Практикум по теме Элементы теории процентных ставок

Практикум по теме
Элементы теории процентных ставок
Методические указания по выполнению практикума
Цель практикума − развитие следующих навыков:
• учет фактора времени в финансовых операциях;
• использование схемы наращения и дисконтирования по простым процентам;
• использование схемы наращения и дисконтирования по сложным процентам;
• вычисление номинальной, эквивалентной, эффективной процентной и учетной ставки;
• учет инфляции.
Перед решением заданий практикума рекомендуется провести
самостоятельный анализ всех разобранных примеров.
Решение типовых задач
ТЗ 1.1.
Предприниматель получил на полтора года кредит в размере
50 тыс. р. с условием возврата 60 тыс. р. Определите процентную
ставку и учетную ставку за полтора года.
Решение:
t = 1,5 года, PV = 50 тыс. р. FV = 60 тыс. р.
Величина процентной ставки за полтора года в соответствии с
формулой (1.1.2 ) равна:
FV − PV 60 − 50
=
= 0,2 , или r1,5 = 20 %.
PV
50
Учетная ставка вычисляется по формуле (1.1.2 ) :
r1,5 =
d1,5 =
FV − PV 60 − 50
=
= 0,167 , или d1,5 = 16,7 %.
FV
60
ТЗ 1.2.
В банк поместили вклад 20 тыс. р. под простую процентную
ставку 10% годовых. Какая сумма будет на счете через 3 года? Какова будет величина начисленных процентов? Если банк осуществляет регулярную выплату процентов, то какая сумма будет получена
а) каждый год; б) каждый квартал?
Решение:
Используя формулу наращения по простым процентам (1.2.1) ,
получаем:
FV = PV (1 + nr ) = 20 (1 + 0,1⋅ 3 ) = 26 тыс. р.
Величина начисленных процентов I , вычисленная по формуле
(1.2.2 ) , составит:
I = FV − PV = 26 − 20 = 6 .
Величина начисленных процентов, выплачиваемых за один
год, вычисляется по формуле I = PV ⋅ n ⋅ r (1.2.2 ) при n = 1:
I1 = 20 ⋅ 1⋅ 0,1 = 2 .
Величина начисленных процентов, выплачиваемых за квартал,
вычисляем аналогично при n = 0,25 :
I2 = 20 ⋅ 0,25 ⋅ 0,1 = 0,5.
Заметим, что проценты на уже начисленные проценты не начисляются, поэтому имеет смысл начисленные проценты регулярно
получать и использовать для иных инвестиций.
ТЗ 1.3.
Предпринимателю 1 января была предоставлена ссуда в размере 50 тыс. р. с погашением 15 марта того же года под процентную
ставку 30 % годовых. Рассчитайте различными способами сумму к
погашению, если начисляются простые проценты и год невисокосный.
Решение:
Величина, уплачиваемых процентов за пользование ссудой зависит от числа дней, которое берется в расчет, оно может быть либо
точное ( 74 − 1 = 73 ), либо приближенное ( 30 ⋅ 2 + 14 = 74 ). Точное
количество дней определяется по табл. 1.
Формула для вычисления суммы к погашению (1.2.3 ) имеет вид
t ⎞
⎛
FV = PV ⎜ 1 + r ⎟ ,
⎝ T ⎠
где T – количество дней в году, t – срок финансовой операции.
Способ 1: Точные проценты и точное число дней ссуды
(T = 365 , t = 73 )
73
⎛
⎞
⋅ 0,3 ⎟ = 53 тыс. р.
FV = 50 ⎜ 1 +
365
⎝
⎠
Способ 2: Обыкновенные проценты и точное число дней ссуды
(T = 360, t = 73 )
73
⎛
⎞
FV = 50 ⎜ 1 +
⋅ 0,3 ⎟ = 53,0417 тыс. р.
360
⎝
⎠
Способ 3: Обыкновенные проценты и приближенное число
дней ссуды (T = 360, t = 75 )
74
⎛
⎞
FV = 50 ⎜ 1 +
⋅ 0,3 ⎟ = 53,083 тыс. р.
360
⎝
⎠
ТЗ 1.4.
Банк за использование в течение трех месяцев 1000 тыс. р.
