Задача оптимального планирования финансовой политики фирмы 1. Постановка задачи Рассмотрим деятельность некоторой фирмы (банка) на кредитно-финансовом рынке. Фирма имеет некоторый финансовый актив (прибыль) и может привлекать для увеличения прибыли внешние средства (кредит) под некоторый процент с последующим возвратом. Задача фирмы состоит в формировании кредитной политики и таком распределении прибыли на инвестиции (процентный рост) и потребление (дивиденды), чтобы обеспечить максимальный объём потребления за некоторый период планирования. Проведём формализацию этой задачи в терминологии оптимального управления. Пусть: t ∈ [0, t1 ] – период планирования, x(t) – объём прибыли в момент t (собственные средства), y(t) – объём кредита в момент t (привлечённые средства). Проведём распределение прибыли: x(t) = x1 (t) + x2 (t), где x1 (t) – часть прибыли, идущая на инвестиции (в рост), x2 (t) – часть прибыли, идущая на потребление. При этом отметим, что кредит y(t) расходуется только на инвестиции (после уплаты процентов). Пусть, далее r1 ∈ (0, 1] – процентная ставка (доля прироста) по инвестициям, r2 ∈ (0, 1] – ставка процента по кредиту. В результате объём прибыли в момент t определяется интегральным соотношением t Zt Z Zt x(t) = x(0) + r1 x1 (τ )dτ + r1 y(τ )dτ − r2 y(τ )dτ . 0 0 0 После дифференцирования имеем ẋ(t) = r1 x1 (t) + r1 (1 − r2 )y(t). Обозначим r = r1 , c = 1 − r2 . Тогда c ∈ [0, 1), и дифференциальное уравнение имеет вид ẋ(t) = rx1 (t) + rcy(t). Сформируем целевой функционал, подлежащий максимизации Zt1 P = Zt1 x2 (t)dt − 0 y(t)dt. 0 1 По смыслу это часть прибыли, идущая на потребление после вычета кредита за период [0, t1 ] (величина «чистого» потребления). Переформулируем задачу в новых переменных. Введём в рассмотрение управляющие функции (управление) u(t) = y(t) – отношение кредита к прибыли, x(t) v(t) = x1 (t) – доля прибыли, распределённая на инвестиции. x(t) По смыслу управлений имеют места ограничения u(t) > 0, v(t) ∈ [0, 1], t ∈ [0, t1 ]. При этом дифференциальное уравнение и целевой функционал имеют вид ẋ(t) = rv(t)x(t) + rcu(t)x(t) = r(cu(t) + v(t))x(t), Zt1 P = Zt1 (x(t) − v(t)x(t))dt − 0 u(t)x(t)dt. 0 Примем следующее предположение ẋ(t) 6 g, g = const > 0. x(t) Оно означает, что относительный прирост прибыли (темп прироста) ограничен сверху заданной величиной g. С учётом дифференциального уравнения для x(t) получаем условие (дополнительное ограничение на управление) cu(t) + v(t) 6 g , t ∈ [0, t1 ]. r Наконец, введём в рассмотрение множество допустимых значений управляющей вектор функции n go U = (u, v) : u > 0, 0 6 v 6 1, cu + v 6 . r В результате приходим к следующей задаче на максимум потребления Zt1 e−ρt (1 − u(t) − v(t))x(t)dt → max, Φ(u, v) = 0 ẋ = r(cu + v)x, x(0) = x0 > 0, (1) (u(t), v(t)) ∈ U, t ∈ [0, t1 ]. Здесь ρ > 0 – параметр дисконтирования, e−ρt – дисконтирующая функция. Эта функция монотонно убывает и отражает эффект обесценивания объёма средств на потребление 2 с течением времени. С другой стороны (с точки зрения задачи), она характеризует стремление обеспечить бо́льшее потребление в ближайшее время (в недалёком будущем; чем раньше, тем лучше). Выделим параметры задачи: ρ > 0, r ∈ (0, 1], c ∈ [0, 1), g > 0, x0 > 0. Примем предположение: ρ < r (параметр инфляции меньше процента роста). 2. Процедура решения задачи Проведём анализ задачи с помощью принципа максимума. Образуем функцию Понтрягина H с сопряжённой переменной ψ H(ψ, x, u, v, t) = ψr(cu + v)x + e−ρt (1 − u − v)x, ψ˙ = −H x = −ψr(cu + v) − e−ρt (1 − u − v), ψ(t1 ) = 0. Проведём элементарное преобразование этих соотношений. Введём функции H = Heρt , ψ = ψeρt . Тогда H = ψr(cu + v)x + (1 − u − v)x, ˙ ρt + ψρeρt = −ψr(cu + v) − (1 − u − v) + ρψ, ψ(t ) = 0. ψ̇ = ψe 1 Далее, поскольку H= (2) 1 H, eρt то задача на максимум функции Понтрягина H по u, v эквивалентна задаче на максимум функции H. Домашнее задание №1: Показать, что для решения x(t) фазового уравнения выполняется условие x(t) > 0, t ∈ [0, t1 ], ∀u, v. В результате, формулировка принципа максимума относительно допустимого управления w∗ (t) = (u∗ (t), v ∗ (t)) принимает вид: для оптимальности управления w∗ (t) в задаче (1) необходимо выполнение соотношения w∗ (t) = arg max (ψ(t)r(cu + v) − u − v), t ∈ [0, t1 ], (u,v)∈U где ψ(t) – решение сопряжённого уравнения (2) при u = u∗ (t), v = v ∗ (t). 3 (3) Составим максимизирующее управление s∗ (ψ, t) = arg max (ψr(cu + v) − u − v), ψ ∈ R, t ∈ [0, t1 ]. (u,v)∈U (4) Тогда условие (3) можно представить в виде w∗ (t) = s∗ (ψ(t), t), t ∈ [0, t1 ]. Прежде, чем давать описание процедуры решения исходной задачи (1), проведём более подробный анализ задачи (4). Выполним элементарное преобразование целевой функции ψr(cu + v) − u − v = (ψrc − 1)u + (ψr − 1)v = k1 u + k2 v, где k1 = k1 (ψ) = ψrc − 1, k2 = k2 (ψ) = ψr − 1. Тогда получаем задачу k1 u + k2 v → max, u > 0, 0 6 v 6 1, (5) g cu + v 6 . r Это задача линейного программирования относительно переменных u, v. Её решение (вектор s∗ (ψ, t)) можно получить геометрически. Домашнее задание №2: Найти решение s∗ (ψ, t) задачи (5). g g Указание: отдельно рассмотреть случаи 6 1 и > 1. r r 4