1. Понятие дифференцируемости
Пусть комплексная функция w  f (z) комплексной переменной z определена в
некоторой окрестности точки z0 .
Определение 1.1 (дифференцируемости функции в точке). Говорят, что f
дифференцируема в точке z0 , если существует предел разностного отношения
(1)
lim
h 0
f ( z0  h )  f ( z0 )
f ( z )  f ( z0 )
 lim
.
z  z0
h
z  z0
Этот предел называется производной функции f в точке z0 и обозначается f ( z0 ) . ■
Для обозначения производной в z0 также используются обозначения Лейбница:
df ( z0 ) dw
df
( z0 ) 

dz
dz
dz
z  z0
Функция w  f (z) называется дифференцируемой в области D , если f
дифференцируема в каждой точке области D .
Поскольку производная определяется как предел, а правила для пределов комплексных
функций дословно повторяют правила для пределов действительных функций, для
комплексных функций сохраняются основные правила дифференцирования: формулы для
производных суммы, произведения, отношения двух функций, а также сложной и
обратной функций.
Пример 1.2. Исследовать, в каких точках функция w  f ( z )  Re z дифференцируема.
Решение: Положим z  x  iy . Тогда w  x . На комплексной плоскости выберем
произвольную точку z0  x0  iy0 и зафиксируем ее. По определению
2
дифференцируемости функции в точке z0 предел разностного отношения (1) должен быть
независимым от способа приближения к z0 .
Рис. 1. Два способа приближения к точке z0 .
Покажем, что по некоторым двум путям пределы разные, откуда последует
недифференцируемость f (z ) в z0 . В качестве 1-го пути приближения к z0 выберем
горизонтальную прямую, т. е. положим h  s , где s — действительное число. См. рис. 1.
По 1-му пути предел разностного отношения равен единице:
lim
h 0
f ( z0  h )  f ( z0 )
( x  s )  x0
 lim 0
 1.
s 0
h
s
В качестве 2-го пути приближения к z0 возьмем вертикальную прямую, т. е. положим
h  it , где t — действительное число. По 2-му пути предел разностного отношения равен
нулю:
lim
h 0
f ( z0  h )  f ( z0 )
x  x0
 lim 0
 0.
t 0
h
it
Таким образом, данная функция нигде не дифференцируема, т. е. не дифференцируема ни
в одной точке комплексной плоскости. ■
2. Условия Коши-Римана
На практике нет необходимости исследовать функцию на дифференцируемость, как в
примере 1.2, потому что существуют намного легче проверяемые условия
дифференцируемости. Вывод этих условий основан на способе, использованном в
примере 1.1.
3
Теорема 2.1 (условия Коши-Римана). Функция f ( z)  u( x, y)  iv( x, y)
дифференцируема в точке z  x  iy  C тогда и только тогда, когда в
соответствующей точке ( x, y )  R 2 функции u( x, y ) и v( x, y) дифференцируемы и
выполняются равенства Коши-Римана:
u v
,

x y
(2)
u
v
 .
y
x
Равенства (2) названы в честь французского математика-барона Августина-Луи Коши
(1789 – 1857) и немецкого математика Бернхарда Римана (1826 – 1866).
Доказательство: Выберем произвольно и зафиксируем точку z0  x0  iy0 , в которой
функция f (z ) дифференцируема, т. е. существует предел
f ( z0  h )  f ( z0 )
df
( z0 )  lim
,
h

0
dz
h
не зависящий от выбора кривой, по которой мы приближаемся к z0 . Давайте
приближаться к z0 по 1-му пути, как в примере 1.2 (см. рис. 1). Вычислим производную
по 1-му пути:
u ( x0  s, y 0 )  iv( x0  s, y 0 )  u ( x0 , y 0 )  iv( x0 , y 0 )
df
( z 0 )  lim

s 0
dz
s
[поскольку существование предела комплексной функции равносильно одновременному
существованию пределов ее действительной и мнимой частей]
u ( x 0  s, y 0 )  u ( x 0 , y 0 )
v ( x 0  s, y 0 )  v ( x 0 , y 0 )
 i lim
,
s 0
s 0
s
s
 lim
откуда
df
u
v
( z0 ) 
( x0 , y 0 )  i ( x0 , y 0 ) .
dz
x
x
(3)
Будем теперь приближаться к z0 по 2-му пути, как в примере 1.2 (см. рис. 1). Вычислим
производную по 2-му пути:
u ( x0 , y 0  t )  iv( x0 , y 0  t )  u ( x0 , y 0 )  iv( x0 , y 0 )
df
( z0 )  lim

t 0
dz
it
 lim
t 0
u ( x0 , y 0  t )  u ( x0 , y 0 )
v ( x0 , y 0  t )  v ( x0 , y 0 )
 i lim

