Глава 7. Параметрическая· модель рынка

Глава
7.
Параметрическая · модель рынка
Для инвестирования капитала лишь в актив одного вида необхо­
димо, чтобы из всех имеющихся на рынке активов он бьm наилуч­
ший, т.е. его ожидаемый риск (дисперсия) бьш наименьшим, а ожи­
даемая доходность наибольшей. Что же Должен делать инвестор, если
такого актива на финансовом рынке не существует? В . этом случае
выгоднее купить не один актив, а несколько, стремясь перераспреде,­
лить (диверсифицировать) риск с целью уменьшения его количе­
ственной оценки. Степень возможности такой диверсификации за"
висит от характеристики, служащей мерой связи между случайными
величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ко- .
вариации и корреляции. На важность учета связи в поведении доход­
ности различных активов при формировании оптимальных портфе­
лей впервые обратил внимание создатель современной теории порт­
феля американский экономист, лауреат Нобелевской премии по эко­
номике
7.1.
(1990 г.)
Гарри Марковиц.
Коэффициенты ковариации и корреляции
Пусть имеются активы А 1 , ~' А3 и пусть задана таблица годовых
доходностей для этих активов в каждом из состояний рынка. Годовые
доходности активов, заданные в таблице, измеряются в процентах.
Состояния Вероятности
Доходность
Доходность
Доходность
активаА 1 (%) актива А2 ( % ) актива А 3 ( %)
s1
p(s)
'11
. '12
r!З
s2
p(s2)
r21
r22
Г23
sз
р(sз)
'з1
'з2
rзз
Пусть доходность актива
98
Ai
задается случайной величиной
R;.
Глава
7. Параметрическая модель рынка
Тогда коэффициентом ковариации двух случайных величин
Ri и Rjназы­
вается величина
cov(R. ,R.)
=(r1 . - E(R.))(r1 . - E(R.))p(s
) + (r. . - E(R.))(r. . -E(R.))p(s )+
2
2'J
2
1
J
J
}
1
1
1
}
1
+ (r3; -
1
E(R))(r3j - E(R))p(s3) .
(7.1)
В дальнейшем коэффициент ковариации двух случайных величин
и
R;
Rj будем обозначать:
cov (R; ,R) =
ci/
Например, для двух случайных величин
с 12 =
(R;
,R) = (r11 -
R 1 и ~ (i - 1, j = 2) получаем:
E(R1))(r12 - Е(~)) p(s) +
+ (r21 -E(R1))(r22 -E(~))p(s2 ) + (r31 -E(R1))(r32 -E(~))p(s3 ).
(7.2)
Свойства коэффициента ковариации:
1. Для любых i иj верно угверждение о симметричности коэффи­
циентов ковариации:
cov(R.1 ,R.)
=cov(R.J ,R.)
или
}
l
с".=
с)1...
1)
2. Для любых i диагональные коэффициенты ковариации с;;
пред­
ставляют собой вариации доходностей активов:
си=
cov(R; ,R) = V(R)
=
cr/.
Чтобы вьщелить собственно меру связи между случайными вели­
чинами прибегают к нормированию коэффициента ковариации. Та­
кая нормированная величина называется коэффициентом корреляции
а"=
1)
cor(R.1 ,R.)
}
~
cov(R;,R)
(j . . (j .
1
.
(7.3)
}
·В
статистике коэффициент корреляции часто обозначают греческой
буквойр.
Так коэффициент корреляции двух · случайных величин
можно обозначить символом р 1).. :
Ri
и
Rj
.
cor(R; ,R) =
Ри.
Свойства коэффициента корреляции:
Коэффициент корреляции любых двух случайных величин
по модулю (по абсолютной величине) меньше
R; и Rj
1:
IPul = \cor(R; ,R)\ ~ 1,
или, что то же самое,
-1
Пример
7*
~ Ри =
cor(R; ,R) ~ 1.
7.1. Пусть задана таблицагодовыхдоходностей (см. при99
. .. .
мер
6.1.) для
_./"
....
--
некоторых трех активов в каждом из состояний рынка.
Годовые доходности активов, заданные в таблице, измеряются в про­
центах.
