На правах рукописи СЕРГЕЕВА Елена Константиновна АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ

На правах рукописи
СЕРГЕЕВА Елена Константиновна
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ РАЗВИТИЯ
ВЕТРОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Специальность 05.13.18 –- Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном
образовательном учреждении высшего профессионального образования
«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор
Гестрин Сергей Геннадьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор
Клинаев Юрий Васильевич
доктор физико-математических наук,
профессор
Андрейченко Дмитрий Константинович
Ведущая организация:
Институт проблем точной механики
и управления РАН
(ИПТМУ РАН, г. Саратов)
Защита состоится «16» марта 2012 г. в 13.00 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский
государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по
адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 319.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической
библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический
университет имени Гагарина Ю.А.»
Автореферат размещен на сайте ФГБОУ ВПО «Саратовский
государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»
www.sstu.ru « » февраля 2012 г.
Автореферат разослан «
Ученый секретарь
диссертационного совета
2
» февраля 2012 г.
Терентьев А.А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы.
Задача о генерации волновых возмущений сдвиговыми потоками
рассматривалась рядом авторов для описания широкого круга волновых
процессов, начиная от раскачки волн на поверхности океана и в атмосфере
Земли (J.W. Miles, L. Prandtl, О. Philips) и заканчивая образованием
колоссальных волновых структур, наблюдаемых в ряде астрофизических
объектов (кометных хвостах, выбросах из активных ядер галактик,
галактических дисках и т.д.) (T. Ray, A.I. Ershkovich, M. Birkinshow,
P.E. Hardee, B.D. Turland, В.М. Конторович, С.Г. Гестрин). С точки зрения
технических приложений к этому же кругу вопросов можно отнести и
проблему флаттера, состоящую в динамической потере устойчивости
аэроупругой, или гидроупругой системой (элементом конструкции
самолета: крылом, фюзеляжем, хвостовым оперением, обшивкой;
строительной конструкцией: мостом, плотиной, трубопроводом и т.д.) при
ее взаимодействии с дозвуковыми и сверхзвуковыми сдвиговыми
течениями (М.В. Келдыш, Т. Янг, Е. Доуэл, В.В. Веденеев).
Несмотря на явные различия физических свойств и масштабов
упомянутых объектов, связанные с ними волновые процессы можно
объяснить в рамках механизма ветровой неустойчивости. При развитии
ветровой неустойчивости в критическом слое сдвигового потока
происходит
усиление
волн
различной
физической
природы
(гравитационных, плазменных, магнитогидродинамических, упругих и
т.д.), существующих на границе тех или иных динамических систем.
Описание этого процесса является сложной математической задачей,
которая до настоящего времени решалась в основном аналитическими
методами лишь для некоторых частных случаев (J.W. Miles, О. Philips,
В.М. Конторович, С.Г. Гестрин). В этой связи весьма актуальными
являются построение и исследование обобщающей математической
модели ветровой неустойчивости, а также создание математического
обеспечения, позволяющего оценить все основные характерные параметры
ее развития: инкремент неустойчивости, длину волны и частоту наиболее
быстро растущего возмущения, найти положение критического слоя в
потоке, а также подобрать параметры конструкции, при которых влияние
на нее ветровой неустойчивости будет минимальным.
В частности, для исследования флаттера часто используется
натурный эксперимент, основанный на размещении модели объекта c
закрепленными на ней датчиками в аэродинамической трубе –
экспериментальной установке, разработанной для изучения эффектов,
возникающих при обтекании твердых тел (самолетов, автомобилей,
зданий, мостов и т.п.) воздушным потоком.
3
Зачастую такие исследования являются весьма затратными, а их
результаты – сложными для интерпретации.
В этой связи актуальным является проведение на основе
разработанной математической модели ветровой неустойчивости
вычислительного эксперимента, который дает возможность легко и быстро
менять условия его проведения, а также позволяет глубже вникнуть в
детали происходящих процессов.
Изложенное определило актуальность темы диссертации и ее цель.
Целью диссертационной работы является построение обобщающей
математической модели ветровой неустойчивости, аналитических и
численных методов ее исследования, а также разработка на их основе
проблемно-ориентированного комплекса программ, позволяющего
исследовать воздействие сдвиговых течений на аэроупругие и
гидроупругие системы.
Для достижения поставленной цели были поставлены и решены
следующие основные задачи:
1. Построение математической модели ветровой неустойчивости
аэроупругих и гидроупругих динамических систем в форме
дифференциальных уравнений и связанных с особенностями системы
граничных условий.
2. Разработка эффективных, аналитических и численных методов
исследования, лежащих в основе модели ветровой неустойчивости
дифференциальных
уравнений
второго
порядка,
содержащих
сингулярность, и являющихся аналогом уравнения Рэлея.
3. Создание комплекса программ, позволяющего определить
характеристики ветровой неустойчивости динамической системы для
различных значений параметров системы и при различных вариантах
внешнего воздействия.
Предметом и областью исследования является математическая
модель ветровой неустойчивости, а также приближенные аналитические и
качественные методы исследования этой модели; численные методы
решения дифференциальных уравнений, составляющих основу модели, а
также разработка на их основе комплекса проблемно-ориентированных
