§7. Группы в действии Определение 7.1

§7.
Группы в действии
X | множество.
через Aut (X ) группу всех взаимно однозначных отображений из X в себя.
7.1. Действие группы на множестве.
Определение 7.1
'-
Пусть
G
| группа, а
Обозначим
X ) называется действием группы G на множестве X или представлением группы G автоморфизмами множества X . Если понятно, о каком действии идёт речь,
- X к точке x ∈ X обозначается через gx .
результат применения отображения '(g ) : X
Действие называется точным (или эффективным ), если ker ' = 0 , т. е. если каждый отличный от единицы элемент группы действует на X нетождественным образом.
Гомоморфизм
G
Aut (
Действие называется
ствует на
X
свободным ,
если каждый отличный от единицы элемент группы дей-
без неподвижных точек.
Действие называется
транзитивным
, если любую точку множества
любую другую точку каким-нибудь преобразованием из группы
7.1.1. Стабилизатор. С каждой точкой
преобразований, оставляющих точку
группе
G и обозначается
x
x
∈
X
G.
связана подгруппа в
на месте. Она называется
X
G,
можно перевести в
состоящая из всех
стабилизатором
G (x) = {g ∈ G | gx = x}
Stab
точки
x
в
(7-1)
Таким образом, действие свободно, если стабилизатор каждой точки тривиален (состоит только
из единицы группы).
F
Более общим образом, с каждым подмножеством
в пространстве
X ) связаны две подгруппы в G:
нормализатор
централизатор
Когда
F
=
{x}
⊂X
(или, поэтичнее, с каждой фигурой
NG (F ) = {g ∈ G | gF ⊂ F } и
CG (F ) = {g ∈ G | gx = x ∀ x ∈ F
x)
| одна точка, Stab(
значениях указание на группу
F
G,
=
N (x)
=
C (x)
(7-2)
} = ∩ StabG (x)
x∈ F
(7-3)
(тут и дальше мы опускаем в обо-
если оно не очень существенно). Иначе можно сказать, что
N (F ) = Stab(F ) является стабилизатором фигуры F при действии G на множестве фигур в X ,
вызванным действием G на X , а C (F ) ⊂ N (F ) является ядром действия группы N (F ) на фигуре
F . В частности, C (F ) является нормальной подгруппой в N (F ).
7.1.2. Геометрический смысл нормальности. Подгруппа H ⊂ G нормальна тогда и только
- G0 из группы G в какую-нибудь группу G0 ,
тогда, когда существует гомоморфизм ' : G
такой что H = ker ' . В самом деле, легко проверить, что ядро любого гомоморфизма групп
0
нормально, и наоборот, если H ⊂ G нормальна, то в качестве G можно взять фактор группу
0
G = G=H , а в качестве ' | эпиморфизм факторизации G -- G=H , переводящий g в gH .
0
Если реализовать группу G группой преобразований некоторого множества X (например,
◦ 7.2
при помощи левого регулярного действия на себе, см. n
ниже), то сказанному можно при-
H ⊂ G нормальна тогда и только тогда, когда имеется
G на некотором множестве X , такое что H | это совокупность всех преобразований из G, которые действуют на X тождественно (оставляют на месте каждую точку).
дать более наглядную форму: подгруппа
действие группы
Например, собственная группа куба SOкуб действует на трёх отрезках, соединяющих центры
противоположных граней куба. Ядро этого действия | диэдральная группа
тождественного преобразования и трёх поворотов на 180
осей. Тем самым,
◦
D2 , состоящая из
вокруг проходящих через эти отрезки
D2 ⊂ SOкуб нормальна, и SOкуб =D2 ' S3 .
Упражнение 7.1. Отождествите собственную группу куба с симметрической группой S4 и переговорите предыдущий абзац на языке перестановок.
7.2. Левое регулярное действие.
