Куликов Е.А. Расчет сил глиссирующей пластины с добавлением

Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62-Механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
РАСЧЕТ СИЛ ГЛИССИРУЮЩЕЙ ПЛАСТИНЫ С ДОБАВЛЕНИЕМ
ИНТЕРЦЕПТОРА
Работа завершена:
“___”__________ 2015 г.
________________
(Е.А. Куликов)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
Доктор наук,
профессор кафедры аэрогидромеханики КФУ
“___”__________ 2015 г.
________________
(Д.В. Маклаков)
Заведующий кафедрой аэрогидромеханики КФУ
Док. физ.-мат. наук, профессор
“___”__________ 2015 г.
________________
(А.Г. Егоров)
Казань — 2015
Оглавление
1. Введение ...................................................................................................... 3
2.
Постановка задачи ...................................................................................... 4
3.
Нахождение пары функций
4.
Анализ .......................................................................................................... 8
𝑑𝑤
𝑑𝑡
и
𝑑𝑤
𝑉0 𝑑𝑧
. ...................................................... 5
4.1.
Найдем связь между 𝜑0 и h ................................................................. 8
4.2.
Уравнение для а .................................................................................... 8
4.3.
Определим образ точки M ................................................................... 9
4.4.
Вычисление Rx .................................................................................... 10
5.
Вычисление сил, действующих на крыло. ............................................. 11
6.
Результаты ................................................................................................. 14
7.
6.1.
Графики границ течения при различных k ...................................... 14
6.2.
Параметрические зависимости Сх(k), Сy(k) ..................................... 17
Заключение ................................................................................................ 22
2
1. Введение
Глиссированием называется такое движение тела по поверхности воды,
при котором основной поддерживающей силой является не гидростатическая
«архимедова» подъемная сила, а гидродинамическая подъемная сила,
вызываемая реакцией отбрасывания вниз воды. При движении глиссера
возникает гидродинамическая сила, компенсирующая часть силы тяжести и
вызывающая общее значительное всплытие судна. В результате уменьшается
площадь соприкосновения днища с водой, снижается вязкое сопротивление
за счет уменьшения смоченной поверхности и повышается скорость судна.
Такой тип судна очень чувствителен к нагрузке. Излишний вес может
привезти к тому, что судно не сможет выйти на режим глиссирования.
Силы,
нормальную
действующие
и
на
касательную
элемент
днища,
составляющую
можно
к
разложить
днищу.
на
Касательная
составляющая представляет собой силу трения воды о днище. Нормальная
составляющая зависит от распределения давления по днищу[3].
В настоящее время принцип глиссирования используется для движения
высокоскоростных судов сравнительно малого тоннажа, а также при взлете и
посадке гидросамолетов[1].
В настоящей работе я рассматриваю глиссирующую поверхность с
добавлением интерцептора, который должен увеличить подъемную силу. В
результате выход судна на глиссирование будет достигаться намного
быстрее.
Целью
работы
является
нахождение
влияния
интерцептора
на
подъемную силу и сопротивление.
Настоящая работа опирается на использовании метода параметризации
(метод
параметрических
плоскостей
плоскостей)[2].
3
или
метод
сопоставление
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о глиссировании пластины с интерцептором на
свободной поверхности идеальной, несжимаемой жидкости. Скорость
набегающего потока равняется V0. Длина омываемой части пластины
𝜋
равняется 𝑙. Длина интерцептора 𝑙1 . Угол атаки 𝛼 ∈ (0, ). Поток разделяется
2
в точке А. Ширина струйки слева на бесконечности h. Начало координат
будет проходить в точке B соединения пластинки с интерцептором Рис.1.
Рис.1. Физическая плоскость.
Жидкость предполагается идеальной и несжимаемой.[4] Течение
безвихревым.[5]
На
свободных
поверхностях
(струи)
давление
предполагается постоянным.
Заметим, что задача о глиссировании является типичной задачей
теории струй, для которой следовало ожидать хорошего согласования теории
с экспериментом, так как свободные поверхности струй представляют собой
неразмываемые границы между водой и почти в восемьсот раз менее
плотным воздухом. [1]
Требуется найти пару функций
𝑑𝑤
𝑑𝑡
и
𝑑𝑤
𝑉0 𝑑𝑧
, которая позволит нам найти
поле скоростей. Найти силу сопротивления Rx и подъемную силу Ry.
