ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ОСОБЕННОСТЕЙ

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ОСОБЕННОСТЕЙ
СПЕЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Ж. Н. Тасмамбетов, А. Ж. Тасмамбетова (Актобе, Казахстан)
tasmam@rambler.ru
Предварительные сведения. Изучением особых точек и их классификацией занимались К. Вейерштрасс, Л. Фукс, Б. Риман, Г. Фробениус, К. Гаусс, П. Пенлеве, Я.Горн, Л. Томе и др. Они занимались
построением аналитических решений в окрестности особых точек. Разделение особых точек интегралов дифференциальных уравнений на
два класса – неподвижные и подвижные, принадлежит основоположнику аналитической теории дифференциальных уравнений Л.Фуксу
[1, с.192].
Классификация особых точек однозначных функций комплексного
переменного и их названия были предложены Вейерштрассом в 1876
г. [2, с.22]. Он подразделял их на несущественно и существенно особые
точки.
Дальнейшая классификация особых точек связана с их регулярностью и иррегулярностью. Введение термина «регулярное решение»
связано с именем Л.Томе [3, с.195]. Линейные дифференциальные уравнения, решения которых имеют все точки регулярными, называются
уравнениями класса Фукса. К.Я. Латышева регулярность и иррегулярность особых точек определяет [4, с.233] с помощью понятия ранга
p = 1 + k (k – подранг), введенного А. Пуанкаре [5, с.297] и антиранга
m = −1 − χ (χ – антиподранг), введенного Л. Томе.
Обобщение понятия особых точек на функции многих переменных
также было дано К. Вейерштрассом в 1880 г. В отличие от случая одного комплексного переменного, аналитическая функция двух и более
переменных не может иметь изолированные особые точки. Малоизученными остаются особенности системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, где особенностями являются не изолированные особые точки, а особые линии или пересечения
нескольких особых кривых.
Целью данной работы являются установление особых кривых системы дифференциальных уравнений в частных производных второго
1
порядка
8
<
:
P0 (x, y) · Zxx + P1 (x, y) · Zy + P2 (x, y) · Z = 0,
Q0 (x, y) · Zyy + Q1 (x, y) · Zx + Q2 (x, y) · Z = 0,
(1)
где коэффициенты Pi = Pi (x, y) и Qi = Qi (x, y) (i = 0, 1, 2) – аналитические функции или многочлены двух переменных, и построение их
решений вблизи установленных особых кривых.
При выполнении условия совместности система (1) имеет четыре
линейно-независимых частных решения Zk (x, y) (k = 1, 2, 3, 4). Эти
решения симметричны по независимым переменным x и y, а общее
решение системы представляется в виде
Z(x, y) = C1 · Z1 (x, y) + C2 · Z2 (x, y) + C3 · Z3 (x, y) + C4 · Z4 (x, y), (2)
то есть общее решение системы (1) зависит от четырех произвольных
постоянных.
Однако, построение решений вблизи установленных особых кривых остается нерешенной проблемой, поскольку не удается построить
всю фундаментальную систему решений каждого из них. Только, для
системы Аппеля (F1 ) установлены 120 частных решений. Отсюда возникает необходимость установления всевозможных особых кривых и
изучение возможности построения решений вблизи этих особенностей.
А также умение классифицировать регулярные и иррегулярные особенности изучаемых систем.
Построение регулярных решений, когда коэффициенты системы – ряды двух переменных.
1. Пусть задана регулярная система двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
8
<
:
x2 · p0 (x, y) · Zxx + y · p1 (x, y) · Zy + p2 (x, y) · Z = 0,
y 2 · g0 (x, y) · Zyy + x · g1 (x, y) · Zx + g2 (x, y) · Z = 0,
(3)
где коэффициенты pi = pi (x, y) и gi = gi (x, y) (i = 0, 1, 2) ряды двух
переменных по возрастающим степеням независимых переменных x и
y:
pi (x, y) =
gi (x, y) =
∞
P
m,n=0
∞
P
m,n=0
(i)
m
n
a(i)
m,n · x · y
(a0,0 6= 0),
b(i)
m,n
(i)
(b0,0
m
·x ·y
n
2
6= 0;
i = 0, 1, 2).
(4)
Система (3) с коэффициентами (4) имеет регулярную особенность
8
<
:
x2 = 0,
y 2 = 0,
(x = 0; y = 0).
Для построения решения системы, согласно методу Фробениуса–Латышевой сначала следует составить систему характеристических функций, подставляя Z = xρ · y σ :
ρ
σ
ρ
σ
§
(j)
(j)
(j)
(j)
Lj [x · y ] ≡ x · y · f00 (ρ, σ) + f10 (ρ, σ)x + f01 (ρ, σ)y + f11 (ρ, σ)·
(j)
(j)
