Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО Костромской государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Чередникова А. В.
Землякова И. В.
Садовская О. Б.
Справочник по специальным главам
математики
Кострома
2009
Оглавление:
Глава 1. Дискретная математика……………………………………………3
§1.1. Элементы теории множеств……………………………………………....3
§1.2. Основные алгебраические множества…………………………………...5
§1.3. Элементы комбинаторики………………………………………………...7
§1.4. Элементы математической логики……………………………………….9
§1.5. Элементы теории графов…………………………………………………12
Глава 2. Элементы линейной и общей алгебры…………………………...12
§2.1. Линейные преобразования векторного пространства Rn ………………12
§2.2.Собственные
векторы
и
собственные
значения
линейного
преобразования пространства Rn ………………………………………………14
§2.3. Квадратичные формы …………………………………………………….15
§2.4. Алгебра многочленов……………………………………………………..17
Глава 3. Элементы комплексного анализа. Вычеты……………………...17
Глава 4. Элементы дифференциальной геометрии. Кривизна плоской
кривой…………………………………………………………………………...18
2
Глава 1. Дискретная математика
§ 1.1. Элементы теории множеств
п. 1.1.1. Операции над множествами
Объединением    двух множеств А и В называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из этих двух множеств.
    {x | x  A или x  B}
С=   
Пересечением    двух множеств А и В называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим
множествам.
    {x | x  A и x  B}
С=   
Разностью  \  двух множеств А и В называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству
А и не принадлежит множеству В.
 \   {x | x  A и x  B}
 \   {x | x  В и x  А}
С=  \ 
С=  \ 
Декартовым (прямым) произведением    множеств А и В
называется множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит
первому множеству, а второй – второму.
    {(a, b) | a  A, b  B}
Пример. Пусть А={3, 8}, В={a, b, c}. Тогда    ={(3,а), (3,b), (3,c),
(8,a), (8,b), (8,c)}
п. 1.1.2. Числовые множества
N={1,2,3,…,n,…} – множество натуральных чисел.
3
Z={0,  1,2,...} – множество целых чисел.
p
Q={ | p  Z , q  N } – множество рациональных чисел.
q
Любое рациональное число выражается конечной десятичной дробью
или бесконечной периодической (чистой или смешанной) десятичной
1
3
дробью. Например,  0,75 ,  0, (3) .
3
4
Множество I иррациональных чисел
– это множество всех
бесконечных
непериодических
десятичных
дробей.
Например,
  I,e I, 2  I .
Q  I  R – множество действительных (вещественных) чисел.
Геометрически действительные числа изображаются точками числовой
прямой.
C  {x  iy | x, y  R, i 2  1}
– множество комплексных чисел.
Комплексное число z=x+iy изображается точкой плоскости Oxy с
координатами (x, y).
п. 1.1.3. Мера множества
Мера множества – обобщение понятия длины отрезка, площади
плоской фигуры и объема тела на множества более общей природы. Меру
множества определяют аксиоматически.
Мерой плоского множества является площадь, трехмерного –
объем, а линейного – длина.
п. 1.1.4. “Эпсилон – окрестность” точки
Окрестностью точки а R называется любой интервал, содержащий
эту точку.
“”Эпсилон - окрестностью” ( - окрестностью) точки а R называется
открытый интервал (а-, а+), симметричный относительно точки а.
а
а-
а+
Если точка   R 2 (М имеет координаты (x, y)), то -окрестностью
называется внутренняя часть круга с центром в точке М и радиусом .