4
3. Нахождение пары функций
Схема
обтекания
𝒅𝒘
𝒅𝒕
и
𝒅𝒘
𝑽𝟎 𝒅𝒛
.
глиссирующей
поверхности
с
интерцептором
изображена на рис.1. В качестве параметрической области выберем четверть
круга. Соответствие точек видно на Рис.2. Фиктивное течение Рис.3.
Рис.2. Параметрическая область.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
Рис.3. Фиктивное течение.
5
0.8
1.0
Проанализируем особенности
𝒅𝒘
𝒅𝒕
. В точке D полюс второго порядка. В
точке E полюс первого порядка. В точках B, C, А нули первого порядка.
1
1
(𝑡 − 0)(𝑡 − 𝑎)(𝑡 + 𝑎)(𝑡 − )(𝑡 + )(𝑡 + 1)(𝑡 − 1)
𝑑𝑤
𝑎
𝑎
= φ0
𝑖𝛿
2
𝑖𝛿
2
−𝑖𝛿
𝑑𝑡
(𝑡 − 𝑒 ) (𝑡 + 𝑒 ) (𝑡 − 𝑒 )2 (𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛿 )2
𝑡(𝑡 2 − 𝑎2 )(1 − 𝑎2 𝑡 2 )(𝑡 2 + 1)
= φ0
(𝑡 2 − 𝑒 2𝑖𝛿 )2 (𝑡 2 − 𝑒 −2𝑖𝛿 )2
𝑡(𝑡 2 − 𝑎2 )(1 − 𝑎2 𝑡 2 )(𝑡 2 + 1)
= φ0 4
.
(𝑡 − 2𝑡 2 сos(2𝛿) + 1)2 (𝑡 2 − 1)
Для построения функции
𝑑𝑤
𝑉0 𝑑𝑧
построим годограф (Рис. 4).
Рис. 4. Годограф.
В точках A и B функция
𝑑𝑤
𝑉0 𝑑𝑧
имеет особенности.
6
dw
𝑡(𝑡 2 − 𝑎2 )
=−
.
(1 − 𝑎2 𝑡 2 )
𝑉0 dz
Теперь определим функцию
𝑑𝑧
𝑑𝑡
. Все геометрические характеристики
можно рассчитать путем интегрирования функции dz/dt.[1]
𝑑𝑧
1 𝑉0 dz 𝑑𝑤
φ0 (1 + 𝑡 2 )(1 − 𝑎2 𝑡 2 )2
=
=
.
𝑑𝑡 𝑉0 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑉0 (−1 + 𝑡 2 )(1 + 𝑡 4 − 2𝑡 2 сos(2𝛿))2
7
4. Анализ
4.1. Найдем связь между 𝛗𝟎 и h
Пусть Eᶓ - четверть окружности в параметрической плоскости t около
точки E (Рис.2). Обход – против часовой стрелки.
Для того чтобы найти связь между φ0 и h построим область
комплексного потенциала (Рис. 5.).
Рис.5. Область комплексного потенциала.
𝑑𝑤
2(1 − 𝑎2 )2 
 (1 − 𝑎2 )2
𝑉0 h = −Im ∫
𝑑𝑡 = φ0
= φ0
,
(2 − 2 cos 2𝛿)2 2 2
8 (1 − cos 2𝛿)2
𝐸ᶓ 𝑑𝑡
φ0  (1 − 𝑎2 )2
𝑉0 ℎ =
.
32 sin4 𝛿
4.2.Уравнение для точки ветвления потока
dw
(∞) = e−𝑖∝ ,
𝑉0 dz
e2𝑖𝛿 − 𝑎2
−e
= e−𝑖∝ ,
2
2𝑖𝛿
1−𝑎 e
𝑖𝛿
𝑎2 = cos2𝛿 − sin2𝛿 tg
8
𝛼−𝛿
.
2
Введем функцию
𝑚(𝛼, 𝛿) = cos2𝛿 − sin2𝛿 tg
𝛼−𝛿
.
2
Тогда
𝑎 = √m(α, 𝛿).
Величина а2, в принципе, может стать и отрицательной. В этом случае
точка ветвления потока перейдет на интерцептор.