·xy + . . . + fn0 (ρ, σ) · xn + f0n (ρ, σ) · y n + . . .
ª
(j = 1, 2).
(5)
Вблизи особенности (0; 0) решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда двух переменных по возрастающим степеням
независимых переменных x и y:
Z = xρ · y σ
∞
X
m,n=0
Am,n · xm · y n
(A0,0 6= 0),
(6)
(ρ, σ, Am,n (m, n = 0, 1, 2, . . .) – неизвестные коэффициенты).
Неизвестные показатели ρ и σ находятся из системы определяющих
уравнений
8
>
<
>
:
(1)
(0)
(1)
(2)
(2)
(0)
(1)
(2)
f00 (ρ, σ) ≡ a00 · ρ · (ρ − 1) + a00 · σ + a00 = 0,
f00 (ρ, σ) ≡ b00 · σ · (σ − 1) + b00 · ρ + b00 = 0
(7)
относительно особенности (0; 0).
Система (7) имеет до четырех пар корней (ρk , σk ) (k = 1, 2, 3, 4),
действительных и комплексных. Поэтому, система (3)–(4) может иметь
до четырех линейно-независимых частных решений вида (6). Общее
решение определяется равенством (2). Неизвестные коэффициенты находим из системы рекуррентных уравнений
m,n
X
µ, ν=0
(j)
Am−µ, n−ν · fµ,
ν (ρ + m − µ, σ + n − ν) = 0,
(8)
(m, n = 0, 1, 2, . . . ; m − µ > 0, n − ν > 0; j = 1, 2).
(0)
(0)
Если a00 6= 0 и b00 6= 0, то особенность (0; 0) регулярная и ряд
(6) является сходящимся. Сходимость ряда можно доказать методом
Горна [6, с.221].
Для существования решения вида (6) должно выполняться следующее необходимое условие.
3
Теорема 1. Для существования решения вида (6) вблизи особенности (0; 0) необходимо, чтобы пара (ρ, σ) была решением системы
определяющих уравнений (7) относительно особенности (0; 0).
2. Допустим, что коэффициенты системы (3) представлены в виде
обобщенных степенных рядов двух переменных
pi (x, y) =
gi (x, y) =
∞
P
µ, ν=0
∞
P
µ, ν=0
(i)
−µ
a(i)
· y −ν ,
µ, ν · x
(a00 6= 0),
b(i)
µ, ν
(i)
(b00
·x
−µ
−ν
·y ,
6= 0; i = 0, 1, 2).
(9)
Система характеристических уравнений запишется в виде
8
<
(j)
(j)
(j)
ϕ (ρ, σ) ϕ01 (ρ, σ) ϕ11 (ρ, σ)
Lj [x · y ] ≡ x · y ·
σ) + 10
+
+
+
x
y
xy
9
(j)
(j)
=
ϕ (ρ, σ) ϕ0n (ρ, σ)
+
+
...
(j = 1, 2).
+... + n0 n
;
x
yn
(10)
Решение системы построим в виде обобщенного степенного ряда двух
переменных по убывающим степеням независимых переменных
ρ
σ
ρ
σ
(j)
ϕ (ρ,
: 00
Z = xρ · y σ ·
∞
X
µ, ν=0
Bµ, ν · x−µ · y −ν
(B0,0 6= 0),
(11)
где ρ, σ и Bµ, ν (µ, ν = 0, 1, 2, . . .) – неизвестные постоянные. Неизвестные показатели ρ и σ находятся из системы определяющих уравнений
(j)
(j)
ϕ00 (ρ, σ) = f00 (ρ, σ) = 0.
(12)
Нетрудно заметить, что в этом случае системы определяющих уравнений относительно особенностей (0, 0) и (∞, ∞) совпадают. Отсюда
определяются четыре пары корней (ρk , σk ) (k = 1, 2, 3, 4). Однако, решения находятся в виде (11). Неизвестные коэффициенты Bµ, ν (µ, ν =
= 0, 1, 2, . . .) определяются из следующей системы рекуррентных уравнений
m,n
X
(j)
(13)
m−µ, n−ν · ϕµ, ν (ρ − m + µ, σ − n + ν) = 0,
µ, ν=0
(m, n = 0, 1, 2, . . . ; j = 1, 2; m − µ > 0, n − ν > 0).
Теорема 2. Для существования решения вида (11) вблизи особенности (∞, ∞), необходимо, чтобы пара (ρ, σ) была решением системы определяющих уравнений вида (7) относительно особенности
(∞, ∞).
4
Сходимость ряда (11) также доказывается методом Горна.
Особые кривые определяемые линиями второго порядка.
Регулярные решения, когда коэффициенты многочлены двух
переменных.
Постановка задачи. Изучается регулярная система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
8
<
:
x2 · p0 (x, y) · Zxx + y · p1 (x, y) · Zy + p2 (x, y) · Z = 0,
y 2 · g0 (x, y) · Zyy + x · g1 (x, y) · Zx + g2 (x, y) · Z = 0,
(14)
где pi = pi (x, y) и gi = gi (x, y) (i = 0, 1, 2) полиномы двух переменных
второй степени
pi (x, y) =
gi (x, y) =
2
P
m, n=0
2
P
m, n=0
(i)
m
n
a(i)
m, n · x · y ,
(a00 6= 0),
b(i)
m, n
(i)
(b00
m
n
·x ·y ,
6= 0; i = 0, 1, 2).
(15)
Требуется изучить возможности установления основных особых кривых, регулярность и иррегулярность их и построить вблизи этих особенностей соответствующие им регулярные, а также иррегулярные решения.
Допустим, что система (14) с коэффициентами вида (15) совместная. Приравнивая к нулю коэффициенты при вторых частных производных Zxx и Zyy , то есть полагая x2 · p0 (x, y) = 0 и y 2 · g0 (x, y) = 0,
для определения особых кривых в раскрытом виде получим следующую систему уравнений
8
>
<