M(x,y)
п.1.1.5. Отображение множеств
Отображением множества А в множество В называется некоторое
правило (закон) f , согласно которому каждому элементу а множества А
сопоставляется единственный элемент b множества В. При этом пишут:
f : A  B и b=f(a).
4
b
а
Элемент b называется образом элемента а, элемент а называется
прообразом элемента b.
Отображения называют также функциями. Если А и В – числовые
множества, то отображение f является числовой функцией.
Пример.
А
С
f : [a; b]  [C; B]
§ 1.2. Основные алгебраические структуры.
п.1.2.1. Бинарные алгебраические операции и их свойства.
Бинарной алгебраической операцией на множестве   Ø называется
отображение    в множество А.
Другими словами, операция, заданная на множестве А будет являться
бинарной алгебраической операцией на множестве А, если каждой паре
элементов из множества А соответствует единственный элемент того же
множества.
“Операция  является бинарной алгебраической операцией на
множестве А” эквивалентно следующим:
1. На множестве А определена операция  .
2. Множество А замкнуто относительно операции  (то есть
результат операции принадлежит множеству А).
3. Бинарная операция  ( например, арифметическое действие) всегда
выполнима и однозначна на множестве А.
Замечание: На множестве натуральных чисел N всегда выполнимы
(определены) только сложение и умножение; на множестве целых чисел Z –
5
сложение, вычитание и умножение; на множествах Q, R и C – все
арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление).
Бинарная алгебраическая операция  :      на множестве А
обладает свойством коммутативности, если ( x, y  A ) x  y=y  x (то есть от
перемены местами элементов x и y результат не меняется).
Бинарная алгебраическая операция  на множестве А обладает
свойством ассоциативности, если ( x, y, z  A ) x  ( y  z )  ( x  y )  z .
Бинарная алгебраическая операция  дистрибутивна относительно
бинарной алгебраической операции  на множестве А, если
( x, y, z  A ) x  ( y  z )  ( x  y )  ( x  z ) и
( y  z )  x  ( y  x)  ( z  x) .
п. 1.2.2. Группы, кольца, поля.
Множество G относительно бинарной алгебраической операцией 
образует группу, если выполняются следующие условия:
1)  – ассоциативная операция;
2) В множестве G существует нейтральный элемент относительно
операции  , т. е. (а  G )е  G : a  e  e  a  a ;
3)
Все
элементы
G
имеют
симметричные,
т.
е.
(а  G )a  G : a  a  a  a  e .
Группа называется коммутативной (абелевой), если бинарная
операция  коммутативна, т. е. (а, b  G )a  b  b  a .
Множество G относительно бинарных алгебраических операций
сложения и умножения образует кольцо (точнее ассоциативное кольцо с
единицей), если выполняются следующие условия:
1) G образует коммутативную группу относительно сложения;
2) G образует моноид относительно умножения (т.е. умножение
ассоциативно на G и существует нейтральный элемент относительно
умножения);
3) Умножение дистрибутивно относительно сложения.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативно умножение.
Множество G G относительно бинарных алгебраических операций
сложения и умножения образует поле, если G относительно бинарных
алгебраических операций сложения и умножения образует коммутативное
кольцо, нуль кольца отличен от единицы кольца и всякий ненулевой элемент
обратим (т.е. имеет относительно умножения симметричный элемент).
Пример. Множество целых чисел относительно сложения образует
коммутативную группу; множество целых чисел относительно сложения и
умножения образует коммутативное кольцо, но не поле; множества
рациональных, действительных, комплексных чисел относительно сложения
и умножения образуют поля.
6
п. 1.2.3. Векторное пространство Rn. Базис пространства.
Под арифметическим n-мерным вектором (кратко, вектором) понимают
упорядоченную последовательность n действительных чисел:
x  ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) , где xi R , i=1,..,n.
Множество всех арифметических n-мерных векторов, с определенными
на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на
действительное число образуют арифметическое n-мерное векторное
пространство, обозначаемое через Rn.
Базисом пространства Rn является любая система a1 , a2 ,..., an из n
линейно независимых векторов пространства.
Пусть a1  (a11 , a21 ,...,an1 ), a2  (a12 , a22 ,...,an 2 ),..., an  (a1n , a2n ,...,ann )
Система векторов a1 , a2 ,...,an линейно независима тогда и только тогда,
a11 a12  a1n
a21
a22  a2 n
 0.
  
an1 an 2  ann
Любой вектор x пространства Rn единственным образом разлагается
по векторам базиса x  x1  a1  x2  a2  x3  a3  ...  xn  an , где xi R , i=1,..,n.
Числа x1 , x2 , x3 ,..., xn называются координатами вектора x в базисе
a1 , a2 ,...,an .
когда
Для нахождения координат, например, вектора a  (a1 , a2 ) в базисе
p  ( p1 , p2 ) и q  (q1 , q2 ) необходимо решить систему
 p1 x  q1 y  a1

