Актуарная математика - Независимый актуарный

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Методическое пособие
АКТУАРНАЯ
МАТЕМАТИКА
(МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ)
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................................................3
1. Стационарная совокупность......................................................... 5
2. Страхование на чистое дожитие................................................... 8
3. Пожизненная рента...................................................................... 11
4. Отложенная пожизненная рента................................................ 13
5. Срочные страховые ренты.......................................................... 14
6. Страховое дисконтирование....................................................... 16
7. Контракты по страхованию жизни............................................ 18
8. Пожизненное страхование...........................................................19
9. Страхование жизни на срок........................................................21
10. Страхование жизни с ограниченным сроком выплат
и смешанное страхование..........................................................22
11. Страховые резервы.....................................................................24
12. Монотонные страховые ренты................................................. 25
13. р-кратные страховые ренты.......................................................26
14. Общая схема страхования жизни............................................. 29
Задачи........................................................................................... 32
Ответы и решения......................................................................39
Приложение.......................................................................................48
Список рекомендуемой литературы............................................... 60
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
______________________ им. Н.Э. БАУМАНА______________________
АКТУАРНЫЙ ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЦЕНТР
АКТУАРНАЯ
МАТЕМАТИКА
(модели страхования)
Методическое пособие
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2004
УДК 368.3(075.8)
Б Б К 65.9(2)261.7
АЗ 8
Рецензент А Л . Грешилов
А38 Актуарная математика (модели страхования): М етодичес­
кое пособие / В.Н. Баскаков, И.Г. Зорина, Г.Д. Карташов и
др. - М.: И зд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 60 с.
ISBN 5-7038-1838-9
Представлены краткие теоретические сведения, реш енные типовые
примеры п о различным видам контрактов страхования ж изни, условия
задач для самостоятельного реш ения и реш ения к ним.
П особи е ориентировано на интересующ ихся актуарной математикой,
студентов и слушателей институтов повышения квалификации.
УДК 368.3(075.8)
ББК 65.9(2)261.7
Валерий Нмиколаевич Баскаков
Ирина Григорьевна Зорина
Геннадий Дмитриевич Карташов
Владимир Викторович Новиков
Любовь Евгеньевна Соломатина
АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА
Редактор Е.К. Кошелева
Корректор М.А. Василевская
И зд. лиц. № 020523 от 25.04.97.
П одписано в печать 28.05.01. Ф ормат 60x84/16. Бумага офсетная. Печ. л. 3,75.
Уел. печ. л. 3,49. Уч.-изд. л. 3,29. Тираж 600 экз. Изд. № 1. Заказ № 3 £ ,
Издательство М ГТУ им. Н .Э . Баумана.
107005, М осква, 2-я Бауманская, 5.
ISB N 5-7038-1838-9
© М ГТУ им. Н .Э . Баумана, 2004
ВВЕДЕНИЕ
В страховании объектом анализа являются вероятностные процес­
сы. Например, в различных контрактах личного страхования (жизни
или смерти) последовательность взносов страхователя (или страховые
выплаты) имеет вид потока регулярных платежей. Существенным явля­
ется тот факт, что выплата денег ставится в зависимость от условия —
от жизни или смерти застрахованного, так что количество платежей в
потоке заранее неизвестно. Такие ренты называются условными (contin­
gent annuity) или страховыми. Они используются для анализа различных
типов страховых контрактов.
В страховом деле принято различать страхование жизни (куда отно­
сится страхование жизни и смерти) и страхование «нежизни» (различ­
ные типы страхования транспорта, расчет и страхование технических
рисков, космическое страхование и т.д.). Ниже будут рассмотрены
лишь простейшие виды контрактов личного страхования, однако прин­
ципы расчетов для них являются универсальными и легко переносятся
на более сложные случаи.
Итак, страховые контракты относятся к специальному виду финан­
совых контрактов и представляют собой в простейшем случае сделку
между двумя субъектами (лицами): страхователем — лицом, которое
страхуется, и страховщиком —лицом, которое страхует страхователя от
определенного риска. В страховании жизни риск, который страхуется,
относится к жизнедеятельности страхователя и определяется такими со­
бытиями, как смерть, болезнь, инвалидность, дожитие и т.п. В соответ­
ствии с заключенным страховым договором (контрактом) страхователь
имеет право получить страховую сумму в случае наступления оговорен­
ного в контракте страхового события. В свою очередь, страхователь уп­
лачивает страховщику взнос, называемый премией {premium). Выплата
страховой суммы, или премии, может иметь вид разового платежа, а
может быть серией регулярных выплат, т. е. являться страховой рентой.
Страховые события в страховании жизни относятся к событиям,
для которых характерна статистическая устойчивость, т.е. частоты их
наступления, при большом числе страховых контрактов, изменяются в
малом диапазоне (закон больших чисел). Это позволяет применять ве­
роятностные и статистические методы для оценки премий и резервов
по большой группе однородных страховых контрактов.
3
В основе расчетов размера премий лежит принцип эквивсыентности
обязательств страхователя и страховщика, состоящий в следующем:
если вероятность наступления страхового события равна q, страховая
сумма равна S, то размер теоретической (или, как еще говорят, чистой,
или нетто-) премии, определяется из равенства Р= q S. Реальные, или
брутто-премии, содержат так называемую нагрузку, цель которой со­
стоит в компенсации расходов компании по осуществлению страховой
деятельности, создании дополнительных резервов, получении прибыли
и т.п.
Ограниченность объема методического пособия и многообразие су­
ществующих на страховом рынке видов контрактов не позволили авто­
рам обсудить многие из них в данной работе. Тем не менее, наиболее
часто встречающиеся виды контрактов рассмотрены в этом пособии до­
статочно подробно. Более полное изложение можно найти, например, в
работах, приведенных в списке рекомендуемой литературы.
4
1. СТАЦИОНАРНАЯ СОВОКУПНОСТЬ
Для создания простейшей математической модели реального
населения используется гипотеза стационарного населения, со­
гласно которой смертность и рождаемость данного населения
постоянны и не зависят от времени. Таким образом, числен­
ность населения и его возрастная структура также постоянны ,
так как миграционные процессы исключаются.
В действительности население, конечно, не является стацио­
нарным, но при стабильной социально-эконом ической обста­
новке, когда рождаемость и смертность сбалансированы, эта
модель дает возможность получить достаточно надежные оценки
для показателей таблиц смертности.
В условиях стационарности населения 1Х— это число лиц, д о ­
стигающих ежегодно возраста х; dx — число лиц, умирающих
ежегодно между возрастом х и (х + 1); Lx — число лиц, имеющих
в данный момент возраст из промежутка [х, х + 1] и, согласно
гипотезе стационарного населения, параметр Lx не меняется со
временем.
Пример 1.1. Пусть популяция описы вается моделью стаци­
онарной совокупности и ежегодная рождаемость составляет
500 человек. С колько в этой популяции людей в возрасте
между 20 и 30 годами?
Решение. Для совокупности лиц, численность которой отли­
чается от табличной, можно пользоваться таблицами смертнос­
ти, вводя предварительно масштабный множитель к. В нашем
примере его находят из условия к • /0 = 500, т. е. к = 5 0 0 //0. Тогда
число лиц, чей возраст лежит в промежутке между 20 и 30 года­
ми, составит N =
(Г20 - Т30) = 4 872 чел. U
'о
Центральным коэф фициентом смертности тх называется от­
нош ение числа умерших за год в возрасте между х и (х+1) к
5
числу живых лиц этой возрастной группы. При условии равно­
мерности распределения смертей в возрастном промежутке
cL
2
между х и (х+1) верна формула тх = -у- = -г—— . Откуда
X
2 + тх
^ ~ Ях
( 1.1)
В более общ ем случае миграция населения учитывается вве­
дением различных поправок. Так, если vx — число лиц, ежегодно
покидающих данную возрастную группу, то формула для qx
примет вид
2 тх
Ях — ^
5
*
2 + тх + ух
(1-2)
где ух = vx/ L x.
При некоторых дополнительных условиях теория стационар­
ного населения дает хорошие результаты в применении, напри­
мер, к штату сотрудников предприятия или любой другой
совокупности лиц с подходящими ограничениями. Пусть числен­
ность сотрудников предприятия постоянна. Пополнение осущест­
вляется за счет лиц точного возраста а, а выбытие происходит в
возрасте b = а + п или в случае смерти. Через Т обозначают
число лиц возраста х и старше в данный момент времени. Тогда в
каждый момент времени полное число лиц совокупности
Ь- 1
L = Г - Ть = -г (1а +
+ X 1а +к - Зная среднюю (остаточную)
*= 1
продолжительность жизни в°х в возрасте х, которая обычно приво­
дится в таблицах смертности, можно записать зависимость между
ТX иX/ в виде ТX - XI Xе°.
Пример 1.2. К ом пания поддерживается в стационарных усло­
виях ежегодным приемом на работу трехсот человек в возрасте
20 лет.
Считая пенсионны й возраст равным 60 годам, найти:
а) численность штата компании;
б) число ежегодно выходящих на пенсию сотрудников;
в) число пенсионеров.
6
Решение. Масштабный множитель в данном примере находят
из равенства к ■300 = /20;
а) численность штата компании
*
= * (Гж - Тм) = М
«•;„ - ^ =11 200 чел.;
20
20
б) число ежегодно выходящих на пенсию сотрудников ком­
пании
I
N x = к /60 = 300 -f- = 255 чел.;
20
в) наконец, число пенсионеров компании
N2 = к Г60 = 300 !р- е60 = 4 550 чел. ■
20
Более адекватная, а значит сложная, модель учитывает воз­
можность выбытия из штата компании не только в случае смер­
ти или выхода на пенсию, но и по другим причинам. Дня
расчетов необходимо знать долю лиц, покидающих каждую воз­
растную группу.
Пример 1.3. В штат компании ежегодно принимаются 700
человек в возрасте 20 лет. Из них 20 % покидают компанию
через 10 лет, еще 10 % — через 20 лет, 5 % — через 30 лет, остав­
шиеся работают до пенсии (60 лет). Требуется найти:
а) число сотрудников компании;
б) число пенсионеров;
в) число ежегодно умирающих сотрудников.
Решение. Масштабный множитель в данном примере
к = 7 0 0 //20;
а) N = ( Т20 - 0,2 Тт - 0,08
- 0,036 Т50 - 0,684 Т60) ~
=
20
= 21 712 чел;
б)
N { = к ■0,684 Т60 = 0 , 6 8 4 Т60 = 6 670 чел.;
20
7
в)
поскольку в компанию ежегодно принимаются 700 чело­
век, выбывают из всех возрастных групп к (0,2 /30 + 0,08 /40 +
+ 0,036 /50 + 0 ,6 8 4 /60 = 624) живых сотрудника, а общая числен­
ность постоянна, остальные выбывают по случаю смерти. А
именно,
N2 = ~ ^ - (/20 - 0,2 /30 - 0,08 /40 - 0,036 /50 - 0,684 /60 = 76 чел).И
'20
2. СТРАХОВАНИЕ НА ЧИСТОЕ ДО Ж И ТИ Е
(pure endowment)
Для контрактов данного вида страховое событие, влекущее
выплату страховой суммы, состоит в дожитии застрахованного
до конца указанного срока. В случае смерти застрахованного в
период действия контракта сумма не выплачивается и премия не
возвращается. К ак производится расчет чистой единовременной
премии по такому контракту?
Как принято в актуарной практике, страхуемую сумму ус­
ловно принимаю т за 1. Тогда вычисленная премия будет указы­
вать относительную долю, которую она составляет в страховой
сумме, а значит, для любой конкретной суммы величину соот­
ветствующей премии получают умножением этой суммы на
«единичную» премию.
Пусть имеется группа из 1Х страхователей возраста х Если п —
срок контракта, то по условию каждый из доживших до возраста
х + п получит сумму 1. В среднем до возраста х + п доживут, со­
гласно таблицам смертности, 1х+п человек. Суммарные обязатель­
ства компании в этом случае составят величину 1Х+п. Однако эта
сумма относится к моменту времени, отстоящему от момента за­
ключения контракта на и лет. Текущая стоимость этих обяза­
тельств при выбранной технической процентной ставке будет
равна
где v =
1
„
— дисконтныи множитель,
„
соответствующий про­
центной ставке /. Так как исходное число застрахованных равно
1х, обозначая величину единичной премии через пЕх, получим,
что общая стоимость премий составит I пЕх. Уравнивая обяза­
тельства и активы, получим,
1х
»Е Х ~
V Y lX +■ Л-
И з этого уравнения имеем
f — v" • I1х +п.
П^х
1х
Заметим, что величина
(2.1)
' у
представляет собой условную веX
роятность прх дожития до возраста х + п лица, достигшего возрас­
та х. Тогда формулу для премий (2.1) можно переписать в виде
пЕх = Vя • прх .
(2.2)
Формула (2.2) представляет собой формулу для математичес­
кого ожидания случайной величины z, которая равна текущей
стоимости суммы контракта при факте дожития и нулю — в
противном случае.
