Чернышев Антон Владимирович

На правах рукописи
Чернышев Антон Владимирович
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
В АСИМПТОТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕКЛАССИЧЕСКОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Специальность 05.13.18. – Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических
наук
Москва – 2010
Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физикотехнического института (государственного университета)
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Жук Владимир Иосифович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Петров Игорь Борисович
кандидат физико-математических наук, доцент
Рыков Владимир Алексеевич
Ведущая организация:
Федеральное
государственное
унитарное
предприятие Центральный Аэрогидродинамический
институт им. проф. Н.Е. Жуковского
Защита состоится « 18 » ноября 2010 г. в 9 час. 00 мин. на заседании
диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом
институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская
обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9, МФТИ, аудитория 903 КПМ.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.
Автореферат разослан « 14 » октября 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного
совета Д 212.156.05
кандидат физико-математических наук
Федько О.С.
3
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Асимптотические
последовательности
специального
вида,
описывающие явление свободного взаимодействия пограничного слоя с
внешним потоком, оказались применимыми к изучению механизмов потери
устойчивости. Данное нетрадиционное приложение асимптотической теории
отражает глубокую связь между концепцией самоиндуцированного давления
и структурой флуктуационных полей на ранних стадиях ламинарнотурбулентного
перехода.
Нелинейные
уравнения
теории
свободного
взаимодействия в результате линеаризации по амплитуде возмущений
позволяют построить собственные функции и вычислить собственные
значения в задаче о свободных колебаниях в пограничном слое при больших
числах Рейнольдса.
Исследование другого возможного положения критического слоя
(когда он отделен от стенки) дает возможность в качестве следствия не
только определить поведение нейтральных кривых, но и уточнить характер
изменения инкремента нарастания возмущений в наиболее интересных с
точки
зрения
потери
устойчивости
областях,
заключенных
между
нейтральными кривыми. Применением предложенных для иных ситуаций
асимптотических подходов, где малыми параметрами служат отрицательные
степени числа Рейнольдса, удается в задаче на устойчивость найти
аналитическое выражение для дисперсионного соотношения, полезное для
качественного, а в ряде случаев и количественного (как показывает
сравнение с экспериментом) анализа линейных возмущений в пограничном
слое.
Нельзя не отметить, что предположение о больших числах Рейнольдса
является здесь не просто необходимым условием существования исходного
пограничного слоя, устойчивость которого исследуется, но и имеет
4
следствием возникновение многоярусной структуры поля потока в случае
внесения нестационарных возмущений. Кроме того, оценки таких величин,
как толщины пристеночного и критического подслоев, а также расстояние
между ними, вводимые как асимптотические в терминах малых и больших
параметров, оказываются связанными не только с пространственновременными характеристиками изучаемых пульсаций, но и с числом
Рейнольдса.
В данной работе основное внимание уделяется исследованию
асимптотической
конструкции,
включающей
механизм
свободного
взаимодействия нелинейных возмущений в пограничном слое с внешними
до- транс- и сверхзвуковыми потоками, а также изучению вопросов
устойчивости мод решения дисперсионных соотношений, связывающих
между собой фазовую скорость
c
и волновое число
k.
Асимптотическая
теория позволяет раскрыть внутреннюю структуру флуктуационных полей,
дать трактовку процессам возникновения неустойчивости и исследовать
особенности поведения линейных и нелинейных волновых пульсаций, а
также указать свойства спектра собственных колебаний.
Цель и задачи исследования:
Цель настоящей работы – на основании современных технологий
математического
моделирования
и
вычислительного
эксперимента
комплексно исследовать проблему взаимодействия нелинейных возмущений
в пограничном слое с до-, транс- и сверхзвуковыми внешними потоками, а
также свойства возникающих дисперсионных соотношений.
Решаемые задачи:
1. Исследование
вопросов
устойчивости
различных
мод
решений
дисперсионных соотношений, которые следуют из асимптотического
рассмотрения механизма свободного взаимодействия в пограничном слое.
5
2. Детальное
исследование
трансзвукового
вопроса
дисперсионного
устойчивости
уравнения
при
первой
всех
моды
значениях
трансзвукового параметра.
3. Выявление
особенности
поведения
первой
моды
дисперсионного
соотношения в окрестности критической точки.
4. Исследование
модификации
уравнения
Линя-Рейсснера-Цзяня
и
модифицированного дисперсионного соотношения.
5. Физическая интерпретация полученных результатов.
Научная новизна
Впервые получены новые зависимости для большого количества мод в
случае с описанием решения для до- и сверхзвукового дисперсионных
соотношений.
В диссертации впервые отображены основные закономерности в
изменении поведения первой моды (и старших мод) дисперсионного
соотношения в зависимости от изменения величины трансзвукового