Выполним условие 𝑎2 > 0. При этом 𝛿 будет лежать в интервале
0<𝛿<
𝜋−𝛼
3
.
4.3.Определим образ точки M
По годографу видно, что 𝑀 = −𝑖.
dw
𝑡(𝑡 2 − 𝑎2 )
=−
= −𝑖,
(1 − 𝑎2 𝑡 2 )
𝑉0 dz
𝑡 2 − 𝑎2
−𝑡
= −𝑖 =>
1 − 𝑎2 𝑡 2
𝑡 3 + 𝑎2 𝑖 𝑡 2 − 𝑎2 𝑡 − 𝑖 = 0 =>
(𝑡 + 𝑖)[𝑡 2 + 𝑖(𝑎2 − 1)𝑡 − 1] = 0,
𝑡12
−𝑖(𝑎2 − 1)𝑡 ± √4 − (𝑎2 − 1)2
=
,
2
1
1 − 𝑎2
2
2
𝑡𝑀 = √4 − (𝑎 − 1) + 𝑖
,
2
2
𝛿𝑀 = arctg
1 − 𝑎2
√4 − (𝑎2 − 1)2
9
.
4.4.Вычисление Rx
Рис.6. Физическая плоскость (нормаль).
∫ 𝜌𝑉̅ 𝑉𝑛 𝑑 = − ∫ (𝑝 − 𝑝0 )𝑛̅ 𝑑,


𝜌[∫ 𝑉𝑥 𝑉𝑛 𝑑 + ∫ 𝑉𝑥 𝑉𝑛 𝑑 + ∫ 𝑉𝑥 𝑉𝑛 𝑑 = −𝑅𝑥 ,
𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐼
𝑉𝑥 = 𝑉0 , 𝑉𝑛 = −𝑉0,
𝐼𝐼
𝑉𝑥 = 𝑉0 , 𝑉𝑛 = 𝑉0 ,
𝑉̅ = 𝑉0 e𝑖(𝜋−𝛼) = 𝑉0 [cos(𝜋 − 𝛼) + 𝑖 sin(𝜋 − 𝛼)]
= 𝑉0 (−cos𝛼 + 𝑖 sin𝛼), 𝑉𝑥 = −cos𝑉0 ,
𝑉𝑛 = 𝑉0
𝜌[−𝑉02 (𝐻 + ℎ) + 𝜌𝑉02 𝐻 − cos𝛼𝑉02 ℎ] = −𝑅𝑥 ,
−𝑅𝑥 = −𝜌𝑉02 ℎ(1 + cos𝛼), 𝑅𝑥 = 𝜌𝑉02 ℎ[1 + cos𝛼].
10
5. Вычисление сил, действующих на крыло.
Рис.7. Физическая плоскость (соответствие точек).
Рис.8. Параметрическая плоскость (соответствие точек).
11
В силу наличия интерцептора сила будет вычисляться по формуле
𝑅𝑥 = 𝜌𝑉0 𝑞(1 + cos𝛼) = 𝜌𝑉02 ℎ(1 + cos𝛼).
Причем Rx – это сила сопротивления в системе координат (𝑥,
̅ 𝑦̅).
Подъемную силу Ry c помощью теоремы о количестве движений вычислить
невозможно.
𝑄 = 𝑄𝑥 + 𝑖𝑄𝑦 = −𝑖 ∫ (𝑝 − 𝑝0 )𝑑𝑧.
𝐶𝐸1
Т.к. p=p0 на свободной поверхности и в точке Е, то контур
интегрирования можно продлить до D1CBE1E2D2 (рис8).
Тогда
𝑄 = −𝑖 ∫𝐷
1 𝐷2
(𝑝 − 𝑝0 )𝑑𝑧.
По теореме Бернулли
𝑝 − 𝑝0 =
̅̅̅̅ 𝑑𝑤
̅̅̅̅̅̅
𝜌 2 𝑑𝑤
𝜌
𝑑𝑤 𝑑𝑤
(𝑉0 −
) = 𝑉0 (𝑉0 −
),
2
𝑑𝑧 𝑑𝑧
2
𝑉0 𝑑𝑧 𝑑𝑧
̅̅̅̅
𝜌
𝑉0 𝑑𝑧
𝑑𝑤
𝑄 = −𝑖 𝑉0 [∫
𝑑𝑤 − ∫
𝑑𝑤].