должен выплатить 40 тыс. р. Определите стоимость привлеченных
средств в виде простой годовой процентной ставки в условиях начисления обыкновенных процентов.
Решение:
t ⎞
⎛
Из формулы (1.2.3 ) FV = PV ⎜ 1 + r ⎟ , получаем
⎝ T ⎠
40
40
FV − PV
r =
=
=
= 0,16 , или 16 % годовых.
t
3
250
1000 ⋅
PV
T
12
ТЗ 1.5.
На какой срок клиент банка может взять кредит в размере
30 тыс. р. под простые проценты с условием, чтобы величина возврата долга не превышала 32 тыс. р., если процентная ставка равна
10 %, в расчет принимаются точные проценты с точным числом
дней и год високосный.
t ⎞
⎛
Решение: Выражая t из формулы FV = PV ⎜ 1 + r ⎟ , получаем
⎝ T ⎠
( FV − PV )T .
t=
r ⋅ PV
При FV = 32, PV = 30, T = 366, r = 0,1 имеем
t=
( 32 − 30 ) 366 = 244
0,1⋅ 30
дня.
ТЗ 1.6.
В банк 1 мая предъявлен для учета вексель на сумму 25 тыс.
р. со сроком погашения 1 августа того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 30 %, используя способ 365 360 . Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную
услугу.
Решение:
Величина суммы, полученной векселедержателем, определяt
ется по формуле (1.2.7 ) , где n = , t – продолжительность финанT
совой операции в днях, T – количество дней в году.
Тогда
t ⎞
⎛
PV = FV ⎜ 1 − d ⎟ .
⎝ T ⎠
При FV = 25, T = 360, d = 0,3, t = 213 − 121 = 92 , получаем
92
⎛
⎞
0,3 ⎟ = 23,083 тыс. р.
PV = 25 ⎜ 1 −
⎝ 360
⎠
Дисконт, полученный банком D , представляет собой разность
между номинальной величиной векселя FV и дисконтированной величиной векселя PV (см. формулу (1.2.6 ) ):
D = FV − PV = 25 − 23,083 = 1,917 тыс. р.
ТЗ 1.6. Вексель на сумму 10 тыс. р. учитывается по простой
учетной ставке за 150 дней до погашения с дисконтом 750 р. в
пользу банка. Определите величину годовой учетной ставки при
временной базе, равной 360 дней в году.
Решение:
Выражая d из формулы (1.2.6 ) :
d=
D
.
t
FV
T
При FV = 10, T = 360, D = 0,75 , t = 150, получим величину годовой учетной ставки:
d=
0,75
= 0,18 .
150
10 ⋅
360
ТЗ 1.7.
Сумма 40 тыс. р. инвестируется под процентную ставку 9 %
годовых: а) на 6 лет, б) на 9 лет. Найдите наращенные суммы при
условии начисления ежегодных сложных процентов.
Решение:
При наращении сложными процентами по формуле (1.3.1)
FV = PV (1 + r ) = PV ⋅ FM1( r , n ) ,
n
в случае а) при n = 6, PV = 50, r = 0,09 получим
FV = 40 (1 + 0,09 ) = 40 ⋅ FM1( 9 %,6 ) = 40 ⋅ 1,677 = 67,080 тыс. р.,
6
в случае б) при n = 9, PV = 50, r = 0,09 , получим:
FV = 40 (1 + 0,09 ) = 40 ⋅ FM1( 9 %,9 ) = 40 ⋅ 2,171 = 86,84 тыс. р.
9
ТЗ 1.8.
Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 100
тыс. р. при размещении ее в банке на условиях начисления простых
и сложных процентов, если годовая процентная ставка равна 12 %,
периоды начисления различны: 1) 30 дней, 2) 90 дней, 3) 180 дней,
4) 1 год, 5) 3 года, 6) 10 лет, 7) 50 лет. Полагать год равным 360
дней. Сравнить полученные результаты.