(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
x a00 + a10 · x + a01 · y + a11 · xy + a20

(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
>
: y2 b
00 + b10 · x + b01 · y + b11 · xy + b20 ·
2
‹
(0)
· x + a02 · y 2 = 0,
‹
(0)
2
2
x + b02 · y = 0.
2
(16)
Переходим к изучению различных частных случаев системы (16), по(0)
(0)
лучающихся приравниванием к нулю постоянных aij и bij (i, j =
= 0, 1, 2). Они позволяют определить все возможные особенности системы (14) с коэффициентами (15).
I. При
8
< x2 = 0,
: y2 = 0
система (14)–(15) имеет особенность (x = 0; y = 0), т. е. (0; 0).
5
Опираясь на результаты предыдущего пункта, сделаем следующие
выводы:
Из системы характеристических функций
ρ
σ
ρ
σ
§
(j)
(j)
(j)
Lj [x · y ] ≡ x · y · f00 (ρ, σ) + f10 (ρ, σ) · x + f01 (ρ, σ) · y+
(j)
(j)
(j)
+f11 (ρ, σ) · xy + +f20 (ρ, σ) · x2 + f02 (ρ, σ) · y 2
ª
(j = 1, 2),
получим систему определяющих уравнений относительно особенности
(0; 0), которую запишем в виде (7). Вблизи этой особенности решение
находится в виде обобщенного степенного ряда двух переменных (6).
(0)
(0)
Если a00 6= 0 и b00 6= 0, то особенность (0; 0) регулярная, а ряд (6)
является сходящимся.
Важным моментом является установление регулярности и иррегулярности особых кривых.
Классификация регулярности и иррегулярности особых
кривых.
II. Пусть система (16) представлена в следующем виде
8
>
<