57
G на множества X связано бинарное отношение x ∼ y
G
на X , означающее, что y = gx для некоторого g ∈ G. Из определений группы и действия вытекает, что это отношение является эквивалентностью: оно рефлексивно, поскольку x = ex,
−1 y , и транзитивно, поскольку из y = gx и z = hy
симметрично, поскольку y = gx ⇐⇒ x = g
вытекает, что z = (hg )x.
Класс эквивалентности точки x ∈ X по отношению ∼ обозначается Gx и называется орG
битой x под действием G. Он состоит из всех точек, которые можно получить из x, применяя
всевозможные преобразования из группы G. Из общих свойств классов эквивалентности выте7.1.3. Орбиты. С действием группы
1
кает, что орбиты двух различных точек или не пересекаются или совпадают . Множество всех
G и обозначается X=G .
Левое регулярное действие. Обозначим через X множество элементов группы G. Ото-
орбит называется
7.2.
фактором
X
множества
бражение
по действию группы
L:G
сопоставляющее элементу
g ∈ G преобразование Lg
левым регулярным действием
зитивно. Первое означает, что равенство
для любых
x; y
∈
G уравнение y
=
группы
gx
x
=
(7-4)
g:
левого умножения на
x7→gx -
Lg : X
называется
X) ;
Aut (
-
X;
G
(7-5)
на себе. Это действие свободно и тран-
возможно только при
gx разрешимо относительно g
умножением обеих частей соответствующего равенства справа на
g
=
e,
второе | что
(оба факта устанавливаются
x−1 ).
Будучи свободным, левое регулярное действие точно. Тем самым, любая абстрактная группа
может быть реализована как некоторая группа преобразований подходящего множества.
q-элементных подмножеств в G и рассмотрим действие G
на Eq , вызванное левым регулярным действием G на себе. Стабилизатор произвольной точки
F ∈ E состоит из всех элементов g ∈ G, левое умножение на которые переводит F в себя
Обозначим через
Eq
множество
Stab(
Лемма 7.1
|Stab(F )|
делит
|F | ,
и равенство
F ) = {g ∈ G | gF
|Stab(F )|
F ) ⊂ G.
=
|F |
⊂ F}
F
равносильно тому, что
является правым
смежным классом подгруппы Stab(
Доказательство.
Stab(
F ) свободно действует на F , и каждая орбита этого действия состоит из
|Stab(F )| точек, т. к. g1 x 6= g2 x при g1 6= g2 . Поскольку F является дизъюнктным объединением
орбит, |F | делится на |Stab(F )|. Равенство |Stab(F )| = |F | означает, что все точки F составляют
одну орбиту, т. е. F = {gx | g ∈ Stab(F )} = Stab(F ) · x есть правый сдвиг подгруппы Stab(F ) на
элемент x ∈ F .
Упражнение 7.2 (правое регулярное действие). Покажите, что сопоставление элементу g ∈ G
x7→xg −1 отображения Rg : XG
XG правого умножения на g −1 задаёт свободное транзитивное
действие2 группы
G
на себе. Сформулируйте и докажите для него аналог лем. 7.1
7.3. Присоединённое действие.
Отображение
Ad :
сопоставляющее элементу
-
g
:
G) ;
Aut (
g ∈ G автоморфизм Adg
Ad
1
G
сопряжения элементом
h7→ghg−1 -
G
(7-6)
g
G;
(7-7)
g −1 hy и ∀ f ∈ G fx =
fg hy ∈ Gy , т. е. Gx ⊂ Gy ; противоположное включение Gx ⊃ Gy следует из равенства y = h−1 gx
2
−1
появление g
не случайно: проверьте, что сопоставление элементу g ∈ G отображения правого умножения на
g является не гомоморфизмом, а антигомоморфизмом (т. е. оборачивает порядок сомножителей в произведениях)
это легко увидеть и непосредственно: если
−1
gx
=
hy
для некоторых
g; h ∈ G,
то
x
=
§7. Группы
58
называется
присоединённым действием
(7-5) преобразование сопряжения Ad
g
группы
G
на себе. В отличие от левого сдвига
гомоморфизмом
является
в действии
из
G в G.