 p2 x  q2 y  a2
где x и y – искомые координаты, то есть a  ( x, y)  xp  yq .
§ 1.3. Элементы комбинаторики
Правила суммы и произведения
Пусть Х – конечное множество, состоящее из n элементов. Тогда
говорят, что объект х из Х может быть выбран n способами и пишут |X|=n.
Пусть Х1,…,Хn – попарно пересекающиеся множества, т.е. Хi ∩ Xj = Ø при
i≠j. Тогда, очевидно, выполняется равенство
k
 xi 
i 1
k
 xi .
i 1
В комбинаторике этот факт называется правилом суммы. Для k=2 оно
формулируется следующим образом: «Если объект x может быть выбран m
способами, а объект y – другими n способами то выбор либо x, либо y может
быть осуществлен m+n способами».
Правило произведения: «Если объект x может быть выбран v
способами и после каждого из таких выборов объект y в свою очередь может
7
быть выбран n способами то выбор упорядоченной пары (x,y) может быть
осуществлен m∙n способами».
В общем случае правило произведения формулируется следующим
образом: «Если объект x1 может быть выбран n1 способами, после чего
объект x2 может быть выбран n2 способами и для любого i где 2 ≤ i ≤ m-1
после выбора объектов x1, ..., xi объект xi+1 может быть выбран ni+1
способами, то выбор упорядоченной последовательности из m объектов (x1,
x2, ..., xn) может быть осуществлён n1∙n2∙…∙nm способами».
Размещения и сочетания
def. Набор элементов xi1,...,xik из множества Х = {x1, ... ,xn} называется
выборкой объема k из n элементов или иначе (n,k)-выборкой.
def. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов
в ней задан.
Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком
следования элементов считаются различными.
def. Если порядок следования элементов в выборке не является
существенным, то такая выборка называется неупорядоченной.
В выборках могут допускаться или не допускаться повторения
элементов.
def. Упорядоченная (n,k)-выборка, в которой элементы могут повторяться
называется (n,k)-размещением с повторениями. Если элементы
упорядоченной (n,k) – выборки попарно различны то она называется (n,k)размещением без повторений или просто (n,k)-размещением. Будем, кроме
того (n,n)-размещение без повторений называть перестановками
множества X.
def. Неупорядоченная (n,k)-выборка, в которой элементы могут повторяться
называется (n,k)-сочетанием с повторениями. Если элементы
неупорядоченной (n,k)-выборки попарно различны то она называется (n,k)сочетанием без повторений или просто (n,k)-сочетанием.
Заметим что любое (n,k)-сочетание можно рассматривать как kэлементное подмножество n-элементного множества.
Число (n,k) – размещений с повторениями обозначаем через  nk  n k ,
а без повторений – через  kn . Число перестановок n- элементного множества
обозначается через Pn (т.е. Pn =  nn ). Число (n,k) – сочетаний с повторениями
обозначаем через C nk , а без повторений – C nk .
Соглашение. 0! = 1.
Утверждение 1.  kn  n  (n  1)  ...  (n  k  1) 
n!
при k ≤ n и  kn = 0 при k > n.
(n  k )!
Следствие. n   nn  n  (n  1)  ...  1  n!
Утверждение 2. Cnk 
 kn
n!
при k ≤ n и C nk = 0 при k > n.