‹
(0)
(0)
x a00 + a10 · x

‹
(0)
(0)
>
: y2 b
00 + b01 · y
2
= 0,
(17)
= 0.
В качестве примера системы с приведенной особенностью рассмотрим
простую систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
8
>
<
>
:

(0)
(0)
‹

(1)
‹
(1)

(2)
(2)
‹
x2 a00 + a10 x · Zxx + y a00 + a10 x · Zy + a00 + a10 x · Z = 0,
y
2

(0)
b00
+
(0)
b01 y
‹
(1)
b00
(0)
(0)
+
(1)
b01 y
‹
‹ 
· Zx +

(2)
b00
(0)
(0)
‹
+
(2)
b01 y
‹
· Z = 0.
(18)
(i) (i) (i)
(i)
с постоянными коэффициентами a00 , a10 , b00 и b01 (i = 0, 1, 2).
В этом случае, первое уравнение системы (18) имеет особенности:
(0) (0)
(0) (0)
x = 0, x = −a00 /a10, x = ∞, а второе
уравнение‹ –y = 0, y = −b00 /b01 ‹,
‹ 
(0) (0)
(0) (0)
(0) (0)
(0) (0)
y = ∞. Пары (0; 0), 0; −b00 /b01 , −a00 /a10 ; 0 , −a00 /a10 ; −b00 /b01 ,