Lg
из
Упражнение 7.3. Проверьте это, а также проверьте, что отображение (7-6) является гомоморфизмом.
Другое важное отличие присоединённого действия от регулярного заключается в том, что присоединённое действие может быть не свободно и не точно. Например, если группа
G
абелева,
все внутренние автоморфизмы (7-7) исчерпываются тождественным отображением, и ядро присоединённого действия в этом случае совпадает со всей группой.
g ∈ G, что ghg−1 = h для всех h ∈ G. Последнее
равенство равносильно равенству gh = hg и означает, что g коммутирует со всеми элементами
группы. Подгруппа элементов, перестановочных со всеми элементами группы G называется
центром группы G и обозначается
В общем случае ker(Ad) образовано такими
Z (G) = {g ∈ G |
∀ h∈G
gh = hg} :
Таким образом, ядро присоединённого действия | это центр группы
G
Образ присоединённого действия называется
и обозначается Int(
G)
G
= Ad
= im (Ad)
присоединённого действия, называются
⊂
G.
группой внутренних автоморфизмов
G) .
Aut (
группы
Автоморфизмы, не попавшие в образ
внешними .
Упражнение 7.4. Покажите, что подгруппа внутренних автоморфизмов нормальна в группе всех
автоморфизмов.
7.4. Длины орбит.
Количество точек в орбите (если оно конечно) называется её
орбиты конечной группы имеют конечную длину. Чтобы связать
тивное
длиной .
Все
|Gx| с |G| рассмотрим сюрьек-
отображение вычисления
ev
x
:
G
g7→gÈ-
Gx :
(7-8)
x представляет собою стабилизатор Stab(x) точки x. Слой
y = gx состоит из всех h ∈ G, переводящих x в y. Такие преобразования
Слой этого отображения над точкой
над произвольной точкой
образуют левый смежный класс стабилизатора, поскольку
hx = gx
⇐⇒
g−1 h ∈ Stab(x)
⇐⇒
h ∈ g · Stab(x) :
Таким образом, точки орбиты биективно соответствуют левым смежным классам стабилизатора
произвольно выбранной точки этой орбиты. Стабилизаторы точек из одной орбиты сопряжены:
Stab(
gy) = g · Stab(x) · g−1 :
Из вышесказанного вытекает простая, но очень важная
Теорема 7.1 (формула для длины орбиты)
Длина орбиты произвольной точки при действии на неё конечной группы преобразований
G
равна
|GÈ| = |G| : |StabG (x)| .
7.4.1. Пример: действие перестановок букв на словах. Зафиксируем какой-нибудь
квенный алфавит
A
=
{a1 ; a2 ; : : : ; ak }
и рассмотрим множество
X
всех
n-буквенных
k-буw,
слов
которые можно написать с его помощью.
w : {1 ; 2 ; : : : ; n } - A .
−1 , которое переставляет
Сопоставим каждой перестановке ∈ Sn преобразование w 7→ w
1
буквы в словах так, как предписывает . Таким образом мы получаем действие симметрической
группы Sn на множестве слов.
Иначе
1
X
можно воспринимать как множество всех отображений
т. е. переводит слово
w = a1 a2 : : : an в слово a−1 (1) a−1 (2) : : : a−1 (n) , на i-том месте которого стоит та
w переводится перестановкой в номер i
буква, номер которой в исходном слове
7.5. Перечисление орбит
Орбита слова
w
∈
59
X
под действием этой группы состоит из всех слов, где каждая буква
w. Стабилизатор Stab(w) слова w, в
ai встречается mi раз (для каждого i = 1; : : : ; k), состоит из перестановок между
алфавита встречается столько же раз, сколько в слове
котором буква
собою одинаковых букв и имеет порядок
|Stab(w)| = m1 ! · m2 ! · · · · · mk ! :
Таким образом, длина орбиты такого слова равна мультиномиальному коэффициенту
|Sn w| =
|Sn |
|Stab(w)|
n!
m1 ! · m2 ! ·
=
· · · · mk !