программ для проведения вычислительного эксперимента; комплексное
исследование с применением математического моделирования и
вычислительного эксперимента проблемы флаттера аэроупругих и
гидроупругих систем.
Методы исследований.
В диссертации использованы методы системного анализа,
приближенные аналитические и численные методы математического
моделирования, применяемые в электродинамике сплошных сред, теории
упругости, гидродинамике, физике плазмы, квантовой механике, метод
интегрального преобразования Фурье, аппарат специальных функций.
4
Достоверность
полученных
результатов
определяется
корректностью применяемых методов системного анализа и постановки
решаемых задач, применением классических математических методов,
определением границ применимости моделей по различным параметрам,
совпадением с известными теоретическими результатами для предельных
случаев, близостью результатов вычислительного и натурного
экспериментов для тех ситуаций, когда возможно сравнение.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Впервые предложена и исследована обобщающая математическая
модель волновых процессов в различных по своим свойствам и масштабам
физических системах, позволяющая объяснить их с единой точки зрения,
как результат развития ветровой неустойчивости. Наличие максимума
инкремента ветровой неустойчивости естественным образом приводит к
наличию
выделенного
масштаба
наблюдаемых
возмущений.
Теоретический интерес представляют применявшиеся в работе
качественные и приближенные аналитические, а также численные методы
исследования модели ветровой неустойчивости.
Практическая значимость связана с созданием проблемноориентированного комплекса программ «Определение параметров
ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем».
Вычислительные эксперименты, основанные на использовании данного
комплекса, позволяют по известным параметрам системы и
взаимодействующего с ней потока определить основные параметры
возникающего в этих системах флаттера, а также выдать рекомендации по
оптимальному подбору параметров, при которых инкремент ветровой
неустойчивости будет малым по сравнению с вещественной частью
частоты колебаний и, следовательно, ее влияние на систему станет
незначительным.
Научная новизна работы:
1.
Впервые
предложена
обобщающая
модель
ветровой
неустойчивости, позволяющая объяснить возникновение волновых
структур в системах, имеющих различную физическую природу и
масштабы: волны на поверхности океана и в атмосфере Земли; волновые
структуры, наблюдаемые в астрофизических объектах; различные
варианты флаттера, возникающие при контакте аэроупругих и
гидроупругих систем со сдвиговыми потоками.
2. Впервые разработаны новые аналитические и численные методы
анализа дифференциальных уравнений, составляющих основу модели
ветровой неустойчивости. Данные методы позволяют исследовать
дифференциальные уравнения типа уравнения Рэлея, содержащие
сингулярность.
3. На основе обобщающей математической модели и предложенных
аналитических и численных методов, разработан алгоритм и создан
5
комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий по
известным параметрам динамической системы и воздействующего на нее
течения определять характерные параметры ветровой неустойчивости:
инкремент, частоту и длину наиболее быстро растущего возмущения,
положение резонансного слоя в потоке. Получаемые на основе
вычислительного эксперимента результаты позволяют сделать заключение
о значениях параметров, характеризующих
аэроупругую или
гидроупругую систему, при которых влияние на нее ветровой
неустойчивости будет минимальным. Таким образом, решена прямая и
обратная задача математического моделирования панельного флаттера.
4. На основе анализа инкремента ветровой неустойчивости показано,
что неустойчивость имеет место при всех значениях скорости потока, хотя
при скоростях, превышающих скорость звука в газе, происходит
стабилизация длинноволновых возмущений, распространяющихся вдоль
потока.
5. Показано, что усиление изгибных волн в пластине происходит в
критическом слое контактирующего с ней сдвигового потока, где его
скорость близка к фазовой скорости волны. Инкремент ветровой
неустойчивости при малых волновых числах растет степенным образом, а
при больших убывает по экспоненциальному закону, что приводит к
максимуму, с которым и связано наличие выделенного масштаба
возмущений.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Обобщающая модель, основанная на дифференциальных
уравнениях и связанных с ними граничных условиях, описывающих
резонансное взаимодействие поверхностных волн со сдвиговым течением,
позволяет
исследовать начальную
стадию
развития
ветровой
неустойчивости в динамических системах.
2. Приближенный аналитический метод, предусматривающий
совместное интегрирование исходного и сопряженного с ним
дифференциального уравнения, позволяет исследовать дифференциальные
уравнения с сингулярностью типа уравнения Рэлея, составляющие основу
модели.
3. Численный метод, основанный на совместном использовании
метода Рунге-Кутты и метода бисекции, алгоритм которого основан на
поэтапной корректировке одного из граничных условий, позволяет найти
решение уравнения Рэлея на отрезке, содержащем сингулярность.
4. Разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ
«Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и
гидроупругих систем», реализующих предложенные методы для
получения основных характеристик ветровой неустойчивости и
возникающих вследствие ее развития волновых структур, позволяет
6
выдать рекомендации по оптимальному подбору параметров системы, при
которых влияние флаттера на нее будет минимальным.
5. Ветровая неустойчивость имеет место при всех значениях
скорости потока газа, хотя при скоростях, превосходящих скорость звука в
газе, происходит стабилизация длинноволновых возмущений, бегущих
