Найти для водородоподобных ионов кинетическую энергию К

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по атомной физике
для студентов физического факультета
Ростов-на-Дону
2006
Методические указания разработаны кандидатом физико-математических
наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.
Ответственный редактор
канд. физ.-мат. наук И.Н. Леонтьев
Компьютерный набор и верстка
инженер Г.А. Колесников
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического
факультета РГУ, протокол № 21 от 25 апреля 2006 г.
2
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1.Первый постулат Бора (условие стационарности орбит):
Из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения
классической механики, осуществляются в действительности только некоторые
дискретные орбиты (стационарные состояния), для которых момент импульса
электрона удовлетворяет следующему условию:
mvr  n ,
где m–масса электрона, v – скорость электрона на орбите радиуса r, n – номер
орбиты (главное квантовое число n=1,2,3..),  – постоянная Планка.
Электрон, находящийся на одной из этих орбит, несмотря на то, что он движется
с ускорением, не излучает электромагнитных волн.
2. Второй постулат Бора
При переходе атома из стационарного состояния с большей энергией Ei в стационарное состояние с меньшей энергией Ej происходит излучение кванта света
(фотона) с энергией  :
  Ei  E j ,
где  – циклическая частота излучения при переходе с i-ой на j-ю орбиту (i>j),
Ei и Ej - энергии электрона на этих орбитах.
Такое же соотношение выполняется и в случае поглощения фотона, когда
атом переходитс низшего энергетического уровня Ej на более высокий уровень
Ei.
3. Обобщенная формула Бальмера:
Излучение невзаимодействующих друг с другом атомов состоит из отдельных
спектральных линий, причем они расположены не беспорядочно, а объединяют3
ся в группы или, как их называют, серии линий. Было обнаружено, что частоты
волн в различных сериях, описываются следующей формулой – формулой Бальмера:
 1
4
1 
  RZ 2  2  2  где R  k 2 me ,
2 3
 n1 n2 
где  – циклическая частота перехода между состояниями с квантовыми числами n1 и n2, R – постоянная Ридберга, Z – заряд ядра (в единицах е), k = 1/4o,
o – диэлектрическая постоянная, ( n1=1 – серия Лаймана, n1 =2 – серия Бальмера, n1=3 – серия Пашена, n1=4 – серия Брэкета, n1=5 – серия Пфунда, n1=6 – серия Хэмфри).
Серия Лаймана находится в ультрафиолетовой части спектра, видимой части
спектра принадлежит серия Бальмера, остальные серии лежат в инфракрасной области.
4
Задача №1
В классической электродинамике показывается, что электрон, движущийся с ускорением a, излучает в единицу времени энергию E 
2 e2 2
a ,
3 kc 3
где k=1/40. Оценить на основе классических представлений «время
жизни» атома, считая, что полное ускорение совпадает с центростремительным.
Для простоты будем считать, что электрон в любой момент времени, до падения
на ядро, движется равномерно, по круговой орбите. Причем будем считать, что в
момент времени t=0 электрон движется по первой боровской орбите, т.е.
r1=0.5310-10м. Тогда согласно 2-му Закону Ньютона
v2
e2
me  k 2
r
r
где k  1/ 40 .
Тогда кинетическая энергия электрона K и ускорение а будут равны
mev 2
e2
k
,
2
2r
e2
me r 2
(1)
mev 2
e2
e2
E  K U 
 k  k .
2
r
r
(2)
K
ak
и полная энергия электрона в поле ядра
Очевидно, что энергия, которая будет излучаться за время dt ,будет равна убыли
полной энергии электрона dE, тогда
dE 2 e2 2
dE dr 2 e2 2


a или 

a .
dt 3 kc 3
dr dt 3 kc3
Подставляя в формулу (3), выражения для полной энергии Е (2) и ускорения а (1),
5
получим
2
e 2 dr 2 e 2  e 2 
k
 .
k 2

2r dt 3 kc 3  me r 2 
(3)
Разделяя переменные, получим
4 e4
 r dr 
dt .
3 me2c3
2
Проинтегрируем это уравнение: левую часть по r от r1 до 0, а правую по t от
0 до .
0
  rdr 
r1
4 e4 
dt .
3 me2 c 3 0
В результате получим

me2 c 3r13
.
4e 4
Подставляя в последнее выражение численные значения, получим  = 1.310-11с.
Задача №2
Частица массы m движется по круговой орбите в центрально симметричном потенциальном поле U=r2/2 . Найти, используя условия квантования Бора, разрешенные радиусы орбит и уровни энергии частицы.
Если потенциальное поле обладает сферической симметрией, то
F
U
 r .
r
(4)
Исходя из второго закона Ньютона
v2
m  r .
r
6
(5)
Согласно правилу квантования Бора
mvr  n , где n = 1,2,3…
..
(6)
Выражая из (6) скорость частицы v и подставляя в (5) найдем возможные значения r:
n
.
m
rn 
Возможные значения полной энергии будут описываться следующим уравнением:
mv2 r 2

