Метрические методы классификации

Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Метрические методы классификации
К. В. Воронцов
vokov@forecsys.ru
Этот курс доступен на странице вики-ресурса
http://www.MachineLearning.ru/wiki
«Машинное обучение (курс лекций, К.В.Воронцов)»
март 2011
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Содержание
1
Метрические алгоритмы классификации
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
2
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
3
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Гипотеза компактности
Задача классификации:
X — объекты, Y — ответы (идентификаторы классов);
X ℓ = (xi , yi )ℓi=1 — обучающая выборка;
Гипотеза компактности:
Схожие объекты, как правило, лежат в одном классе.
Формализация понятия «сходства»:
Задана функция расстояния ρ : X × X → [0, ∞).
Например, евклидово расстояние:
X
1/2
n
j
j 2
ρ(u, xi ) =
u − xi
,
j=1
где u = (u 1 , . . . , u n ), xi = (xi1 , . . . , xin ) — признаковые описания
объектов.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Пример: задача классификации цветков ириса [Фишер, 1936]
n = 4 признака, |Y | = 3 класса, длина выборки ℓ = 150.
длина чашелистика
ширина чашелистика
длина лепестка
ширина лепестка
2
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
7
6
5
4
3
2
6
4
2
2
1
0
5
6
Iris-setosa
7
2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Iris-versicolor
1
3
4
5
6
Iris-virginica
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Обобщённый метрический классификатор
Для произвольного u ∈ X отсортируем объекты x1 , . . . , xℓ :
(1)
(2)
(ℓ)
ρ(u, xu ) 6 ρ(u, xu ) 6 · · · 6 ρ(u, xu ),
(i)
xu — i-й сосед объекта u среди x1 , . . . , xℓ ;
(i)
yu — ответ на i-м соседе объекта u.
Метрический алгоритм классификации:
ℓ
X
(i)
a(u; X ℓ ) = arg max
yu = y w (i, u),
y ∈Y
|i=1
{z
Γy (u,X ℓ )
}
w (i, u) — вес (степень важности) i-го соседа объекта u,
неотрицателен, не возрастает по i.
Γy (u, X ℓ ) — оценка близости объекта u к классу y .
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Метод ближайшего соседа
w (i, u) = [i=1].
Преимущества:
простота реализации;
интерпретируемость решений,
вывод на основе прецедентов (case-based reasoning, CBR)
Недостатки:
неустойчивость к погрешностям (шуму, выбросам);
отсутствие настраиваемых параметров;
низкое качество классификации;
приходится хранить всю выборку целиком.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Метод k ближайших соседей
w (i, u) = [i 6 k].
Преимущества:
менее чувствителен к шуму;
появился параметр k.
Оптимизация числа соседей k:
функционал скользящего контроля leave-one-out
ℓ h
i
X
a xi ; X ℓ \{xi }, k 6= yi → min .
LOO(k, X ℓ ) =
k
i=1
Проблема:
неоднозначность классификации
при Γy (u, X ℓ ) = Γs (u, X ℓ ), y 6= s.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Пример зависимости LOO(k)
Пример. Задача UCI: Breast Cancer (Wisconsin)
частота ошибок на обучении и контроле (исключая и не исключая себя)
0.12
0.11
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
20
40 60
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
число соседей k
— смещённое число ошибок, когда объект учитывается как сосед самого себя
— несмещённое число ошибок LOO
В реальных задачах минимум редко бывает при k = 1.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Метод k взвешенных ближайших соседей
w (i, u) = [i 6 k]wi ,
где wi — вес, зависящий только от номера соседа;
Возможные эвристики:
— линейное убывающие веса;
wi = k+1−i
k
i
wi = q — экспоненциально убывающие веса, 0 < q < 1;
Проблемы:
как более обоснованно задать веса?
возможно, было бы лучше, если бы вес w (i, u)
зависел не от порядкового номера соседа i,
(i)
а от расстояния до него ρ(u, xu ).
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Снова метод парзеновского окна
(i) u )
w (i, u) = K ρ(u,x
,
h
где K (r ) — ядро, невозрастающее, положительное на [0, 1].
Метод парзеновского окна фиксированной ширины:
!
ℓ
(i)
X
ρ(u,
x
)
u
(i)
[yu = y ] K
a(u; X ℓ , h, K ) = arg max
.
y ∈Y
h
i=1
|
{z
}
w (i,u)
Метод парзеновского окна переменной ширины:
ℓ
a(u; X , k, K ) = arg max
y ∈Y
ℓ
X
i=1
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
(i)
[yu
(i)
= y] K
|
ρ(u, xu )
(k+1)
ρ(u, xu
{z
w (i,u)
)
!
}
Метрические методы классификации
.
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Метод парзеновского окна
Пример: классификация двумерной выборки.
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
3.0
3.5
Метрические методы классификации
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Метод потенциальных функций