вдоль потока.
6. С ростом скорости течения газа и приближением ее к скорости
звука в потоке происходит смещение максимума инкремента ветровой
неустойчивости в область более коротких волн.
7. С ростом кривизны профиля скорости в резонансном слое
происходит изменение в поведении решения уравнения Рэлея. Убывающее
с удалением от пластины решение, описывающее поверхностную волну,
сменяется решением, нарастающим вплоть до резонансного слоя, после
перехода, через который начинается спад.
Апробация работы.
По основным результатам работы сделано 19 докладов на 12
международных, всероссийских, региональных и внутривузовских
конференциях:
 Молодежной научной конференции «Молодые ученые – науке и
производству» (Саратов, июнь 2008);
 Международной научно-практической конференции «Интернет и
инновации: практические вопросы информационного обеспечения
инновационной деятельности» (Саратов, ноябрь 2008);
 II Международной научно-практической конференции «Молодежь
и наука: реальность и будущее» (Невинномысск, март 2009);
 Пятнадцатой Всероссийской научной конференции студентовфизиков и молодых ученых «ВНКСФ-15» (Кемерово – Томск, март-апрель
2009);
 Региональной научно-практической конференции студентов,
аспирантов и молодых ученых «Молодежь и научно-технический
прогресс» (Владивосток, апрель-май 2009);
 XXII Международной научной конференции «Математические
методы в технике и технологиях – ММТТ-22» (Псков, май 2009);
 XVII Международной молодежной научной конференции «XVII
Туполевские чтения» (Казань, май 2009) (награждена дипломом I степени
за высокий научный уровень представленного доклада);
 Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых
«Инновации и актуальные проблемы техники и технологий» (Саратов,
сентябрь 2009);
 Второй международной научно-практической конференции
«Измерения в современном мире – 2009» (Санкт-Петербург, декабрь 2009);
7
 XXIII Международной научной конференции «Математические
методы в технике и технологиях – ММТТ-23» (Саратов, июнь 2010);
 XXIV Международной научной конференции «Математические
методы в технике и технологиях – ММТТ-24» (Киев, май-июнь 2011);
 II Международной научной конференции «Проблемы управления,
передачи и обработки информации – АТМ-2011» (Саратов, октябрь 2011);
 на научных семинарах кафедры «Физика» ФГБОУ ВПО
«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина
Ю.А.».
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 26 работ (5 статей в журналах,
рекомендованных ВАК РФ, 2 статьи в иностранных изданиях, 18 статей в
научных сборниках). Имеется свидетельство о государственной
регистрации программы для ЭВМ №2012610990 от 24 января 2012 г.
Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка
использованной литературы и приложения. Работа содержит 136
страницы, включая 42 рисунка, библиографический список из 120
наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении показано современное состояние решаемой проблемы,
обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы,
определены основные задачи исследования, обоснованы новизна
полученных результатов, научная и практическая ценность работы,
названы методы исследований, приведены сведения об апробации работы
и структуре диссертации, сформулированы выносимые на защиту
результаты и положения.
В первой главе рассмотрены основные известные механизмы
генерации волновых возмущений сдвиговым потоком. К ним относятся
неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (КГ), имеющая место при наличии
в движущейся среде тангенциального разрыва скорости, и ветровая
неустойчивость (ВН), возникающая при наличии течения с профилем
скорости U  y  .
Механизм неустойчивости КГ многократно применялся для
объяснения волновых процессов в различных физических системах
(T. Ray, A.I. Ershkovich, M. Birkinshow, P.E. Hardee, B.D. Turland): волны на
поверхности
океана,
разнообразные
волновые
структуры
в
астрофизических объектах; рассматривался и как возможная причина
возникновения флаттера в технических приложениях. Основной
8
сложностью при этом является то, что при развитии неустойчивости КГ
преимущественно нарастают коротковолновые возмущения, длина волны
которых существенно меньше масштаба реально наблюдаемых волновых
структур.
Как было показано в ряде работ (J.W. Miles, O. Philips,
В.М. Конторович, С.Г. Гестрин), механизм ВН лучше подходит для
описания данных явлений. При развитии ВН резонансное усиление
поверхностных волн происходит в критическом слое сдвигового потока,
где его скорость близка к фазовой скорости поверхностной волны:
U 0  y c    k , что приводит к росту длинноволновых возмущений,
сопоставимых по масштабу с возмущениями, в перечисленных выше
динамических системах.
Во второй главе предложенный подход применяется к физическим
объектам, имеющим различную физическую природу, что позволяет
создать обобщающую модель ВН. Действительно, для всех перечисленных
во введении динамических систем удается выделить волновую подсистему,
взаимодействие которой с окружающей средой и приводит к развитию ВН.
При этом природа и геометрия волн, образующих данную подсистему,
определяется конкретными физическими свойствами рассматриваемого
объекта.
В работе изучалась начальная стадия развития ВН, на которой
взаимодействием между волнами можно пренебречь. Не учитывалось
также имеющее место в системе внутреннее трение.
Ниже рассматривается взаимодействие плоских упругих волн изгиба
тонкой пластинки с потоком сжимаемого газа (сама пластинка при этом
может являться частью более сложной аэроупругой системы).
Предполагалось,
что
пластинка
имеет
толщину h , плотность
1
и
расположена
перпендикулярно к оси
oy (рис. 1). Граница
между пластинкой и
газом
совпадает
с
плоскостью xz. Газ
плотности  2 занимает
y  0,
область
где
движется со скоростью