k! (n  k )!k!
Утверждение 3. Cnk  Cnk k 1 .
8
Перестановки с повторениями
Имеется n элементов, которые можно разбить на k групп, так что
элементы, входящие в одну группу не различимы между собой и отличны от
элементов в другие группы. Число элементов в каждой группе равно
соответственно n1,n2,...nk , т.е. n1 + n2+..+nk = n.
def. Перестановкой с повторениями из n элементов называется кортеж
длины n составленный из этих элементов.
n!
nn , n ,..., n 
n 2
k
(n1!n2 !...  nk !)
Обозначается
Схема определения вида комбинаторной конфигурации
(n,k) - выборка
(n,k) сочетания
Нет
порядок
существене
н
(n,k) –
размещение Нет
без
повторений
Элементы
могут
повторяться
(n,k) –
сочетание с
повторениями
kn
Cnk 
n!
(n  k )!k!
 kn 
Элементы
могут
повторяться
n!
(n  k )!
Cnk  Cnk  k 1
(n,k) –
Да размещение с
повторениями
 nk  n k
k=k
k=n
Cnk  Cnk  k 1
(n,k) - размещения
k=n
kn
(n,k) –
сочетание
без
повторений
Да
n  n!
перестановки
с повторением
n!
nn ,n ,..., n 
n 2 k (n1!n2!...  nk !)
n1 + n2+…+nk = n
Бином Ньютона
(a  b) n 
n
 Cnk  a k  b n  k
k 0
 Cn0  a 0  b n  C1n  a1  b n 1  ...  Cnl  a l  b l  ...  Cnn  a n  b 0
§1.4. Элементы математической логики
Логические операции: конъюнкция ( или &), дизъюнкция (  ),
импликация (  ), эквиваленция (  ), отрицание ( или ).
9
Таблица истинности:
А
В
АВ
А
В
A B
А
В
АВ
А
В
А B
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
А А
0 1
1 0
Основные равносильности:
1. x  ( y  z )  ( x  y)  z, x  ( y  z )  ( x  y)  z
2. x  y  y  x, x  y  y  x
3. x  ( y  z )  ( x  y)  ( x  z ), x  ( y  z )  ( x  y)  ( x  z )
4. x  x  x, x  x  x
5. x  x
6. x  1  x, x  0  0, x  1  1, x  0  x
7. x  y  x  y, x  y  x  y
8. x  x  0
9. x  x  1
10. x  y  x  y
Формальный язык логики высказываний
def. Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы
этого множества называются символами данного алфавита. Словом в
данном алфавите называется произвольная конечная последовательность
символов (возможно, пустая). Слово а называется подсловом слова b, если
b=b1ab2 для некоторых слов b1 и b2.
Алфавит логики высказываний содержит следующие символы:
высказывательные переменные X1, X2 , …; логические символы  ,
,, ,  ; символы скобок (,).
def. Слово в алфавите логики высказываний называется формулой,
если оно удовлетворяет следующему определению:
1) любая высказывательная переменная – формула;
2) если А и В – формулы, то ( ( А), ( А  В), ( А  В), ( А  В), ( А  В) ) –
формулы.
3) только те слова являются формулами, для которых это следует из 1)
и 2).
def. Подформулой формулы А называется любое подслово А, само
являющееся формулой.
10
Для упрощения записи можно в формуле опускать внешние скобки и те
пары скобок, в которые заключены подформулы, к которым относятся
символ .
Пример. Из записей:
1) p  q  s  z; 2)( p  s)  q  z; 3)( p  (q  z ))  s; 4) ps  ( z  q)
формулой алгебры логики высказываний является третье.
Принцип двойственности для булевых формул
Одна и та же логическая функция может быть задана формулами,
включающими различные наборы логических операций. Существуют наборы
логических операций, с помощью которых можно выразить любые другие
логические функции. Такие наборы называются функционально полными
системами.
Наиболее хорошо изученной является полная система булевых
функций { ,, }. Формулы, содержащие кроме переменных (и скобок)
только знаки функций { ,, }, называются булевыми.
Принцип двойственности для булевых формул: “Двойственная к
булевой формуле может быть получена заменой констант 0 на 1, 1 на 0,  на
 ,  на  ” и сохранением структуры формулы (т.е. соответствующего
порядка действий).
Пример. Формула, реализующая функцию двойственную к функции
f  x  ( y  z ) , имеет вид g  x  y  z .
Совершенные нормальные формы булевых функций
Пусть x – логическая переменная,   {0;1} . Введем обозначение