· Zyy + x

(0; ∞), (∞; 0), −a00 /a10 ; ∞ , ∞; −b00 /b01 , (∞; ∞) составляют особенности системы (18). Легко заметить, что особенностями системы
(18) является (17). Для такой системы Ж.Н. Тасмамбетовым установлен простой признак классификации особенностей [7, с.13].
(0)
(0)
Правило 1. Если a00 6= 0 и b00 6= 0, то особенность (0; 0) для системы (18) является регулярной и она имеет регулярное решение вида
(6).
6
(0)
(0)
Если a00 = 0 и b00 = 0, то особенность (0; 0) является иррегулярной, а система (14) имеет нормально-регулярное решение вида
∞
X
Z = exp Q(x, y) · xρ · y σ ·
m, n=0
Am, n · xm · y n (A0, 0 6= 0),
(19)
(ρ, σ, Am, n (m, n = 0, 1, 2, . . .) – неизвестные постоянные); Q(x, y) –
многочлен двух переменных:
Q(x, y) =
αp 0 p α0p p
·x +
· y + . . . + α11 · xy + α10 · x + α01 · y
p
p
(20)
с неизвестными коэффициентами αp 0 , α0p , . . . , α11 , α10 и α01 .
(0)
(0)
Правило 2. Если a10 6= 0 и b01 6= 0, то особенность (∞; ∞) для
системы (18) является регулярной и она имеет регулярное решение
вида (11).
(0)
(0)
Если a10 = 0 и b01 = 0, то изучаемая система имеет иррегулярную
особенность (∞; ∞), а ее решение представляется в виде нормального
ряда
∞
X
Z = exp Q(x, y) · xρ · y σ ·
m, n=0
Bm, n · x−m · y −n (B0, 0 6= 0),
(21)
(ρ, σ, Bm, n (m, n = 0, 1, 2, . . .) – неизвестные постоянные). Q(x, y)
– многочлен в решениях (19) и (21) одинаковый. Степень его равна
рангу системы.
Остальные особенности с помощью преобразования можно привести к этим двум случаям, поэтому их отдельно рассматривать не будем.
Все системы Горна [6, с.27] имеют особенности вышеприведенного
вида, то есть рассуждения этого пункта справедливы и для наиболее
общих случаев таких систем.
Определим систему характеристических функций
§
(1)
(1)
ª
L1 [xρ · y σ ] ≡ xρ · y σ · f00 (ρ, σ) + f10 (ρ, σ) · x ,
ρ
σ
ρ
σ
L2 [x · y ] ≡ x · y ·
§
(2)
f00 (ρ,
σ) +
(1)
f01 (ρ,
ª
σ) · y .
(22)
Из нее система определяющих уравнений относительно особенности
(0; 0) находится в виде (7).
7
Из (22) получим систему
¨
(1)
f10 (ρ,
(1)
«
(2)
«
σ) +
f00 (ρ, σ)
x
L2 [xρ y σ ] ≡ xρ y σ+1 f01 (ρ, σ) +
f00 (ρ, σ)
y
ρ σ
L1 [x y ] ≡ x
ρ+1 σ
y
¨
(1)
¨
(1)
ϕ00 (ρ,
(1)
«
(2)
«
σ) +
ϕ10 (ρ, σ)
x
= xρ y σ+1 ϕ00 (ρ, σ) +
ϕ01 (ρ, σ)
y
=x
ρ+1 σ
y
¨
(2)
(23)
Отсюда заметим, что система определяющих уравнений относительно
особенности (∞; ∞) имеет вид
(1)
(1)
(0)
(1)
(2)
(2)
(2)
(0)
(1)
(2)
f10 (ρ, σ) = ϕ00 (ρ, σ) = a10 · ρ · (ρ − 1) + a10 · σ + a10 = 0,
f01 (ρ, σ) = ϕ00 (ρ, σ) = b01 · σ · (σ − 1) + b01 · ρ + b01 = 0.
(24)
В этом случае одновременно можно построить решения (6) и (11), если особенности регулярные. В противном случае существуют решения
вида (19) и (21). Однако, построение нормально-регулярного решения