U 0  y  и область y  h , Рис. 1. Резонансное взаимодействие волн изгиба тонкой
пластины со сдвиговым течением
в которой покоится.
9
Возмущенные величины в потоке и пластине ищем в виде бегущих
волн  exp ik x x  k z z  t  . Математическую основу модели ВН
составляет уравнение Рэлея для компоненты скорости v y при y  0 :


2
2k x2 U 0  y    U 0  y 
kx 
U 0 y 
 U 0  y k x 

2

    y   0, (1)
v y 
v y  v y
 2
2
2


c  y
U 0  y     i
 c  y  
k

x

где малая добавка   0 определяет правило Ландау-Линя обхода особой
точки,  2  z  – поперечное волновое число в сжимаемой среде.
Совместно с уравнением Рэлея рассматриваем уравнение,
описывающее колебания пластинки:
 2
  4  4 
(2)
 1 h 2   D 4  4   p( x, y  0, z; t )  p( x, y  h, z; t ) ,
t
z 
 x
где  – вертикальное смещение точек пластины, D – жесткость на изгиб
пластины. При этом компоненты смещения этих точек в плоскости xz
являются величинами второго порядка малости по сравнению с  и потому
полагаются равными 0; D  Eh 3 121   02  , где Е – модуль Юнга,  0 –
коэффициент Пуассона. В правую часть (2) добавлена разность давлений газа
p  exp i(k x x  k y y  t ) на противоположные поверхности пластины.
Различные монохроматические волны, являющиеся элементами
подсистемы, одновременно распространяются в одной и той же среде.
Для аэроупругих и гидроупругих систем это – плоские упругие
волны изгиба  exp ikx  t  , для волн на поверхности океана –
поверхностные гравитационные волны  exp ikx  t  , для кометных
хвостов и выбросов из активных ядер галактик – винтовые
магнитогидродинамические и плазменные волны  exp ikx  m  t 
( m  0,1,2...  азимутальное число), для дисков галактик – волны плотности
 exp ikr  n  t  , образующие спиральный узор ( n  число рукавов в
спиральном узоре).
Следует отметить, что природа самого течения, взаимодействующего
с динамической системой, может быть различной. Для аэроупругих и
гидроупругих систем это – поток газа или жидкости, для кометных хвостов –
замагниченной плазмы солнечного ветра, для дисков галактик –
межзвездной среды и т.д.
Из (2) находим дисперсионное уравнение, позволяющее определить
12
12 12
2
частоту  R  D 1 h  k и инкремент   Im   волн изгиба:


1  k U   R 0 
  2 x 0
2 1
h R 0
2
10
 2 k xU 0   R 0 2 
v
 k 
 Im y  .
2
c
 v y   y 0 


1
(3)
Здесь с  скорость звука, k 2  k x2  k z2 . Для простоты введены
обозначения: U 0 (0)  U 0 , U 0 0   U 0 . Входящая в (3) Imv y v y ( y  0 ) должна
быть определена из уравнения Рэлея. Заметим, что независимо от
конкретных свойств динамической системы, в которой развивается ВН, ее
инкремент определяется именно этой величиной.
В работе предложен приближенный аналитический метод
исследования дифференциальных уравнений с сингулярностью типа
уравнения Рэлея, предусматривающий совместное исследование исходного
и сопряженного с ним дифференциального уравнения. В результате их
совместного интегрирования с учетом вклада полюса найдено:
 v y 
U  y   v y  y c Y  y c  
.
(4)
Im    0 c Re








v
U
y
v
0
Y
0
0
ñ
 y  y 0
 y

где Y  yC   решение сопряженного уравнения в резонансной точке.
Вдали от точки поворота y 0 , определяемой равенством  2  y0   0 ,
из (4) используя метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна, находим
k xU 0  y    2
 0
 2
1
2
2
2
v y  yc   Y  yc     yc  exp    s ds  ,   y   k x  k z 
. (5)
2
c
 y

Неустойчивость имеет место, если выполняется условие U  y c   0 ,
т.к. при этом  k   0 . Анализ выражения для инкремента  позволяет
сделать вывод, что неустойчивыми являются возмущения, для которых
c
1
2
1
k
c
D 2
k
c



cos




.
(6)
1
1
1
1
U
U
U
2
2 U0
2
2
0
0
0
1 h
1 h
Как следует из (6), неустойчивость имеет место при всех значениях
U 0 , хотя при U 0  c происходит стабилизация длинноволновых