=
n
:
m1 : : : mk
Этот пример показывает, что разные орбиты могут иметь разную длину, и порядки стабилизаторов точек из разных орбит могут быть разными.
7.4.2. Пример: классы сопряжённости в симметрической группе. Перестановка
g
Ad (
) = gg−1 ;
= (1 ; 2 ; : : : ; n ) ∈ Sn , для каждого i = 1; 2; : : : ; n пеg(i) в g(i ). Например, при сопряжении цикла = |i1 ; i2 ; : : : ; ik i ∈ Sn перестановкой
g = (g1 ; g2 ; : : : ; gn ) получится цикл |g(i1 ); g(i2 ); : : : ; g(ik )i .
сопряжённая данной перестановке
реводит
Предложение 7.1
Sn на себе взаимно однозначно со, состоит из всех
перестановок циклового типа . Если диаграмма имеет m1 строк длины 1, m2 строк длины
2, . . . , mn строк длины n, то централизатор C () любой перестановки циклового типа состоит
n
Q
m
m
m
из z = 1 1 · m1 ! · 2 2 · m2 ! · · · · · n n · mn ! =
m !m перестановок, и длина присоединённой
Орбиты присоединённого действия симметрической группы
ответствуют диаграммам Юнга веса
орбиты такой перестановки равна
Доказательство.
n.
Орбита, отвечающая диаграмме
n! · z−1 .
=1
Сопоставим произвольному заполнению диаграммы
мися числами от 1 до
n
перестановку
∈
Sn
циклового типа
,
веса n неповторяющи-
которая является произведе-
нием независимых циклов, слева направо циклически переставляющих элементы каждой строки
g на такую перестановку состоит в приg ко всем элементам заполнения, т. е. в замене каждого числа i числом gi .
Ясно, что таким образом можно получить любое заполнение диаграммы , т. е. присоединённая
заполнения. Действие внутреннего автоморфизма Ad
менении отображения
орбита состоит в точности из перестановок заданного циклового типа. Это доказывает первые
два утверждения.
тогда и только
, когда они отличаются друг от друга независимыми
Вторые два утверждения следуют из того, что два заполнения диаграммы
тогда дают одну и ту же перестановку
циклическими перестановками элементов в строках и произвольными перестановками между
собою строк одинаковой длины как единого целого.
7.5. Перечисление орбит.
Подсчёт числа элементов в факторе
по действию конечной группы
G
X=G конечного множества X
наталкивается на очевидную трудность: поскольку длины у
орбит могут быть разные, число орбит «разного типа» придётся подсчитывать по отдельности,
заодно уточняя по ходу дела, что именно имеется в виду под «типом орбиты». Разом преодолеть
обе эти трудности позволяет
Теорема 7.2 (формула Полиа { Бернсайда)
G действует на конечном
X | gx = x} = {P
x ∈ X| g
−1
преобразования g . Тогда |X=G| = |G|
|X g | .
Пусть конечная группа
множестве
чим через
∈
Xg
=
{x ∈
g ∈G
Stab(
x)}
X.
Для каждого
g
∈
G
обозна-
множество неподвижных точек
§7. Группы
60
G × X множество всех пар (g; x), таких что gx = x.
g
Иначе F можно описать как F = tx∈X Stab(x) = tg ∈G X . Первое из этих описаний получается
- G . Согласиз рассмотрения проекции F
, второе | из рассмотрения проекции F
P X
но второму описанию, |F | =
|X g |. С другой стороны, из первого описания мы заключаем,
Доказательство.
что
|F |
=
Обозначим через
|G| · |X=G|.
F
в действии
⊂
g ∈G
В самом деле, стабилизаторы всех точек, принадлежащих одной орбите,
имеют одинаковый порядок, и сумма этих порядков по всем точкам орбиты равна произведению порядка стабилизатора на длину орбиты, т. е.
|F | = |G| · |X=G| =
P
g ∈G
|X g |.
|G|.