параметра.
Новым важным результатом также является описание наличия
бифуркационного режима у первой неустойчивой (в трансзвуковом режиме)
моды дисперсионного соотношения. Впервые аналитически и численно
найдены точные параметры особой точки, начиная с которой резко меняется
вид зависимости для фазовой скорости возмущения.
Предложена теория поведения решения в окрестности критической
точки, которая не имеет аналогов среди публикаций других авторов.
Установлена природа особой точки и впервые предложена физическая
интерпретация такой особенности.
В диссертации максимально полно на данный момент исследована
структура решений модифицированного дисперсионного соотношения,
выведенного с учетом влияния сингулярного члена в уравнении Линя-
6
Рейсснера-Цзяня. Открыто явление переключения мод (перетекание одного
решения в другое), которое имеет место при изменении величины
сингулярного параметра или при существенном влиянии определенной
величины
сингулярного
параметра
и
одновременном
изменении
трансзвукового параметра набегающего потока.
Впервые показано, что сингулярный параметр в модифицированном
дисперсионном соотношении может вызывать как значительный рост
неустойчивости в пограничном слое, так и способствовать переходу в
устойчивый режим.
Методы исследования
Методы и подходы к исследованию круга задач, являющегося
предметом диссертационной работы, предопределены с одной стороны
успешностью применения асимптотических разложений в теоретической
гидродинамике, а с другой стороны, тем, что при математическом описании
физических явлений, связанных с процессами в пограничном слое, и
построении адекватных моделей для последующего программирования,
описываемые функции течения зависят от переменных совершенно разного
масштаба. Появление малого параметра при старших производных в
уравнениях
Навье-Стокса
в
случае
рассмотрения
течений,
6
характеризующихся большими величинами чисел Рейнольдса ( 10 и
больше),
делает
затруднительным
применение
вычислительных
компьютерных технологий для решения подобных задач напрямую.
Требуется проведение предварительного асимптотического анализа задачи,
результатом
которого
в
данном
случае
должны
стать выведенные
дисперсионные соотношения между фазовой скоростью возмущения и
волновым числом, которые могут
математической физики.
Практическая ценность
содержать специальные
функции
7
Предложенный подход к асимптотическому анализу процессов,
происходящих в пограничном слое при до-, транс- и сверхзвуковых
скоростях
внешнего
потока
и
созданные
новые
асимптотические
конструкции позволяют указать на ряд процессов и явлений, проявляющихся
в течениях жидкости при больших величинах числа Рейнольдса, имеющих
отношение к возникновению и развитию неустойчивостей, а также к
появлению физических условий, при которых развитие неустойчивости
становится необратимым или, наоборот, происходит частичная или полная
стабилизация режима течения.
Исследование поведения неустойчивых мод, которые являются модами
решений соответствующих дисперсионных соотношений, полученных при
асимптотическом
рассмотрении
задачи
обтекания
плоской
пластины
равномерным трансзвуковым потоком сжимаемого газа, представляет
отдельный теоретический и практический интерес, а обнаруженные
переходы
в
бифуркационный
режим,
при
различных
значениях
трансзвукового параметра, позволяют дать физические интерпретации, а
также указать на ограничения применимости асимптотических подходов при
моделировании процессов в пограничном слое.
Сохранение при асимптотическом анализе определённых членов
разложения, которые в общей логике рассуждения могут быть отброшены,
позволяет выявить ряд тонких эффектов теории устойчивости, зависящих от
выбора асимптотической моделей.
Совокупность технических приемов и математический аппарат,
используемые в диссертации, отражают современные тенденции в развитии
данного направления исследований. Стоит отметить, что ряд математических
методов и способов представления искомых решений, предложенных в
работе, могут послужить основой для дальнейшего изучения линейных и
8
нелинейных возмущений в пограничных слоях и различных стадий
ламинарно-турбулентного перехода.
Апробация
Результаты,
представленные
в
работе,
методы
и
алгоритмы
докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на
следующих конференциях и семинарах:
1)
Научный
семинар
Вычислительного
центра
им.
А.А.
Дородницына РАН «Методы решения задач математической физики», (2010
г.).
2)
Научные семинары кафедры высшей математики МФТИ (2007–
2010 гг.).
3)
51-я, 52-я научные конференции МФТИ (2008, 2009 гг.).
Публикация основных результатов
Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, в том
числе в двух [1, 4] – из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка
использованных источников, включающего 147 наименований. Общий объем
диссертации – 127 страниц, включая 39 иллюстраций.
Содержание диссертации
Во
введении
обосновывается
актуальность
темы
диссертации,
сформулированы цели и задачи исследования, дается краткий исторический
обзор исследований внутренних волн в пограничных слоях, изложены
полученные результаты и их практическая ценность.
В Главе 1 рассматриваются свойства дисперсионных соотношений в
случае нижней и верхней ветвей нейтральной кривой для пограничного слоя
в до-, сверх- и трансзвуковом потоке. Рассматривается флуктуационная
картина волновых полей в пограничном слое на плоской пластине,
9