(19) и нормального решения (21) требует дополнительных исследований.
Пример 1. Система вида
8
<
:
x2 · Zxx − 3 · y · Zy + 4 · Z = 0,
y 2 · Zyy − 3 · x · Zx + 4 · Z = 0
(25)
называется системой типа Эйлера. Найдем решения системы (25). Система характеристических функций имеет вид
L1 [xρ · y σ ] ≡ xρ · y σ · {ρ · (ρ − 1) − 3 · σ + 4} ,
L2 [xρ · y σ ] ≡ xρ · y σ {σ · (σ − 1) − 3 · ρ + 4} .
Для системы (25) системы определяющих уравнений относительно особенностей (0; 0) и (∞; ∞) совпадают:
8
>
<
>
:
(1)
(1)
(2)
(2)
ϕ00 (ρ, σ) ≡ f00 (ρ, σ) ≡ ρ · (ρ − 1) − 3σ + 4 = 0,
ϕ00 (ρ, σ) ≡ f00 (ρ, σ) ≡ σ · (σ − 1) − 3ρ + 4 = 0.
Эта система имеет двукратный корень (ρ1,2 = 2; σ1,2 = 2) и комплексный сопряженный корень (ρ3,4 = −1 ± 3 · i; σ3,4 = −1 ± 3 · i). Запишем
решения, соответствующие действительным корням:
Z1 (x, y) = x2 · y 2 ,
Z2 (x, y) = x2 · y 2 · ln x · ln y.
Проверка показывает, что решение Z2 (x, y) удовлетворяет системе только при положительных значениях x = y (x > 0, y > 0). Первое решение особенностей не имеет.
8
,
.
Линии второго порядка как особые кривые изучаемых систем.
III. Наиболее общий случай, когда особые кривые определяются в
виде кривых второго порядка. В этом случае, изучение особых кривых
и построение решений вблизи этих особенностей намного усложняется.
Доказательство совместности систем также вызывает затруднения.
Итак, вернемся к системе (14) с коэффициентами вида (15). Особые
кривые системы (14)–(15) находятся из общей системы (16).
Теперь переходим к рассмотрению различных частных случаев системы (16).
1. При
8
<
:
x2 = 0,
y2 = 0
особенность
(x = 0; y = 0).
Как и в предыдущих случаях, из системы характеристических функций
ρ
σ
ρ
σ
§
(j)
(j)
(j)
Lj [x · y ] ≡ x · y · f00 (ρ, σ) + f10 (ρ, σ) · x + f01 (ρ, σ) · y+
(j)
(j)
ª
(j)
+ f11 (ρ, σ) · xy + f20 (ρ, σ) · x2 + f02 (ρ, σ) · y 2 (j = 1, 2).
(26)
определяется система определяющих уравнений относительно особенности (0; 0). Вблизи этой особенности решение имеет вид (6). В данном
случае определение системы определяющих уравнений относительно
особенности (∞; ∞) невозможно. Поэтому, решение вида (11) вблизи
этой особенности невозможно построить.
(0)
(0)
Если a00 6= 0 и b00 6= 0, то особенность (0; 0) регулярная. Сходимость ряда (6) доказывается методом Горна. Заранее допускаем, что
система совместная. При построении конкретных примеров следует
удовлетворить все условия совместности [8, с.15].
2. В случае
8
<
:
x2 = 0,
g0 (x, y) = 0,
иначе
8
<
x = 0,
(0)
:
(0)
(0)
g0 (x, y) = b00 + b01 · y + b02 · y 2 = 0
(27)
особенности системы (14)–(15) определяются в зависимости от того,
будет ли дискриминант D второго уравнения (27): D = 0, D > 0 или
D < 0.