Доходность
Доходность
Доходность
активаА 1 (%) актива~(%) актива А3 ( %)
Состояния Вероятности
s1
0,3
20
30
-10
s2
0,6
20
5
15
sз
0,1
5
-20
15
Найти коэффициент ковариации с 12 и коэффициент корреля­
ции Р12·
Решение. Так как ожидаемые доходности первых двух активов
(см. пример 6.1):
··--E(R1) = 18,5 и E(R) = 10,
то, пользуясь формулой
с 12
(7.2),
получаем
= cov (R1 ,~) = (20 -
18,5)(30-10)0,3
+
+ (20 - 18,5)(5 - 10)0,6 + (5 - 18,5)(-20-10)0,1=45.
А пользуясь результатами примера
6.2.
cr(R 1) = ~D(R 1) = 4,5; cr(~) = ~D(R 2 ) =15;
По формуле
(7.3) получаем
cov(R1' .Rz)
Р12 =
а1а2
Итак, коэффициентс 12
45
- 4,5·15
= 0,67.
= 45, коэффициент Pi2 = 0,67.
Обычно вероятностные характеристики активов и их портфелей
при совместном рассмотрении записывают в матричном (табличном)
виде. Так совокупность всех попарных ковариаций трех активов
представляет собой матрицу размера ЗхЗ, т.е. таблицу из
3 строк и 3
столбцов. Для нашего примера она будет иметь вид:
Ковариационная матрица
AI
~
Аз
Аз
AI
20,25
45
~
45
-11,25
225
-150
-11,25
-150
131,25
Аналогичную структуру имеет и матрица корреляций. Для наше-
100
Глава
7.
Параметрическая модель рынка
го примера она имеет вид:
Корреляционная матрица
· А1
~
Ar
~
1,00
о 67
0,67
1 00
'
Аз
-О
'
Аз
-О
' 87
22 ·
-О
22
'
-О 87
. '
1,00
'
Парам.етрическая модель рынка. Рассмотрим снова вероятностную
модель из главы · 6 для рынка с множеством состояний
ми вероятностями Рр р 2 ,
~"
,
S,
с заданны­
Рт их реализаций и множеством
А ={А 1 , ~, ••• ,А) обращающихся на рынке активов. Тогда рынок в це­
лом можно охарактеризовать двумя наборами параметров:
вектором ожидаемых доходностей активов
где
mk .= E(Rk) -
т = (тl' т 2 , ". т)~
. оЖИдаемая доходность актива
Rk,
и матрицей кова­
риации
С=
С11
С12
cln
с21
с21
Сzп
=
(cij)nxn'
".
cnl
сп2
спп
где с11.. = cov(R.,1 R.
) ~ · ковариация случайных величин R.,1 R.) ~доходно)
стей активов
R. и R.·.
l
)
Множество активов
А ={Ар~,"., Ап},
обращающихся на рынке и (векторные) параметры вектор ожидаемых
доходностей
-
т и матрица ковариаций С составляют параметриче­
скую модель рынка. Как будет показано ниже, для решения большин­
ства инвестиционных проблем инвестору не нужно знать ни множе­
ство состояний рынка, ни их вероятностей, ни даже распределение
доходностей активов. Все что нужно
-
это знание указанных выше
параметров. Но эти пара.метры определены нами исходя из заданных:
структуры состояний рынка, вероятностей их реализаций и распреде­
ления доходностей активов. И хотя эти понятия играют ключевую
роль в финансовой теории, на практике У!\азанные параметры рынка
получаются не на основе теоретическИх формул, приведенных выше,
а на основе статистической оценки этих параметров.
101
7.2. Статистическая модель рынка
Доходность актива рассмотрена нами как дискретная случайная
величина. Если бы мы знали возможные значения случайной величи­
ны и вероятности, с которыми она принимает эти значения, т.е. зна­
ли бы распределение случайной величины, то мы могли бы найти ее
вероятностные характеристики: математическое ожидание, и вариа­
цию (дисперсию), И стандартное отклонение. Однако на практике
распределение случайной величины неизвестно. Вместо этого из­
вестны ее реализации в серии наблюдений. Так, мы можем не знать
распределение доходности некоторой акции, однако могут быть из­
вестны месячные доходности · за несколько последних лет.
Наблюдаемые значения случайной величины могут быть исполь­
зованы для оценивания ее вероятностных характеристик .. В отличие от
точных (теоретических) значений вероятностных характеристик, по­
лучаемых по распределению случайной величины, статистические
оценки являются лишь приближенными значениями этих характе­
ристик, причем эти оценки тем точнее, чем большим числом наблю­
даемых значений мы располагаем. Наблюдаемые значения (стати­
стические данные) часто называют выборо11ными значениями, а набор
таких значений - выборкой. Поэтому оценки вероятностных характе­
ристик случайной величины назЬ1вают выборочными характеристи­
ками. Так говорят о выборочном среднем (выборочном математическом
ожидании), выборочной вариации (дисперсии) и т. д. Перейдем теперь к
описанию выборочных характеристик случайной величины.