обтекаемой равномерным потоком сжимаемого газа со скоростью U  ,
T ,
температурой
вязкости
плотностью
  , числом Маха M и коэффициентом
  . Изучается возмущённая область, размеры которой значительно

меньше длины L участка пластины выше по потоку неё. Вводится
1


 

посредством L число Рейнольдса Re =  U  L  , которое полагается
стремящимся к бесконечности.
Возможность возникновения неустойчивых колебаний и их параметры
зависят от поведения невозмущенных профилей продольной компоненты
скорости U 0 ( x, Ym ) и плотности R0 ( x, Ym ) в пограничном слое, причём
существенную
роль
играет
его
пристеночная
часть
Ym  0 .
1
Ym = Re1/2 L y  – классическая переменная пограничного слоя.
Для
Ym  0 применяется тейлоровское разложение:
U 0  1Ym 
1
1
1
2Ym2  3Ym3  4Ym4  ...,
2
6
24
R0  r0  r1Ym 
Зависящие от переменных
1
1
r2Ym2  r3Ym3  ....
2
6
x,Ym
функции U 0 , V0 , P0 , R0 , T0 описывают
невозмущенное ламинарное течение в пограничном слое, где Ym = O(1) .
Коэффициенты
 j ,rj , j = 0,1,... изменяются вместе с координатой x .
Рассматриваются
свойства
пограничного
слоя
на
пластине
в
сжимаемом потоке, возмущения в основной толще пограничного слоя,
вязкий пристеночный подслой и критический слой, затем осуществляется
сращивание решений в различных областях течения. Как результат,
10
получаются выражения для асимптотик верхней и нижней нейтральных
кривых для пограничного слоя в трансзвуковом потоке.
Наибольший интерес для исследования представляет собой решение
дисперсионного уравнения в окрестности нижней ветви нейтральной кривой
в трансзвуковом случае. Дисперсионное уравнение выглядит следующим
образом:


dAi( ) 
A
i
(
Z
)
dZ


dZ 

1
i 1/3k 4/3
=
(c  K  )1/2
,
1/3 1/3
где  = i k c , а c, k , K  – фазовая скорость, волновое число и
трансзвуковой параметр соответственно. В ходе вывода дисперсионного
соотношения показано, что должно быть выполнено следующее условие
Real(c) > 0 , (c) = (c  K )1/2 .
Считая k вещественным и положительным, из дисперсионного
уравнения получаем бесконечный счётный набор дисперсионных кривых
 ( n) =  ( n) (k ) , c( n) = c( n) (k ) ,  ( n) =  ( n) (k ) , n = 1,2,3,... .
Упорядочим бесконечное множество этих кривых, принимая в качестве
n номер нуля производной функции Эйри dAi ( )/dZ . Обозначим корни
уравнений
dAi ( )
=0 ,
dZ
через
 0( n )
и
 00( n )

 Ai(Z )dZ = 0
соответственно, n = 1,2,3,...
Результаты численного анализа дисперсионного уравнения получены
при помощи комбинации отдельных модулей математической компьютерной
среды, лицензионные алгоритмы которой построены на методах Ньютона,
Гаусса-Ньютона,
Левенберга-Марквардта,
методах
решения
систем
11
линейных уравнений, использующих метод сопряженных градиентов с
предварительной обработкой данных, а также метод, использующий
адаптивные квадратуры Лобатто.
На Рис.1 нанесены траектории, вычерчиваемые ветвями комплексной
переменной 
(n)
=  r( n )  i i( n ) в зависимости от k  (0,) и полученные
при численном решении дисперсионного соотношения. Каждая траектория
соответствует определённой моде в спектре собственных колебаний решения
дисперсионного соотношения, номер моды соответствует номеру корня
уравнения.
Рис. 1. Первые 10 мод решения дисперсионного соотношения.
Используя аналитически выведенное асимптотическое выражение для
первой моды дисперсионного соотношения, полученное для значений
волнового числа k  
 ~
e
5
  i
6
k
4
3
c  K   2
1

e
5
 i
12
c  K  
k
1
4
2
3
было проведено сопоставление аналитических результатов с результатами
численного эксперимента на комплексной плоскости фазовой скорости
других плоскостях.
c
и
12
Рис. 2. Аналитическая и расчётная асимптотики для первой моды.
На Рис. 2 сплошной линией показана численно рассчитанная первая
мода
трансзвукового
плоскости
с
дисперсионного
соотношения
на
комплексной
. Пунктирной линией на Рис.2 показана соответствующая
асимптотика, построенная при одинаковых с расчётной кривой значениях
трансзвукового параметра
K .
Одним из наиболее важных достижений в исседовании трансзвукового
дисперсионного соотношения, описанных в Главе 1, явилась сначала чисто
экспериментальная находка, которая получила глубокое аналитическое
описание в Главе 2. В ходе расчётов опытным путём удалось установить, что
кривые
c (1) = cr(1)  ici(1)
на комплексной плоскости
c
имеют различные
асимптотики при различных, но очень близких значениях трансзвукового
параметра
K  . Начиная с некоторого критического значения трансзвукового
*
параметра K  = K  (экспериментально установлено его приблизительное
значение
1.86)
c (1) = c (1) (k ) .
качественно
меняется
вид
основных
зависимостей
13
Рис. 3. До- и закритическая траектории фазовой скорости.
Рис.3 иллюстрирует результат наложения двух кривых
на комплексной плоскости
окрестности
значения
c
c(1) = c(1) (k )
в до- и закритических областях (в малой
K * ), причём пунктиром показана кривая,
соответствующая неустойчивой моде в спектре собственных волебаний,
построенная при докритическом значении трансзвукового параметра
K :
K   K *   , где  – малая положительная добавка. Сплошной линией
показана закритическая кривая, соответствующая устойчивой моде, и
построенная при закритическом значении трансзвукового параметра
K :
K   K *   . Стрелками, как обычно, показано направление возрастания
волнового числа
k . Сначала (при малых значениях k ) кривые идут вместе,
но, начиная с определённого значения
k , они разветвляются. Очевидно, что
в окрестности точки (называемой далее критической) происходи изменение
поведения первой моды дисперсионного соотношения. Неустойчивая первая
мода становится устойчивой.
В результате численного решения в компьютерной среде определенной
системы уравнений, были онаружены следующие параметры критической
точки:
 r* = 1.009918613415694 ; cr* = 1.728197050687195 ;
14
 i* = 0.386068996403621 ; сi* = 0.276171279652365 ;
k * = 0.235779767675346 ;
K * = 1.858690840482410 .
Параметры критической точки полученные аналитически полностью
совпали с результатами численного эксперимента.
В заключении описания основных результатов, полученных в Главе 1,
нельзя не упомянуть о достоверности применяемых методов исследования.
Рис. 4. Сравнение с результатами Рыжова О.С., Савенкова И.В.
На Рис. 4 приведено сравнение результатов вычислений инкремента
нарастания первой моды решения из спектра собственных колебаний для
дисперсионного уравнения (наложение графиков в одинаковом масштабе),
полученных в математической среде автора с результатами Рыжова О.С.,
Савенкова И.В. Первые моды колебаний на Рис.4 построены для двух
различных значений трансзвукового параметра: значению
соответствует кривая под номером 1, а значению
K = 1
K  = 1
– кривая под
номером 2.
Также в Главе 1 при помощи вышеописанного компьютерного
инструментария были получены результаты, полностью подтверждающие
известные результаты решения до- и сверхзвуковых дисперсионных
соотношений, но построенные для большего количества мод:
15
1