Складывая по всем орбитам, получаем
7.5.1. Пример: ожерелья. Предположим у нас имеются одинаковые по форме бусины
n раз-
личных цветов (количество бусин каждого цвета неограничено). Сколько различных ожерелий
одинаковой формы можно сделать из 6 бусин?
Ответом на этот вопрос является количество орбит группы диэдра
раскрасок вершин правильного шестиугольника в
D6
на множестве всех
e, двух поворотов ±1
на
двух поворотов на
центральной симметрии трёх отражений 14 , 23 ,
36 относительно больших диагоналей и трёх отражений 14 , 23 , 36 относительно срединных
6
перпендикуляров к сторонам. Единица оставляет на месте все n раскрасок. Раскраски, симмеГруппа
±60◦ ,
D6
n цветов.
состоит из 12 элементов: тождественного преобразования
±2
3,
±120◦ ,
тричные относительно остальных преобразований, показаны на рис. 7 1 (одинаковым оттенкам
серого отвечают одинаковые цвета).
-инваринтные бусы
2 -инваринтные бусы
14 -симметричные бусы
Рис. 71.
3 -инваринтные бусы
14 -симметричные бусы
Симметричные ожерелья из шести бусин.
Беря все допустимые сочетания цветов, получаем, соответственно,
По теор. 7.2 искомое число 6-бусинных ожерелий равно
1
12
·
n6 + 3 n4 + 4 n3 + 2 n2 + 2 n
n, n2 , n3 , n4 и n3 раскрасок.
7.6. Орбиты
p-групп.
61
Упражнение 7.5. Подсчитайте количество ожерелий из 7, 8, 9, и 10 бусин.
p-групп.
7.6. Орбиты
скольку все подгруппы
либо делится на
pn , где p ∈ N | простое, называется p-группой . Появляются p-группами, длина любой орбиты p-группы
Группа порядка
p-группы
также
p, либо равна единице. Мы получаем простое, но полезное
Предложение 7.2
p-группа G действует на конечном множестве X , число элементов в котором не делится
на p . Тогда G имеет на X неподвижную точку.
Пусть
Следствие 7.1
Любая
p-группа имеет нетривиальный центр.
Доказательство.
Рассмотрим присоединённое действие группы на себе. Центр группы пред-
ставляет собой множество неподвижных точек этого действия. Поскольку и число элементов в
группе, и длины всех орбит, содержащих более одной точки, делятся на
орбиты
e должны быть и другие одноточечные орбиты.
p, кроме одноточечной
Упражнение 7.6. Покажите, что любая группа G порядка p2 (где p простое) абелева.
G | произвольная конечная группа. Запишем её поря-
7.6.1. Силовские подгруппы. Пусть
n
док в виде |G| = p m, где p | простое, n > 1, и m взаимно просто с p . Всякая подгруппа S ⊂ G
n
порядка |S| = p
называется силовской p-подгруппой в G. Количество силовских p-подгрупп в
G обозначается через Np (G) .
Теорема 7.3 (теорема Силова)
Для любого простого
p, делящего |G|, силовские p-подгруппы в G существуют. Все они сопряp-подгруппа в G содержится в некоторой силовской p-подгруппе.
жены друг другу, и любая
Доказательство.
множество
Пусть
q-элементных
|G|
=
(1 +
x)p
Fp
nm
=
=
q
=
G
pn
и
m
взаимно просто с
и рассмотрим действие
G на себе, как в лем. 7.1.
G
p.
на
Обозначим через
Eq ,
Eq
индуцированное
m (mod p) (в частности, не делится на p).
Доказательство.
над полем
где
подмножеств в
левым регулярным действием
Лемма 7.2
n
|Eq | = ppnm ≡
qm,
pn m (mod
pn
Z=(p) .