Для упрощения вычислительной работы при актуарных расче­
тах были введены так называемые коммутационные функции, для
которых составлены таблицы. Важнейшие из функций таковы:
DX = v " /X 5:
N X = D X+ D X + . 1 +... + Dсо ,’
/П
Х+ 1 1
С =v
d ,
х
х
М X = С X + С X + .I +... + С со .
(2.3)
Коммутационные функции строятся на основе заданной таб­
лицы смертности и при заданных значениях процентной ставки.
Таблицы коммутационных функций играли большую роль в до­
компьютерную эпоху, поскольку значительно сокращали объем
вычислительной работы. Ныне их роль заметно меньше, так как
непосредственное вычисление их с помощью компьютера зна­
чительно быстрее, чем поиск по таблице. К тому же таблицы
9
этих функций приводились лишь для ограниченного диапазона
процентных ставок, поскольку для каждой процентной ставки
требуется своя таблица. При использовании компьютера этой
проблемы не существует. Тем не менее, знакомство с коммута­
ционными функциями по-прежнему является необходимым эле­
ментом актуарного образования.
В приложении приведена таблица коммутационных функций
(табл. 3), соответствующая таблице смертности (табл. 1) и про­
центной ставке 4,5 %.
Замечание. В отечественной литературе вместо термина
«коммутационные функции» используют устаревший термин —
коммутационные числа. Мы будем использовать эти термины как
синонимы, хотя термин «коммутационные функции» более
точен.
С использованием коммутационных функций формула еди­
новременной премии для чистого дожития будет иметь вид
Е _ Dx +n
„Их- Dx ’
Замечание. Величина пЕх
обозначение:
(2.4)
v }
имеет и другое, более сложное,
А 1 .
х :п|
Пример 2.1. Найти единовременную чистую премию кон­
тракта на дожитие для 18-летнего мужчины сроком на 20 лет и
на сумму 10 тыс. руб.
Решение. Единичная премия
Следовательно,
р = 10 000 • 0,399 311 = 3 993,1 руб.И
10
Пример 2.2. Вычислить премию контракта на дожитие для
18-летней женщ ины сроком на 20 лет и на сумму 10 тыс. руб.
Решение:
^*38 _ 11 723,3 _ Л(-ъп «
Л
Du ~ 29 022,7 “ 4639’36 РУб -
Таким образом, стоимость контракта на дожитие для ж ен­
щ ин выше, чем для мужчин, поскольку вероятность дожития
для женщ ин также выше, поэтому для женщ ин более вероятна
выплата страховой суммы.■
Страхование на чистое дожитие редко используется изолиро­
ванно, но часто является составной частью других контрактов.
Этот вид страхования делает страховой полис относительно до­
рогим, если срок страхования не очень большой.
Пример страхования на дожитие показывает взаимодействие
обоих факторов: процентной ставки и смертности. Здесь налицо
принцип солидарной ответственности страхователей, так как
смертность приводит к тому, что доля взносов (премий) умер­
ших перераспределяется между доживш ими в момент окончания
срока действия контракта, создавая для них дополнительную
прибыль помимо той, что обеспечивается процентами. Так, в
примере 2.1 премия р = 3993,1 руб, помещ енная под 4,5 % годо­
вых, через 20 лет даст накопленную стоимость в размере
3993,1 ■(1,045)20 = 9629,01 руб.
Ф актор смертности увеличивает эту сумму до 10 тыс. руб.
3. ПОЖИЗНЕННАЯ РЕНТА
Во многих случаях люди предпочитают получать не отдель­
ную сумму, а регулярный доход. В случае, когда такие регуляр­
ные
выплаты осуществляются
в течение
всей
жизни
застрахованного, говорят о пожизненной ренте. Периодичность
выплат ренты может быть произвольной: годовой, ежемесяч­
ной, ежеквартальной и т.д. Для простоты мы будем иметь в виду
годовой период.
В зависимости от срока выплат различают ренты обы кновен­
ную и авансированную. Если рента покупается лицом в возрасте
х в момент заключения контракта и
выплачивается в конце
каждого года дожития, т.е. в моменты
11
х + \, х + 2 , х + 3,
то она называется обыкновенной пожизненной рентой. Выплаты
прекращаются в случае смерти застрахованного.
Н аш ей целью, как и в случае страхования на дожитие, будет
нахождение актуарной стоимости пожизненной ренты, т.е. вели­
чины единовременной чистой премии, которую должен запла­
тить страхователь для того, чтобы страховая компания могла
обеспечить выплату пож изненной ренты. Величину ежегодной
выплаты будем считать единичной (например, 1 руб.).
Пусть 1Х ли ц в возрасте х заключат контракт на пожизненную
ренту с годовыми выплатами в 1 руб. Актуарную стоимость
такой ренты обозначим через ах. Тогда в момент заключения
контрактов суммарные поступления страховой компании соста­
вят /х ах.
Баланс между поступлениями и выплатами будет выполнен
при условии, что
(3.1)
где (о — предельный возраст в таблице смертности.
гч
1 \
Выражая из равенства (3.1) ах и учитывая, что
/Х
+ П
— = прх , по
лучим сокращ енную формулу для ах в коммутационных терминах:
ах
Nx + I
(3.2)
Авансированная пожизненная рента отличается от обыкновен­
ной лиш ь сроками выплат. П о этой ренте каждая выплата осу­
ществляется в начале каждого года контракта, начиная с
момента его заключения.
Актуарную стоимость авансированной (единичной) ренты
обозначают ах.
У равнения для этой величины получают на основе таких же,
что и приведенные выше, рассуждений. Единственным отличи­
ем будет то, что первые выплаты будут произведены сразу после
заключения контракта, тогда
12
lx + 1
2 lx + 2
ах = 1 + v — i— + V — ;— + ... + v
to - x
k
- x
(3.3)
■X
Используя коммутационные функции, можно записать
(3.4)
Значения ах часто указывают вместе с коммутационными
числами. Стоимости пожизненных рент двух типов связаны со­
отнош ением
Пример 3.1. Найти стоимость пожизненной ренты с годовы­
ми выплатами в 10 тыс. руб. для лица в возрасте 50 лет. Рас­
смотреть случаи обыкновенной и авансированной рент.
Решение. В табл.З приложения находим, что ах = 14,895 933.
Следовательно, стоимость авансированной ренты с годовыми
выплатами 10 тыс. руб.
10 000 • а50 = 148 959,33.
Тогда стоимость обыкновенной ренты
10 000 • (й50 - 1) = 138 959,33 р у б .Я
Замечание о терминологии. В этой главе речь идет об услов­
ных, или страховых, рентах. К ним применяю т терминологию,
используемую и для детерминированных рент. Термин страхо­
вая рента и аннуитет, как указывалось, синонимы. А вансиро­
ванную ренту называют также приведенной, или пренумерандо.
Обыкновенную ренту называют рентой постнумерандо.
4. ОТЛОЖЕННАЯ ПОЖИЗНЕННАЯ РЕНТА
Этот вид ренты отличается от рассмотренных выше тем, что
выплаты по ней осуществляются не в год заключения контракта,
а спустя указанное в контракте число лет. Так, если контракт
заключается лицом в возрасте х, а величина отсрочки составляет
13
т лет, то первая выплата будет сделана в возрасте х + т + 1 для
обыкновенной ренты и в возрасте х + т - для авансированной
(приведенной) ренты.
Актуарную стоимость единичной отложенной ренты обозна­
чают символом т\ах .
Стоимость приведенной (единичной) ренты обозначают т\ах:
Nx +т + 1
/а | \
(4Л)
Пример 4.1. М ужчина в возрасте 40 лет покупает пож изнен­
ную ренту (пенсию ), выплаты которой начинаю тся с 65 лет.
Если пенсия составляет 15 тыс. руб. в год, то какова ее стои­
мость р ?
Решение. П оскольку х = 40 и х + т + 1 = 65, то т = 24, сле­
довательно,
р
= 15 ООО • 24|й4о = 15 ООО •
=
= 15 ООО • f f l f l j j = 40 064,63 руб. ■
Замечание о терминологии. Отложенную ренту называют
также отсроченной, а неотложенную — немедленной.
5. СРОЧНЫЕ СТРАХОВЫЕ РЕНТЫ
Рассмотрим разновидность контракта страхования на дожи­
тие, заключаемого с лицом в возрасте х. В соответствии с кон­
трактом выплаты будут производиться в течение п лет при
условии ж изни застрахованного, выплаты прекращаются, если
застрахованный умирает. Рента, выплачиваемая по такому кон ­
тракту в возрасте х + 1, ... , х + п лет, носит название обыкновен­
ной срочной страховой ренты; ее стоимость обозначают а ^ и
вычисляют по формуле
О х: п\
14
Dx +1 + . ■. + Dx н
Dx
N,Х +
1
JVX, + п + 1
Dx
(5.1)
Замечание. Срочную ренту также называют временной.
Пример 5.1. Рассчитать стоимость 16-летней страховой ренты
с ежегодными выплатами в 12 тыс. руб. для 27-летней женщ ины.
Nyo - N 45
„
_
а ^ щ = -------- ул--= 114 567,72 руб Я
'
^27
Если первая выплата по срочной ренте осуществляется сразу
же после заключения контракта, то ренту называют авансирован­
ной срочной рентой. Первая выплата производится в возрасте х;
стоимость единичной ренты для возраста х на срок п лет обо­
значают а —ц и рассчитывают через коммутационные ф ункции
по правилу
Решение:
•■
Nx — Nx+ п
<2ТГЦ = ------^ ------ •
Dx
/с
(Ь.2)
Пример 5.2. Какова стоимость 5-летней авансированной
ренты в 5 тыс. руб. для 18-летнего юноши?
T V io
Решение: 5 ООО ■а ^
-
N 2з
_
= 5 ООО-1^ — - = 22 857,5 руб.Я
Если срок первой выплаты по контракту отложен на т лет и
для страхователя возраста х будет производиться при условии
дожития в годы х + т + 1, х + т + 2, ... , х + т + п, то такую
ренту называют обыкновенной отложенной срочной рентой; ее
стоимость обозначают т\пахи находят по правилу
Nx + т + 1 — Nx +т + и + 1
т\п а х = --------------------2)Г------------------- •
/г
11
Соответственно авансированной отложенной срочной рентой на­
зывают ренту с выплатами в возрасте х + т, ... , х + т + п - 1 лет,
при условии, что застрахованный доживет до этого возраста. Стои­
мость авансированной отложенной ренты рассчитывают следую­
щим образом:
••
N' xЛ т+ lit
т ~ лN'xА ++ ffl
т "Т
+ Г1
п
т\„ах = ---------- ------------ .
/С
Л \
(5.4)
Пример 5.3. Рассчитать стоимость 5-летней страховой ренты
в 3 тыс. руб. для 14-летнего человека, если первую выплату он
получит в 17 лет. Отдельно рассмотреть случаи обыкновенной и
авансированной рент.
15
Решение. В данном
обыкновенной ренты
случае х = 14, п = 5, т = 3. Тогда для
N - N
3 ООО • З|5а 14 = 3 ООО ■— ^ — - = 12 875,77 руб.;
D \4
для авансированной ренты
N. 7 3 ООО ■з|5й14 = -----jz------ = 12 766,35 руб.И
14
Следующие формулы для рассмотренных ранее видов рент
нетрудно получить и полезно запомнить:
ах = а Щ
' \ ~ й Ы| + «Iй*’
= «- i|«x-
(5.5)
Пример 5.4. Найти стоимость 10-летней ренты в 20 тыс. руб.
для 50-летней женщ ины, если первая выплата приходится на
возраст: а) 50 лет; б) 51 год; в) 66 лет.
Решение:
а) р = 20 000 •
50 ~
66 = 153 359,46 руб.;
V 50
б) р = 20000 •
N , - N„
— - = 14 095,72 руб.;
и 50
в) р = 20 000 • - в2~ N n = 84 205,43 руб.Н
^50
6. СТРАХОВОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Нахождение современной (приведенной) стоимости будущих
платежей называют дисконтированием. Эта операция позволяет срав­
нивать финансовые результаты контрактов, различающихся по вели­
чине и срокам, приводя их к одному моменту времени t = 0.
Рассмотрим сначала дискретный детерминированный случай.
Современное значение (при t = 0) потока платежей с,, с2, ... сп,
соверш енных в моменты времени tp
16
... tn„ составит
p . v. = с , v (fj) + С2 v (t2) + ... + Сп v (Г ) =
п
X
с. v (Л),
где v — дисконтны й множитель, соответствующий заданной по­
стоянной процентной ставке i.
Пусть Т — целое положительное число. Если выплаты от­
срочены на период Т, то выражение для приведенной стоимости
отсроченного контракта будет иметь вид
П
Р- V. = VT ■ X Су V (tj),
(6 1 )
т
„
~
где v — дисконтны и множитель, «отвечающий» за отсрочку по­
тока платежей.