возмущений, бегущих вдоль U 0  y  . Короткие волны k  c11 2 h1 2 D 1 2 ,

распространяющиеся перпендикулярно к U 0  y  , устойчивы при любых
значениях U 0 .
Заметим, что при получении  , весьма чувствительная к наличию
резонансного взаимодействия величина Imv y v y ( y  0 ) выражена через
D
величину v y  yc  / v y 0, которая определяется лишь достаточно грубо
выражением (5). Чтобы уточнить решение уравнения Рэлея в резонансной
точке, в работе предложен численный метод, основанный на методе Рунге –
Кутты и методе бисекции. Используя уравнение Рэлея и записывая его
при c   в виде эквивалентной системы двух уравнений первого порядка

для функций w1  vy  y  vy 0 , w2  v y  y  v y 0 ; получим
11
w1  w2,

 w10  1
U  y 

(7)
 0 c ,

 .
w2  w1   k 2  ,





U
y
w
2
0




0
c

 y  yc


Граничное условие w10  1 является очевидным, в то время как
w20 не определено. В дальнейшем будем искать решение системы (7) на
отрезке  y1, y 2 , где y 2  0. Потребуем также выполнения условия
w1 y1  0 . Физически оно означает, что на расстоянии y1 от
колеблющейся пластины находится твердая стенка, на поверхности
которой нормальная к ней компонента скорости v y  y1  0 . Значение w20
должно быть подобрано таким образом, чтобы v y  y1  0 .
Для примера приведем результаты в случае y1  7 м, k  1,5 м-1,
  0,05 м-1, yc  1м. Для начала в качестве пробного значения возьмем
w20  1 . При отсутствии резонансного слагаемого в уравнении Рэлея
  0 , из условия w20  1 следует, что решение представляет собой при
y  0 одну лишь затухающую с удалением от пластины экспоненту
v y  y   v y 0expky .
С появлением резонансного слагаемого   0 появляется примесь
также нарастающего решения. На рис. 2а-е приведен результат поэтапной
корректировки граничного условия w20 . В виде сплошной линии
представлена зависимость w1 y  , линия из точек – w2 y  , пунктирная
линия –- v  exp 1,5 y  . Для расчетов использовался метод Рунге-Кутты
четвертого порядка с постоянным шагом на сетке из 30000
равноотстоящих узлов.
Реализуем алгоритм, блок-схема которого представлена на рис. 3. В
качестве первого пробного значения полагаем w20  1 и получаем
решение системы (7) по методу Рунге-Кутты (рис. 2а). Обращаем
внимание на знак решения в точке y1  7 м. Для изменения w20 задаем
некоторый шаг h , например, w0  h  0,5 . Снова ищем решение (7) уже
для нового значения w20  1  0,5  1,5 (рис. 2.б).
Если знак решения в точке y1  7 м не изменился, то сдвигаемся
еще на один шаг h вправо, при этом новое значение w20  2 , если же
знак изменился, то делим шаг h 2 пополам, сдвигаемся влево и ищем
решение для w20  1,5  0,25  1,25 (рис. 2в). При этом новый шаг
w0  0,25 . Продолжаем эту процедуру, смещаясь при изменении знака
решения, в точке y1  7 м на полшага назад. В случае, если знак решения
не изменяется, – на полшага вперед (рис. 2г, д) и т.д. На рис. 2е приведен
результат на 16-м этапе.
12
а
б
в
г
д
е
-1
Рис. 2. Расчетные кривые при   0,05 м , y (м), w2 (м-1),
а) w20  1 ; б) w20  1,5 ; в) w20  1,25 ;
г) w20  1,375 ; д) w20  1,4375 ; е) w20  1,4700938
13
Рис. 3. Блок-схема алгоритма численного метода,
основанного на методе Рунге – Кутты и методе бисекции
14
Видно, что в точке y1  7 м значение функции w1 7  0,0625 уже
совсем мало отличается от 0 . Продолжая выполнение данного алгоритма,
можно добиться того, чтобы условие w1 7  0 выполнялось с любой
наперед заданной степенью точности w1i  y1   .
Таким образом, предложенный численный метод, основанный на
методе Рунге-Кутты и методе бисекции, позволяет найти решение
уравнения Рэлея на отрезке, содержащем сингулярность.
В третьей главе приближенный аналитический метод исследования
модели ВН, разработанный во второй главе, применяется для исследования
взаимодействия плоских упругих волн изгиба в тонком стержне со
сдвиговым течением «мелкой воды» (сам стержень при этом может
являться частью более сложной гидроупругой системы).
В приближении «мелкой воды» роль звука выполняют длинные
гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью c  gh , где g –
ускорение свободного падения. Эта скорость выполняет в данной системе
ту же роль, что и скорость звука в газодинамике.
Предполагалось,
что
движение
жидкости происходит
вдоль
стержня,
ориентированного по
оси X и является
плоскопараллельным
(рис. 4). Стержень
имеет прямоугольное
поперечное сечение со
сторонами а и h1 ,
причем h1  a . С
Рис. 4. Взаимодействие волн изгиба со сдвиговым
двух сторон стержня
потоком «мелкой воды»
( y  0; y  h1 )
находится жидкость, равновесная глубина которой h2 . В дальнейшем для
простоты вычислений будем предполагать h2  а . Жидкость, находящаяся
при y  h1 , покоится, а занимающая полупространство  y  0  – движется