(1 +
p)
xpn
равен коэффициенту при
в биноме (1 +
a + b)p = ap + bp над Fp , получаем
x)pn m ,
раскрытом
Поскольку (
x)p
pn−1 m
=
= (1 +
xp )p
n−1 m
p p pn−2 m
(1 + x )
=
=
···
1+
=
xp
2 pn−2 m
1+
=
pn m
x
:::
= 1+
mxp
n
+
старшие степени
что и требовалось.
|Stab(F )| стабили∈ Eq является делителем q = pn . Если |Stab(F )| < q , длина
орбиты точки F делится на p. Поскольку |Eq | не делится на p, найдётся F ∈ Eq со стабилизатором
порядка |Stab(F)| = q = |F|. Таким образом, подгруппа S = Stab(F) ⊂ G | силовская.
Для доказательства остальных утверждений заметим, что длина орбиты GF рана m, так что
Вернёмся к доказательству теоремы Силова. Согласно лем. 7.1, порядок
затора произвольно взятой точки
F
p-подгруппа. Произвольная p-подгруппа
GF, имеет по предл. 7.2 неподвижную точку F ∈ GF и, тем самым, содержится в силовской p-подгруппе Stab(F ). В частности, если H сама является силовской, мы
получим равенство H = Stab(F ) , т. е. любая силовская подгруппа является стабилизатором некоторой точки из орбиты GF. Так как стабилизаторы всех точек одной орбиты сопряжены, все
стабилизатор любой точки этой орбиты | силовская
H
⊂
G,
действуя на
силовские подгруппы сопряжены.
§7. Группы
62
в действии
Следствие 7.2 (дополнение к теореме силова)
В условиях теоремы Силова число
по модулю
p.
Np силовских p-подгрупп в G делит m и сравнимо c единицей
Обозначим множество силовских p-подгрупп в G через S и рассмотрим дейG на S , индуцированное присоединённым действием G на себе. По теореме Силова это
действие транзитивно, откуда |S | = |G|=|Stab(S)|, где S ∈ S | произвольно взятая силовская
p-подгруппа. Поскольку S ⊂ Stab(S) , порядок |Stab(S)| делится на |S| = pn , а значит |S | делит
|G|=pn = m, что доказывает первое утверждение.
Доказательство.
ствие
Для доказательства второго утверждения достаточно проверить, что
имеет там ровно одну неподвижную точку (а именно
S ∈ S)
S,
действуя на
| порядки всех остальных
S,
S-
p, и мы получим |S | ≡ 1 (mod p).
H ∈ S неподвижна при сопряжении подгруппой S. Это озна−1 ⊂ H } . Поскольку H ⊂ Stab(H ) ⊂ G, порядок
чает, что S ⊂ Stab(H ) = {g ∈ G | gHg
n
0
0
|Stab(H )| = p m , где m |m и взаимно просто с p. Таким образом, и S и H являются силовскими
p-подгруппами в Stab(H ), причём H нормальна в Stab(H ). Так как все силовские подгруппы
сопряжены, H = S, что и требовалось.
орбит делятся на
Пусть силовская подгруппа
7.6.2. Строение небольших групп часто удаётся полностью выяснить при помощи теоремы
Силова и дополнения к ней.
Например, пусть
|G|
G
= 15. Тогда в
есть ровно одна силовская подгруппа
порядка 3 и ровно одна силовская подгруппа
нормальны. Поскольку
a ∈ H3 , b ∈ H5 все
G = Z=(3) × Z=(5) .
H3
H5
и
H5
' Z=(5)
H3
' Z=(3)
порядка 5. Следовательно, обе они
H3 ∩ H5 = e. Поэтому элементы ab с
aba−1 b−1 ∈ H5 ∩ H3 = e . Следовательно,
к тому же ещё и просты
ab = ba,
различны. Наконец,
т. к.
G порядка 10. В G имеется ровно одна силовская подгрупG может быть либо 1,
либо 5 силовских подгрупп порядка 2, каждая из которых тривиально пересекается с H5 . Если
подгруппа второго порядка одна, то мы, как и выше, получим G ' Z=(5) × Z=(2) . Если двухэлементных подгрупп 5, обозначим одну из них через H2 и посмотрим её присоединенное действие
на нормальной подгруппе H5 .