В актуарных расчетах важны не только процентная ставка,
но и параметры, зависящ ие от демографических факторов, таких
как смерть, дожитие и т.д. Существует специальная процедура
вычисления современной стоимости страховых контрактов, ана­
логичная процедуре дисконтирования, в которой дисконтны й
множитель имеет специальный вид:
„ г
Dx +т
ТЕХ = v jpx = D .
Д ля детерминированных дисконтных множителей справед­
ливо равенство V" + " = V” ■V . Аналогичное равенство вы полня­
ется и для страховых дисконтных множителей
m+пЕх — тЕх • щЕх-
(6.3)
Использование страхового дисконта можно сформулировать
в виде «правила отсрочки» [8]: стоимость отсроченного обяза­
тельства для возраста х равна произведению страхового дисконт­
ного множителя, соответствующего периоду отсрочки Т, и
стоимости этого обязательства для застрахованного в возрасте
х + Т при условии, что застрахованный дожил до этого возрас­
та, т.е. VX = TEX - Vx + T .
Пример 6.1. Какую часть стоимости полиса немедленной по­
ж изненной ренты должен заплатить страхуемый в возрасте 30
лет, если он желает отложить выплаты до 50-летнего возраста?
17
Решение. Согласно правилу дисконтирования, стоимости н е­
медленной
и
отложенной рент связаны
соотношением
А' = (D5Q/ D 30) ■А. Таким образом, А ' / А = D50/ D 3Q = 0,388.■
7. КОНТРАКТЫ ПО СТРАХОВАНИЮ Ж ИЗНИ
В предыдущих разделах основным страховым событием, обу­
словливавшим выплаты страховых сумм, являлось дожитие за­
страхованного лица до определенного возраста (как в случае
страхования на дожитие) или же сам факт ж изни при выплате
страховых рент. В этом разделе будут рассмотрены контракты, в
которых страховым событием является смерть застрахованного.
Страхование ж изни позволяет за относительно небольшую
плату (премию) обеспечить наследникам значительный доход в
случае смерти застрахованного. Рассмотрим следующий пример.
Пример 7.1. Пусть 10 тыс. лиц в возрасте 18 лет покупают
страховой полис сроком на год. По условиям страхования в слу­
чае смерти застрахованного лица в течение года его бенефициа­
рий (получатель страховой суммы) получит 1 тыс. руб. Согласно
таблице смертности, вероятность для 18-летнего не дожить до 19
лет составляет 0,001 78. Таким образом, из 10 тыс. застрахован­
ных около 18 человек не доживут до 19 лет и, следовательно,
компания выплатит 18 тыс. руб. в среднем по этим полисам.
Это означает, что для обеспечения выплат достаточно взноса в
1,8 руб. с каждого застрахованного. Эта сумма разительно отли­
чается от стоимости полиса на дожитие. Стоимость такого поли­
са на ту же сумму (1 тыс. руб.) и на тот же срок (один год)
составит
1000 ■(1 - 0,001 78) = 998,22 руб.И
Конечно, это связано с тем, что вероятность прожить 1 год
для 18-летнего намного больше, чем вероятность умереть. При
расчете стоимости полиса мы не учитывали возможности полу­
чения дополнительной прибыли за счет инвестирования полу­
ченных премий. В страховых расчетах по страхованию жизни,
особенно на большой срок, процентная ставка учитывается так
же, как и для страховых рент.
Наш ей целью будет определение чистых премий, или неттопремий, для различных контрактов.
Отметим, что для страхования жизни мы будем рассматри­
вать два вида оценок: полную актуарную стоимость контракта,
которая представляет величину одноразовой премии, а также
оценку периодически выплачиваемых сумм — регулярных пре­
18
мий. Естественно, что текущая стоимость такой последователь­
ности регулярно выплачиваемых премий совпадает (в среднем) с
полной актуарной стоимостью контракта или с одноразовой
премией.
Страхование жизни имеет две основные формы: пожизненное и
на срок. При этом страхование на срок часто комбинируют со
страхованием на дожитие. Такого рода страхование называют сме­
шанным. Конкретные типы контрактов различаются еще схемой
выплаты премий. Так, пожизненное страхование на значительную
сумму имеет большую полную стоимость и редко предусматривает
оплату в виде единовременной премии. Как правило, премии вы­
плачиваются или в течение всей жизни (straight life), или в течение
определенного срока после заключения контракта (limited pay life).
8. ПОЖ ИЗНЕННОЕ СТРАХОВАНИЕ
Пожизненное страхование на случай смерти предусматривает
выплату страховой суммы после смерти застрахованного лицу, ука­
занному в контракте, — бенефициарию. Как правило, выплата осу­
ществляется сразу же после установления факта смерти. Для
упрощения изложения мы рассмотрим этот вид страхования при ус­
ловии, что выплата страховой суммы осуществляется в конце года
смерти застрахованного. Найдем сначала актуарную стоимость Ах
контракта такого вида, при условии, что страховая сумма равна 1.
Как уже говорилось, это средняя текущая стоимость страховой
суммы, срок выплаты которой неизвестен. Тогда
£0- X+ I
-Н ... -f* V
( 8 .1)
где /. — число лиц в возрасте х, заключивш их контракт; dx —
число лиц, умерших в возрасте х.
Учитывая, что
dx+ k
~1
- кЯх= - к Р х - Я х + к ,
получим
со - х
V
AX = L
А
*+ 1
v
kPx - q x+k-
( 8 .2 )
19
С использованием коммутационных функций
получается «упрощенная формула» для Ау :
(8.3)
Значения Ах приведены в таблицах коммутационных ф унк­
ций. Обычно в них указаны значения Ах для страховых сумм,
являю щ ихся «стандартными», например 1 тыс. руб. Таким обра­
зом, 1000 • Ах указывает величину премии на 1 тыс. единиц
страховой суммы.
Пример 8.1. Найти стоимость единовременной премии Р по
пожизненному страхованию на 10 тыс. руб. для 18-летнего за­
страхованного.
Решение:
Р = 10 000 ■А п = 10 • 118,41638 = 1184,16 руб.И
К ак уже отмечалось, очень малое число полисов страхования
жизни оплачивается одноразовой премией. Чаще оплата полиса
производится регулярными, например ежегодными, выплатами в
течение всей ж изни застрахованного. Найдем величину этих вы­
плат для пож изненного страхования. Пусть Р — величина еже­
годных премий для страхования жизни, причем будем считать,
что премия выплачивается в начале страхового года. Тогда
(8.4)
где Р — чистая годовая премия для пожизненного страхования
на единичную страховую сумму. Учитывая, что
я
20
NX
*
DX
получим ещ е о д н о вы раж ение для
Р :
Рх = # .
-/Ух
(8-5)
Пример 8.2. Какова ежегодная (чистая) премия по страхова­
нию ж изни на 10 тыс. руб. для 30-летнего мужчины?
Решение:
10 000 • Рзо= 10000-
= 10 000 • 9 Q g |f f ^ = 92,51 руб .1
Величину ежегодной премии вычисляли при условии ее по­
стоянства в течение всей жизни. Таким образом, Рх зависит
только от возраста заключения контракта, но не от времени вы ­
платы.
9. СТРАХОВАНИЕ Ж И ЗН И НА СРОК
В контрактах этого рода фиксируется срок п его действия,
так что для страхуемого возраста х страховая сумма вы плачива­
ется только в том случае, если застрахованный умрет, не дожив
до возраста х + п. П ри этом обычно считают, что страховая
сумма выплачивается в конце года смерти застрахованного.
Тогда одноразовая премия для единичной суммы контракта для
этого вида контрактов
М х - М х+ п
л
~
Dx
(9 1)
‘
‘
Если премии выплачиваются ежегодно в начале каждого
года, то последовательность их выплат образует срочный страхо­
вой аннуитет:
где Р^-гц ~ величина ежегодной премии,
21
Пример 9.1. Н айти одноразовую и годовую премии 5-летне­
го полиса страхования ж изни на сумму 10 тыс. руб. для 30-лет­
ней женщ ины.
Решение. Одноразовая премия
М ,п - М ,
= 10 ООО •
2507,669 - 2400,887
= 63,25 руб.
16 882,4
Годовая премия
-
= 10 000 •
М
2507,669 - 2400,887
= 13,83 руб.И
333 813,9 - 256 571,4
10. СТРАХОВАНИЕ Ж ИЗНИ С ОГРАНИЧЕННЫМ
СРОКОМ ВЫПЛАТ
(limited payment life insurance)
И СМЕШ АННОЕ СТРАХОВАНИЕ Ж ИЗНИ
Премии по страхованию ж изни могут выплачиваться пож из­
ненно, а могут — только на протяжении какого-то ограниченно­
го срока. В последнем случае должен быть указан период t, на
протяжении которого страховая сумма будет полностью выпла­
чена. Застрахованное лицо возраста х в начале каждого года вы­
плачивает
ежегодную
премию
,РХ,
величина
которой
определяется формулой
Пример 10.1. Н айти ежегодные премии для контракта с сум­
мой 10 тыс. руб., если возраст застрахованного мужчины 18 лет,
а период оплаты контракта — 20 лет.
Решение:
Р = 10 00020P lg = 10 0 0 0 -гг— L
18
= 8 8 ,4 1 р у б .1
38
Контракты по смеш анному страхованию ж изни являю тся
комбинацией срочного страхования ж изни и страхования на до­
житие на тот же срок. Страховая сумма выплачивается:
бенефициарию , если застрахованный возраста х не доживет
до х + п лет;
застрахованному, если он дожил до х + п лет.
Стоимость контракта по смеш анному страхованию обознача­
ется А__ , и складывается из суммы стоимости контракта по
X:
страхованию жизни и стоимости контракта на дожитие, т.е.
А__ , = А!__, + А!__, что может быть записано с использованием
х : п\
х : п\
х :щ
коммутационных чисел в виде
Мх - Мх+ п + Dx +n
Dx
•
( 10.2)
Пример 10.2. Н айти разовую премию смеш анного страхова­
ния в 10 тыс. руб. для 30-летнего мужчины сроком на 20 лет.
Решение:
А = 10 000 А___ , = 10 000
зогщ
+ А п
---- ------- = 425,78 руб.И
Z>30
’
Контракт по смеш анному страхованию может быть оплачен
не единовременным платежом, а ежегодными премиями, размер
каждой из которых Р-_^ находят по формуле
А
р
,
xTnl
хтц
йхТЦ
Mv - М
х
+D
х+п
х +п
N х - N х +п
пnЧ^
■
Пример 11.3. Н айти ежегодную премию по смешанному
страхованию на сумму 50 тыс. руб. для 40-летнего мужчины со
сроком до 65-летнего возраста.
Решение:
Р = 50 ООО ■Р щ щ = 50 ООО
= 1 261,83 р у б Я
11. СТРАХОВЫЕ РЕЗЕРВЫ
Теперь найдем соотнош ения для резервов в два последова­
тельных года. Поскольку
йX= а +
X 1 ,5
подставляя это выражение в формулу
,V
1 X = АX+ 1. - РX ■аX+ 1 ’
получим равенство
,V
1 X + РX = АX+ I, - РX ■аX+t,.
Используя рекуррентные соотнош ения для премий и рент
Ax +t = V -<IX+, + V -Px+, ' Ax +t+V
ах + t = V ' РХ+I ' \ + t + 1 ’
после несложных преобразований получим
GК + Р ) • ( ! + / ) = <?х +, + рх+
24
t+\Vx .
(11.1)
Формула (11.1) показывает, что сумма резерва и премии на
начало года вместе с процентами за этот год равна сумме годо­
вых выплат и резервов на конец года. Если заменить рх +1 на
1 - qx+t, то получим
+ Р х ) ' (1 + 0 - t^ x + Qx + t ■ (1 — t+ 1 Ht)-
( 1 1 -2 )
Формула (11.2) показывает, что сумма резерва и премии вместе с
процентами за год равны резерву следующего года и превышению
страхуемой суммы (единичной) над стоимостью полиса. Если рас­
сматривается не единичная сумма контракта, а произвольная, ска­
жем S, то последовательные резервы, рассчитанные для этой суммы,
связаны равенством
(tV+ Р )
О + i) = t+
Я ( S - / +\ У),
(11-3)
где через V и Р обозначены резерв и годовая премия для кон ­
трактов любого вида.
12. М ОНОТОННЫЕ СТРАХОВЫЕ РЕНТЫ
Ренты, рассмотренные выше и связанные с выплатами стра­
ховых сумм или премий, были постоянны ми, т.е. не изменялись
во времени. В этом разделе мы рассмотрим переменные, напри­
мер, возрастающие или убывающие ренты.
Начнем с пожизненной возрастающей ренты, при которой в
первый год выплачивается единичная сумма — 1, во второй год
— 2 и т.д. Рассмотрим вначале авансированную (ренту). Теку­
щую стоимость этой ренты обозначают (I а)х ,
(/а ), = 7 * .
Dx
(12.1)
Для случая срочной возрастающей ренты текущая стоимость
. г ...