Решение:
Для расчетов по сложным процентам используем формулу
t
FV = PV (1 + r )T , для расчета по простым процентам – формулу
t
⎛
FV = PV ⎜ 1 +
⎝ T
тыс. р.):
⎞
r ⎟ , и получаем следующие наращенные суммы (в
⎠
Сложные проценты
FV4 = 100 (1 + 0,12 ) = 112
Простые проценты
30
⎛
⎞
0,12 ⎟ = 101
FV1 = 100 ⎜ 1 +
360
⎝
⎠
90
⎛
⎞
0,12 ⎟ = 103
FV2 = 100 ⎜ 1 +
⎝ 360
⎠
⎛ 180
⎞
0,12 ⎟ = 106
FV3 = 100 ⎜ 1 +
⎝ 360
⎠
FV4 = 100 (1 + 0,12 ) = 112
FV5 = 100 (1 + 0,12 ) = 140,49
FV5 = 100 (1 + 3 ⋅ 0,12 ) = 136
FV6 = 100 (1 + 0,12 ) = 310,58
FV6 = 100 (1 + 10 ⋅ 0,12 ) = 220
FV7 = 100 (1 + 0,12 )
FV7 = 100 (1 + 50 ⋅ 0,12 ) = 700
FV1 = 100 (1 + 0,12 )
30
360
= 100,949
90
FV2 = 100 (1 + 0,12 ) 360 = 102,873
180
FV3 = 100 (1 + 0,12 ) 360 = 105,83
3
10
50
= 1355,23
Таким образом, если денежные средства размещены на срок
менее одного года, то более выгодна схема начисления простых
процентов. Если срок размещения денежных средств превышает
один год, более выгодна схема сложных процентов, и наращение
идет очень быстрыми темпами.
ТЗ 1.9.
Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 15 %
годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в 4 раза при начислении сложных и простых процентов.
Решение:
Если начисляются сложные проценты, то можно воспользоваться формулой (1.3.1)
FV = PV (1 + r ) .
n
Выражая n , получаем
⎛ FV ⎞
ln ⎜
⎟
ln 4
⎛ FV ⎞
⎝ PV ⎠ =
=
= 5,84 года.
n = log(1+r ) ⎜
⎟
ln(1 + 0,3)
⎝ PV ⎠ ln (1 + r )
Если начисляются простые проценты, то можно воспользоваться формулой (1.2.1)
FV = PV (1 + nr ) .
4 −1
⎛ FV
⎞
Тогда n = ⎜
− 1⎟ r =
= 10 лет.
0,3
⎝ PV
⎠
ТЗ 1.10.
Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещенную в банк
на депозит. Какова должна быть номинальная процентная ставка
при начислении сложных процентов: а) каждые полгода, б) каждый
месяц.
Решение:
Преобразуя
(1.3.5 )
m
⎛
r( ) ⎞
FV = PV ⎜ 1 +
⎟⎟
⎜
m
⎝
⎠
mn
, получаем формулу
для вычисления годовой номинальной ставки r (
m)
1
⎡
⎤
mn
⎛ FV ⎞
⎢
= m⋅ ⎜
− 1⎥ .
⎢⎝ PV ⎟⎠
⎥
⎣
⎦
В случае а) m = 2 и поэтому:
⎡ 21⋅7 ⎤
( 2)
r = 2 ⋅ ⎢3 − 1⎥ = 0,1633 .
⎣
⎦
В случае б) m = 12 и поэтому:
⎡ 121⋅7 ⎤
(12 )
= 12 ⋅ ⎢3 − 1⎥ = 0,158 .
r
⎣
⎦
Из примера видно, чем чаще начисляются проценты, тем
меньше должна быть номинальная процентная ставка.
ТЗ 1.11.
Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 16 % годовых; б) из ус-
ловия ежеквартального начисления сложных процентов из расчета
17 % годовых. Какой вариант предпочтительнее для предпринимателя?
Решение:
Расходы предпринимателя по обслуживанию кредита могут
быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки по формуле (1.3.6 ) :
m
m
⎛
r( ) ⎞
ref = ⎜ 1 +
⎟⎟ − 1.
⎜
m
⎝
⎠
Чем выше эффективная процентная ставка, тем выше уровень
расходов:
12
для варианта а) m = 12, r ( ) = 0,16 , поэтому получим
12
0,16 ⎞
⎛
ref = ⎜ 1 +
⎟ − 1 = 0,172 ,
12 ⎠
⎝
для варианта б) m = 4, r ( ) = 0,17 , и
4
4
0,17 ⎞
⎛
ref = ⎜ 1 +
⎟ − 1 = 0,181.