‹
(0)
а) Действительно, если D = 0, то особенность x = 0; y = −b01 /2
– кратная.
9
б) Если D > 0, то особенностями системы (14)-(15) будут:
…
√  …
√ 
(0)
(0)
−b01 + D
−b01 − D
x = 0; y =
, x = 0; y =
.
(0)
(0)
2 · b02
2 · b02
в) При D < 0, первое уравнение системы (14)-(15) имеет особенность x = 0, а второе уравнение не имеет особенностей в действительной области.
3. Следующий случай
8
<
:
p0 (x, y) = 0,
y2 = 0
иначе
8
<
:
(0)
(0)
(0)
p0 (x, y) = a00 + a10 · x + a20 · x2 = 0,
y=0
рассматривается аналогично предыдущему
случаю: ‹

(0)
а) если D = 0, то особенность x = −a10 /2; y = 0 – кратная.
б) Если D > 0, то особенностями системы (14)-(15) будут:
…
 …

√
√
(0)
(0)
−a10 + D
−a10 − D
x=
; y=0 , x=
; y=0 .
(0)
(0)
2 · a20
2 · a20
в) Если D < 0, первое уравнение системы (14)-(15) особенностей
не имеет, а второе уравнение имеет особенность y = 0.
4. Более интересный случай получается при p0 (x, y) = 0 и g0 (x, y) =
= 0, т. е. тогда, когда совместно решаются два уравнения
8
>
<
>
:
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
a00 + a10 · x + a01 · y + a11 · xy + a20 · x2 + a02 · y 2 = 0,
(0)
(0)
(0)
(0)
b00 + b10 · x + b01 · y + b11 · xy + b20 · x2 + b02 · y 2 = 0
(28)
Известно, что каждое из уравнений (28) определяет пару прямых
или линий второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Особенностями являются также их пересечения. Поэтому, требуется определить
вид каждой из линий второго порядка, а также следует определить их
взаимное расположение.
Пример 2. Решением следующей системы Чебышева
00
(1 − x2 − y 2 ) · Pxx
− 2 · (α + 1) · x · Px + m · (m + 2α + 1) · P = 0,
2
00
00
00
(1 − x ) · Pxx − 2xy · Pxy
+ (1 − y 2 ) · Pyy
− (2α + 3) · x · Py0 −
− (2α + 3) · y · Py0 + n · (n + 2α + 2) · P = 0
(29)
10
являются ортогональные многочлены двух переменных Чебышева. Система (29) построена С.А. Агахановым [9, с.8] для одного класса весовых функций. Однако, метод построения ортогональных полиномов
двух переменных Агаханова не получил дальнейшего продолжения.
В настоящее время, распространена идея построения ортогональных многочленов двух переменных как решений допустимых уравнений в частных производных второго порядка [10, с.110]. В работах
Ж.Н. Тасмамбетова и Р.У. Жахиной они определяются как решения,
построенные ими, допустимых систем дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка [11, с.61].
Для построения решения системы (29) следует учитывать все особые кривые и их взаимное расположение. Приравнивая нулю коэффициенты при старших производных, получим особенности:
1) 1 − x2 − y 2 = 0 или x2 + y 2 = 1 – особенностью является окружность с радиусом единица.
2) 1 − x2 = 0 или x = ±1 – особенности прямые и параллельные
оси Oy.
3) x · y = 0 или x = 0, y = 0 – прямые и пересечение прямых.
4) 1 − y 2 = 0 или y = ±1 – прямые, параллельные оси Ox.
Объединим все особенности в одном рисунке. Отсюда видно, что пересечением особых линий являются точки: A(−1; 0), B(−1; 1), C(0; 1),
D(1; 1), E(1; 0), F (1; −1), K(0; −1), L(−1; −1), O(0; 0). Как подчеркнули раньше, именно, такие случаи остаются малоизученными. Именно,
возникают проблемы при построении решений в точках пересечения
или касания нескольких особых кривых.
Рисунок 1
В данной работе, больше обращено внимания на системы с регулярными особенностями, где ранг p 6 0 и антиранг m 6 0. Системы с
иррегулярными особенностями нуждаются в отдельном изучении ввиду своей сложности.
11
Список литературы
[1] Fuchs Lasar // Journal fur die reine und angewandte Math. 1873. Bd. 76. P. 177–213.
[2] Weierstrass Karl // Berl. Abh. 1876. P. 11–60.
[3] Jhome L.W. // Journal fur die reine und angewandte Math. 1872. Vol. 74. P. 193–213.
[4] Латышева К. Я.,Терещенко Н.И. Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений и их приложения. Метод Фробениуса-Латышевой. Киев: Институт математики
АН УССР, 1970. 394 с.
[5] Poincare H. // Acta M. 1886. Vopl. 8. P. 295–344.
[6] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция,
функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 294 с.
[7] Тасмамбетов Ж.Н. Построение решения системы дифференциальных уравнений в частных
производных с регулярной особенностью обобщенным методом Фробениуса-Латышевой.
(Препр./ АН УССР. Институт математики: 91.29). Киев. 44 с.
[8] Wilczynski E.J. Projective differential Geometry of Curves and Ruled surfaces. Leipzig: Leubner,
1906. 120 p.
[9] Агаханов С.А. // Вестн. ЛГУ. 1965. №19. С. 5–10.
[10] Суетин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным, М.: Наука, 1988. 384 с.
[11] Жахина Р.У., Тасмамбетов Ж.Н. Конечные решения допустимых систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. // Математический журнал. 2010.
Т. 10, №3(37). С. 57–66.
12