Sx - Sx + п — п • Nx +п
( 7 * % ^ = ----------------- Wx----------------- •
/ п т\
( 1 2 .2 )
О быкновенная возрастающая рента отличается от авансиро­
ванной отсрочкой на один год, таким образом,
25
U а)хх =
“V
7 Г ^ • (7 й) X
—+ 1г -1
: п\
х
ИЛИ
( / а)х = ^
С оответственно
для
справедлива формула
.
срочной
(12.3)
возрастаю щей
' (1<*Ьгптц
ренты
(12.4)
ИЛИ
, т s
(/ а ) ^
+ 1 — S x +п + 1 — п ■ N x + п + 1
= ------------------------- л ------------------------- •
д
/ п
л ,\
( 1 2 '4 )
Перейдем теперь к убывающим рентам. Естественно, что
можно говорить лиш ь о срочных убывающих рентах.
Текущее значение стоимости убывающей ренты находят по
формуле
(D
13.
= - ~jV*-+-1 ~- ^ +
S l- +п +2.
(12.5)
КРАТНЫЕ СТРАХОВЫЕ РЕНТЫ
На практике обычным делом является взимание месячных премий
в оплату страхового контракта, однако встречаются контракты и с
полугодовыми или ежеквартальными взносами. Многие ренты, такие
как пенсии или стипендии, выплачиваются чаще, чем раз в год. Оцен­
ки актуарной стоимости таких рент выражаются через коммутацион­
ные числа с помощью функции дожития для дробных возрастов.
Рассмотрим, например, обыкновенную пожизненную ренту,
выплачиваемую р раз в году, при этом общая годовая выплата со­
ставляет единичную сумму [4, 6]. Таким образом, величина одно­
кратной выплаты равна 1/р. Актуарную стоимость такой ренты
получают актуарным дисконтированием отдельных выплат (как и
для детерминированных рент); ее обозначают d£> и вычисляют по
формуле
26
т ( о - X)
Величину tpx для дробных значений t легко найти в случае
аналитического задания функции дожития, в противном случае
применяется метод интерполяции, дающий приближенную
оценку искомой актуарной стоимости ренты в виде
(13.1)
В случае авансированной пож изненной ренты, выплачиваемой
р раз в год с одноразовой выплатой суммы \ / р в начале каждо­
го периода выплат, мы получим ренту, текущая стоимость
а ^ которой связана с текущей стоимостью обыкновенной ренты
равенством
= я® + 1/р. Учитывая соотнош ение (13.1), полу­
чаем выражение для приближенного вычисления р-кратной
авансированной пож изненной ренты:
Пример 13.1. Найти стоимость ежемесячной пенсии в 500 руб.,
выплачиваемой в начале каждого месяца, начиная с 60 лет. Оценка
производится в момент достижения этого возраста.
Решение. Годовая пенсия составляет 500 • 12 = 6 000 руб.
Тогда стоимость пенсии будет
(Йб0_М)=
6 000 • а{^ ] = 6 000 ■(й,
6 5 3 , 4 2 Р у б 'И
Перейдем теперь к отложенным рентам, т.е. таким, выплаты
по которым отложены на п лет. Если х — возраст застрахованно­
го, то в соответствии с правилом дисконтирования получают
формулы для текущей стоимости отложенной обы кновенной и
авансированной рент соответственно:
27
Н ако н ец , п о скол ьку срочная рен та мож ет быть представлена
виде
р азн о сти
н ем едлен н ой
и
отлож енной:
в
а¥ГЦ = аТ Ц
аТ7Ц - а(х ] Ц ах ]’ оц ен ка для р -к р атн о й срочной
р ен т ы будет иметь вид
W
а ТГЦ =
а1ГЦ +
г л Р ~ 1.
п
0
~
пЕ х)
j п
р
'^ггпI =
+
’
\
(1
(13'4)
_ ~ 2 р ~ -
Пример 13.2. Н айти стоим ость еж емесячной стипендии в
250 руб., вы плачиваем ой 5 лет студенту по достиж ении им 18летнего возраста. Выплаты осущ ествляю тся в конце каждого
месяца.
Решение:
(р)
02)
.
г
12-1
аТГЪ1 - <3теТТЗ|“ °Ш 51 + (1 - 5-С18) ■
jV)9 — N 24
24
~D n
+
Стоимость стипендии тем самым составит 250 - 12 - 4,46 =
= 13 380 руб.
Вернемся к обы кновенной пож изненной ренте. Рассматри­
ваемый выше параметр р — частота выплаты ренты в год, при
этом, как уже говорилось, размер однократной выплаты состав­
ляет величину 1/ р. Если р устремить к бесконечности, то в пре­
деле получится так называемая непрерывная рента, стоимость
которой находят по формуле ах = Нш
= ах + 1 / 2 .
Для авансированной ренты верно: ах - Нш а^] = ах - 1/2.
Таким образом,
ах =
- 1/2 = ах + 1 /2 .И
(13.5)
Найденные вы ш е выражения для /7-кратных рент позволяют
получить выражение для величины регулярных премий по стра­
ховым контрактам, вносимым р раз в год. П ринцип здесь тот
же, что и в случае годовых выплат: вместо годовой ренты рас­
сматривают /ькратную ренту того же типа, т.е. пожизненную,
28
срочную, отложенную и т.д. Например, А — актуарная стои­
мость пожизненного страхования на единичную сумму в возрас­
те х. Если этот контракт оплачивается равными платежами р раз
в год в конце каждого периода, то выплаты премий являю тся ркратной обыкновенной пожизненной рентой. Если P f — вели­
чина премии за период, то
= Ах/ а х \
Пример 13.3. Найти величину ежемесячных премий для п о ­
жизненного страхования женщ ины в возрасте 30 лет, если стра­
ховая сумма составляет 1 0 тыс. руб.
Решение:
1 2 Р й (з02)= 10 ООО А30,
п 10 ООО 0,1485 ^
(12)
откуда
Р = 12
3 1 4 56~ = 6,41
руб.,
поскольку а30 «
Мяп
* а
- 11/24 = 19,315, ^430 =
= 0,1485.
14. ОБЩАЯ СХЕМА СТРАХОВАНИЯ Ж ИЗНИ
(variable life)
Рассмотрим одну общую схему контрактов по страхованию
жизни. Схема задается последовательностью страховых сумм
сх, с2,
сп, ..., причем сумма сп выплачивается в конце «-го года
после заключения контракта, если застрахованный умер в этом году.
Если Тх — время оставшейся продолжительности ж изни, то
сумма с„ будет выплачена, если п - 1 < Тх < п. Вероятность этого
события
P r [ n - 1 < Тх < п ] = „ _ 1рх - дх + я_ у
Если через Z обозначить текущую стоимость выплаченной
страховой суммы, то она будет представлять собой случайную
дискретную величину, причем значение z= v" • сп эта величина
принимает с вероятностью п _ хр ■qx +n _ r
Таким образом, актуарная стоимость контракта
29
и+ 1
'«+1
(14.1)
Н аконец, используя коммутационные числа, можно записать
®- х
„
л X"*
х+п
A = L Ся+1 • _ д Г и =0
^
(14-2)
Стоимость Л можно выразить через стоимость отсроченных
годовых контрактов:
п|1
= п|
■
Тогда имеем
со - X
А - X
сл + 1 • nil Д о
л=О
В общем случае, т.е. для произвольных выплат, выражение
для А упростить невозможно. Рассмотрим, однако, два частных
случая — возрастающих и убывающих выплат. Для стандартного
возрастающего пож изненного страхования
с, = к, к - 1 ,2 , ..., со —х,
при этом формула (14.2) примет вид
{1А)х = %
Д ля срочного страхования с возрастающими выплатами
ск = к, к = 1, 2, ..., я,
формула (14.2) прим ет вид
30
(144)
,
, т
RX - R. X + r t - и • M X +
>ч 1
Л
' ------------- DX--------------'
(/ ^
<14-5>
Наконец, для смеш анного страхования с возрастающими
страховыми суммами и выплатой при дожитии страховой суммы
п имеем очевидную формулу
=
(1 А
)ЗГГЙ1 +
п
• А Х -. - ’
( 1 4 .6 )
п\
которую можно переписать в виде
.
т
Rx ~ Rx +п — п ■М х +п
=
+
п
•
D x +п
ъ ------------------------------------------- .
( 1 4 .7 )
Рассмотрим теперь случай убывающих страховых сумм для
чистого страхования ж изни на срок. Тогда
ск+1 = п - к, к = 0,1, ..., п - 1.
Стоимость контракта такого вида будет такова:
, п
д
п
1
=
■
Мх — Rx + 1 + Rx + п + 1
W
■
( 1 4 .8 )
Между монотонными рентами и монотонными контрактами
страхования ж изни есть связь, аналогичная той, что была уста­
новлена для постоянных рент и контрактов (level life policy):
(IA )x = ax - d ■(Га)х .
31
ЗАДАЧИ
1. Пусть имеется 1 тыс. человек, возрастной состав которых
таков:
200 человек в возрасте 20 лет;
400 человек в возрасте 30 лет;
200 человек в возрасте 40 лет;
150 человек в возрасте 50 лет;
50 человек в возрасте 60 лет.
Какова ожидаемая численность группы через 5 лет?
2. Сколько дней рождения каждый год отмечается сотрудника­
ми большой компании, которая поддерживается в стационарном
состоянии ежегодным приемом 600 сотрудников в возрасте 22 лет
(пенсионный возраст составляет 65 лет)?
3. Пусть ш тат большой компании можно рассматривать как
стационарную совокупность. Ежегодно на работу принимаются
200 человек в возрасте 18 лет. Считая пенсионный возраст рав­
ным 65 годам, найти:
а) численность штата компании;
б) число ежегодно выходящих на пенсию;
в) число пенсионеров.
4. Больш ая ком пания имеет штат сотрудников из 10 тыс. че­
ловек и поддерживает его в стационарных условиях ежегодным
приемом на работу новых сотрудников в возрасте 22 лет. Чет­
верть из вновь принятых увольняются в возрасте 30 лет, треть
оставшихся увольняются в 40 лет, а оставшиеся работают до
пенсии (65 лет).
а) Сколько новых сотрудников принимается на работу каж­
дый год?
б) По смерти каждого сотрудника выплачивается 1 тыс. руб.
Каков годовой размер выплат?
5. Ш тат ком пании из 30 тыс. человек является стационарной
совокупностью. Ежегодно на работу принимаю тся сотрудники в
возрасте 25 лет. Проработавш им 20 лет выплачивается премия в
3 тыс. руб. Считая пенсионны й возраст равным 60 годам, найти:
32
а) число ежегодно принимаемых сотрудников;
б) размер ежегодно выплачиваемой премии.
6. На фабрике работают преимущественно женщины в возрасте
от 20 до 60 лет. Будем считать штат фабрики стационарной сово­
купностью. Пусть ежегодно на работу принимаются 1 тыс. ж ен­
щ ин в точном возрасте 20 лет. Из них 20 % покидают фабрику
через 10 лет, 15 % оставшихся — через 20 лет, а все остальные ра­
ботают до пенсии (60 лет). Выразить через функцию 1к:
а) численность работающих на фабрике;
б) число сотрудниц, покидающих фабрику в возрасте 40 лет;
в) число пенсионерок;
г) число ежегодно умирающих сотрудников.
7. Ш тат большой компании является стационарной совокуп­
ностью, ежегодно на работу принимаю тся 500 человек в возрас­
те 18 лет. Четвертая часть их покидает компанию в возрасте 30
лет, одна треть оставшихся покидает компанию в возрасте 40
лет, а остальные работают до пенсии (60 лет). К ом пания выпла­
чивает сотрудникам, проработавшим 20 лет, по 1,5 тыс. руб.,
проработавшим 35 лет — по 4 тыс. руб., кроме того, по случаю
смерти выплачивается 1 тыс. руб. Найти:
а) общее число сотрудников компании;
б) размер суммарных годовых выплат по смерти;
в) годовой размер выплат компании за долгую службу.
8. Члены некоего профсою за представляют собой стационар­
ную совокупность, и их численность составляет 25 тыс. человек.
Д ля вступления в профсоюз необходимо иметь диплом о полу­
чении соответствующего образования. Д ля этого учебное заведе­
ние ежегодно принимает известное число учащихся в возрасте 17
лет. В возрасте 22 лет они сдают экзамен, и успешно сдавшим вы­
дается диплом. Те, кто не сдал экзамен с первой попытки, продол­
жает обучение и через год снова сдает экзамен. Потерпевшие
неудачу и на этот раз не принимаются в профсоюз никогда. П ен­
сионный возраст составляет 60 лет. Уровень прохождения экзаме­
нов с первой попытки составляет 65 % и 25 % — со второй. Найти:
а) число ежегодно набираемых учащихся;
б) годовое число учащихся, успешно сдающих экзам ен с пер­
вой и второй попыток соответственно.
9. Имеется группа из N женщ ин в возрасте 20 лет, застрахо­
вавших свою жизнь на 5 лет на 1 тыс. руб. (в случае смерти на­
следники получают 1 тыс. руб., доживш ие не получают ничего).
К аков размер единовременной премии по контракту?