Будем предполагать, что известны Nзначений rl' r 2 ,"., rNслучай­
ной величины R, полученных в результате набл:Юдения, опыта, экс­
перимента и т. д.
По этим значениям мы можем получить характеристики случай­
ной величины:
1) Выборочное математическое ожидание случайной величины
R
есть просто среднее арифметическое наблюдаемых значений:
-
1
N
r=N~'i.
(7.4)
Таким обра3ом, мы имеем оценку математического · ожидания:
E(R) ~ 'r.
2)
Выборочная вариация (дисперсия) случайной величины
2
V(R):=:s (R)=
102
1
N -1
R-
N
I,(r;-r)2 •
i==t
(7.5)
Глава
7.
Параметричес.кая модель рынка
Выборочная вариация дает оценку:
V(R)
z
V(R) = s2(R).
3) Выборочное среднеквадратическое отклонение случайной вели­
чины R:
(7.6)
aR =s(R)~)V(R)
Выборочное средне:квадратическое отклонение дает оценку:
<J R ~ <J R
= S (R).
На практике вместо знака приближенного равенства часто пи­
шут просто знак равенства, что конечно неверно, но допустимо, если
помнить что статистическая оценка , (выборочцая характеристика)
есть лишь приближенное значение дЛя . точной · (теоретической) ха­
рактеристики. Ниже для выборочных характеристик мы будем пс­
.пользовать теоретические (а не специальные, надчер:кнутые) обозна­
чения, однако всегда следует помнить о приближенном характере ста­
тистических оценок.
Вариация
(7 .5)
характеризует "степень отклонения" случайной
величины от ее среднего значения. Из. определения вариации видно,
что она имеет размерность .:квадрата размерности . величины
R. Чтобы
использовать в качестве меры разброса характеристику той же раз­
мерностй, вместо дисперсии ' часто используют среднеквадратиче­
ское отклонение
(7.6).
В nортфельной теории Марковица математическое ожидание
есть формальный аналог поНЯтИя "ожидаемой доходности актива", а
вариация, или, что
rio суЩеству то же самое,
стандартное от:Клонение
служит мерой риска актива.
.
Таким образом, если известен ряд доходностей актива (такие ря­
ды часто называ.19т временными рядами), то по нему можно найти
статистические хараК:Теристиюг аКТИва: его выборочные среднюю,
вариацию (дисперсию) и квадратическое отклонение. Эти выбороч­
ные . характеристики являются .оценками теоретических характери­
стик, ожидаемой доходности и риска.
Пример
7 .2.
Известен ряд ежемесячных доходностей · акций
AМBRND (в%) за 1987 . год. Значения доходностей приведены в та­
блице ниже. Вычислить ожидаемую доходность · и риск акции
AMBRND:
.
Я:нв.
Февр.
. 17 6
20
'
'
Map-r AnP·
Май
. -3 7
'"0,5
'
- 87
'
Июнь Июль . Авг.
7,1
Сен.
'
7,2 · ·16,9 . ' -3,9
Окт.
Нqяб.
Дек.
-22 5- -12 6 19,4
'
'
103
Часть
//.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Решение.
Е[ R] = ( 17, 6 +
2, О - 3, 7 - 8, 7 -
-3,9 - 22,5
~
О, 5 +
7, 1 + 7, 2 + 16,9 -
12,6 + 19,4)/12 = 1,53
Ожидаемая доходность акции 1,53%. График месячной доходности
акции AМBRND приведен на рис. 7 .1
Rt зо
20
10
o--i-::~~~~~~~~~--J__-
t
-10
1
-20
2
3
4
6
5
11
-30
Рис.