5/3 dAi ( )
4/3
1
Ai( Z )dZ  = ik ,  =
dZ 
(1k ) 2/3

– дозвуковое дисперсионное соотношение;
dAi (/k
dZ
2/3
 

)
Ai ( Z )dZ 
 2/3

/k

1
= k 4/3
– сверхзвуковое дисперсионное соотношение.
Рис. 5. Инкремент неустойчивости (10 мод).
На
Рис.5
показана
зависимость
инкремента
неустойчивости от значения волнового параметра
k
нарастания
 i
для дозвукового
дисперсионного соотношения. Первая мода обладает положительным
инкрементом нарастания и является неустойчивой.
Рис. 6. Первый 10 мод для сверхзвукового соотношения.
16
На Рис. 6 показаны первые 10 мод сверхзвукового дисперсионного
соотношения.
В Главе 2 описывается поведение первой моды дисперсионного
соотношения в окрестности найденной в Главе 1 критической точки.
k , c, K   следующим образом:
Введём функцию
1


dAi( ) 
i1/3k 4/3
k , c, K   
,  = i1/3 k 1/3 c
Ai(Z )dZ  
1/2
dZ 
(c  K  )

Функция k , c, K  представляет собой разность левой и правой
частей классического дисперсионного соотношения.
С
целью
изучения
аналитических
свойств
первой
моды



дисперсионного соотношения в окрестности критической точки c , k , K  ,
отвечающей
критическим
разложением функции
значениям
параметров,
воспользуемся
k , c, K  в ряд Тейлора как функции трёх
переменных (одна из которых комплексная):


k , c, K     k  , c  , K  
1  2

c  c
2
2 c


2



c  c 
k  k 
K   K  
c
k
K 

1  2

k  k
2
2 k



2


1  2

K   K 
2
2 K 



2


 2
 2



k k  cc 
k  k   K   K  
ck
kK 






 2

c  c   K   K   ...
cK 



После вычисления (выполненного как численно, так и аналитически)
значений всех производных в критической точке (именно они являются
коэффициентами в разложении), замены переменных и определенных
упрощений, дисперсионное соотношение обретает следующий вид:
 2      0 ,
17
где    1 
2a 2
a12 2  a13 3
2a 3
;  2 ;   3 ;   
;  
;
a11
a11
a11
 1  c  c  ,  2  k  k  ,  3  K   K  , коэффициенты a n – значения
частных производных, указанных в разложении в ряд Тейлора, в критической
точке.
Окончательно получим следующий вид решения для фазовой скорости
в окрестности критической точки:
ck , K    c   i  