4 ⎠
⎝
Таким образом, первый вариант предпочтительнее для предпринимателя.
ТЗ 1.12.
В долг на 32 месяца предоставлена сумма в 100 тыс. р., с условием возврата 120 тыс. р. Найдите эффективную процентную
ставку в этой финансовой сделке.
Решение:
1
n
⎛ FV ⎞
Подставляя в формулу эффективной ставки ref = ⎜
⎟ − 1,
⎝ PV ⎠
32
FV = 120, PV = 100, n =
, получаем
12
12
⎛ 120 ⎞ 32
ref = ⎜
⎟ − 1 = 0,07 .
⎝ 100 ⎠
ТЗ 1.13.
Вексель был учтен за 2,5 года до срока погашения, при этом
владелец векселя получил четверть от написанной на векселе суммы. По какой годовой номинальной учетной ставке был учтен этот
вексель, если производилось: а) поквартальное дисконтирование, б)
помесячное дисконтирование?
Решение:
Используя формулу дисконтирования по сложной учетной
1
m⋅n
⎛
⎞
⎛ d (m) ⎞
mn
⎛ PV ⎞ ⎟
(m)
⎜
ставке (1.4.2 ) PV = FV ⎜ 1 −
⎟⎟ , получаем d = m 1 − ⎜
⎟ ⎟.
⎜
⎜
m
FV
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
1
⎛
⎞
4
а) m = 4, d ( ) = 4 ⎜ 1 − ( 0,25 ) 4⋅2,5 ⎟ = 0,517 ;
⎝
⎠
1
⎛
⎞
12
б) m = 12, d ( ) = 12 ⎜ 1 − ( 0,25 )12⋅2,5 ⎟ = 0,542 .
⎝
⎠
ТЗ 1.14.
Вексель на сумму 70 тыс. р. со сроком погашения через 4 года
учтен за 32 месяца по сложной учетной ставке 25 % годовых. Определите суммы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета.
Решение:
При использовании только сложной учетной ставки использу32 8
ем формулу (1.4.1) PV = FV (1 − d )n , n =
= .
12 3
8
3
PV = 70(1 − 0,25) = 33,672 тыс. р.
При использовании смешанной схемы
n
PV = FV (1 − d )[ ] 1 − ( n − [ n ]) d ,
(
где [ n ] – целая часть числа n , получаем
)
2
⎛
⎞
PV = 70(1 − 0,25)2 ⎜ 1 − 0,25 ⎟ = 33,963 тыс. р.
⎝ 3
⎠
ТЗ 1.15.
На вклад 40 тыс. р. по истечении 3 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной учетной ставке 28 %, исходя
из ежеквартальной схемы начисления. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 88,891 тыс. р. Определите ставку налога на проценты, если налог на все полученные
проценты был выплачен один раз в конце срока.
Решение:
Наращенная сумма без учета выплаты налога составит
PV
40
FV =
=
= 95,557 тыс. р.
4⋅3
12
d
0,28
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜1 − ⎟
⎜1 −
⎟
4⎠
4 ⎠
⎝
⎝
Наращенная сумма с учетом выплаты налога на проценты составит
FV1 = FV − q ( FV − PV ) ,
поэтому
q=
FV − FV1 95,557 − 88,891
=
= 0,12 .
FV − PV
95,557 − 40
ТЗ 1.16.
За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с
1200 до 1320 р.. Определите а) индекс потребительских цен за 3 месяца, б) среднемесячный индекс потребительских цен, в) темп инфляции за три месяца, г) среднемесячный темп инфляции.
Решение:
а) Индекс цен (инфляции) определяется по формуле (1.5.1)
P2
,
P1
где P1, P2 - стоимости потребительской корзины в начале и конце периода длительности t .
IP( ) =
t
Поэтому I
⎛ 3 ⎞
⎜ 12 ⎟
⎝ ⎠
P
=
б) Обозначим I
1320
= 1,1, т. е. цены выросли в 1,1 раза.