7.1
Для вычисления ожидаемого риска составим ряд значений (ri - Е[ R]):
l 16,1 I 0,5 l -5,21-10,21
-2 \ 5,6 \ 5,7 \ 15,4 \ -S,4
Возведя в квадрат каждое значение ряда
значений (r.1 -
E[R])
2
I -24 \-14,1 l 17,9 I
(r; -E[R]),
получим ряд
:
l2ss,41 0,2 1 2,1 1104,61 4,1 l з1,1 l з2,2 !2зб,4129,4 l.s11,2l199,s/з19,sl
Складывая все значения ряда (r1 - E[R]) 2 , и деля Полученный ре­
зультат на N- 1=11, получим 165,45. Это есть значение ожидаемого
риска для нашей акции
~V[R] =12,87%.
crR=
J1 R] . .Средне~адратическое
Ожидаемая доходность
риск
. .
AMBRND
.
равна
отклонение
.
1,53%,
ожидаемый
- 12,87%.
Выборочные коэффициенты ковариации и корреляции для. статистиче­
ской модели рынка. Выше определены статистические (выборочные)
характеристики случайной величины. Для двух случайных величин
можно дать определение выборочной ковариации и корреляции слу­
чайных величин.
Пусть имеется две выборки из N значений случайных величин
R1:
~: r 12 , r22 , "., rт· Обозначим математические ожидания
этих случайных величин Е [R 1], E,'[~J, а выборочные средние Yl' 2 со­
r 11' r21'
••. ,
rМ'
r
ответственно. Тогда выборочным · коэффициентом ковариации слу-
чайных величин
104
R1, ~ называют величину:
Глава 7~ Параметрическая модель рынка
- - -.
cov(Rl'~) =
1N
l<r;
-1j)(r; -r
N -1
1
2
2)
(7.7.)
•
i=1
Выборочный коэффиц:И:ент ковариации дает оценку:
cov(Rl'~) =
eov(RPR 2 ).
При: R 1 =~=R выборочный· коэффициент ковариации совпадает с
выборочной дисперсией:
cov(R, R) =
Отметим, что
1
N
N -1
-
-
L/lf - r )('i
--
- r) = V[R] .
i=1
;
cov(RPR2 ) = cov(R 2 ,R1).
Выборочным коэффициентом корреляции случайных величин
·
называют величину:
R 1,
~
(7.8)
Напомним, что а я = ~V[R] . Выборочный коэффициент корреляции
дает оценку:
Р12::::: Р21·
Ниже мы для выборочной ковариации и корреляции будем ис­
пользовать те же обозначения, что и для их теоретических аналогов.
Пример
7.3. Ежемесячные доходности акций PEPSI (R1) и
MOBIL (~)за 1987 год приведены ниже. Найти коэффициенты кова­
риации и корреляции.
Акция
янв.
PEPSI 19,7
MOBIL 3,2
фев.
6,8
3
март
апр.
май
июнь июль
3,5 -6 ' 6 9,4 3,3
-8 2 -17 8 -15 .15,9
'
'
8,3
9,3
авг.
сен.
окт.
нояб.
2,4 -14 ,8 -8 ' 5
-2 1 12,4 -О ' 7 -О ,3
о
'
дек.
8,2
9
Решение. Найдем средние ожидаемые доходности, ожидаемый
риск и среднеквадратическое отклонение для каждой акции по фор­
мулам
(7.4), (7.5), (7.6).
Для ожидаемой (Сllедней) доходности и риска (вариации и стан­
дартного отклонения) получим следу:Ющие значения
PEPSI
MOBIL
E(R)
V(R)
cr(R)
2,64
0,73
85,35
109,19
9,24
10,45
Коэффициент ко вариации вычисляется по формуле
(7. 7):
105
1 N
cov(Rl'~) = 12 _ 1
:t<'i,-2,64) ( ri
1
2-
0,73) = 23,12.
Коэффициент корреляции вычисляем по формуле
cov(R1 ,~)
23,12
2
cov(Rp~)=
О/У
= 9,24·10,45
(7 .8):
=
О, 24 ·
Таким образом, ковариационная и корреляционная матрицы имеют
соответственно вид~ ( 85 , 35 23 ,12 )
_
._ ( . 1 . о, 24 )
С - Cov - 23, 12 109 ,19 и Р - Corr - О, 24 1 ·
Графики доходностей акций
вид, изображенный на рис.
30
PEPSI (ось х) и МОВ~(ось у)
имеют
7.2:
RI
20
10
t
о
1
2
12
',~
''
-10
\
\
'
-20
\
' .... "
- -.. PEPSI -------- MOBIL
Рис
7.2
Диаграмма (рассеяния) для доходностей акций
приведена на рис.