t 0
it
it
[поскольку 1 i  i ]
 lim
t 0
v ( x0 , y 0  t )  v ( x0 , y 0 )
u( x0 , y 0  t )  u( x0 , y 0 )
 i lim
,
t 0
t
t
4
откуда
(4)
df
v
u
( z 0 )  ( x0 , y 0 )  i ( x0 , y 0 ) .
dz
y
y
Поскольку левые части равенств (3) и (4) одинаковы, действительные части их правых
частей тоже равны, что дает первое из доказываемых равенств (2). Приравнивая мнимые
части, получаем второе равенство (2). Можно также показать, что выполнение условий
Коши-Римана достаточно для дифференцируемости функции. ■
Пример 2.2. Исследовать, в каких точках функция w  f ( z )  z дифференцируема.
Решение: Положим z  x  iy . Тогда w  x  iy , т. е. u( x, y )  x и v( x, y)   y . Поскольку
u x  1, а v y  1 , уже первое равенство Коши-Римана не выполняется, и поэтому
данная функция нигде не дифференцируема. ■
3. Аналитичность
Определение 3.1 (аналитической функции). Функция w  f (z) называется
аналитической (или голоморфной) в точке z0 , если, во-первых, f (z ) дифференцируема в
точке z0 , и, во-вторых, f (z ) дифференцируема в некоторой окрестности точки z0 .
Функция f (z ) называется аналитической в области D , если f дифференцируема в
каждой точке области D . ■
По теореме 2.1 функция f (z ) аналитична в D тогда и только тогда, когда условия
Коши-Римана выполняются в каждой точке z  D , причем производная от f (z ) может
быть найдена по любой из следующих четырех формул (см. равенства (3) и (4)):
(5)
df u
v v
u u
u v
v

i

i

i

i .
dz x
x y
y x
y y
x
Пример 3.2. Исследовать, в каких точках функция w  f ( z)  z z аналитична.
Решение: Здесь w  z z  z
 x 2  y 2 , т. е. u( x, y )  x 2  y 2 и v( x, y )  0 . Равенства
Коши-Римана принимают вид 2 x  0 , 2 y  0 и поэтому данная функция
дифференцируема только в точке z  0 и нигде не аналитична. ■
2
Оказывается, аналитическая функция w  f (z ) восстанавливается с точностью до
постоянного слагаемого только по ее действительной или только по ее мнимой части, что
обеспечивается равенствами Коши-Римана. Если же дополнительно дано значение
функции в одной точке, можно найти это постоянное слагаемое.
Пример 3.3. Восстановить аналитическую функцию w  f (z ) по ее действительной
части u( x, y )  e x cos y и дополнительному условию f (0)  1 .
Решение: Используем первое равенство Коши-Римана:
5
u v

x y

v
 e x cos y  v ( x, y )  e x sin y  P( x ) .
y
Теперь подключаем второе равенство Коши-Римана:
u
v

y
x
  e x sin y  e x sin y  P( x )  P( x )  0  P( x )  C  const
Итак, мнимая часть найдена с точностью до постоянного слагаемого:
v ( x, y )  e x sin y  C ,
откуда
f ( z )  e x cos y  i (e x sin y  C ) .
Константу C находим из условия f (0)  1 : f (0)  1  iC  1 , откуда C  0 . Окончательно,
f ( z )  e x cos y  ie x sin y  e x (cos y  i sin y ) . ■
4. Гармонические функции
Определение 4.1 (гармонической функции). Действительная функция F  F ( x, y )
называется гармонической в области D , если F  F ( x, y ) удовлетворяет в каждой точке
D дифференциальному уравнению Лапласа с частными производными:
(6)
2F 2F

 0. ■
x 2 y 2
Пусть функция f (z ) аналитична в D . Продифференцируем первое равенство КошиРимана по x , второе по y , и сложим их:
 2u  2u  2 v
 2v



 0.
x 2 y 2 xy yx
Равенство нулю получается по теореме Клеро. Аналогично получается тождество
(7)
 2v  2v

 0.
x 2 y 2
Итак, действительная и мнимая части любой аналитической функции являются
гармоническими функциями на R 2 ( x, y ) . Они называются сопряженными
гармоническими функциями. Приходим к теореме.
6
Теорема 4.2 (о гармоничности действительной и мнимой частей аналитической
функции). Если функция f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) аналитична в области D  C(z ) , то ее
действительная и мнимая части являются гармоническими функциями в области
D  R 2 ( x, y ) . ■
Если дополнительно потребовать односвязность области D  R 2 ( x, y ) , то будет
справедлива и обратная теорема.
Теорема 4.3. Любая гармоническая в односвязной области D  R 2 ( x, y ) функция u( x, y )
является действительной частью некоторой функции f (z ) , аналитической в области
D  C(z ) .
Доказательство: Рассмотрим функцию g ( z )  u x  iu y . Она аналитична в D , потому что
удовлетворяет равенствам Коши-Римана. В качестве f (z ) возьмем первообразную
функции g(z) . Тогда u( x, y ) будет действительной частью функции f (z ) с точностью до
константы, потому что ux ( x, y ) является действительной частью функции g ( z)  f ( z) . ■
Упражнения для самопроверки
1. Вывести из равенств Коши-Римана равенство (7).
2. Проверить, что функция g(z) из доказательства теоремы 4.3 удовлетворяет
равенствам Коши-Римана.