1200
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
P
среднемесячный индекс инфляции, тогда
3
⎛ 1⎞
⎛ 3 ⎞
⎛ ⎛⎜ 121 ⎞⎟ ⎞
⎜ ⎟
3 ⎜⎝ 12 ⎟⎠
⎝ 12 ⎠
⎝ ⎠
= ⎜ IP ⎟ и IP = IP = 1,032 .
I
⎜
⎟
⎝
⎠
в) Темпы инфляции находим по формуле
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
P
h⎛ 3 ⎞ = I
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
P
− 1 = 0,1, т. е. цены выросли на 10 %.
г) Среднемесячный темп инфляции получаем аналогично:
h⎛ 1 ⎞ = I
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
⎛ 1⎞
⎜ 12 ⎟
⎝ ⎠
P
− 1 = 0,032 .
ТЗ 1.17.
В течение полугода каждые два месяца цены росли на 4, 6 и
7 % соответственно. Определите индекс и темп инфляции: а) за
полгода, б) в среднем за месяц, в) в среднем за квартал.
Решение:
а) индекс инфляции за полгода найдем по формуле
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
P
I = 1,04 ⋅ 1,06 ⋅ 1,07 = 1,179 ,
темп инфляции для того же периода
h⎛ 1 ⎞ = I
⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
P
1 = 1,179 − 1=0,179 .
б) среднемесячный индекс инфляции составит:
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
P
6
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
P
I
= I = 1,027
и среднемесячный темп инфляции
h⎛ 1 ⎞ = I
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
P
− 1 = 0,027 .
в) индекс инфляции в среднем за квартал равен
3
⎛ ⎛⎜ 121 ⎞⎟ ⎞
I = ⎜ IP⎝ ⎠ ⎟ = 1,085 ,
⎜
⎟
⎝
⎠
темп инфляции в среднем за квартал
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝4⎠
P
h⎛ 1 ⎞ = I
⎜ ⎟
⎝4⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝4⎠
P
− 1 = 0,085 .
ТЗ 1.18.
Определить реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 30 % годовых при годовом теме инфляции в 15 %. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную
доходность 30 % годовых?
Решение:
По формуле определения реальной годовой процентной ставки при объявленной номинальной процентной ставке в условиях
инфляции
⎞
1 ⎛ 1 + nr
rreal = ⎜ ( n ) − 1⎟ ,
⎟
n ⎜⎝ I p
⎠
получаем
1 + 0,3
rreal =
− 1 = 0,1304 ,
1,15
т. е. доходность с учетом инфляции при начислении простых процентов составляет 13 %.
Чтобы иметь реальную доходность 30 % годовых в условиях
инфляции, нужно установить большую процентную ставку, найдем
ее по формуле
1+ r
0,3 =
− 1; r = 1,15 ( 0,3 + 1) − 1 = 0,495 , или r = 49,5 %.
1,15
ТЗ 1.19.
Номинальная процентная ставка, лишь компенсирующая при
наращении действие инфляции, составляет 30 %. Определите
квартальную инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется ежемесячно.
Решение:
Множитель наращения за год без учета инфляции составляет
12
0,3 ⎞
⎛
⎜1 +
⎟ = 1,3448 ,
12
⎝
⎠
он должен быть равен годовому индексу инфляции
I p1 = 1,3448 ,
тогда квартальная инфляция составит
14
I p( ) = 4 I p1 = 4 1,3448 = 1,076 .
ТЗ 1.20.
На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно, б) ежеквартально, в) ежемесячно. Какова должна быть номинальная процентная ставка при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 4 %.
Решение:
1 12
а) обозначим I p( ) = 1,04 ежемесячный индекс инфляции. То-
гда годовой индекс инфляции можно найти по формуле:
(
I p( ) = I p(
1
1 12 )
)
12
= (1,04 ) = 1,601.
12
Для того, чтобы наращение по процентной ставке r нейтрализовало действие инфляции, нужно чтобы выполнялось равенство:
1
1 + r = I p( ) .
Таким образом, r = I p( ) − 1 = 0,601 или 60,1% .
1
Следовательно, наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 60,1 % годовых.