7.3:
20
15
10
•
•
5
-20
-5
•
•
10
о
-10
•
•
-15
• -20
Рис.
106
PEPSI и MOBIL
7.3
•
20
30
Глава
7. Параметрическая модель рынка
Итак, параметрическая модель рынка задается парой параме­
тров: т и С. Часто, однако, в качестве рисковых характеристик рьп~­
ка вместо ковариационной матрицы С используют вектор станадарт­
ных отклонений доходностей активов
cr = ( crl' cr2,". cr)
и корреляционную матрицу
где
cr .. = cor(R.,1 R.)
J
и
корреляции доходностей
активов А.1 и АJ..
. .
Заметим, что по этим данным легко найти все элементы ковариационной матрицы. В самом деле вариация доходности есть по опре­
делению квадрат стандартного отклонения т.е.
V(R) = cr/, i =1,2, ... п,
а ковариация как это следует из определения
(7.9)
(7.3)
коэффициента
корреляции равна
cov(R., R.)
J
1
=
cor(R.,1 R.)·a.;a.,
i,}=1,2,."n.
J
J
1
(7.10)
Перейдем теперь к важнейшей задаче портфельного анализа:
оценке ожидаемой и риска произвольных портфелей.
7.3. Характеристики портфелей
в параметрической модели рынка
Пусть на рынке имеются различные активы и известны статисти­
ческие данные для каждого актива, представляющие собой временные
ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом. Доход­
ность за период вычисляется исходя из начальной и конечной цены
актива и текущего дохода за период. Для каждого актива МО)JСНО вьтчи­
слить его характеристики: среднюю ожидаемую доходность, диспер­
сию и среднеквадратическое отклонение. Для каждой пары активов
можно ВJ?rчислить коэффициенты ковариации и корреляции. Инве­
стор из имеющихся активов выбирает те, в покупку которых он соби­
рается вложить свой инвестиционный капитал. Будем называть такой
набор активов - пакетом активов. С практической точки зрения пакет
активов просто некоторый сегмент рынка, интересующий или досту­
пный для инвестора. Начнем с анализа пакета из двух активов.
107
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Пусть А = {А 1 , А)
-
пакет из
2 различных активов. Пусть доход­
ность каждого актива А.,
i = 1, 2 - случайная величина R1.. Будем обоз/
начать характеристики этой случайной величины - т.,
V,1 cr. (ожида1
l
емая доходность, ожидаемый риск, среднеквадратическое отклоне-
ние). Характеристиками . .1акета активов А= {А 1 , ~} задаются параме­
трами:
вектором средних- т = (тр т 2 ),
v
матрицеи ковариации
С12) -_ (с ..), 1,1.. _ 1,2.
- с-(С11
С21 С22
lJ
где с/}..=
cov(R.,1 R.)
- коэффициент ковариации случайных величин R., RJ..
}
Пример 7. 4. Найти характеристики пакета, составленного из ак­
ций РЕРS/и MOBIL за 1987 год (см. пример 7.3.)
Решение. Пусть Ai = PEPSI, а~= MOBIL. Воспользуемся резуль­
татами примера 7 .3. Средняя ожидаемая доходность акции РEPSI 2,64, а акции MOBIL - О, 73. Значит т 1 = 2,64, т 2 =О, 73. Поэтому век­
тор средних т = (2,64; О, 73).
Дисперсия для первого актива- 85,35, для второго - 109,19, коэффи­
циент ковариации - 23,12, т.е.
с 11 = 85,35, с22 = 109,19, с 12 = 23,12.
Ответ: вектор средних- т = (2,64; 0,73), ковариационная матри1
· ца пакета
с= (85,35 23, 12 )
23,12 109,19 .
Выбрав тот или иной пакет активов, инвестор должен сформиро­
вать инвестиционный портфель, т.е. указать части инвестиционного
капитала, который он собирается вложить в Покупку того или иного
актива, выбранного им пакета акций.
Если обозначить начальный инвестиционный капитал
капитал, вложенный в покупку актива
вложенного в покупку актива А1. ,
Ai, -
- W/W
l
0
•
JJ?; 0 ,
- W 0, а
то доля капитала,
Будем обозначать долю
капитала, вложенного в покупку актива А;, или, как еще говорят, вес
актива
Ai -
хг Тогда, имея пакет из
2 активов А= {А 1 , ~},мы можем
задать портфель 1t с помощью вектора весов (см. гл.3)
х = (xl' х2 ), х 1 = ~о
/W 0 , их2 =
108
;w0 ,.