33
10. Имеются N мужчин в возрасте 40 лет, застраховавших
свою жизнь на 15 лет на 3 тыс. руб. Каков размер ежегодной
премии (премия вносится один раз в год в начале года)? Срав­
ните с размером разовой премии.
11. Н айти стоимость страхования на дожитие до 60 лет муж­
чины в возрасте 40 лет на сумму 10 тыс. руб.
12. Найти единовременную премию страхования на дожитие
18-летнего мужчины до 60-летнего возраста на сумму 10 тыс. руб.
13. Н айти стоимость страхования на дожитие до 60 лет муж­
чины в возрасте 40 лет на сумму 10 тыс. руб., если процентная
ставка / = 9 %.
14. Какую сумму получит 18-летний мужчина через 20 лет,
если единовременная чистая премия контракта была 5 тыс. руб.?
15. Какова должна быть процентная ставка контракта, чтобы,
внося сумму 5 тыс. руб., 18-летняя женщ ина через 20 лет полу­
чила 15 тыс. руб?
16. Найти ожидаемую современную стоимость чистого дожи ­
тия со страховой суммой в 50 тыс. руб. для застрахованного
мужчины 55 лет в каждом из следующих случаев:
а) срок страхования 10 лет, процентная ставка — 4,5 % годо­
вых;
б) в тех же условиях, что и по п. а), но срок страхования —
15 лет;
в) объясните, почему полученное значение в п. а) больше,
чем в п. б).
17. Найти
используя данные таблицы смертности (см.
табл. 1 в приложении).
18. Найти стоимость пожизненной ренты с годовыми выпла­
тами в 10 тыс. руб. для лица в возрасте 30 лет. Рассмотреть слу­
чаи обы кновенной и приведенной рент.
19. Л ицо, застраховавшее свою жизнь на 200 тыс. руб., уми­
рает. Его 60-летняя вдова решает на деньги, полученные от
страховки, обеспечить себе пожизненную приведенную ренту.
Какова величина годовых выплат по этой ренте?
20. При страховании от несчастных случаев жертвы получают
страховую сумму в качестве возмещения. По желанию часть или
вся сумма может быть обращена (конвертирована) в ренту. К а­
кова величина ежегодного дохода от пожизненной приведенной
ренты, если она составляет 2 /3 суммы страховки в 696 тыс. руб.
от несчастного случая для 28-летнего строителя?
34
21. П ри рождении внука бабушка откладывает ему 20 тыс.
руб., чтобы с 30-летнего возраста он получал ежегодную ренту.
К аков будет размер ренты?
22. Пятнадцатилетняя девушка получает наследство в 30 тыс.
руб. Она предполагает поступить в университет в возрасте 21
года и покупает ренту с выплатами, начиная с этого возраста,
для обеспечения образования и последующего трудоустройства.
Какова величина R ежегодных выплат?
23. Н айти стоимость единовременной премии Р по пож из­
ненному страхованию на 10 тыс. руб. для 30-летнего застрахо­
ванного.
24. Стоимость единовременной премии Р — 10 тыс. руб. На
какую сумму молодому человеку 18 лет застраховать свою
жизнь?
25. Какова ежегодная (чистая) премия по страхованию ж изни
на 10 тыс. руб. для 18-летнего мужчины?
26. 18-летний мужчина платит каждый год по 100 руб. К ако­
ва будет страховая сумма при достижении страхового события?
27. 30-летний мужчина платит каждый год по 100 руб. К ако­
ва будет страховая сумма при достижении страхового события?
28. Одноразовая премия 5-летнего полиса страхования ж изни
для 30-летней женщ ины равна 120 руб. Какая сумма будет полу­
чена при достижении страхового события?
29. Годовая премия 5-летнего полиса страхования ж изни для
30-летней женщ ины равна 10 руб. Какая сумма будет получена
при достижении страхового события?
30. Страховая ком пания заключает следующий контракт с
ж енщ иной 50 лет:
если страхователь умрет в течение последующих 10 лет, еди­
ничная страховая сумма в 10 тыс. руб. будет выплачена в конце
года ее смерти;
если страхователь проживет по крайней мере 10 лет, выплата
страховой суммы будет произведена в конце года смерти.
Покажите, что современная стоимость такого контракта за­
писывается в следующем виде: 10 000 • (Л50 + Л^.-щ)П
31. Покажите, что ох: 5, = Z
п-
1
v m-lx + m/ l x, ах:ц = Т< v" • /х + л/ ( г
32. Предположим, что соответствующая страховка в виде
обыкновенной ренты выплачивается в случае дожития страхова­
теля возраста х: если страхователь доживет до конца первого
года, то выплачивается 1 тыс. руб.; если страхователь доживет до
конца второго года, выплачивается 3 тыс. руб.; если страхова­
тель доживет до конца третьего года, выплачивается 6 тыс. руб.
Найти выражение для ожидаемой современной стоимости
этих выплат и оцените ее, предполагая, что х = 30, а страхуемое
лицо — мужчина.
33. Предположим, что соответствующая страховка в виде
обы кновенной ренты выплачивается в случае смерти страховате­
ля возраста х: если стархователь умрет в течение первого года, то
выплачивается 1 тыс. руб.; если страхователь умрет в течение
второго года, выплачивается 3 тыс. руб.; если стрхователь умрет
в течение третьего года, выплачивается 6 тыс. руб.
Найти выражение для ожидаемой современной стоимости
этих выплат и оцените ее, предполагая, что х = 50, а страхуемое
лицо — женцина.
34. Предположим, что мужчина 37 лет приобрел контракт на
страхование ж изни. В случае смерти наследникам страховая
сумма выплачивается в виде следующей монотонной возрас­
тающей ренты: 1 тыс. руб. в конце года смерти, 2 тыс. руб. в
конце следующего года, 3 тыс. руб. в конце следующего года и
так далее, до того момента, когда общая сумма выплат не будет
равна 15 тыс. руб. Найти стоимость такого контракта.
35. Покажите, что т\ах = v m прх ах+т.
36. Покажите, что т\Ах = v прх Ах +т.
37. Найти современную стоимость выплаты контракта с мужчи­
ной 47 лет на дожитие до 70-летнего возраста в размере 15 тыс. руб.
38. Ж енщ ина возраста 45 лет покупает полис смешанного
страхования со сроком страхования 20 лет, при котором выплата
в размере 10 тыс. руб. производится в конце года смерти, если
это произойдет во время срока страхования, и в размере 20 тыс.
руб, если она доживет до конца срока страхования. Найти раз­
мер единовременной премии такого страхового контракта.
39. Найти годовую премию контракта на 10 тыс. руб. для 18­
летнего застрахованного с оплатой до 65-летнего возраста.
40. Найти единовременную премию смешанного страхования
в 20 тыс. руб. для 20-летней женщ ины на 10 лет.
36
41. П осчи тать еж егодную прем ию по см еш анн ом у страхова­
н ию суммы 50 тыс. руб. для 36-летнего м уж чины со сроком до
60-летнего возраста.
42. Д окаж ите, что для ф и к си р о в ан н о й неотри цательной п р о ­
ц ен тн о й ставки А-^т-jf явл яется не возрастаю щ ей ф ун кц и ей от
ср о к а страхования п. Д айте и нтуитивное объяснени е этого р е ­
зультата.
43. Н айти стоим ость ед и новрем ен ной прем ии по п о ж и зн е н ­
ном у страхованию н а 1 тыс. руб.:
для 30-летней ж ен щ и н ы ;
для 30-летнего муж чины .
44. Н айти еж егодны е прем ии для суммы 50 тыс. руб., если
возраст застрахованного м уж чины 20 лет, а период оплаты к о н ­
тр акта составляет 15 лет.
45. Н айти годовую премию контракта на 12 тыс. руб. для 18-лет­
него застрахованного с оплатой до 60-летнего возраста.
46. Н айти величину резерва н а кон ец пятого страхового года
для 10-летнего см еш ан н ого страхования на 10 тыс. руб., если в
м ом ент заклю чен и я кон тракта застрахованном у было 18 лет.
47. Н айти стоим ость еж ем есячной пенсии в 300 руб., в ы п л а­
чиваем ой с 60 лет. О ц ен ка п роизводится в м ом ент дости ж ен и я
этого возраста.
48. Н айти стоим ость еж ем есячной стипендии в 200 руб., в ы ­
плачиваем ой 5 лет студенту по дости ж ен и и им 18 лет. В ы платы
~ в конце каждого месяца.
49. П осчитать величину еж ем есячны х премий п ож и зн ен н ого
страхования для девуш ки в возрасте 20 лет, если страховая
сумма составляет 50 ты с. руб.
50. Н айти разм ер еж ем есячной прем ии, которая д олж н а вы ­
плачиваться по п оли су см еш анн ого страхования ж и зн и со стра­
ховой сум м ой 50 тыс. руб. П олис приобретен м уж чиной в
возрасте 40 лет сроком н а 15 лет.
51. 30-летн яя ж ен щ и н а покупает п ож и зн ен н ое страхование
за еж енедельную прем ию в 15 руб. с периодом уплаты до 60 лет.
К акова страховая сумма по этому кон тракту,' вы плачиваем ая
сразу же по наступлении страхового случая?
52. М уж чина 40 лет покупает кон тракт на случай смерти на
срок 20 лет. В случае см ерти вы плачивается страховая сумма,
37
равная 100 тыс. руб. Найти величину премии, выплачиваемой
поквартально равны ми суммами в течение всего срока стархования.
53. У 30-летней женщ ины имеется контракт на смешанное
страхование ж изни на сумму 20 тыс. руб., выплачиваемую сразу
по смерти или по дожитии до 55 лет. Посчитать размер ежеме­
сячной премии, рассроченной на весь период страхования.
54. 40-летний мужчина покупает себе пожизненную ежеме­
сячную пенсию, выплаты которой начнутся по достижении им
60-летнего возраста и составят 6 тыс. руб. в год. Каков размер
премии по такому контракту?
ОТВЕТЫ И РЕШ ЕНИЯ
- 200
1- /
25
/
‘ 20
,400
,200
,150
,50,
по.
(35 + / ^45 + / h s + I 65 - 984 чел.
'30
‘ 40
2- ^=у°
(Т22- Т65) ho
*22
‘ 50
hi
*22
'60
(1224 - /654)
600
(97 672 • 50,589 - 74 261 • 13,036) = 24 407 чел.
97 672
3. а) N = ^
(Г18 - Г63) = 200 (е ° - ^ е6°5) =
'18
'18
= 200 (54,382 - | | | | у
б) 200
• 13,036) = 8 902 чел.
= 151 чел.
'18
ч 200 .
о 1
в) Т " 4s e 65 = 1 975 чел.
‘18
4. а) 10 ООО = ^
(Г22 - 0,25
Т 30
- 0,25 Г40 - 0,5 Гб5) =
'22
=
97 672
(97 672 • 50,589 - 0,25 • 97 027 ■42,
- 0,25 ■95 907 • 33,335 - 0,5 • 74 261 ■13,036) =
= 10 000 = 26,8 N ; N = 373 чел.
б)
Число ежегодно умерших сотрудников есть разность между
числом поступивших и числом выбывших во всех возрастных
группах.
39
TV, = - ^ Г
(97 672 - 0,25 ■97 027 - 0,25 ■95 907 - 0,5 ■74 261) =
у I Ь /2
= 47 чел. ■ 1 тыс.руб. = 47 тыс. руб.
5. 30 ООО = ^
( / 25
4
-
/60
4) =
'2 5
= 7V (47,710 - 1 1 ^ 1 1 -16,383) = 33,72 TV; 7V « 890 чел.
890
97 432
6.
97 432
45
а) N — .
' 94 787 =
(/2о е20 - 0,2
866
/30 е30
чел. ■3 ООО = 2 598 тыс. руб
- 0,12
0,68
/40 640
/60
е60);
'20
б) JV, -
«г» 0,12;
20
ч 1 000 ,
о п
в) - р - /60 е6о 0,68;
20
г) J_00g (/20 _ 0,2 /30 - 0,12 - 0,68 /б0).
'20
7. а) "^
(/lg elg
0,25
/30 £300,25 /40е400,5 /60е60),
18
б) ^
( / ]8
- 0,25
/30
- 0,25
/40
- 0,5 Q • 1 000 руб.
И18О
9.
5 d2Q =
I20 ~ h 5
Ао - ^25J 5*720 = ----/---“ ■ ^ 3
“
ФУППЫ
в 7V женщ ин в
'2 0
среднем умрут D = N 5q20 , и наследники кал-сдой получат 1 тыс.
руб., так что общ ие расходы составят = 1 0 0 0 Л^5#20, а премии
составят = S / N = 1 000 5 <?20 = 1,82 руб.
10. Разм ер обязательств страховой ком пании составит
S = 3 000 Л^ 15^40 .
Размер
разовой
премии
составляет
3 000 | 5 <740 = 244,95 руб. При ежегодных взносах первую премию
40
выплатят все N мужчин, вторую — N
поступления составят р
и активы,
/40 + ... + /54
I40
3 000 l5q40
получаем р
человек. Тогда общие
чо
/40 + ... + I54
Уравнивая обязательства
244,95
= 16,85 руб.