б) При ежеквартальном начислении процентов должно выполняться
4
4
⎛
r( ) ⎞
1
⎜⎜ 1 +
⎟⎟ = I p ,
4 ⎠
⎝
откуда
r( ) = 4
4
(
)
I − 1 = 0,499 или 49,9 % .
4 1
p
12
12
⎛
r( ) ⎞
1
в) При ежемесячном начислении процентов: ⎜ 1 +
⎟⎟ = I p , следо⎜
12 ⎠
⎝
вательно
r(
12 )
= 12
(
)
I − 1 = 0,48 или 48 % .
12 1
p
ТЗ 1.21.
На какой срок при годовом темпе инфляции 20 % надо поместить имеющуюся сумму под: а) сложную процентную ставку 36 %
годовых, б) под сложную учетную ставку 36 % годовых, чтобы она
реально увеличилась в 1,6 раза.
Решение:
n
⎛ 1+ r ⎞
а) Воспользовавшись формулой FV = PV ⎜
⎟ , получаем
⎝ 1+ h ⎠
n
ln1,6
FV ⎛ 1 + 0,36 ⎞
=⎜
=
1,6
n
=
= 3,755 года.
,
следовательно,
⎛ 1,36 ⎞
PV ⎝ 1 + 0,2 ⎟⎠
ln ⎜
⎟
⎝ 1,2 ⎠
б) При наращении по учетной ставке
FV =
поэтому n =
PV
(1 + h ) (1 − d )
n
n
,
ln1,6
= 1,78 года.
ln ( 0,64 ⋅ 1,2 )
Задания практикума
1.1. Предприятие обратилось 1 марта в банк за кредитом в
159 тыс. р., обязуясь вернуть сумму с процентами в конце года. Какой способ начисления простых процентов выгоден для предприятия
и какой для банка, если используется процентная ставка 26 % годовых и год невисокосный?
1.2. За срок ссуды сумма к погашению составила 86 тыс. р.,
причем начислялись обыкновенные проценты с точным числом
дней. Определите величину суммы к погашению при начислении
точных процентов при условии, что размер ссуды 70 тыс. р. и год: а)
невисокосный; б) високосный.
1.3. Вы получили ссуду 12 февраля на условиях начисления
простых процентов. Взятую сумму с процентами необходимо вернуть 27 декабря того же года. Во сколько раз вырастет долг при различных способах начисления простых процентов, если применяется
процентная ставка 32 % годовых и год невисокосный?
1.4. Депозитный сертификат дисконтного типа сроком 45 дней
продается по цене, определяемой простой учетной ставкой 32 % го-
довых и расчетным количеством дней в году, равном 360. Определите эквивалентное значение простой годовой процентной ставки,
определяющей стоимость привлеченных средств банка, при расчетном количестве дней в году, равном 365.
1.5. В банк предъявлен вексель на сумму 80 тыс. р. за полгода
до срока его погашения. Банк согласился учесть вексель по переменной учетной ставке, установленной следующим образом: первые
два месяца – 24 % годовых, затем в каждом следующем месяце
ставка повышается на 1,5 %. Определите дисконт банка и сумму, которую получит векселедержатель.
1.6. При учете предъявленного векселя на сумму 150 тыс. за
200 дней до срока его погашения доход банка составил 24 тыс. р.
определите а) доходность этой финансовой операции для банка в
виде простой годовой процентной ставки; б) по какой учетной ставке
был учтен вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.
1.7. Вкладчик поместил в банк 35 тыс. р. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 28 % годовых, каждые
следующие полгода ставка повышается на 2 %. Найдите наращенную сумму за три года, если начисляются простые проценты. При
какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму?
1.8. Банк учитывает вексель за 180 дней до срока по учетной
ставке 34 % годовых, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции в виде простой годовой процентной ставки при временной базе, равной 365.
1.9. Господин А поместил в банк свободные денежные средства, на которые согласно договору начисляются простые проценты по
изменяющейся процентной ставке: за первые четыре месяца – 27 %
годовых, каждый следующий месяц ставка увеличивается на 0,5 %.
Через год, закрыв счет господин А получил 64,25 тыс. р. Определите, какую сумму получил бы господин А, закрыв счет через 9 месяцев.