= (xl' х2) всегда равна 1:
W10/W 0 + W20/W 0 =(W10 + W20 )/W 0 = W 0 /W 0 -l •
Сумма весов портфеля п с вектором весов х
х1 +х2 =
~о
Глава
7.
Параметрическая модель рынка
Доходность портфеля за некоторый период времени
случайная
-
величина, зависящая от доходностей активов, из которых составлен
портфель. Определим, как связаны между собой случайные величи­
ны, задающие доходность портфеля и доходности активов, входящих
в этот портфель. Обозначим через
R ~r
случайную величину, пред-
ставляющую доходность портфеля, а через
величину
-
Ri обо.значим
случайную
доходность актива А1..
Как показано в конце предыдущей главы, доходность портфеля
задается случайной величиной:
R1C = x 1R1 + х2 ~.
(7.11)
Вероятностные характеристики случайной величины R1C - мате­
матическое ожидание и вариация вычисляются по формулам:
E[R1C] =
Е[х]
= x 1E[R 1] + х2 Е[~] = m1x 1 .+ т~2 •
V[R1C] = V[x] = (х1 ) 2 ~ + (х2 ) 2
(7.12)
v; + 2х1х2 с12 =
= с 11 х1 2 + с22х/ + 2с 12 х1 х2 •
Через стандартные отклонения
(7.13)
crl' cr2 и коэффициент корреляции р 12
'активов риск (вариация) портфеля выражается формулой
V[Rn] = V[x] = (cr 1x1) 2 + (cr2x2) 2 + 2pO}J 2 х 1 х2 .
(7.14)
Оценка портфеля. Оценкой портфеля п, задаваемого вектором ве­
сов х
= (xl' х2 ),
называется пара чисел
ожидаемая доходность портфеля,
(E[R1t], V[R1t]), где E[R1t] V[ Rп] - ожидаемый риск портфе­
ля. Для удобства будем обозначать ожидаемую доходность портфеля
и риск портфеля
Пример
-
Е[х] и
V[x]
соответственно.
7.5. Найти характеристики портфелях= (0,5; 0,5) для па­
кета, составленного из акций
PEPSI и MOBIL за 1987 год.
Решение. Пакет состоит из двух активов - А 1 и ~· Пусть актив
А 1 = PEPSI, а~= MOBIL. Тогда (см. пример 9.2) средняя ожидаемая
доходность акции PEPSI - 2,64, а аКции MOBIL - О, 73. Значит,
т 1 =.2,64; т 2 = 0,73.
,
Вариация первого актива- V(Rл 1 ) = 85,35, второго V(Rл 2 )=109,19,
коэффициентковариации- 23,12, т.е.
·
= 85,35; с22 = 109,19; с 12 = 23,12.
(0,5; 0,5), т.е. х1 = 0,5; х2 = 0,5. Согласно
с 11
Портфель х =
формулам
(7 .12), (7.13) , имеем:
Е[х] = х1 •
m1 + х2
•
т2 =
0,5 · 2,64 + 0,5 · 0,73 = 1,685 -
ожидаемая доходность портфеля,
109
.. _ . ... " -J""'"'_..,
V{x] = с11<х1)2 + с22(х)2 + 2х1х2с12 =
= (0,5) 2 • 85,35 + (0,5) 2 • 109,19 + 2 (0,5) 2 . 23,12 = 60,20 ожидаемый риск (вариация) портфеля.
Ответ: Ожидаемая доходность портфеля
риск портфеля - 60,20.
- 1,685,
ожидаемый
Ot4emcu 1шртфелей в общей параметрической модели. Рассмотрим
рынок сп активами АР~,.", Ап, и пусть портфель 11: с вектором весов
х = (хр х2 , ".,
x,J Как бьmо показано выше, между реализованной до­
ходностью портфеля и реализованными доходностями активов имеется соотношение:
rтt = Х{1
Здесь
+ X2r2 +".+ ХпГп.
r.1 - доходность актива А"1
Из этой формулы следует аналогичное соотношение между до-
ходностями портфеля и активов как случайных велич:йн:
~
= x 1R1 + x2R,_ + ". +xnRn .