14,541
‘40
и . а!
40T2S1
D6o 10 713,4
Z>40 ~ 29 969,£
0,357 473 1,
/> = 10 000 £ = 3574,731 руб.
р = 10 000
= 3574,731 руб.
12. В этом примере х = 18, х + п = 60, п = 60 - 18 = 42. Таким
образом, р = 10 000 А ш щ
10 000
60
= 10 000
18
10 713,4
22 402,5
= 1300,13 руб. М еньш ая величина премии в даном примере свя­
зана с большей продолжительностью контракта и, следователь­
но, с меньшей вероятностью дожития страхователя до
требуемого контрактом возраста.
13.
1L
х: п\
баланса
/
уравнения
= v" /
\
'
Л
/Х+ 11 /
20 150 281
1 п 160
■0,17843 = 0,15 382.
1X J + К Ч о U + 0,09у - 174 315
Из
р = 10 000 А___ , = 1538,29 руб.
г
407Щ
14.
А
^
369,991
= 0,132 39,
№20] 2794,671
__ , = 10 000 • 0,132 39 = 1323,9 руб,
откуда
S=
”
aL
5000
0,399 311
12 521,57 руб.
18У201
41
15. П оскольку 5000 = 15 ООО
л\
~
Р -
, то
5 0 0 0 _____
А~ » 1_ s " 15 ООО "
’
’
А п
„ 0,333 33
в то же время А'-г1 = v „рх , откуда V = —--------Х' П1
20.Pl 8
/1 .,п
20Pl8
20 / 20^18
( 1 + 0
= А
0,333 ^33 = > оv + о '
Ц 0,333 33’
Х + П
^38
2аРп
9 7 5 5 7
А
f
1
1+ /
А О О А'Г/'
98 566 " ° ’088 976'
/0,988 976 _
20,
= 4/2,966 98 - 1 = 0,0559
0,333 33
или / = 5,6 % годовых.
/=
а) 50 000
7794 5
14 2 2 1 ,5
б) 50 000 *3g . 9
= 27 403,74;
= 18 823,13.
14 2 2 1 ,0
п л1
Аз
26 004,0 А 0<гп гп
17• Л?Щ - /)40 - 29 969,8 " 0,867
18. По табл. 3 приложения находим, что <з30 = 19,115 702.
Отсюда а30 = д30 —1 —18, 115 702. Следовательно, стоимость
авансированной ренты с 10 тыс. руб. годовыми выплатами равна
10 000 а30 = 191 157,02 руб., а стоимость обыкновенной ренты
составляет 10 000 а30 = 181 157,02 руб.
19. В этом примере известна текущая стоимость всей ренты.
Если R — величина годовых выплат, то R аЫ) = 200 ООО, откуда
R =
200 000
або
20.
42
200 000
11,907 684 = 16 795’88 руб-
R а2! . | • 696 000 = 464 000.
n
464 000
464 000
„
П1 , П/1
,.
Л = " 1 ^ Г = Ж 4 б 0 75 = 23 9 1 6 ’9 4 р у б -
21. R = 20 ООО
= 20 ООО
= 20 ООО • 0,204 516 9 =
= 4090,138 руб.
N 7. - n 7,
30 000 = R а6 /5 а 15’
.,, а6 /5 а,=
-----„-----15
П
22. В данном случае
J
15
525 608,5 - 409 533,6
„ _
= ----------33"209^--------- = 3 ’495’
„
30 000
= У495~ "
’
откуда
.
РУ^'
23. Р = 10 ООО ^зо = 10 • 176,83621 = 1768,6 руб.
0
Р
10000 п л л л п п ^ „
24. S = — = — -— = 84 447,83 руб.
A i&
°
25. 10 ООО Plg = 10 ООО
M ,Q
Q7^7 SOI
= 10 ООО
= 57,842 руб.
мп
26. 100 = Р = S Р .я - S ■-гг~ = S ■0,005 784 2.
18
N 18
5 ‘ о Ш Ш Г 1 7 Ш -475 т 5 27. 100 = Р = S Р30 = S
=
S
■0,009 250 8.
^зо
0 8 - Ю 8 ° 9 ,8 7 5 руб.
28.
— д и ~ ” - !20 руб.
-У= 120 2507,669 - 2400,887
70Ш_?р1
1и Л ^зоТЗ!
о м ж ~ и ъ>
N 30- N 35
= 0,00138 S. Отсюда S =
18 972,19 руб.
„ 2507,669 - 2400.887
333 813.9 - 256 571.4 “
.
= 7246,38 руб.
U,UU1Зо
43
32. lx S = v
1 ■4 +1 +
v
2- 3 . / x + 2 =
v
3- 6 - / x + 3.
*—
+1 . v + —
*-—
+ 2 ■3
л v 2 + —j— ■6v .
5о = —
x
V=
x
1,045
x
= 0,95693, v 2 = 0,91572, v 3 = 0,8762966.
’
S = W W (96 941 ' 0,95 693 + 3 ' 96 853
= 6 • 96 762 • 0,87621) = 8941,73 руб.
° ’91 572 +
33. lx S = dx - I ■v + dx+1 ■3 v 2 + dx +2 ■6 ■v 3.
0 d
dx + 1
2 dx +2
j
5 = — v + —j— ■3 v + —j— • 6 ■v =
*x
=
oO ubi
‘x
(298 • 0,956 93 + 3 • 317 • 0,915 72 +
+ 6 ■3396 • 0,876,296 6) = 48,93 руб.
34. 5 лет, авансированная возрастающая рента.
, т-S
Dyi + 21>з8 + 3Z>39 + 4Z>40 + 5D41
3775] =
^
=
7954 558 4
= ^ | 7 6з р у = 12,89 15 тыс. руб. = 12 879,15 руб.
37. .V=
=
■1
■ 15 ООО = 15 000 ^
=
V47
15000И й = 3748' 14
38. S = 10 000 ylL_, + 20 000 4 l _ , =
х : п\
М. , - М „
= 10 000 —^ ---- + 20 000
х:щ
Z),,
=
. 10 000 2 156.2К - М 73.327 + 2„ 000 | | М
44
= 7 976>82 ру6.
м 30 + D30
D20
20 „„о 2 7 4 7 .8 W - 2507,669 и- 16 882,4 = ^ m f n ^
26 523,9
м36- м(
д 60
60
41. Р = 50 ООО Р ^ щ ~ 50 ООО
40. ^ = 2 0 ООО А ^ щ = 20 ООО
М ,20
N 36 ~ N 60
7948,5 - 5219,880 + 10 713,4
= 1 277,37 руб.
= 50 ООО
653 730,2 - 127 571,8
Mi
_зо
43. р = 1000
Ао
1АЛГ. 8 408,291
п/г о/i «г
^мужч —ЮОО
^ ^— 176,84 руб.
1ПЛЛ 2 507^669
1/|0 г . . к
Рженш ~ Ю00
^ ~ 148,54 руб.
1
^^10 —■M'iz
44. р = 50 000 /*!_. == 50 000
=
N 2 Q - N 35
еп »»» 9 477,262 - 8 024,770
- 50 000 1525 855>4 _ 691 534>0
87,05 руб.
^18 “ Мб0
= 12 000 N
^18 ~ ^60
9 757,801 - 5 219
= 34,92 руб.
12 000
1 686 971,4 - 127 571,£
45. р = 12 000 р
47. Годовая пенсия составит 3600 руб., т.е. стоимость пенсии
3600 а(6‘02) * 3600 (йб0 - ~ ~ ) = 41 217,66 руб.
48. 12 • 200 Л12> = 2400
n
2400
19 -
n
D 18
24
1
-
49. 50 000 p ^ = 50 000
^ +
В 23
D 18
(1
U
24
- -£>23/ A s)
л
10 704,85 руб.
J
M -20
ДГ
11
20 - 2 4
24.
= 254,44 руб.
n
20
45
Nx - N x +n
50. а■тгц:
Д.
М 4о ~ Щ 5 + D 55
Д 40
7626,856 - 5979,425 + 14 221,6
= 0,5295.
29 969,8
12
iZ Р а(П)
"40П51
12 Р
^40 * N 55
д 55
П.
40
24
д
Д 40
518 852,7 - 191 400,7
29 969,8
1
14 221,6)
29 969,8J
11
24 J
12 Р - 0,04955 — это годовая выплата.
Ежегодная премия
х : п\
12 Р
Р'
х : п\
= 50 ООО АМО
т -: , 15j
..(12)
Й4 5 Т Щ
*
= 50 000 Л40. 15[ , откуда Р
=
206 руб.
51. 5 2 , 2 ™ , .
••(52) _ jV30 ~ Na
iv60 _ Л _ АоЛ 51
flT
OTзо]
30l "
V
/)30/
ТШ
J)П..
в ,, ' ' 104
30
I
333 813,9 -_ 54 147,3 Л
3995,3 > 51
= 16,19124.
16 882,4
^
16 882,4 J 104
-
ат
=
ЖЗО!
^ зо - м т
Д зо
2 507,669 - 1 663,557
16 882,4
52р = 0,003 — это за страховую сумму 1 - 52 • 5000 руб.
15 р у б - ?
S =
= 260 000.
м 7 626,856 - 5 219,880 „ ..(4)
52' --------- 29 9 6 ^ 8 --------- = 4 ^ ^ =
46
М 40 - М 60
д
40
= 0,0803133.
AlX ~ MX +
h * r
/
D
( л
\
"^ Х + Л Д
4
J
А.
Г518 852,7 - 127 571,8
29 969,8
= 0,006 267,185.
10 713,4j
29 969,8'
~ p L
4p
/7
3
8J
100 000 P = 6267,19 руб. = 1 566,8 руб.
53.
^ x : n\
A/y —M , „ +
,n
= 0,346 436 584
II
12^
^
i2* ( w (1■
12p
M)=l2p
333 813,9 - 77 585,8
16 882,4
N x +n
A "-(I
Dx+n^ 11
5183,5 Л 11
U p - 14,8596
16 882,4' 24,
0,346 436 584
Pi =
14^8596^-----20------= 46^ 28 руб. = 38,86 руб.,
т.е. 12n oхil.,
; я} = 20 ООО А__
х : л, = 0,3464.
7
II
14,8596
47
ПРИЛОЖЕНИЕ
Английская таблица смертности № 14 1980-82
Т аблица
Возраст
Ж енщины
ITI
X
‘х
9Х
0
10000
.01271
71.043
100000
.00984
77.002
1
98729
98645
.00085
70.956
70.016
.00072
.00045
76.766
.00051
99016
98945
98594
.00038
69.051
98900
4
98557
.00035
68.077
98869
.00031
.00025
5
98522
.00032
67.101
98844
.00022
72.896
6
7
8
98490
.00030
66.123
98822
.00020
71.913
98461
.00027
65.141
98802
.00019
70.927
98434
.00025
64.160
9
10
98409
98385
.00024
.00024
98783
98764
98746
.00019
.00018
.00018
69.941
68.954
67.966
И
98362
98338
.00024
.00026
.00029
14
98312
98283
15
98250
2
3
12
13
48
Мужчины
4х
63.176
75.820
74.855
73.878
62.191
61.206
98728
.00018
66.979
60.221
98710
.00018
59.237
98693
.00019
65.991
65.002
.00034
58.254
98675
.00022
64.014
.00041
57.274
98653
.00026
63.028
16
98210
.00053
56.297
98628
.00030
62.044
17
98158
.00102
55.326
98598
.00033
61.062
18
98057
.00111
54.382
98566
.00035
60.082
19
97948
53.442
98531
.00035
59.103
20
.00102
.00093
.00087
52.496
98497
.00035
58.124
51.545
98462
.00036
57.144
98427
.00036
56.164
98392
.00037
55.184
.00081
50.589
49.631
48.671
98356
98318
.00038
54.204
.00039
53.225
98280
.00041
52.245
98239
98197
98153
98105
.00043
51.267
.00045
.00048
.00052
49.311
48.335
21
97849
97757
22
97672
23
24
97591
97511
25
97432
.00081
47.710
26
97353
27
97273
.00082
.00083
46.749
45.787
.00084
.00086
44.824
.00088
.00083
.00081
28
97192
29
30
97110
97027
31
.00091
42.899
41.936
98054
.00056
32
96941
96853
.00094
40.974
98000
.00060
47.359
46.385
33
96762
.00099
40.012
97941
.00065
45.413
43.862
50.288
1
Продолжение
Мужнины
табл
Ж енщ ины
96666
~ .00105
.00071
44.442
.00113
39.051
38.092
97877
96656
97807
.00078
43.474
96455
96337
.00123
37.134
97732
.00085
42.507
.00134
41.543
.00148
.00165
97649
97557
.00093
96208
96065
36.179
35.227
.00103
40.581
34.279
97457
.00114
39.622
95907
.00184
33.335
97346
.00127
38.667
95731
.00206
32.395
.00141
37.715
95534
.00231
31.461
97223
97086
.00157
36.768
95313
.00260
30.532
96933
.00176
35.825
95066
.00293
29.611
96763
.00196
34.887
94787
94472
.00332
.00376
28.696
27.790
96573
96361
.00219
.00245
33.955
33.028
94117
.00425
26.893
96125
.00274
93717
.00481
26.006
95862
.00305
32.108
31.195
.00545
25.129
24.264
95569
95244
.00378
30.289
29.390
23.411
94884
22.571
94486
.00419
.00465
28.500
27.618
26.744
93266
92758
.00340
92187
.00615
.00694
91548
.00781
90833
90037
.00877
21.744
94047
.00514
.00982
20.932
93564
.00567
25.580
89152
.01098
20.135
19.353
93034
.00624
25.025
92453
.00686
24.178
18.586
17.836
91819
.00752
.00824
23.342
.00901
21.698
88173
.01224
87094
.01361
85909
84612
.01509
.01670
83199
81666
1
22.515
17.101
91129
90379
.01843
.02028
16.383
89564
.00986
20.890
15.681
.01077
80010
.02229
.01176
20.093
19.307
78226
.02448
14.995
14.326
88681
87726
86695
.01284
18.530
76312
.02687
13.672
85582
.01400
17.765
74261
72071
.02949
.03238
84384
83095
.01528
.03555
81708
.01669
.01828
17.010
16.266
69738
13.036
12.417
11.815
67259
.03903
11.232
80214
.02008
64634
.04285
10.668
78603
.02212
14.813
14.106
61864
.04703
10.123
58955
.05160
9.597
76864
74987
.02443
.02704
13.414
12.737
|
:
;
15.533
49
Окончание
М ужчины
Возраст
X
(с
72
73
74
75
76
77
78
55913
52749
49480
46123
42703
39246
35781
32343
28965
25682
22528
19537
16737
14153
11805
9706
7863
6274
4928
3810
2898
2169
1597
1156
821
571
388
257
165
102
61
34
19
9
4
2
1
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
50
Ж енщ ины
4
.05658
.06198
.06783
.07416
.08096
.08827
.09610
.10445
.11334
.12278
.13278
.14333
.15440
.16591
.17776
.18986
.20215
.21453
.22693
.23929
.25153
.26374
.27632
.28971
.30430
.32044
.33844
.35853
.38087
.40551
.43241
.46140
.49214
.52414
.55667
.58874
.61896
табл.