x  x    x   . Выражение
 x, если   1,
x  
 x , если   0,
называется литерой. Литеры x и x называются контрарными.
Отметим, что x   1 тогда и только тогда, когда x   .
Элементарной
конъюнкцией,
или
конъюнктом называется
конъюнкция литер. Элементарной дизъюнкцией, или дизъюнктом
называется дизъюнкция литер.
Например, формулы x  y  z и x  x  y  x – дизъюнкты, формулы
x1x2 x3 и x1x2 x1 – конъюнкты, x является одновременно и дизъюнктом, и
конъюнктом, а формула x  y  x не является ни элементарной дизъюнкцией,
ни элементарной конъюнкцией.
Дизъюнкция конъюнктов называется дизъюнктивной нормальной
формой (ДНФ); конъюнкция дизъюнктов называется конъюнктивной
нормальной формой (КНФ).
Например, формула xy  yz – ДНФ, формула x  ( x  y )  ( x  z ) – КНФ, а
формула xy является одновременно КНФ и ДНФ.
11
§1.5. Элементы теории графов
Матрицей смежности вершин графа называется квадратная матрица
P  pij порядка n, где n – число вершин графа, строки и столбцы которой
соответствуют вершинам графа. Элементы pij матрицы смежности вершин
равны числу дуг, идущих из i-й вершины в j-ю.
В случае неориентированного графа матрица смежности вершин будет
симметричной относительно главной диагонали.
Полным путем в ориентированном графе называется путь из
начальной вершины s (из которой дуги только выходят, т. е. полустепень
захода вершины s равна P-(s)=0) в конечную вершину t (в которую дуги
только заходят, т. е. полустепень исхода вершины t равна P+(t)=0).
Пример 1. Для ориентированного графа, изображенного на рисунке
1
4
0
3
2
полными путями являются:
1)L1:0  1 4 ; 2) L2:0  4 ; 3) L3:0  2  3  4
Здесь 0 – начальная вершины, а 4 – конечная вершина.
Пример 2. Если ориентированный граф представлен матрицей
смежности, то для определения существующих в нем полных путей
рекомендуется построить диаграмму. в нашем случае она имеет вид:
A
B
C
D
А
0
0
0
0
В
1
0
0
1
С
1
1
0
1
D
1
0
0
0
В
С
А
D
Очевидно, что начальной вершиной является А, а конечной – С. Тогда
полные пути:
1)L1:А  В  С ; 2) L2:А  С ; 3) L3:А  D  B  C ; 4) L4:А  D  C .
Всего четыре полных путей.
Глава 2. Элементы линейной и общей алгебры.
§2.1. Линейные преобразования (линейные операторы) векторного
пространства Rn
Будем говорить, что в пространстве Rn задано преобразование
(отображение) А, если каждому вектору x  R n по некоторому правилу
12
поставлен в соответствие вектор А x  R n . Преобразование А называется
линейным, если для любых векторов x и y и для любого действительного
числа  выполняются равенства А( x + y )=А x +А y , А( x )=А x .
Пусть в пространстве Rn , базис которого е1 , е2 ,...,еn , задано линейное
преобразование (линейное отображение) А. Так как Ае1 , Ае2 ,..., Аеn –
векторы пространства Rn, то каждый из них можно разложить единственным
способом по векторам базиса:
 Аe1  a11e1  a 21e2  ...  a n1en
 Аe  a e  a e  ...  a e
 2
12 1
22 2
n2 n

...................................................
 Аen  a1n e1  a 2n e2  ...  a nn en
(1)
 a11 a12  a1n 


a
a

a
 21
22
2n 
Матрица А= 
(2)
называется
матрицей
   


a

 n1 an 2  ann 
линейного преобразования А в базисе е1 , е2 ,...,еn . Столбцы этой матрицы
составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных
векторов.
Координаты ( x1 , x2 ,..., xn ) вектора А x выражаются через координаты
( x1 , x2 ,..., xn ) вектора x по формулам
 x1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn
 x   a x  a x  ...  a x
 2
21 1
22 2
2n n

.................................................
 xn  a n1 x1  a n 2 x2  ...  ann xn
(3)
Эти n равенств можно назвать линейным преобразованием А в
базисе е1 , е2 ,...,еn . Коэффициенты в (3) являются элементами строк матрицы
(2).
 x1 
 
 x2 
Равенства (3) в матричной форме имеют вид: X   AX , где X     ,
...
 
 x 
 n
 x1 
 
x 
X   2  , А – матрица линейного преобразования.
...
 
x 
 n
13
Пример. Линейное отображение задано в стандартном базисе
 a11 a12 
 . Тогда координаты образа
( е1  (1,0), е2  (0,1) ) матрицей А= 
 a21 a22 
 x1 
вектора x    определяются, как
 x2 
a12   x1   a11 x1  a12 x2 
y 
a
   = 
  y1=a11x1+a12x2,
y   1   Ax   11
y
a
a
x
a
x

a
x
 2
 21
22   2   21 1
22 2 
y2=a21x1+a22x2
  3 4
  2
В частности, если А= 
 , x    , то координатами образа
5  6
3 
  2
 18 
вектора x    является 
 .
3

28
 


§ 2.2. Собственные векторы и собственные значения линейного
преобразования пространства Rn
Ненулевой вектор x  R n называется собственным вектором
преобразования А (матрицы А), если существует такое действительное число
, что выполняется равенство:
А x  x (1)
Число  при этом называется собственным значением линейного
преобразования А соответствующим собственному вектору x .
Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с
множеством всех решений уравнения A  E  0 , которое называется
характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих ее
собственному значению , совпадает с множеством всех ненулевых решений
системы однородных линейных уравнений  A  E X  0 .
Пример 1. Собственные значения собственных векторов линейного
1 2 
преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А= 
 , могут
3
4


1  2
1 2 
быть найдены по формуле
=0, так как A  E  
 3
4
3
4


1 0  1 2  1 0  1   2 
 
.
  