(7.15)
Это соотношение позволяет получить уже вероятностные (ожи­
даемые) характеристики портфеля, используя аналогичные характе­
ристики активов. Так, используя свойство линейности математического ожидания, получим
Е[~]
= x 1E[R1] + x2.E[R,_]+".+ хпЕ[Rп],
(7 .16)
т.е. ожидаемая доходность Портфеля есть линейная комбинация
ожидаемых доходностей активов с коэффициентами, равными весам
этих активов в портфеле.
Применяя оператор дисперсии к обеим частям равенства
(7.15),
получим:
V[~] = x/V[RJ
+ x/V[R2]+".+ x}V[RJ +
+ 2x1x2cov(RI' R) +".+ 2x1x2cov(R _p R,),
11
(7.17)
или, в сокращенной записи
11
JT[Rд]=
LX; ·Xj ·COV(R;,R)
(7.18)
i,j=l
Эти равенства следуют из двух свойств дисперсии:
J!ТaR] =а2 V[R]
и
V[R 1 + ~] = V[R 1]
+ V[~] + 2cov(R1' ~),
которые легко доказать прямыми вычислениями (см.
[9]).
Так, для портфеля, состоящего из трех активов Al' ~ , А 3 , с пара­
метрами рынка
110
Глава
7.
Параметрическая модель рынка
по.JiуЧаем выражения для доходности и риска:
Е(х)
= т 1 х1 + т;х2 + m3x3
V(x) = с 11 х/ + с22 х/ +с33х/ + 2с 12 х 1 х2 + 2с 13 х 1 х3 + 2с23 XzX3 •
· Матричная запись характеристик портфелей.
В :rеоретическом фи­
нансовом анализе для доходности и риска портфе.Лей часто использу­
ют матричные выражения. Пусть
т
= (т 1 , т2 ,
•" ,
т п)
- вектор средних (математических ожиданий) доходностей активов,
где т .=Е[R . ], а
1
-
1
ковариационная матрицадоходностей,. с с ..=
и
Тогда формулу
cov(R1.. R.).
1
(7 .16) для ожидаемой доходности портфеля мож-
но переписать в виде
Е[~]
= Е(х) = т 1 х 1 + т 2 х2 + ... + тпхп = (т,х),
(7.19)
где (т,х). - обозначение стандартного скалярного произведения двух
векторов столбцов (или строк) т и х. Соответственно,· равенство
(7 .17) перепишется в виде:
п
V[Rл] =
Lc!i ·Xi ·Х1 =(Сх,х),
(7.20)
i,)=I
где
(7.21)
· - произведение ковариационной матриды С на вектор-столбец х,
( Сх,х) - скалярное произведение полученного вектора Сх их.
а
Замечание. Используя матричные обозначения и операции, мы
(если не оговорено противное) под векторами будем понимать векто­
ры
-
столбцы. По типографским соображениям выписывать эти век­
торы мы бvдем в строку (понимая, что речь идет все же о столбце!).
Если же в матричных в·ыраженliях необходимо подчеркнуть, что век­
тор рассматривается как строка, то Для этого используется символ
оnератора транспонирования "'t". Так · если ·х
xi -
-
вектор-столбец, то
вектор-строка.
111
Часть
11.
Оптимальные портфели ценных бумаг
Используя матричную запись, можно предыдущие формулы за­
писать также в виде:
(т,х)
E[Rn] =
= т-с х
(7.22)
и
V[R1t] . ( Сх,х) = xt
Сх.
(7.23)
Приведем теперь примеры вычислений характеристик портфе­
лей непосредственно по параметрам рынка, т.е. по вектору т и ма­
трице С.
7.6. Для рынка трех активов А 1 , А2 , А3 из примера 7.1. най­
дем характеристики портфеля с вектором весов х = (1/4, 1/4, 1/2)
Пример
Решепие. Вычисленные в примере
7.4
параметры этой модели
имеют вид:
= (18,5; 10; 7,5)
т
-
для вектора средних и
.
С=
]
~
20,25
45 -1~ 25
45
225
-150 .
-Jl,25 -150 131,25 .
(
Следовательно, сформированный портфель · имеет следующие
характеристики: доходность
Е =(т,х) = 18,5·1-+10.l+7,5. l= 10,88%
.
4
4
2
и риск
.
V =(Сх,х)=хтСх=(~, ~·~)
(20,25
1
45
-11,25
-150
45
225
-11,25 -150 131,25
J _!_4
~
=13,45.