2
𝐷1 𝐷2 𝑑𝑤
𝐷1 𝐷2 𝑉0 𝑑𝑧
На линиях тока СBE1,E2D2,CD1 (рис.8) dw = ̅̅̅̅
𝑑𝑤. Поэтому во втором
интеграле мы можем заменить dw на ̅̅̅̅
𝑑𝑤. Но на Е1Е2 (рис.7) этого делать
нельзя. В самом деле,
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑑𝑤
𝑑𝑤 𝑑𝑤
∫
𝑑𝑤 = ∫
𝑑𝑧 = −𝑖ℎ𝑉0 ,
𝐸1 𝐸2 𝑉0 𝑑𝑧
𝐸1 𝐸2 𝑉0 𝑑𝑧 𝑑𝑧
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑑𝑤
𝑑𝑤
𝑑𝑤 𝑑𝑤
̅̅̅̅
𝑑𝑤 = ∫
𝑑𝑤 = ∫
𝑑𝑧 = 𝑖ℎ𝑉0 .
𝐸1 𝐸2 𝑉0 𝑑𝑧
𝐸1 𝐸2 𝑉0 𝑑𝑧
𝐸1 𝐸2 𝑉0 𝑑𝑧
∫
Отсюда
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑑𝑤
𝑑𝑤
̅̅̅̅
∫
𝑑𝑤 = ∫
𝑑𝑤 − 2𝑖ℎ𝑉0 .
𝑉
𝑑𝑧
𝑉
𝑑𝑧
𝐸1 𝐸2 0
𝐸1 𝐸2 0
12
Следовательно
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑑𝑤
𝑑𝑤
𝑑𝑤
̅̅̅̅ = ∫
𝑑𝑤 = ∫
𝑑𝑤
𝑑𝑤 − 2𝑖ℎ𝑉0 ,
𝑉
𝑑𝑧
𝑉
𝑑𝑧
𝑉
𝑑𝑧
0
0
0
𝐷1 𝐷2
𝐷1 𝐷2
𝐷1 𝐷2
∫
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜌
𝑉0 𝑑𝑧
𝑑𝑤
𝑄 = −𝑖 𝑉0 [∫
𝑑𝑤 − ∫
𝑑𝑤 + 2𝑖ℎ𝑉0 ].
2
𝐷1 𝐷2 𝑑𝑤
𝐷1 𝐷2 𝑉0 𝑑𝑧
Обозначим
𝑉0 𝑑𝑧
𝑑𝑤 = 𝑀𝑥 + 𝑖𝑀𝑦 ,
𝑑𝑤
𝐷1 𝐷2
∫
𝑑𝑤
𝑑𝑤 = 𝑁𝑥 + 𝑖𝑁𝑦 .
𝑉
𝑑𝑧
0
𝐷1 𝐷2
∫
Тогда
𝜌
𝑄 = −𝑖 𝑉0 [𝑀𝑥 + 𝑖𝑀𝑦 − 𝑁𝑥 + 𝑖𝑁𝑦 + 2𝑖ℎ𝑉0 ],
2
𝑄𝑥 =
𝜌
𝑉 (𝑀 + 𝑁𝑦 + 2ℎ𝑉0 ),
2 0 𝑦
𝜌
𝑄𝑦 = − 𝑉0 (𝑀𝑥 − 𝑁𝑥 ).
2
Значит
𝑄𝑥 =
𝜌
𝑉0 𝑑𝑧
𝑑𝑤 𝑑𝑤
𝑉0 {Im 𝑟𝑒𝑠𝑡=𝑒 𝑖𝛿 [(
+
𝜋𝑖] + 2ℎ𝑉0 },
)
2
𝑑𝑤
𝑉0 𝑑𝑧 𝑑𝑡
𝜌
𝑉0 𝑑𝑧
𝑑𝑤 𝑑𝑤
𝜑0 𝜋 (1 − 𝑎2 𝑡 2 )2
𝑄𝑦 = − 𝑉0 𝑟𝑒𝑠𝑡=e𝑖𝛿 [(
−
𝜋𝑖] , 𝑉0 ℎ =
,
)
2
𝑑𝑤
𝑉0 𝑑𝑧 𝑑𝑡
32
sin4 𝛿
𝑅𝑥 + 𝑖𝑅𝑦 = (𝑄𝑥 + 𝑖𝑄𝑦 )e−𝑖𝛼 = (𝑄𝑥 + 𝑖𝑄𝑦 )(cos𝛼 − 𝑖 sin𝛼),
𝑅𝑥 = 𝑄𝑥 cos𝛼 + 𝑄𝑦 sin𝛼,
𝑅𝑦 = 𝑄𝑦 cos𝛼 − 𝑄𝑥 sin𝛼.