 - 
  
4   
 0 1  3 4   0 1  3
Пример
2.
Собственные
значения
оператора
линейного
1 2 
 , могут
преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А= 
3 4
быть найдены по формуле (1-)(4-)-6=0, в свою очередь
14
1  2
=(1-)(4-)-6.
3
4
§ 2.3. Квадратичные формы
Квадратичной формой n переменных x1 , x2 ,..., xn называется сумма
вида
a11 x12  a12 x1 x2  ...  a1n x1 x2  a21 x2 x1  a22 x2 2  ...  a2n x2 xn  ...
n n
 an1 xn x1  an 2 xn x2  ...  ann xn    aij xi x j
2
,
i 1 j 1
где aij называются коэффициентами квадратичной формы (aij R ).
Таким образом, квадратичная форма – функция n переменных
f(x1,x2,…,xn) специального вида.
Так как
aij xi x j  a ji x j xi  (aij  a ji ) xi x j 
 (aij xi x j  a ji ) x j xi
1
1
(aij  a ji ) xi x j  (aij  a ji ) x j xi
2
2
то коэффициенты aij= aji (2).
Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная
из ее коэффициентов и имеющая вид:
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 
А= 
(3)
   


a

a

a
n2
nn 
 n1
Заметим, что А – симметрическая матрица, т. е. ее элементы
симметричны относительно главной диагонали. Каждой квадратичной форме
(1) n переменных x1 , x2 ,..., xn соответствует единственная симметрическая
матрица (3). Справедливо и обратное.
Пример 1. Записать матрицу квадратичной формы
f(x1,x2,…,xn)=x12-6x1x2-8x1x2+7x22+4x2x3-5x32
Решение. В данном случае a11=1, a12=a21=-3, a13=a31=-4, a22=7, a23=a32=2,
a33=-5, поэтому
1  3  4 


А=   3 7 2  .
  4 2  5


Рассмотрим квадратичную форму f(x1,x2,…,xn) (1).
Перейдем к новым переменным y1,y2,y3,…,yn по формулам
 x1  b11 y1  b12 y 2  ...  b1n y n
 x  b y  b y  ...  b y
 2
21 1
22 2
2n n

...................................................
 xn  bn1 y1  bn 2 y 2  ...  bnn y n
(4)
или в матричном виде X=BY, где
15
 b11 b12  b1n 
 x1 
 y1 


 
 
 b21 b22  b2 n 
 x2 
 y2 
X    , B= 
, Y    (5)

...
...
  


 
 
y 
x 
b

 n
 n
 n1 bn 2  bnn 
В квадратичной форме (1) вместо x1 , x2 ,..., xn подставим их выражение
через y1,y2,y3,…,yn , определяемые формулами (4), получим квадратную форму
 ( y1 , y 2 , y 3 ,, y n ) n переменных y1,y2,y3,…,yn. В этом случае говорят, что
квадратичная форма f(x1,x2,…,xn) переводится в квадратичную форму
 ( y1 , y 2 , y 3 ,, y n ) линейным однородным преобразованием (4). Линейное
однородное преобразование (5) называется невырожденным, если В  0 .
Две квадратичные формы называются эквивалентными, если
существует невырожденное линейное однородное преобразование,
переводящее одну из них в другую. Квадратичная форма f(x1,x2,…,xn )
называется канонической , если она не содержит произведений различных
переменных, т. е.
s
f(x1,x2,…,xn)=   ii xi 2 ( s  n) (6)
i 1
Например, квадратичная форма f(x1,x2,x3,,x4)=6x12+4x32-3x42, для
которой 11  6, 22  0, 33  4, 44  3 , имеет канонический вид.
Теорема. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным
линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму
f(x1,x2,,x3)=x12+2x1x2+2x1x3+2x22+4x2x3+7x32 .
Решение. Сгруппируем все члены, содержащие неизвестное x1, и
дополним их до полного квадрата:
f(x1,x2,x3)=(x12+2x1x2+2x1x3)+2x22+4x2x3+7x32=(x12+2x1(x2+x3)+ (x2+x3)2)(x2+x3)2+2x22+7x32+4x2x3=( x1+x2+x3)2+ x22+6 x32+2 x2x3.
В дальнейшем полный квадрат, содержащий неизвестное x1, не
изменяется. Среди оставшихся членов сгруппируем все, содержащие x2, и
дополним их до полного квадрата:
f(x1,x2,x3)=( x1+x2+x3)2+ (x22+2 x2x3+ x3)- x32+6 x32)=( x1+x2+x3)2+ (x2+x3)2 x32+5x32.
Теперь перейдем от неизвестных x1,x2,x3 к известным y1,y2,y3 по
формулам
 y1  x1  x2  x3