.
En  K  U 

 r 2  n
2
2
m
Задача №3
Определить для водородоподобного иона радиус n-ой боровской орбиты
и скорость электрона на ней. Вычислить эти величины для первой боровской орбиты атома водорода и ионов Не+ и Li++.
Поскольку электрон двигается по круговой орбите, то
vn2
Ze2
me
 k 2 , ãäå k  1 / 40 ,
rn
r
(7)
где rn – радиус n – ой орбиты, vn – скорость электрона на n – ой орбите.
Согласно правилу квантования Бора
me vn rn  n .
Откуда vn 
(8)
n
. Подставляя выражение, полученное для vn в (7), получим
me rn
n 2 2
.
rn 
kme Ze2
Подставив (9) в (8), получим выражение для vn
7
(9)
Ze2
.
vn  k
n
Значения радиуса первой боровской орбиты r1 и скорости электрона на ней v1, для
атомов водорода и ионов Не+ и Li++, приведены в таблице 1.
Таблица 1.
v1, 106 м/с
r1, 10-10м
Н
2.19
0.529
He+
4.37
0.265
Li++
6.56
0.176
Задача №4
Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что стационарным боровским орбитам соответствует целое число дебройлевских волн. Найти длину волны электрона
на n-ой орбите.
На стационарной боровской орбите будет укладываться целое число дебройлевских волн, если
2rn  l D где l = 1,2,3.
(10)
По определению длина волны де Бройля равна (в случае если электрон движется
на n - ой боровской орбите)
D 
2 2

,
pn me vn
где pn – импульс электрона на n - ой боровской орбите, v  k
n
e
n
электрона на n - ой боровской орбите (см. задачу №2 ). Отсюда
8
2
- скорость
D 
2n 2
kme e
(11)
2
Подставим полученное выражение для D в (10) и, учтя, что радиус на n - ой боровской орбиты равен
n 2 2
,
rn 
kme Ze2
получим
2
n 2 2
2n 2
.

l
2
kme Ze2
kme e
Откуда l = n. Т.к. n целое положительное число, то мы можем сделать вывод, что
на любой стационарной боровской орбите любого водородоподобного иона укладывается целое число дебройлевских длин волн.
Задача №5
Какова величина тока, соответствующего движению электрона на n-ой
орбите атома водорода (n=1)?
По определению сила эквивалентного кругового тока равна:
q
.
t
I
При движении электрона по орбите за время равное одному периоду Т переносится заряд е (е – заряд электрона). Отсюда
I
e
.
T
Период обращения электрона на n - ой орбите равен
Т
2rn
,
vn
9
e2
где vn  k
– скорость электрона на n – ой орбите (см. задачу№2);
n
n 2 2
– радиус n - ой орбиты.
rn 
kmee2
Отсюда
k 2 mee5
.
I
2n3 3
Подставляя числовые значения и произведя вычисления для первой боровской
орбиты (n = 1) получаем I = 1,0610-3 А.
Задача №6
Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите
некоторого радиуса. Найти отношение магнитного момента pm эквивалентного кругового тока и к моменту импульса L орбитального движения электрона.
Магнитный момент pm эквивалентного кругового тока и момент импульса L электрона, двигающегося по n - ой орбите, по определению равны
pm  I n S n
L  mevn rn ,
где Sn  rn2 – площадь контура, ограниченного n - ой орбитой,
In 
e 2evn

– сила эквивалентного кругового тока, vn – скорость электрона
Tn
rn
на n - ой орбите, rn – радиус n - ой орбиты. Отсюда
pm
IS
2evn rn2 2e
 n n 
 .
L mevn rn rn mevn rn
me
10
Задача №7
Найти для водородоподобных ионов кинетическую энергию К электрона
и его энергию связи Есв в основном состоянии, а также потенциал ионизации i. Вычислить эти величины для атома водорода и ионов Не+ и Li++.
В предыдущей задаче было найдено значение скорости электрона на n - ой орбите. Оно имеет вид:
e
2
,
v k
n
n
Выражение для кинетической энергии электрона, находящегося на n - ой боровской орбите будет иметь следующий вид:
m k 2 Z 2e 4
.
K
2 n 2 2
А поскольку k2me4/2ћ3 = R - постоянная Ридберга, выражение для кинетической
энергии электрона на n - ой боровской орбите примет вид
RZ 2
K 2
n
Полная энергия электрона (находящегося на n - ом уровне) в кулоновском поле
ядра равна
mvn2
Ze2
Е  К U 
k
2
rn
Используя выражения для vn и rn, полученные в задаче №3, получаем
2 4
m k 2 Z 2e4 mk 2 Z 2e4
2 mZ e
En 