2a 2
a11


 k  k 
a12 k  k   a13 K   K 

a11



a3
K   K  
a2
.
Далее в Главе 2 осуществляется построение качественной картины
поведения на комплексной плоскости параметрически заданной траектории
 2   2   в соответствии с дисперсионным уравнением при малых
фиксированных положительных (I) и малых отрицательных (II) значениях
действительной трансзвуковой переменной  , которая представляет собой
(с учётом замены переменных (3.1.9) и (3.1.12)) трансзвуковой параметр K  ,
смещённый на величину критического трансвукового числа K  . Именно по
параметру

и существует разрыв первой моды решения дисперсионного
соотношения (3.1.1) в критическом режиме.
2
2
На Рис. 7 показано отображение f   :    для функции
 2   2  ,  . Показано, что для варианта проведения разреза А) область,
соответствующая малым значениям волнового параметра
k
отображается
для докритической и закритической траекторий прообраза (сплошная линия
и прерывитая соответственно) в один и тот же квадрант плоскости
18
отображения образа f
  (отображённая область решений при малых k
2
отмечена на Рис. 7 серым кружком).
Рис. 7. Первый вариант проведения разреза.
2
2
На Рис. 8 показано отображение f   :    для функции
 2   2  ,  .
Показано, что для варианта проведения разреза Б) область,
соответствующая малым значениям волнового параметра
k
отображается
для докритической и закритической траектории прообраза (сплошная линия
и прерывитая соответственно) по разные стороны отображённого разреза.
Рис. 8. Второй вариант проведения разреза.
Топология дисперсионных кривых на Рис. 7, 8 получена на основе

качественного анализа в малой окрестности критической точки k  k ,
c  c , K   K  .
На Рис. 9 показаны результаты численного решения
19
основного дисперсионного соотношения (траектории для первой моды в
совокупности образуют седло). Образы разрезов на Рис. 8 принадлежат
малым участкам двух сепаратрис вблизи седловой точки.
Рис. 9. Седловая точка.
Уравнения для сепаратрис седловой точки на комплексной плоскости

c : c( )     c 
a12
.
a11
На Рис. 10 на комплексной плоскости
c
построены: особая седловая
точка с координатами критической точки; аналитические полученные кривые
для сепаратрис, траектории для первой моды, рассчитанные для близких дои закритических значений трансзвукового параметра
K  .
Рис. 10. Окрестность критической точки.
В Главе 3 рассматривается модификация линейного уравнения ЛиняРейснера-Цзяня:
20
 2  2
 2  2
 2 
 K 2  2  0 ,
t
tx
x
y
приводящее по аналогии с классическим дисперсионным соотношением к
модифицированному:
1


dAi( ) 
i1/3k 4/3
 Ai( Z )dZ  =
dZ 
(c  с 2  K  )1/2 ,

где

— малая действительная положительная величина, называемая
сингулярным параметром.
На Рис. 11 показано наложение друг на
друга траекторий,
вычерчиваемых ветвями комплексной переменной
 ( n ) =  r( n )  i i( n )
(
n  1..10 ) в зависимости от волнового параметра k  (0,) ,
полученные при численном решении модифицированного дисперсионного
соотношения и значении трансзвукового параметра
K  0 (чистый
трансзвуковой режим). Изображение на Рис. 11 представляет собой
наложение графиков комплексной функции  при непрерывном изменении
сингулярного параметра

от нуля до   0.8 , рассчитанных с шагом
  0.01 .
Рис. 11. Решение модифицированного дисперсионного соотношения.
Аналогично выводу асимптотики для первой моды классического
дисперсионного соотношения при k   аналитически можно получить
21
асимптотику
для
первой
моды
модифицированного
дисперсионного
соотношения:
с(k ,  ) 
1
2
 i
k e4

1
4

1
 1

 O 1
4 
 2
k


 .