2
Равенства
(7 .19) -(7 .20) говор~ о том, что ожидаемая доходность
портфеля есть линейная форма от его компонент, тогда как его риск
или дисперсия есть . квадратичная форма от компонент портфеля. Та­
ким образом, мы имеем два критерия оценки выбираемых портфе­
лей: линейный (доходность) и квадратичный (риск).· Желательно
значение первого сделать как можно большим, а второго
-
как мож­
но меньшим. Но, чтобы строго поставить задачу выбора оптимально­
го портфеля, нам нужно обсудить еще одну тему, свя~анную с этим
понятием. Речь идет о видах (моделях) портфельной стратегии. Этот
nonpoc
112
v
:МIJ рйССМlУГрИМ В СЛеЛУЮШеИ ГЛаВе.
Глава
Задачи к главе 7
1. Для рынка из задачи
7.
Параметрическая модель рынка
1 гл.6 найти ковариационную и корреля.­
ционную матрицы. Найти ковариацию и корреляцию портфеля за­
данного вектором весов
(0,2; 0,5; 0,3)
с каждым активом.
2. Для рынка из задачи 2 гл.6 найти ковариационную и корреля­
ционную матрицы. Найти ковариацию и корреляцию портфеля за­
данного вектором весов
3.
с каждым активом.
(0,4; -1,4)
Пусть задана таблица годовых доходностей для некоторых трех
активов в каждом из состояний рынка. Годовые доходности активов,
заданные в таблице, измеряются в процентах.
Состояния
Вероятности
s1
0,4
0,3
0,3
s2
Sз
Доходность
актива А 1 (%)
Доходность
актива~(%)
Доходность
актива А ( %)
25
30
35
40
-10
30
40
10
5
3
Для всех i иj найти коэффициенты c!i и p!i.
4.
·
Ежемесячные доходности акций АМЕХ,
CBS, EXXON за 1987
год приведены ниже.
акция
янв.
фев. ·
март
АМЕХ
20
8,8
1
апр.
-8 4 -0,9
'
9,9 15,8 -5 4 7,5
CBS
'
EXXON 18 - 4 2 9,4
'
май
1
июнь июль
2
авг.
сен.
окг.
нояб.
дек.
7,6
0,7 -3 4 -32 ' 2 -7 ' 3 22
'
'
'
1
11,3 3,9 11,6 -23 ' 5 9,5
0,9 7 -2 ' 4 -12,3 12,6 3,7
'
-О
'
45
1,5
8,2
7,2
а) Найти оценку для каждой акции.
б) Найти ковариационную и корреляционную матрицы для рын­
ка из этих акций.
5.
По данным задачи
доходности портфелей
4 найти найти последовательные месячные
п 1 = 2 АМЕХ +3 СВSи п 2 = 2 CBS- 5 EXXON,
при условии, что начальные цены акц:Ий АМЕХ,
CBS, EXXON равны
$50, $80, $100 соответственно. Найти оценку этих портфелей, а также
их ковариацию и корреляцию.
6. Ниже приведены-ежемесячные доходности акций АМЕХ, CBS,
EXXON за 1987 год.
6. По данным задачи 4 найти:
1) характеристики (вектор средних и матрицу ковариаций)
пакетов: {АМЕХ, СВ~, {EXXON, СВ~, {EXXON, АМЕХ}
2) характеристики (доходность и риск) портфелей:
а) х
8175
= (0,4; 0,6), составленного из акций АМЕХ и CBS;
113
Часть
11.
Оптuмал"t,>ные портфели ценных бумаг
6) х = (1; О), составленного из акций ЕХХОNи CBS;
в) х = (0,7; 0,3), составленного из акций ЕХХОNи АМЕХ
7.
В начале года акции
$40 за одну акцию.
Business Adventures
продавались по цене
Вероятный размер вьiплаты дивидендов и цена на
конец года зависят от состояния экономики в конце года. Эта зави­
симость имеет следующий вид:
Состояние экономики
Дивиденды
( в $)
Цена акций (в
Экономический подъем
2,00
50
Нормальное развитие
1,00
43
Экономический спад
0,50
34
$)
а) Вычислите ожидаемую доходность акции за год и ее стан­
дартное отклонение. Все три сценария равновероятны.
б) Вычислите ожидае~ доходность и стандартное отклонение
портфеля, средства которого вкладывается поровну в акции
Business
Ad11entures и в казначейские векселя. Доходность казначейских вексе­
лей составляет 4% в год . Казначейские векселя не имеют риска и не
коррелируют с акциями
Business Adventures.