9.092
8.607
8.143
7.699
7.275
6.872
6.489
6.126
5.782
5.458
5.152
4.865
4.596
4.345
4.112
3.895
3.693
3.506
3.331
3.167
3.012
2.863
2.718
2.574
2.431
2.288
2.145
2.004
1.865
1.729
1.597
1.471
1.350
1.236
1.129
1.029
.935
72959
70772
68416
65886
63178
60294
57236
54010
50623
47089
43426
39661
35829
31978
28165
24459
20925
17625
14608
11910
9550
7531
5841
4457
3346
2473
1797
1281
893
605
396
248
148
83
43
21
9
4
1
9х
4
.02998
.03329
.03698
.04110
.04566
.05072
.05637
.06271
.06982
.07779
.08669
.09661
.10750
.11922
.13160
.14448
.15772
.17116
.18468
.19814
.21143
.22442
.23703
.24914
.26096
.27331
.28715
.30330
.32252
.34538
.37231
.40349
.43881
.47780
.51960
.56277
.60521
.64382
.67391
12.077
11.435
10.811
10.207
9.622
9.059
8.516
7.994
7.495
7.020
6.570
6.146
5.749
5.381
5.042
4.731
4.446
4.186
3.949
3.733
3.534
3.352
3.182
3.020
2.864
2.706
2.545
2.380
2.210
2.038
1.866
1.698
1.535
1.380
1.234
1.100
.976
.862
.755
1
Таблица
2
Стандартная таблица смертности. 1980
Возраст
М ужчины
л:
‘х
185890
dx
111
185113
184913
184732
184551
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
184376
184210
184052
183905
183765
Женщины
1000 ■qx
1000 ■ qx
dx
188
200
181
4.18
1.08
lx
65135
64947
57
2.89
0.88
0.98
64890
181
0.98
175
166
158
147
140
136
134
0.95
0.90
0.86
0.80
0.76
0.74
0.73
0.77
64837
64786
53
51
50
0.79
0.77
64736
64687
64640
64593
64548
64503
49
47
47
45
45
44
0.76
0.73
0.73
0.70
0.70
0.68
64459
64415
44
0.68
0.85
46
48
0.71
0.75
51
55
0.79
0.86
0.82
11
183629
183495
12
13
183354
183198
14
183017
181
210
0.99
1.15
64369
64321
15
16
182807
243
1.33
64270
182564
276
58
0.90
182288
181984
304
1.51
1,67
64215
17
18
64157
61
0.95
324
1.78
64096
0.98
19
20
21
22
23
24
181660
181322
180977
180631
180290
179955
1.86
1.90
64033
63968
63901
25
26
27
179309
338
345
346
341
335
328
318
310
63
65
67
68
70
71
73
74
76
28
178999
178693
306
304
77
80
1.21
1.26
29
30
178389
178084
1.71
1.73
177776
1.78
63145
82
85
88
1.30
1.34
31
305
308
316
63469
63392
63312
63230
32
33
34
35
177460
325
1.83
63057
177135
176797
338
354
372
1.91
2.00
2.11
62966
62872
179627
176443
141
156
1.91
1.89
1.86
1.82
1.77
1.73
1.71
1.70
63833
63763
63692
63619
63545
62773
91
94
9
104
1.02
1.05
1.06
1.10
1.11
1.15
1.16
1.20
1.39
1.44
1.49
1.57
1.66
51
Продолжение
Возраст
X
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Мужчины
1х
176071
175677
2.24
62669
62559
175255
174803
174315
452
488
2.58
62441
62314
62176
173789
173217
172600
171932
171212
572
617
668
720
170433
169594
168692
51
165564
52
53
54
164355
163047
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
‘х
2.40
167724
166682
58
Женщины
1000 • дх
422
49
50
55
56
57
4,
394
161627
160082
158406
156591
154635
152534
150281
147864
145270
142482
139481
136253
132789
526
779
839
902
968
1042
1118
2.79
3.02
3.29
3.56
3.87
4.19
4.55
4.92
5.32
5.74
6.21
6.71
1209
1308
7.30
1420
1545
1676
1815
8.71
9.56
1956
2101
2253
2417
2594
2788
3001
3228
3464
3698
3930
4154
129091
125161
121007
4377
116630
4608
112022
4851
107171
102064
5107
5373
табл.
7.96
10.47
11.46
12.49
13.59
14.77
16.08
17.54
19.19
21.06
23.14
25.42
27.85
30.44
33.19
36.17
39.51
43.30
47.65
52.64
62026
61862
61684
61493
61289
61071
60839
60593
60331
60052
59754
59437
59098
58735
58347
57933
57494
57032
56549
56043
55512
54950
54348
53695
52984
52211
. 51376
50481
49530
dx
110
1000 ■дх
118
127
1.89
2.03
138
150
2 21
2.41
164
178
2.64
2.88
191
204
218
232
246
3.10
3.32
3.56
3.80
4.04
262
4.32
4.62
4.96
279
298
317
339
363
388
414
439
462
483
506
531
562
602
653
711
773
835
48522
895
951
1008
1073
47449
46299
45055
1150
1244
1357
1.76
5.31
5.70
6.14
6.61
7.10
7.58
8.04
8.47
8.95
9.47
10.12
10.96
12.02
13.24
14.59
15.99
17.42
18.84
20.35
22.11
24.24
26.87
30.12
2
О к о н ч а н и е табл
Возраст
Мужчины
х
dx
1000 ■ qx
2
Женщины
1000 • qx
>х
74
96691
5626
58.19
75
91065
5845
64.18
76
85220
6011
70.54
40601
1745
42.98
77
79209
6109
77.13
38856
1867
48.05
78
73100
6133
83.90
36989
1977
53.45
79
66967
6097
91.04
35012
2078
59.35
80
60870
6016
98.83
32934
2173
65.98
81
54854
5896
107.49
30761
2264
73.60
82
48958
5740
117.24
28497
2348
82.39
83
43218
5543
128.26
26149
2420
92.55
84
37675
5284
140.25
23729
2463
103.80
85
32391
4954
152.94
21266
2469
116.10
86
27437
4557
166.09
18797
2430
129.28
87
22880
4108
179.55
16367
2346
143.34
88
18772
3628
193.27
14021
2218
158.19
89
15144
3139
207.28
11803
2053
173.94
90
12005
2662
221.74
9750
1860
190.77
91
9343
2214
236.97
7890
1648
208.87
228.77
43698
1483
33.94
42215
1614
38.23
92
7129
1807
253.47
6242
1428
93
5322
1448
272.08
4814
1211
251.56
94
3874
1146
295.82
3603
1006
279.21
95
2728
900
329.91
2597
824
317.29
96
1828
703
384.57
1773
666
375.63
97
1125
540
480.00
1107
526
475.16
98
>/■>
оо
385
658.12
581
381
655.77
99
200
200
1000.00
200
200
1000.00
53
Таблица
3
Коммутационные числа
Годовая процентная ставка 4,5
Мужчины
Возраст
а
1000 ■Ах
12512.420
21.659132
67.31088
11768.878
21.679409
66.43767
11585.732
21.633356
68.42087
151.780
11427.122
21.582978
70.59006
3331973.8
140.429
11275.343
21.530311
72.85820
147952.7
3177216.3
127.471
11134.912
21.474536
75.25993
141454.1
3029263.5
116.103
11007.441
21.415170
77.81635
135246.7
2887809.3
103.368
10891.339
21.35265
80.52944
129319.3
2752562.5
94.207
10787.971
21.285011
83.42121
9
123656.3
2623243.3
87.574
10693.765
21.213986
86.47973
10
118243.8
2499587.0
82.571
10606.190
21.139260
89.69762
1L
113069.4
2381343.0
83.143
10523.620
21.060892
93.07219
12
108117.3
2268273.8
88.026
10440.478
20.979757
96.56625
13
103373.5
2160156.0
97.735
10352.451
20.896618
100.14610
14
98824.3
2056782.4
108.511
10254.716
20.812527
103.76720
15
94460.1
1957958.3
20.727876
107.41255
16
90271.3
1863498.0
120.156
130.597
10146.205
10026.049
20.643068
111.06447
17
86254.4
1773225.8
137.651
9895.452
20.558087
114.72401
18
82402.5
1686971.4
140.390
9757.801
20.472342
118.41638
19
78713.6
1604568.9
140.149
9617.411
20.384890
122.18227
20
75183.9
1525855.4
136.892
9477.262
20.294973
126.05440
21
71809.4
1450671.6
131.377
9340.370
20.201685
130.07162
22
68585.8
1378862.1
123.902
9208.994
20.104196
134.26971
23
65508.4
1310276.3
116.481
9085.092
20.001641
138.68583
24
62571.0
1244767.8
109.136
8968.610
19.893679
143.33489
148.23246
X
54
Nx
сх
0
Dx
185890.0
4026216.0
743.541
1
177141.6
3840326.0
183.146
2
169330.4
3663184.3
158.610
3
161880.0
3493853.5
4
154757.3
5
6
7
8
К
25
59767.4
1182196.8
101.252
8859.475
19.779946
26
57092.5
1122429.3
94.454
8758.222
19.659849
153.40417
27
54539.5
1065337.0
89.221
8663.768
19.533315
158.85312
28
52101.7
1010797.3
84.821
8574.547
19.400475
164.57333
29
49773.3
958695.6
81.435
8489.726
19.261262
170.56805
30
47548.5
908922.4
78.695
8408.291
19.115702
176.83621
31
45422.2
861373.9
77.262
8329.596
18.963707
183.38147
Продолжение
В озраст
табл.