1.10. Вы имеете возможность получить кредит либо на условиях 36 % годовых с ежемесячным начислением сложных процентов,
либо на условиях 40 % с ежеквартальным начислением сложных
процентов. Какой вариант предпочтительнее, если выплата производится единовременно с погашением кредита?
1.11. Рассчитайте будущую стоимость облигации номиналом
100 тыс. р., выпущенной на 7 лет, если первые 3 года проценты начисляются по ставке 17 % годовых, а в остальные 4 – по ставке 22%
годовых.
1.12. Вексель учтен за 24 месяца до срока погашения. При
этом владелец получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?
1.13. В настоящее время фирма располагает деньгами и готова положить их на депозит единым вкладом, чтобы через 12 лет он
достиг 5000 тыс. р. Определить необходимую сумму текущего вклада, если ставка процента по нему составляет 12 % годовых и проценты начисляются каждые полгода.
1.14. По облигации номиналом 100 тыс. р., выпущенной на 6
лет предусмотрен порядок начисления процентов: в первый год –
10 %, а два последующих – 20 %, в оставшиеся три года – 25 %.
Найти будущую стоимость облигации.
1.15. За какое время до срока погашения был учтен вексель
на сумму 50 тыс. р., если предъявитель получил 30 тыс. р. и дисконтирование по номинальной учетной ставке 24 % годовых производилось поквартально?
1.16. У вас есть возможность выбора между получением 30
тыс. р. через год или 72 тыс. р. через 6 лет. Каков ваш выбор, если
есть возможность поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 12 %.
1.17. Определите номинальную учетную ставку, если эффективная учетная ставка 36% и дисконтирование по сложной учетной
ставке осуществлялось помесячно.
1.18. Банк предоставил ссуду на 39 месяцев под 16 % годовых
с полугодовым начислением процентов по смешанной схеме. Определить эквивалентную простую процентную ставку.
1.19. На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые
полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции
составляет 15 %.
1.20. Номинальная процентная ставка, лишь компенсирующая
при наращении действие инфляции, составляет 52 % годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.
1.21. На выделенный кредит в размере 90 тыс. р. в течение 3
лет будут начисляться сложные проценты: а) каждые полгода; б)
ежеквартально; в) ежемесячно. Какую номинальную процентную
ставку необходимо установить, чтобы происходило реальное наращение капитала по номинальной процентной ставке 24 % годо-
вых, если ожидается темп инфляции 14 % в год? Определите наращенную сумму, которую необходимо будет вернуть.
1.22. На какой срок при годовом темпе инфляции 18% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под номинальную
процентную ставку 44 % годовых с ежеквартальным начислением
сложных процентов, чтобы она реально увеличилась в 1,5 раза.
Ответы.
⎛ 365 ⎞
⎛ 365 ⎞
⎛ 360 ⎞
;
193,56
тыс.
руб
;
193,33
тыс.
руб
1.1. 193,09 тыс. руб ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 365 ⎠
⎝ 360 ⎠
⎝ 360 ⎠
1.2. 85,78 тыс. руб
⎛ 365 ⎞
⎛ 365 ⎞
⎛ 360 ⎞
1.3. 1,278 ⎜
⎟ ; 1,282 ⎜
⎟ ; 1,28 ⎜
⎟
⎝ 365 ⎠
⎝ 360 ⎠
⎝ 360 ⎠
1.4. 33 %
1.5. 69,4 тыс. руб
1.6. r = 34,28 % , d = 28,8 %
1.7. 54,32 тыс.руб., r = 31,33 %
1.8. r = 41,53 %
1.9. 60,59 тыс.руб.
1.10. первый вариант предпочтительнее
1.11. 354,81 тыс.руб.
1.12. d = 10,55 %
1.13. 1234,89 тыс.руб.
1.14. 431,76 тыс.руб.
1.15. 2,06 года
1.16. второй вариант предпочтительнее
1.17. d (
12 )
= 43,8 %
1.18. r = 19,1 %
1.19. а) 64,5 %, б) 60 % , в) 57,2 %
1.20. 55,3 %
1.21. а) 37,8 % , б) 36,1 % ,, в) 35,1 % , 171,59 тыс. руб
1.22. 1,6 года