 y 2  x2  x3
y  x
3
 3
В результате этого перехода получим канонический вид данной
квадратичной формы:
 ( y1, y2, y3)  y12  y 22  5 y32 .
16
§2.4. Алгебра многочлена
Известно, что для многочлена f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn сумма
всех комплексных корней равна –an-1.
Пример 1. Если x1,x2,x3 – корни многочлена f(x)=x3+5x2+7x+4, то
x1+x2+x3=-5.
Множество всех многочленов степени, не превышающей
натурального числа n, с операциями сложения многочленов и
умножения многочленов на действительные числа образует (n+1)-мерное
векторное пространство. Базис этого пространства образует, например,
многочлены 1,x,x2,…,xn.
Пример 2. Координаты многочлена f(x)=3+2x-4x2-3x3 в базисе
1,x,x2,…,xn равны (3;2;-4;-3).
Глава 3. Элементы комплексного анализа
Вычеты
Пусть функция комплексного переменного f(z) аналитична в некоторой
окрестности U конечной точки z0 (кроме, быть может, самой точки z0).
Вычетом функции f(z) в точке z0 называется число
1
1
Выч f ( z ) 
f ( z )dz 

 f ( z )dz ,
z  z0
2i 
2i z  z 0  
где  - некоторый замкнутый контур, целиком лежащий в U и
содержащий внутри точку z0, а z  z0   - окружность с центром в точке z0
достаточно малого радиуса  , целиком лежащая против часовой стрелки.
Значения обоих приведенных интервалов при указанных условиях
совпадает.
Пусть функция f(z) аналитична в некоторой окрестности конечной
точки z0 (кроме, быть может, точки z0), т. е. в некотором кольце
0  z  z 0  R , но не аналитична в точке z0. В этом случае точка z0 называется
изолированной особой точкой для функции f(z).
Изолированная особая точка z0 функции f(z) называется полюсом, если
lim ( f ( z ))   .
z  z0
Точка z 0   является полюсом m-го порядка функции f(z) тогда и
 ( z)
только тогда, когда функция f(z) представима в виде частного f(z)=
,
( z  z0 ) m
где функция  (z) аналитична в точке z0,  ( z0)  0 .
Если z0 –полюс 1-ого порядка для функции f(z), то
Выч f ( z )  lim [ f ( z )( z  z0 )] .
z  z0
z  z0
Пример. Выч
z  z0
1
z (1  z 2 )
 lim [
z 0
1
z (1  z 2 )
17
( z  0)]  lim [
z 0
1
z (1  z 2 )
] 1
Глава 4. Элементы дифференциальной геометрии
Кривизна плоской кривой

Пусть дана кривая. Рассмотрим на этой кривой дугу ММ 1 длины l .
Проведем в точках М и М1 касательные к кривой. при переходе от кривой из
точки М в точку М1 касательная поворачивается на угол  , который
называется углом смежности. Этот угол считается положительным.

Средней кривизной дуги ММ 1 называется отношение угла смежности 

к длине l этой дуги: kср 
.
l
Кривизной данной кривой в ее точке М называется предел средней

кривизны дуги ММ 1 при условии, что точка М1 неограниченно приближается
по данной кривой к точке М.
k  lim k ср (1)
M1  M
Для вычисления кривизны кривой используют формулу:
y 
K
(1 
3
2
y ) 2
(2)
В частности, кривизна окружности радиуса R в точке М K 
1
,
R
кривизна прямой в любой ее точке равна 0.
Пример 1. Найти кривизну линии y=x2-3x+4 в точке М(2;2).
Решение. Последовательно находим: y   2 x  3, y (2)  1, y   2, y (2)  2 .
По формуле (2) имеем
K
2
3
2 2
(1  1 )

2
3
22

2
2 2

2
2
Радиусом кривизны R в данной точке кривой называется величина,
обратная кривизне K:
R
1
K
18