со скоростью U 0  y  .
Проведенные вычисления показывают, что уравнение Рэлея в этом
случае имеет вид, совпадающий с (3), однако на месте скорости звука
теперь будет находиться скорость длинных гравитационных волн.
При  2  1 получены приближенные значения вещественной
 R  E 12 1  h1 k 2 и мнимой частей частоты:
12
15
1  2 kU 0   R   2 kU 0   R  
 v y 
k 

(8)
 
Im
 v  .
2


y   y 0 
4 1
h1 R
c



Заметим, что структура выражения для инкремента ВН (8) совпадает
со структурой (3) с точностью до замены множителя 1 2 на 1 4 , а также
частоты колебаний пластины на частоту колебаний стержня. Сходство
выражений (3) и (8) указывает на единый характер созданной в работе
математической модели ВН, позволяющей по результатам ее рассмотрения
для одной системы без труда получать результаты для систем, имеющих
совершенно другую физическую природу.
Как показывают вычисления, инкремент ВН имеет максимум при
2
0
2k
 
yc k
1
2
U 0  y   U 0  yc 2
c2
1
dy  1.
(9)
Из (9) видно, что с ростом скорости течения происходит смещение
максимума инкремента ВН в область более коротких волн.
Для исследования свойств решений уравнения Рэлея, а также
определения точности приближенного аналитического метода применялся
созданный во второй главе численный метод.
На рис. 5 представлены окончательные результаты расчетов для
  0,7;0,3 м 1 . С увеличением значимости резонансного слагаемого
(ростом  ) отличие w1 y  от exp ky  становится более заметным, чем на
рис. 2е. С ростом кривизны профиля скорости в резонансном слое
происходит изменение в поведении решения уравнения Рэлея. Убывающее с
удалением от пластины решение, описывающее поверхностную волну
рис.5а, сменяется решением, нарастающим вплоть до резонансного слоя,
после перехода, через который начинается спад рис.5б. При этом
выделяемая в резонансном слое в единицу времени энергия становится
настолько большой, что волна в потоке теряет поверхностный характер, и
интенсивные колебания охватывают весь слой газа между пластиной и
резонансным слоем.
Из полученных численных результатов становятся очевидными
границы
применимости
предложенного
выше
приближенного
аналитического метода. Подстановка (5) в (4) допустима лишь в том
случае, если кривизна профиля скорости в резонансной точке не слишком
велика   0,1м 1 . Так, для   0,3 м 1 находим v yc  v0  0,553 , в то
время как сделанное выше модельное предположение о возможности
записи решения просто в виде затухающей с удалением от пластины
экспоненты дает v yc  v0  0,368 .
Подставляя в выражение для инкремента квадрат этой величины,
получаем ошибку  56% , в то время как для   0,2 м-1 ошибка составит
 35% , а при   0,05 м-1 лишь  10% .
16
Таким образом, предложенный численный метод позволяет
существенно уточнить оценку величины Imv y v y ( y  0 ) , а вместе с тем и
инкремента ВН, в особенности для   0,2 м-1, т.е. при значительной
кривизне профиля скорости в резонансном слое.
а
б
Рис. 5. Расчетные кривые при k  1м1 , y (м), w2 (м-1),
а)
  0,3 м 1 , w20  0,6437 ; б)   0,7 м 1 w20  1,0368
В заключении кратко сформулированы основные результаты
диссертационной работы, указаны возможные области их применения.
В приложении приведена информация о разработанном комплексе
проблемно-ориентированных
программ
«Определение
параметров
ветровой неустойчивости аэроупругих и гидроупругих систем».
Использовались среда программирования Microsoft Visual Studio, язык
программирования: С++. Данный комплекс реализует предложенные
математические методы для получения основных характеристик ВН.
Приведем результаты численного эксперимента для алюминиевой
пластинки толщиной h  0,01м , помещенной в воздушный поток. Для Al:
E  70ГПа,  0  0,34, 1  2,7  10 3 кг м 3 ; для воздуха:  2  1,293 кг м 3 ,
  0,15  10 4 м 2 с (   вязкость газа), c  340 м с .
Принимая ~  67 Н м 2 , ( ~  сила трения, действующая на единицу
площади поверхности пластинки), находим   ~   7,2 м с ,