Ещё пример: опишем все группы
па
H5
' Z=(5)
порядка 5, и она, тем самым, нормальна. Кроме того, в
Упражнение 7.7. Убедитесь, что группа Aut (Z=(5)) ' Z=(4) представляет собою циклическую группу, порождённую автоморфизмом, переводящим класс [1]
Присоединённое действие
ный эндоморфизм
H5 ,
H2
-
∈ Z=(5)
в класс [2]
∈ Z=(5).
H5 ) переводит элемент b 6= e из H2
Aut (
либо в тождествен-
либо в автоморфизм второго порядка, каковой имеется ровно один |
a ∈ H5 в a−1 . В первом случае подгруппа H2 коммутирует с
−1 = a−1 и группа
подгруппой H5 , откуда G = H2 × H5 ' Z=(5) × Z=(2). Во втором случае bab
G ' D5 | подгруппа H5 представляет собой подгруппу поворотов, пять силовских подгрупп
переводящий образующий элемент
второго порядка порождаются пятью отражениями, сопряжёнными между собою посредством
поворотов, и сопряжение любым отражением изменяет образующий поворот на обратный.
7.7. Полупрямые произведения.
Рассуждение использованное в последнем примере допуска-
ет следующее обобщение. Пусть группа
Q действует на группе N групповыми автоморфизмами,
т. е. задан гомоморфизм групп
%:Q
N)
Aut (
(7-9)
N = N × e стала
нормальной подгруппой, а сопряжение элементов из N элементами из e × Q = Q задавалось
действием (7-9). А именно, рассмотрим множество формальных произведений ab с a ∈ N , b ∈ Q,
−1 = % (a) для любых a ∈ N ,
которые по-определению считаются различными, и положим bab
b
b ∈ Q. Это позволяет перемножать формальные произведения ab по естественному правилу
Тогда на множестве
(
N ×Q
g7→%g -
можно ввести групповую структуру так, чтобы
a1 b1 )(a2 b2 ) = a1 b1 a2 b2 = a1 b1 a2 b−1 1 b1 b2 = (a1 %b1 (a2 ))(b1 b2 )
7.7. Полупрямые произведения.
63
def
Упражнение 7.8. Убедитесь, что операция (a1 ; b1 ) · (a2 ; b2 ) = (a1 %b1 (a2 ); b1 b2 ) наделяет теоретикомножественное произведение
N ×Q
структурой группы с единичным элементом (e; e) . Покажите,
что элементы вида (a; e) образуют в этой группе нормальную подгруппу, изоморфную
вида (e; b) составляют (не обязательно нормальную) подгруппу, изоморфную
Q.
N , а элементы
N h Q и называется полупрямым произве%
дением групп N и Q по действию %. Если % тривиален, т. е. отображает все элементы Q в тождественный автоморфизм группы N , эта конструкция даёт прямое произведение групп N × G .
Получающаяся таким образом группа обозначается
Упражнение 7.9. Постройте изоморфизм группы диэдра Dn с Z=(n) h Z=(2), где
%
% : Z=(2)
переводит образующую
Z=(2)
в инволюцию
-
Aut (Z=(n))
Z=(n)
[k]7→[−k] -
Z=(n) .
Предложение 7.3
G тогда и только тогда является полупрямым произведением
N C G на некоторую подгруппу Q ⊂ G, когда N ∩ Q = e и NQ = G.
Группа
нормальной подгруппы
G единственab с a ∈ N , b ∈ Q . Поскольку N нормальна, подгруппа Q
действует на N сопряжениями. Обозначим это действие через %. Тогда
Доказательство.
Последние два условия означают, что любой элемент группы
ным образом представляется в виде
(
a1 b1 )(a2 b2 ) = a1 b1 a2 b2 = a1 b1 a2 b−1 1 b1 b2 = (a1 %b1 (a2 ))(b1 b2 )
как это и происходит в полупрямом произведении
N hQ.
%