 k
2 n 2 2
n 2 2
2n 2  2
Состояние атома с наименьшей энергией (n = 1) называют основным. Эта энергия
(по модулю) является энергией связи электрона в основном состоянии Есв = Е1.
11
Именно эту энергию надо сообщить электрону в основном состоянии (n = 1), чтобы удалить его из атома. Таким образом, потенциал ионизации i будет определяться следующим выражением:
E
i  св .
e
Значения кинетической энергии K, энергии связи Есв и потенциал ионизации
i
для атома водорода и ионов He+ и Li++ приведены в таблице 2.
Таблица 2
K, эВ
Есв, эВ
i, В
Н
13.6
13.6
13.6
He+
54.5
54.5
54.5
Li++
122.5
122.5
122.5
Задача №8
Определить первый потенциал возбуждения φ1 и длину волны резонансной линии (головной линии серии Лаймана) для атома водорода и ионов
He+ и Li++.
Первый потенциал возбуждения φ1 соответствует переходу электрона из основного состояния n1 = 1 на уровень с n2 = 2.
1  ( 2  1 ) / e
Поскольку
n  
k 2 mZ 2 e 4
,
2 n 2 2
12
то
1 
3k 2 mZ 2e 4
.
8 2
Учитывая, что
me4
,
Rk
2 3
2
выражение для первого потенциала возбуждения приобретает следующий вид
3
4
1  RZ 2 .
Для нахождения длины волны в головной линии серии Лаймана воспользуемся
обобщенной формулой Бальмера
 1
1 
.

2
2 
 n1 n2 
  RZ 2 
Поскольку в нашем случае n1 = 1, n2 = 2, то
3
RZ 2
4

и, используя связь частоты с длиной волны, окончательно получим

8c
.
3RZ 2
Значения первого потенциала возбуждения φ1 и длины волны λ головной линии
серии Лаймана для атома водорода и ионов He+ и Li++ представлены в таблице 3.
Таблица 3
, нм
1, В
Н
121.5
10.2
He+
30.4
40.8
Li++
13.5
91.5
13
Задача №8
Вычислить длину волны  спектральной линии атомарного водорода,
частота которой равна разности частот следующих двух линий серии
Лаймана: 1=102.6 нм, 2=97.27 нм. Какой серии принадлежит эта линия?
Для вычисления длины волны некоторой спектральной линии атомарного водорода (Z = 1) воспользуемся формулой Бальмера:
 1
1 
  R 2  2 
 n1 n2 
(12)
или с учетом связи частоты и длины волны получим:
1
2с  1
1
 2  2  .

R  n1 n2 
(13)
Для линий серии Лаймана (n = 1) это уравнение будет иметь вид:
1
1
2C 
1 
1  2  ,
1 
R  n1 
2C 
1 
1  2  ,
2 
R  n2 
отсюда
1
1
1
1
 R
 R
 1  1  ,
1  2  ,
2
2
n1
n2
 2с 
 2с 
подставляя в (13) получим
2с  2с
2с 
1 


1
R  1R
 2 R 
1
1
1 
   
 1  2 
1
   2 

  1


 1 2 
1

1 2
 1872 нм .
1   2
Рассчитав значение n1 определим к какой серии принадлежит эта линия
n1 
1
 3,
2с
1
1R
т.е линия принадлежит серии Пашена.
14
Задача №9
У какого водородоподобного иона разность длин волн головных серий
Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм?
Для определения типа водородоподобного иона воспользуемся обобщенной формулой Бальмера
 1
1 
  RZ 2  2  2  .
 n1 n2 
(14)
Поскольку для головной линии серии Бальмера n1 = 2, n2 = 3, а для головной линии серии Лаймана n1 = 1, n2 = 2. То (14) для головной линии серии Бальмера
примет вид:
 1 1 5
Б  RZ 2  2  2   RZ 2 ,
 2 3  36
а для головной линии серии Лаймана
1 1 3
Л  RZ 2  2  2   RZ 2 .
1 2  4
Учтя связь частоты с длиной волны, получим
   Л   Б 
2с  36 4  176 с
.
  