2
  ~  2  пульсационная скорость турбулентного движения. Волновое
число наиболее быстро растущего возмущения
k max  13,61м 1
(  max  0,461 м ), а также положение резонансного слоя y c k max   0,037 м .
Фазовая
скорость
волн
изгиба
в
пластинке
1
 ф   R 0 k max  212,724 м с , частота  R 0  2895c , инкремент ветровой
17
неустойчивости  max  3,589c 1 . Расстояние до границы вязкого подслоя
y   30 /    6,249·10-5 м, значение скорости потока на его границе
U  y    97,946 м с .
Если
пластинка
имеет
конечный
размер
l   max  0,461м , то влияние на нее ВН будет минимальным.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ
1. Предложена обобщающая модель, позволяющая исследовать
начальную стадию развития ветровой неустойчивости в динамических
системах, основанная на дифференциальных уравнениях и связанных с
ними граничных условиях, описывающих резонансное взаимодействие
поверхностных волн со сдвиговым течением. Рассмотрение проведено на
примере панельного флаттера. Полученные результаты распространены на
динамические системы, имеющие разнообразную физическую природу, в
том числе: строительные конструкции (мосты, плотины), астрофизические
объекты (кометные хвосты, выбросы из ядер галактик), волны на
поверхности океана и т.п.
2. Разработан приближенный аналитический метод исследования
дифференциальных уравнений с сингулярностью типа уравнения Рэлея,
составляющих
основу
модели,
предусматривающий
совместное
интегрирование исходного и сопряженного с ним дифференциального
уравнения, а также использование метода Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна
для нахождения решения уравнения Рэлея вблизи резонансной точки.
3. Впервые разработан численный метод решения уравнения Рэлея,
алгоритм которого основан на совместном использовании метода Рунге –
Кутты и метода бисекции. Такой подход позволяет найти решение
рассматриваемой задачи на отрезке оси y , содержащем сингулярность в
точке
yc .
4. Предложен комплекс проблемно-ориентированных программ
«Определение параметров ветровой неустойчивости аэроупругих и
гидроупругих систем», реализующих предложенные методы для
получения основных характеристик ветровой неустойчивости и
возникающих вследствие ее развития волновых структур.
5. Показано, что ветровая неустойчивость имеет место при любых
значениях скорости потока, хотя при скоростях, превосходящих скорость
звука в газе, происходит стабилизация длинноволновых возмущений,
распространяющихся вдоль потока.
6. Показано, что с ростом скорости течения газа и приближением ее
к скорости звука в потоке происходит смещение максимума инкремента
ветровой неустойчивости в область более коротких волн.
7. Впервые установлено, что с ростом кривизны профиля скорости в
резонансном слое происходит изменение в поведении решения уравнения
18
Рэлея. Убывающее с удалением от пластины решение, описывающее
поверхностную волну, сменяется решением, нарастающим вплоть до
резонансного слоя, после перехода, через который начинается спад. При
этом выделяемая в резонансном слое в единицу времени энергия
становится настолько большой, что волна в потоке теряет поверхностный
характер, и интенсивные колебания охватывают весь слой газа между
пластиной и резонансным слоем.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень
периодических изданий ВАК РФ
1. Сергеева Е.К. Резонансное взаимодействие упругих колебаний
тонкой пластинки со сдвиговым сверхзвуковым течением / С.Г. Гестрин,
А.Н. Сальников, Е.К. Сергеева // Вестник СГТУ. 2008. № 4 (36). С. 7-16.
2. Сергеева Е.К. Математическое моделирование резонансного
взаимодействия упругих колебаний тонкого стержня со сдвиговым
течением «мелкой воды» / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.К. Сергеева,
Е.В. Щукина // Вестник СГТУ. 2009. № 3 (40). Вып. 1. С. 7-14.
3. Сергеева Е.К. Резонансное взаимодействие упругих колебаний
тонкого стержня со сдвиговым течением «мелкой воды» / С.Г. Гестрин,
А.Н. Сальников, Е.К. Сергеева // Известия вузов. Физика. 2010. Т. 53, № 1.
С. 28-33.
4. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость и резонансное
взаимодействие упругих колебаний тонкой пластинки со сверхзвуковым
газодинамическим потоком / С.Г. Гестрин, Е.К. Сергеева // Известия вузов.
Физика. 2011. Т. 54, № 3. С. 89-94.
5. Сергеева Е.К. Численный метод исследования дифференциального
уравнения Рэлея / С.Г. Гестрин, Е.К. Сергеева // Вестник СГТУ. 2011.
№ 4 (60). Вып. 2. С. 7-11.
Публикации в иностранных изданиях
6. Sergeeva E.K. Resonant interaction of elastic thin bar vibrations with a
shear shallow – water flow / S.G. Gestrin, A.N. Salnikov, E.K. Sergeeva //
Russian Physics Journal. 2010. Vol. 53, № 1. P. 29-34.
7. Sergeeva E.K. The wind instability and the resonant interaction of the
elastic vibration of a thin plate with a supersonic gas stream / S.G. Gestrin, E.K.
Sergeeva // Russian Physics Journal. 2011. Vol. 54, № 3. P. 364-369.
19
Публикации в других изданиях
8. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость и упругие колебания
тонкой пластинки (сверхзвуковой случай) / Е.К. Сергеева // Молодые
ученые – науке и производству: материалы конф. молодых ученых.
Саратов, 2008. С. 203-205.
9. Сергеева Е.К. Математическое моделирование сверхзвукового