(i)
w (i, u) = γu K
(i)
ρ(u,xu )
(i)
hu
Более простая запись:
a(u; X ℓ ) = arg max
y ∈Y
ℓ
X
[yi = y ] γi K
i=1
ρ(u, xi )
hi
,
где γi — веса объектов, γi > 0, hi > 0.
Физическая аналогия:
γi — величина «заряда» в точке xi ;
hi — «радиус действия» потенциала с центром в точке xi ;
yi — знак «заряда» (предполагается, что Y = {−1, +1});
1
в электростатике K (r ) = 1r или r +a
.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Алгоритм настройки весов объектов
Простой эвристический алгоритм настройки γi .
Вход:
X ℓ — обучающая выборка;
Выход:
Коэффициенты γi , i = 1, . . . , ℓ;
1:
2:
3:
4:
5:
6:
Инициализация: γi = 0 для всех i = 1, . . . , ℓ;
повторять
выбрать объект xi ∈ X ℓ ;
если a(xi ) 6= yi то
γi := γi + 1;
пока число ошибок на выборке Q(a, X ℓ ) > ε.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Гипотеза компактности
Метод ближайших соседей и его обобщения
Снова метод парзеновского окна
Метод потенциальных функций
Анализ преимуществ и недостатков
Преимущества:
простота реализации;
не надо хранить выборку (потоковый алгоритм обучения);
разреженность: не все обучающие объекты учитываются.
Недостатки:
медленная сходимость;
результат обучения зависит от порядка просмотра объектов;
слишком грубо настраиваются веса γi ;
вообще не настраиваются параметры hi ;
вообще не настраиваются центры потенциалов;
может, некоторые γi можно было бы обнулить?
Вывод: EM-RBF, конечно, круче...
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Понятие отступа
Рассмотрим классификатор a : X → Y вида
a(u) = arg max Γy (u),
y ∈Y
u ∈ X.
Отступом (margin) объекта xi ∈ X ℓ относительно
классификатора a(u) называется величина
M(xi ) = Γyi (xi ) − max Γy (xi ).
y ∈Y \yi
Отступ показывает степень типичности объекта:
чем больше M(xi ), тем «глубже» xi в своём классе;
M(xi ) < 0 ⇔ a(xi ) 6= yi ;
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Типы объектов, в зависимости от отступа
Э — эталонные (можно оставить только их);
Н — неинформативные (можно удалить из выборки);
П — пограничные (их классификация неустойчива);
О — ошибочные (причина — плохая модель);
Ш — шумовые (выбросы; причина — плохие данные).
Margin
0,8
0,6
0,4
!
0,2
"
#
$
0
-0,2
-0,4
-0,6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
i
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Типы объектов, в зависимости от отступа
эталонные (можно оставить только их);
неинформативные (можно удалить из выборки);
пограничные (их классификация неустойчива);
ошибочные (причина — плохая модель);
шумовые (выбросы; причина — плохие данные).
Идея: шумовые и неинформативные удалить из выборки.
Алгоритм STOLP: основная идея
исключить выбросы;
найти по одному эталону в каждом классе;
добавлять эталоны, пока есть отрицательные отступы;
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Алгоритм STOLP
Вход:
X ℓ — обучающая выборка;
δ — порог фильтрации выбросов;
ℓ0 — допустимая доля ошибок;
Выход:
Множество опорных объектов Ω ⊆ X ℓ ;
Классификатор будет иметь вид:
X (i)
yu = y w (i, u),
a(u; Ω) = arg max
y ∈Y
xi ∈Ω
(i)
xu
(i)
yu
— i-й сосед объекта u среди Ω;
— ответ на i-м соседе объекта u;
w (i, u) — произвольная функция веса i-го соседа.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Алгоритм STOLP
для всех xi ∈ X ℓ проверить, является ли xi выбросом:
2:
если M(xi , X ℓ ) < δ то
3:
X ℓ−1 := X ℓ \ {xi }; ℓ := ℓ − 1;
4: Инициализация: взять по одному эталону от каждого класса:
Ω := arg max M(xi , X ℓ ) y ∈ Y ;
1:
5:
6:
7:
8:
9:
xi ∈Xyℓ
6= X ℓ ;
пока Ω
Выделить множество объектов с ошибкой a(u; Ω):
E := {xi ∈ X ℓ \ Ω : M(xi , Ω) < 0};
если |E | < ℓ0 то
выход;
Присоединить к Ω объект с наименьшим отступом:
xi := arg min M(x, Ω); Ω := Ω ∪ {xi };
x∈E
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Алгоритм STOLP: преимущества и недостатки
Преимущества отбора эталонов:
сокращается число хранимых объектов;
сокращается время классификации;
объекты распределяются по величине отступов;
Недостатки алгоритма STOLP:
необходимость задавать параметр δ;
относительно низкая эффективность O(|Ω|2 ℓ).
Другие методы отбора:
стратегия последовательного удаления не-эталонов;
минимизация полного скользящего контроля (CCV);
FRiS-STOLP на основе оценок конкурентного сходства.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Оценка близости i-го объекта к своему классу
Среднее расстояние до k ближайших объектов...
ri = r (xi , yi ) — из своего класса;
r̄i = r (xi , ȳi ) — из всех остальных классов;
Функция конкурентного сходства
(function of rival similarity, FRiS-функция)