RZ 2  5 3  15 RZ 2
Откуда
Z
176 с
 3.
15 R
Что соответствует иону Li++.
15
Задача №10
В спектре некоторых водородоподобных ионов длина волны третьей
линии серии Бальмера равно 108,5 нм. Найти энергию связи электрона в
основном состоянии этих ионов.
Запишем обобщенную формулу Бальмера
 1
1 
  RZ 2  2  2  .
 n1 n2 
(15)
Для третьей линии серии Бальмера n1 = 2, n2 = 5, тогда, с учетом того что
  2c /  ,
выражение (15) примет следующий вид:
1
2с  1 1 
200 с



.


21 RZ 2
RZ 2  2 2 52 
Поскольку (см. задачу №7)
4
mZ 2e 4
2 me
и Rk
,
св  k
23
2 2
2
то
 св  RZ 2 .
Тогда с учетом (16) получим
 св 
200 с
=54.5 эВ.
21 
Это энергия связи электрона в основном состоянии иона He+.
16
(16)
Задача №11
Учитывая движение ядра атома водорода и боровское условие квантования, найти: 1) возможные расстояния между электроном и ядром;
2) возможные значения полной кинетической энергии; 3) энергию связи
электрона; 4) на сколько процентов отличается энергия связи и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин.
Пусть R и r – расстояния, соответственно от ядра и электрона до общего центра
вращения. Тогда согласно 2-му Закону Ньютона
vе2
e2
m k 2,
r
a
v Я2
e2
M
k 2
R
a
(17)
где k  1/ 40 , М и m – массы ядра и электрона, соответственно, vЯ и vе – их скорости, а – расстояние между ядром и электроном, равное R + r.
Согласно правилу квантования Бора
L  n , где n = 1,2,3…,
где L – момент импульса, равный в данном случае,
L  M R 2  m r 2 ,
тогда
M R 2  m r 2  n .
(18)
Используя связь линейной и угловой скорости
v е  r ,
v Я  R
перепишем (17) в следующем виде
e2
m r  k 2
a
e2
M R  k 2
a
2
2
или
17
(19)
e2
m r  k
r
 a2
e2
M R  k
R
 a2
2
2
Подставляя, полученные выражения в (18), получим
e2
e2
e2
e2
e2
k
Rk
r k
(R  r)  k
ak
 n .
 a2
 a2
 a2
 a2
a
Отсюда
e2
.
 k
n a
Подставив найденное выражение для  в (19) найдем выражения для R и r
n 2 2
,
R
Mke 2
n 2 2
.
r
mke 2
Отсюда
n 2 2
n 2 2 n 2 2  M  m  n 2 2
аRr


,


Mke 2 mke 2
ke 2  Mm  k e 2
где  
Mm
– приведенная масса.
M m
Полная кинетическая энергия атома водорода в данном случае будет складываться из кинетической энергии вращательного движения ядра КЯ и электрона Ке
К  К Я  Ке  M
v2
v Я2
e2
e2
e2
e2
e2
.
 m е  k 2 R  k 2 r  k 2 (R  r)  k 2 a  k
2
2
2a
2a
2a
2a
2a
Подставляя сюда выражение, найденное выше для а, получим
К k
2
 e4
2n 2  2
.
Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий
4
e2
e2
e2
2 e
.
E  K U  k
k k
 k
2a
a
2a
2n 2  2
Тогда выражение для энергии связи (n = 1) будет иметь следующий вид:
Есв  Е  k
2
18
 e4
2 2
 R ,
где R  k
2
 e4
2 3
– уточненное выражение для постоянной Ридберга.
Сравнивая полученные выражения для постоянной Ридберга R и энергии связи Есв
с аналогичными выражениями, полученными нами ранее, но без учета движения
ядра (т.е M = ), можно видеть, что
Eсв
.
Eсв 
1 m/ M
R
R
1 m/ M
Подставляя численные значения, оказывается, что разница составляет 0,055%.
Несмотря на столь малое различие, его удается зафиксировать с помощью современных спектральных приборов.
19
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Постоянная Планка
34

1,0546  10 Дж  с

15

0,6582  10 эВ  с
Скорость света в вакууме
с = 2,998108 м/c
Масса электрона
0,911  10 30 Кг

m e  5,486  10  4 а.е. м.
0,511МэВ

Заряд электрона
1,602  10 19 Кл
e
4,807  10 10 СГСЭ
Электрическая постоянная
Постоянная Ридберга
o = 8,8510-12 Ф/м
1/4o=9109 м / Ф
R  2,067 1016 с 1
20
ЛИТЕРАТУРА
1. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с.
2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов.
– М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с.
3. Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями:
Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк.,
2006. – 591с.
4. Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и
дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с.
5. Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с.
6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с.
7. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. –
271с.
21