3
М ужчины
Мх
а
1000 • л х
76.041
8252.334
18.805498
190.19418
75.677
8176.293
18.640885
197.28281
731118.1
75.846
8100.616
18.469969
204.64289
37803.7
691534.0
76.271
8024.770
18.292745
212.27455
36
36099.5
653730.2
77.303
7948.500
18.109097
220.18281
37
34467.7
617630.7
79.231
7871.196
17.919103
228.36429
38
32904.2
583163.0
81.209
7791.966
17.723038
236.80741
39
31406.1
550258.8
83.901
7710.757
17.520759
245.51782
40
29969.8
518852.7
86.540
7626.856
17.312527
254.48486
41
28592.7
488882.9
90.056
7540.315
17.098185
263.71491
42
27271.4
460290.2
92.958
7450.260
16.878156
273.18992
43
26004.0
433018.9
96.308
7357.302
16.651984
282.92918
44
24787.9
407014.8
99.334
7260.995
16.419874
292.92449
45
23621.2
382226.9
102.846
7161.660
16.181529
303.18802
46
22501.2
358605.7
105.998
7058.813
15.937210
313.70890
47
21426.2
336104.5
109.050
6952.816
15.686606
324.50049
48
20394.5
314678.3
111.990
6843.767
15.429567
335.56922
49
19404.3
294283.8
115.360
6731.777
15.165925
346.92232
274879.5
118.444
6616.417
14.895933
358.54874
X
Dx
»х
32
43389.0
815951.6
33
41444.5
772562.7
34
39584.2
35
50
18453.3
51
17540.2
256426.2
122.569
6497.974
14.619306
370.46084
52
16662.4
238886.0
126.895
6375.405
14.336866
382.62327
53
15817.9
222223.6
131.828
6248.509
14.048831
395.02667
54
15005.0
206405.7
137.257
6116.681
13.755829
407.64394
55
14221.6
191400.7
142.483
5979.425
13.458490
420.44797
56
13466.7
177179.1
147.655
5836.942
13.156869
433.43640
57
12739.1
163712.5
152.274
5689.287
12.851176
446.60023
58
12038.3
150973.4
156.518
5537.013
12.541132
459.95143
59
11363.3
138935.1
160.614
5380.495
12.226603
473.49567
5219.880
11.907684
487.22915
60
10713.4
127571.8
164.886
61
10087.2
116858.4
169.340
5054.995
11.584851
501.13100
62
9483.5
106771.2
174.168
4885.654
11.258681
515.17658
97287.8
179.401
4711.486
10.930092
529.32643
63
8900.9
64
8338.2
88386.9
184.661
4532.086
10.600212
543.53187
65
7794.5
80048.6
189.628
4347.424
10.269896
557.75589
55
Продолжение
Возраст
X
56
табл.
3
Мужчины
Ас
Мх
а
1000 ' Ах
571.97293
66
7269.2
72254.1
193.721
4157.795
9.939741
67
6762.5
64984.9
197.009
3964.075
9.609646
586.18763
68
6274.3
58222.5
199.271
3767.067
9.279584
600.40089
69
5804.8
51948.2
200.926
3567.796
8.949182
614.62870
70
5353.9
46143.4
202.421
3366.870
8.618643
628.86235
71
4920.9
40789.5
203.920
316.448
8.288977
643.05858
72
4505.1
35868.6
205.436
2960.529
7.961756
657.14937
73
4105.7
31363.5
206.829
2755.092
7.639057
671.04542
74
3722.0
27257.8
207.242
2548.263
7.323340
684.64099
75
3354.5
23535.7
206.038
2341.021
7.016127
697.87028
76
3004.0
20181.2
202.765
2134.983
6.718050
710.70628
77
2671.9
17177.2
197.197
1932.218
6.428819
723.16106
78
2359.6
14505.3
189.447
1735.021
6.147220
735.28731
79
2068.6
12145.6
180.224
1545.574
5.871453
747.16248
80
1799.3
10077.0
170,172
1365.349
5.600572
758.82731
81
1551.6
8277.8
159.596
1195.177
5.334860
770.26916
82
1325.2
6726.1
148.683
1035.581
5.075467
781.43923
83
1119.5
5400.9
137.397
886.898
4.824505
792.24638
84
933.9
4281.4
125.337
749.501
4.584615
802.57663
85
768.3
3347.6
112.449
624.164
4.357000
812.37811
86
622.8
2579.2
98.983
511.715
4.141478
821.65896
87
497.0
1956.5
85.388
412.732
3.936687
830.47760
88
390.2
1459.5
72.164
327.343
3.740412
838.92963
89
301.2
1069.3
59.748
255.180
3.549785
847.13838
90
228.5
768.1
48.487
195.431
3.361231
855.25802
91
170.2
539.6
38.590
146.944
3.170520
863.47039
92
124.3
369.4
30.140
108.354
2.972609
871.99295
93
88.8
245.1
23.112
78.214
2.761284
881.09319
94
61.8
156.3
17.504
55.102
2.528488
891.11786
95
41.7
94.5
13.155
37.598
2.268264
902.32348
96
26.7
52.8
9.833
24.443
1.977854
914.82941
97
15.7
26.1
7.228
14.610
1.660404
928.49942
98
7.8
10.4
4.931
7.382
1.327158
942.84966
99
2.6
2.6
2.451
2.451
1.000000
956.93780
Продолжение
табл.
3
I
Ж енщины
Возраст
мх
а
1000 • Ах
179.904
3541.571
21.959574
54.37277
52.197
3361,666
21.966155
54.08934
1303051.6
46.444
3309.469
21.928878
55 69461
57 43101
X
Dx
0
65135.0
1430336.9
1
2
62150.2
1365201.9
59421.7
3
56816.4
1243630.0
42.767
3263.026
21.888555
4
54327.0
1186813.4
40.123
3220.259
21.845722
59.27544
5
51947.5
1132486.5
37.627
3180.137
21.800605
61.21831
б
49672.9
1080539.1
34.537
3142.510
21.753100
63.26410
7
47499.3
1030866.4
33.050
3107.973
21.702761
65.43195
8
45420.8
983367.1
30.281
3074.923
21.650128
67.69850
70.09709
9
43434.6
937946.3
28.977
3044.642
21.594425
10
41535.3
894511.6
27.113
3015.666
21.536186
72.60491
11
39719.6
852976.3
25.945
2988.553
21.474962
75.24132
12
37983.2
813256.8
25.957
2962.607
21.410953
77.99782
13
36321.6
775273.5
25.919
2936.651
21.344686
80.85133
14
34731.6
738951.8
26.353
2910.732
21.276060
83.80643
15
33209.6
704220.3
27.196
2884.380
21.205298
86.85370
21.132621
89.98335
16
31752.4
671010.6
27.444
2857.184
17
30357.6
639258.3
27.621
2829.740
21.057609
93.21357
18
29022.7
608900.6
27.298
2802.119
20.980147
96.54919
19
27745.6
579877.9
26.952
2774.821
20.899792
100.00928
20
26523.9
552132.3
26.585
2747.869
20.816416
103.59979
21
25355.1
525608.5
25.820
2721.284
20.729871
107.32678
22
24237.5
500253.3
25.435
2695.464
20.639675
111.21067
23
23168.3
476015.8
24.687
2670.030
20.545990
115.24493
24
22145.9
452847.6
24.289
2645.343
20.448330
119.45045
25
21168.0
430701.6
23.562
2621.054
20.346823
123.82150
2597.492
20.240975
128.37963
26
20232.9
409533.6
23.157
27
19338.5
389300.7
22.451
2574.335
20.130893
133.11991
28
18483.3
369962.2
22.321
2551.885
20.016068
138.06462
29
17665.0
351479.0
21.894
2529.563
19.896898
143.19622
30
16882.4
333813.9
21.718
2507.669
19.772868
148.53729
31
16133.7
316931.5
21.516
2485.952
19.644055
154.08430
32
15417.4
300797.8
21.291
2464.436
19.510225
159.84722
33
14732.2
285380.3
21.046
2443.144
19.371137
165.83653
34
14076.8
270648.1
21.211
2422.098
19.226542
172.06319
57
Продолжение
Возраст
58
табл.
3
Ж енщ ины
X
Я*
а
1000 ■Ах
35
13449.4
256571.4
21.323
2400.887
19.076781
178.51247
36
12848.9
243122.0
21.582
2379.564
18.921586
185.19562
37
12274.0
230273.0
22.155
2357.982
18.760985
192.11135
38
11723.3
217999.0
22.818
2335.872
18.595306
199.24598
39
11195.7
206275.7
23.726
2313.010
18.424565
206.59828
40
10689.9
195080.0
24.679
2289.283
18.249084
214.15486
41
10204.8
184390.1
25.820
2264.605
18.068886
221.91471
42
9739.6
174185.3
26.818
2238.784
17.884275
229.86460
43
9293.4
164445.7
27.537
2211.967
17.694978
238.01592
44
8865.6
155152.4
28.145
2184.430
17.500444
246.39320
45
8455.7
146286.7
28.781
2156.285
17.300353
255.00940
46
8062.8
137831.0
29.310
2127.504
17.094669
263.86645
47
7686.3
129768.1
29.741
2098.193
16.883058
272.97855
48
7325.6
122081.8
30.311
2068.453
16.665182
282.36091
49
6979.8
114756.3
30.888
2038.141
16.441206
292.00583
50
6648.3
107776.5
31.571
2007.253
16.211028
301.91779
51
6330.5
101128.1
32.138
1975.683
15.974796
312.09045
52
6025.7
94797.7
32.888
1943.545
15.732121
322.54053
53
5733.4
88771.9
33.700
1910.657
15.483375
333.25201
54
5452.8
83038.6
34.470
1876.957
15.228667
344.22032
55
5183.5
77585.8
35.196
1842.488
14.967832
355.45233
56
4925.1
' 72420.3
35.714
1807.292
14.700695
366.95597
57
4677.3
67477.2
35.966
1771.578
14.426547
378.76141
58
4439.9
62799.9
35.982
1735.612
14.144403
390.91131
59
4212.7
58360.0
36.072
1699.630
13.853223
403.45013
60
3995.3
54147.3
36.224
1663.557
13.552888
416.38319
429.71707
61
3787.0
50152.0
36.688
1627.333
13.243246
62
3587.2
46365.0
37.607
1590.645
12.925044
443.41948
63
3395.1
42777.8
39.037
1553.037
12.599705
457.42931
471.66564
64
3209.9
39382.6
40.673
1514.001
12.269107
65
3031.0
36172.7
42.316
1473.327
11.934243
486.08553
66
2858.2
33141.7
43.742
1431.011
11.595454
500.67456
67
2691.3
30283.6
44.866
1387.270
11.252202
515.45566
68
2530.6
27592.2
45.620
1342.404
10.903498
530.47177
69
2376.0
25061.6
46.272
1296.784
10.547861
545.78609
Окончание
Возраст
3
табл.
Ж енщ ины
а
1000 • Ах
70
2227.4
22685.6
47.135
1250.511
10.184790
561.42086
71
2084.4
20458.2
48.342
1203.376
9.815154
577.33822
X
**
Сх
72
1946.3
18373.9
50.042
1155.034
9.440645
593.46532
73
1812.4
16427.6
52.237
1104.993
9.064013
609.68388
74
1682.1
14615.2
54.629
1052.765
8.688582
625.85075
75
1555.1
12933.1
56.894
998.127
8.316820
641.85961
76
1431.2
11378.1
58.863
941.233
7.950028
657.65445
77
1310.7
9946.9
60.266
882.370
7.588946
673.20353
78
1194.0
8636.2
61.069
822.104
7.232987
688.53183
79
1081.5
7442.2
61.425
761.035
6.881263
703.67782
718.64470
80
973.5
6360.6
61.467
699.610
6.533703
81
870.1
5387.1
61.283
638.144
6.191218
733.39272
82
771.4
4517.0
60.820
576.860
5.855809
747.83619
83
677.3
3745.6
59.986
516.040
5.529959
761.86795
84
588.2
3068.3
58.423
456.055
5.216584
775.36257
85
504.4
2480.1
56.043
397.632
4.916666
788.27768
86
426.7
1975.7
52.783
341.589
4.630524
800.59962
87
355.5
1549.0
48.764
288.806
4.357175
812.37051
88
291.4
1193.5
44.118
240.043
4.095249
823.64959
89
234.8
902.1
39.077
195.925
3.842362
834.53933
90
185.6
667.3
33.879
156.848
3.595701
845.16115
91
143.7
481.7
28.725
122.969
3.351958
855.65730
92
108.8
338.0
23.818
94.244
3.106699
866.21877
93
80.3
229.2
19.329
70.425
2.854542
877.07735
94
57.5
148.9
15.366
51.096
2.589374
888.49590
95
39.7
91.4
12.044
35.731
2.304276
900.77273
96
25.9
51.7
9.315
23.687
1.996407
914.03051
97
15.5
25.8
7.040
14.372
1.667685
828.18579
98
7.8
10.3
4.880
7.331
1.329411
942.75266
99
2.6
2.6
2.451
2.451
1.000000
956.93780
59
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Введение в актуарную математику. М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. В печати.
2. Баскаков В .К , Карташов Г.Д. М етодические указания к реш ению задач
по актуарной математике (модели дожития). М.: И зд-во МГТУ им. Н .Э . Баума­
на, 1997. 48 с.
3. Баскаков В.Н ., Зорина И.Г., Карташов Г.Д., Соломатина Л.Е. Актуарная
математика (элементы ф инансовой математики). М.: И зд-во МГТУ им. Н.Э. Ба­
умана, 2000. В печати.
4. Гербер Ч. Математика страхования жизни: Пер. с англ., М.: М ир, 1995.
156 с.
5. Фалин Г.И ., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. М.: И зд-во
М оск. ун-та., 1994. 85 с.
6. Четыркин Е.М. Методы финансовы х и коммерческих расчетов. М.: Busi­
ness. Речь, Дело, 1992. 320 с.
7. McCutcheon J.J., Scott W.F. An introduction to the M athematics o f Finance.
Butterworth-Heinemarm Ltd. Oxford, 1986. 460 p.
8. Касимов Ю .Ф. Начала актуарной математики (для страхования ж изни и
пенсионны х схем). Зеленоград, Н ТФ Н И Т, 1994. 183 с.
60