+1, объект близок к своим;

r̄i − ri
≈ 0,
di =
объект пограничный;

r̄i + ri

−1, объект близок к чужим;
Назовём di благонадёжностью объекта xi .
Как и отступ, di — это характеристика типичности объекта
относительно выборки.
Преимущество — di величина безразмерная и нормированная.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Благонадёжность выборки
Суммарная благонадёжность выборки характеризует то,
насколько функция расстояния ρ подходит для данной задачи
ℓ
ℓ
X
X
r̄i − ri
D(ρ) =
di =
r̄i + ri
i=1
i=1
распределение объектов по благонадёжности di
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
20
40
60
80
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
100
120
140
160
180
200
Метрические методы классификации
i
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Понятие отступа
Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP
Понятие конкурентного сходства
Простой жадный алгоритм оптимизации метрики
Жадное добавление признаков
1. А вдруг одного признака уже достаточно?
Расстояние по j-му признаку: ρj (u, xi ) = u j − xij .
Выберем наиболее благонадёжное расстояние: D(ρj ) → max.
j
2. Пусть уже есть расстояние ρ.
Попробуем добавить к нему ещё один признак j.
ρjt (u, xi ) = (1 − t) · ρ(u, xi ) + t · ρj (u, xi ).
Найдём t ∈ [0, 1] и признак j, при которых благонадёжность
D(ρjt ) максимальна (два вложенных цикла перебора).
3. Будем добавлять признаки до тех пор,
пока благонадёжность D(ρjt ) увеличивается.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
Полный скользящий контроль CCV
Функционал полного скользящего контроля
(complete cross-validation, CCV):
1 X 1 X
CCV(X L ) = ℓ
a(xi , X ℓ ) 6= yi ,
CL ℓ q q
q
X ⊔X
xi ∈X
где X ℓ ⊔ X q — все CLℓ разбиений выборки X ℓ на обучающую
подвыборку X ℓ и контрольную X q .
Замечание 1. При q = 1 имеем: CCV(X L ) = LOO(X L ).
Замечание 2. CCV характеризует лишь среднюю частоту
ошибок, но не учитывает её разброс.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
Понятие профиля компактности
Определение
Профиль компактности выборки X L — это функция доли
(m)
объектов xi , у которых m-й сосед xi
лежит в другом классе:
L
1 X
(m) K (m, X ) =
yi =
6 yi
;
L
L
m = 1, . . . , L − 1,
i=1
(m)
где xi
— m-й сосед объекта xi среди X L ;
(m)
— ответ на m-м соседе объекта xi .
yi
Теорема (точное выражение CCV для метода 1NN)
L
CCV(X ) =
k
X
m=1
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
K (m, X L )
ℓ−1
CL−1−m
ℓ
CL−1
.
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
Профили компактности для серии модельных задач
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
0
50
100
150
200
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
средний ряд: профили компактности,
нижний ряд: зависимость CCV от длины контроля q.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
Свойства профиля компактности и оценки CCV
Выводы
K (m, X L ) является формальным выражением гипотезы
компактности, связывая её с качеством классификации.
CCV практически не зависит от длины контроля q.
Для минимизации CCV важен только начальный участок
профиля, т. к.
ℓ−1
CL−1−m
ℓ
CL−1
→ 0 экспоненциально по m.
Минимизация CCV приводит к эффективному отбору
эталонных объектов, без переобучения.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
Модельные данные
13
12
11
10
9
8
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Модельная задача классификации: 1000 объектов.
Алгоритм 1NN
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
Последовательный отсев не-эталонных объектов
13
12
11
10
9
8
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
эталонные кл.1
эталонные кл.2
шумовые кл.1
шумовые кл.2
неинформативные кл.1
неинформативные кл.2
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
18
Метрические методы классификации
Метрические алгоритмы классификации
Отбор эталонов и оптимизация метрики
Профиль компактности и скользящий контроль
Полный скользящий контроль CCV
Понятие профиля компактности
Отбор эталонов по функционалу CCV
Последовательный отсев не-эталонных объектов
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0
0
[0-60]
10
20
30
функционал CCV на обучении
40
50
980
990
[980-1000]
частота ошибок на тесте
Зависимость CCV от числа удаленных неэталонных объектов.
К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron)
Метрические методы классификации