На Рис. 12 показано сопоставление численного расчёта (сплошная
линия) для первой моды модифицированного дисперсионного соотношения с
аналитически полученной (прерывистая линия) асимптотикой. Расчёт
выполнен для трансзвукового случая (при K   0 ). При k   кривые
практически совпадают.
Рис. 12. Аналитически и численно полученные асимптотики.
В заключении приведены основные результаты работы.
Основные результаты работы:
1.
С
помощью
результаты
для
данных
численных
решений
до-
и
экспериментов
сверхзвуковых
подтверждены
дисперсионных
соотношений, получены графики зависимостей для новых переменных и
для бóльшего количества мод (10 мод).
2.
Проведено исследование классического дисперсионного соотношения из
теории пограничного слоя при всех значениях трансзвукового параметра,
выявлено значение трансзвукового параметра, при котором происходит
переход в бифуркационный режим и стабилизация первой, неустойчивой
22
в дозвуковом режиме, моды. Численно и аналитически получены и
проверены асимптотики для первой моды классического трансзвукового
дисперсионного соотношения.
3.
С помощью новых математических методов найдены точные значения
переменных, при которых наступает переход решения в бифуркационный
режим.
Проведено
исследование
окрестности
критической
точки.
Найдены асимптотики решения, установлена седловая особенность
критической точки, выведены уравнения для сепаратрис седловой точки.
Продемонстрировано
разбиение
комплексной
плоскости
фазовой
скорости для первой моды на четыре криволинейных сектора. Границами
этих криволинейных секторов являются сепаратрисы особой точки типа
седла.
4.
Исследовано
влияние
сингулярного
параметра
перед
второй
производной по времени в уравнении для потенциала. Открыто явление
переключения мод между собой. Получены аналитически и подтверждены
численно асимптотики первой моды при больших значениях волнового
числа. Предложена физическая интерпретация влияния сингулярного
параметра на решение для первой моды.
Публикации по теме диссертации
1)
К.В.Гузаева, В.И.Жук, И.Г.Проценко, А.В.Чернышев. Об устойчивости
пограничного
слоя
в
трансзвуковом
потоке
//
Вычислительные
технологии, 2008. Т.13. Специальный выпуск 5. С.39–44.
2)
А.Н.Богданов, В.Н.Диесперов, В.И.Жук, А.В.Чернышев. Сингулярный
параметр в обобщенном уравнении Линя-Рейснера-Цзяня и его роль в
теории устойчивости трансзвуковых течений // Современные проблемы
фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 2009. С.29–47.
23
А.В.Чернышев. Свойства дисперсионного уравнения из теории
3)
неклассического пограничного слоя // Труды 52-й научной конференции
МФТИ “Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук”:
Часть VII. Управление и прикладная математика. Т.2. — М.: МФТИ.
2009. С.179–182.
В.И.Жук,
4)
А.В.Чернышев.
Дисперсионные
уравнения
в
задаче
устойчивости трансзвуковых течений и некоторые их свойства // Журнал
вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. № 1.
С.164–187.
В.И.Жук, А.В.Чернышев. Нижняя и верхняя ветви нейтральной кривой
5)
для пограничного слоя в трансзвуковом потоке // Фундаментальные и
прикладные современной математики. Сборник научных трудов / МФТИ
― М.: 2010. С.34–52.
В работах с соавторами лично соискателем сделано следующее:
разработаны
новые
адекватности
математические
математической
методы
модели
и
алгоритмы
взаимодействия
проверки
нелинейных
возмущений в пограничном слое с помощью данных вычислительных
экспериментов. Проведено исследование дисперсионного соотношения при
всех
значениях
трансзвукового
трансзвукового
параметра,
при
параметра,
котором
выявлено
происходит
значение
переход
в
бифуркационный режим, проведено детальное исследование окрестности
критической точки, изучены свойства модифицированного дисперсионного
соотношения.
24
Чернышев Антон Владимирович
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ДИСПЕРСИОННЫХ
СООТНОШЕНИЙ В АСИМПТОТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
АВТОРЕФЕРАТ
Подписано в печать __.__.____. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № Ф-119
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9