полета (приближение «мелкой воды») / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников,
Е.К. Сергеева // Интернет и инновации: практические вопросы
информационного обеспечения инновационной деятельности: материалы
Междунар. науч.-практ. конф. Саратов, 2008. С. 43-48.
10. Сергеева Е.К. Математическое моделирование резонансного
взаимодействия упругих колебаний тонкой пластинки со сдвиговым
сверхзвуковым течением / Е.К. Сергеева, С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников //
Молодежь и наука: реальность и будущее: материалы II Междунар. науч.практ. конф. Невинномысск, 2009. Т. 8. С. 518-520.
11. Сергеева Е.К. Взаимодействие тонкой пластинки с
газодинамическим потоком / Е.К. Сергеева // ВНКСФ – 15: материалы
Пятнадцатой Всерос. науч. конф. студентов-физиков и молодых ученых.
Кемерово – Томск, 2009. С. 625-626.
12. Сергеева Е.К. Взаимодействие колебаний тонкого стержня с
потоком «мелкой воды» / Е.К. Сергеева, С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников //
ВНКСФ – 15: материалы Пятнадцатой Всерос. науч. конф. студентовфизиков и молодых ученых. Кемерово – Томск, 2009. С. 626-627.
13. Сергеева Е.К. Математическое моделирование ветровой
неустойчивости на «мелкой воде» / Е.К. Сергеева // Молодежь и научнотехнический прогресс: материалы регион. науч.-практ. конф. Ч. 2.
Владивосток, 2009. С. 37-40.
14. Сергеева Е.К. Математическое моделирование ветровой
неустойчивости изгибных колебаний пластины / Е.К. Сергеева,
С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Молодежь и научно-технический прогресс:
материалы регион. науч.-практ. конф. Ч. 2. Владивосток, 2009. С. 40-43.
15. Сергеева Е.К. Математическое моделирование «дозвукового» и
«сверхзвукового» течения «мелкой воды» / Е.К. Сергеева, С.Г. Гестрин,
А.Н.Сальников // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ22: материалы XXII Междунар. науч. конф. Псков, 2009. Т. 5. С. 66-69.
16. Сергеева Е.К. Математическое моделирование взаимодействия
течения газа с изгибными колебаниями пластины / Е.К. Сергеева,
С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Математические методы в технике и
технологиях – ММТТ-22: материалы XXII Междунар. науч. конф. Псков,
2009. Т. 8. С. 126-129.
17. Сергеева Е.К. Математическое моделирование «сверхзвукового»
течения газа / Е.К. Сергеева // Инновации и актуальные проблемы техники
и технологий: материалы Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых.
Саратов, 2009. Т. 1. С. 128-130.
20
18. Сергеева Е.К. Математическое моделирование ветровой
неустойчивости в приближении «мелкой воды» / Е.К. Сергеева //
Инновации и актуальные проблемы техники и технологий: материалы
Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых. Саратов, 2009. Т. 1. С. 130-131.
19. Сергеева Е.К. Дисперсионное уравнение и инкремент
неустойчивости для упругих колебаний пластины / Е.К. Сергеева,
С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Измерения в современном мире – 2009:
материалы Второй Междунар. науч.-практ. конф. СПб., 2009. С. 276-278.
20. Сергеева Е.К. Резонансное взаимодействие «сверхзвукового»
течения газа с пластиной / Е.К. Сергеева, С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников //
Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-23: материалы
XXIII Междунар. науч. конф. Саратов, 2010. Т. 5. С. 120.
21. Сергеева Е.К. Система дифференциальных уравнений,
описывающих взаимодействие «мелкой воды» со стержнем /
Е.К. Сергеева, С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Математические методы
в технике и технологиях – ММТТ-23: материалы XXIII Междунар. науч.
конф. Саратов, 2010. Т. 5. С. 120-121.
22. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость и резонансное
взаимодействие стержня с течением «мелкой воды» / Е.К. Сергеева,
С.Г. Гестрин // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ24: материалы XXIV Междунар. науч. конф.- Киев, 2011. Т. 1. С. 66-68.
23. Сергеева Е.К. Система дифференциальных уравнений,
описывающих взаимодействие тонкой пластины с газодинамическим
потоком / Е.К. Сергеева // Математические методы в технике и
технологиях – ММТТ-24: материалы XXIV Междунар. науч. конф. Киев,
2011. Т. 1. С. 87-88.
24. Сергеева Е.К. Ветровая неустойчивость как причина
возникновения панельного флаттера / Е.К. Сергеева, С.Г. Гестрин //
Проблемы управления, передачи и обработки информации – АТМ-2011:
материалы Междунар. науч. конф. Саратов, 2011. Т. 2. С. 34-36.
25. Сергеева Е.К. Моделирование панельного флаттера
взаимодействием стержня с «мелкой водой» / Е.К. Сергеева, С.Г. Гестрин //
Проблемы управления, передачи и обработки информации – АТМ-2011:
материалы Междунар. науч. конф. Саратов, 2011. Т. 2. С. 36-38.
Авторские документы
26. Сергеева Е.К. Определение параметров ветровой неустойчивости
аэроупругих и гидроупругих систем / С.Г. Гестрин, Е.К. Сергеева //
Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ
№2012610990. Зарегистрировано 24 января 2012 г.
21
Подписано в печать 06.02.12
Формат 6084 1/16
Бум. офсет.
Усл. печ. л. 1,0
Уч.-изд. л. 1,0
Тираж 100 экз.
Заказ 17
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Тел.: 24-95-70; 99-87-39, е-mail: izdat@sstu.ru
22
23
24