13
6. Результаты
6.1.Графики границ течения при различных k
По полученным формулам построим графики границ течения для 𝑙 = 1
при разно фиксированных углах атаки по разным длинам интерцептора
(табл.1, рис.9).
5
𝜋
5
k1=0.291858
𝜋
10
k2=0.0464282
𝜋
15
k3=0.0139839
10
k4=0.271803
k5=0.0406598
k6=0.0118536
15
k7=0.255012
k8=0.0359974
k9=0.0101795
𝛼
𝛿=
𝛿=
Табл. 1. Значения k при разлчных α и 𝜹.
14
𝛿=
3
2
1
1
2
3
1
2
3
0.5
1.0
1.5
2.0
а
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
б
3
2
1
1
0.5
1.0
1.5
2.0
в
15
2
3
3
2
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0.5
1.0
1.5
2.0
г
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
д
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
е
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
ж
16
3
2
1
1
2
3
1
2
3
0.5
1.0
1.5
2.0
з
3
2
1
0.5
1.0
1.5
2.0
и
Рис.9. Графики границ течения при различных α и k,
а)k1, б)k2, в)k3, г)k4, д)k5, е)k6, ж)k7, з)k8, и)k9.
Из табл.1 следует, что при уменьшении 𝛿 длина интерцептора
уменьшается, а при увеличении угла атаки длина увеличивается.
6.2. Параметрические зависимости Сх(k), Сy(k)
Построим графики зависимости Сх(k) (рис11), Сy(k) (рис.10) при
фиксированных α.
𝐶𝑥 =
2𝑅𝑥
,
𝜌𝑉02 𝑙
𝐶𝑦 =
2𝑅𝑦
.
𝜌𝑉02 𝑙
17
1.0
0.8
0.6
0.4
0.1
0.2
0.3
а
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.05
0.10
0.15
0.20
б
18
0.25
0.30
0.35
0.9
0.8
0.7
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
в
Рис.10. График зависимости Су(k),
а)𝛼 = 5, б) 𝛼 = 10, в) 𝛼 = 15.
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
а
19
0.3
0.35
0.5
0.4
0.3
0.2
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
б
0.6
0.5
0.4
0.3
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
в
Рис.11. График зависимости Сх(k),
а)𝛼 = 5, б) 𝛼 = 10, в) 𝛼 = 15.
20
0.35
Рис. 12. График зависимости Cx от Cy.
21
7. Заключение
Проанализировав полученные данные заметим, что подъемная сила
увеличивается при увеличении длины интерцептора и достигает своего
минимума при длине стремящейся к нулю. На рис.12 видно, что при одних и
тех же значений силы сопротивления (Cх) с увеличением длины
интерцептора (k) подъемная сила увеличивается (Сy). Значит при добавлении
интерцептора эффект глиссирования будет достигаться за меньшее время.
Судно будет выходить на глиссирование при меньших затратах мощности
двигателя и при большем весе. Добавление интерцептора дает
положительный эффект.
22
8. Список использованной литературы
1. Гуревич М.И. “Теория струй идеальной жидкости”, Издательство:
Наука 1979, 536 стр.
2. Елизаров А.М., Касимов А.Р., Маклаков Д.В. , “Задачи оптимизации
формы в аэрогидродинамике”, Издательство: Москва, физматлит, 2008,
408 стр.
3. Седов Л.И. “Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики”,
Издательство «Наука», 1966, 448 стр.
4. Ханович И.Г. “Теория корабля Гидродинамика и сопротивление воды”,
Издательство: Рипол Классик, 2013, 554 стр.
5. Г. Ламб “Гидродинамика”, Издательство: Рипол Классик, 2013, 936 стр.
23