Использование стандартных функций сложного процента

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Томский государственный архитектурно-строительный университет»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАНДАРТНЫХ ФУНКЦИЙ
СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
В ОЦЕНКЕ ОПЕРАЦИЙ С НЕДВИЖИМОСТЬЮ
Методические указания к расчетной работе
Составители Т. Ю. Овсянникова, Н.В. Иглина
Томск 2014
Использование стандартных функций сложного процента
в оценке операций с недвижимостью: методические указания к
расчетной работе / Сост. Т. Ю. Овсянникова, Н.В. Иглина 
Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2012.  40 с.
Рецензент М.Н. Преображенская
Редактор И.Б. Блинова
Методические указания к выполнению расчетной работы по
дисциплинам «Экономика недвижимости» и «Экономика и управление недвижимостью» для студентов специальностей 270115 «Экспертиза и управление недвижимостью», 120303 «Городской кадастр», и
подготовки бакалавров и магистров по направлению 270100 «Архитектура», 270800 «Строительство» и 120700 «Землеустройство и кадастры», 100100 «Сервис» всех форм обучения. Печатаются по решению методического семинара кафедры экспертизы и управления недвижимостью № 2 от 25.10.2013.
Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе В.В. Дзюбо
с 01.01.2014
до 01.01.2019
Подписано в печать 10.01.14.
Формат 60×84. Бумага офсет. Гарнитура Таймс.
Уч.-изд. л. 2,1. Тираж 50 экз. Заказ №
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.
Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ
634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................... 4
УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ
ПО ТЕМЕ: «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАНДАРТНЫХ
ФУНКЦИЙ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА В ОЦЕНКЕ
ОПЕРАЦИЙ С НЕДВИЖИМОСТЬЮ» ................................... 5
1.1. Основные понятия .......................................................... 5
1.2. Теоретические основы.................................................... 7
1.2.1
Будущая стоимость единицы (накопленная сумма
единицы) ................................................................................... 9
1.2.2
Текущая стоимость единицы .................................... 12
1.2.3
Текущая стоимость аннуитета .................................. 13
1.2.4
Будущая стоимость аннуитета ................................. 17
1.2.5
Взнос на амортизацию единицы .............................. 19
1.2.6
Формирование фонда возмещения ........................... 21
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ............................................... 23
3. ТАБЛИЦЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ – ШЕСТЬ
ФУНКЦИЙ ДЕНЕЖНОЙ ЕДИНИЦЫ .................................. 34
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ............ 38
3
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания предназначены для выполнения
расчетной работы по теме «Оценка операций с недвижимостью
с помощью стандартных функций сложного процента» дисциплин «Экономика недвижимости» и «Экономика и управление
недвижимостью», входящих в учебные планы специальностей
270115 «Экспертиза и управление недвижимостью» и 120303
«Городской кадастр» и учебные планы подготовки бакалавров и
магистров по направлениям 270100 «Архитектура», 270800
«Строительство», 120700 «Землеустройство и кадастры»,
100100 «Сервис» всех форм обучения.
Целью расчетной работы является формирование общепрофессиональных компетенций специалистов в области экономики и управления недвижимостью в части умения применять методы математического анализа и моделирования для
решения практических задач на основе:
закрепления теоретических знаний по вопросам использования математического аппарата при оценке операций с недвижимостью;
приобретения практических навыков использования стандартных функций сложного процента в оценке операций с объектами недвижимости.
Методические указания могут быть также использованы
при выполнении финансово-экономических разделов выпускных квалификационных работ бакалавров, специалистов и магистров.
4
УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОЙ
РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
СТАНДАРТНЫХ ФУНКЦИЙ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА В
ОЦЕНКЕ ОПЕРАЦИЙ С НЕДВИЖИМОСТЬЮ»
1.1. Основные понятия
Осуществление операций с объектами недвижимости носит, как правило, долгосрочный характер, поэтому оценка подобных операций основана на учете временнóй стоимости денег. В процессе осуществления операций с недвижимостью возникают денежные потоки различной направленности:
 оттоки денежных средств (инвестиции в покупку, строительство или реконструкцию объектов недвижимости и операционные или эксплуатационные расходы);
 притоки денежных средств (доходы от продажи объектов недвижимости и доходы от их эксплуатации).
Движение денежных потоков распределено во времени,
поэтому их величина изменяется под влиянием двух основных
факторов:
 инфляции (дефляции), т.е. изменения цен на товары, в
том числе объекты недвижимости, в результате которой снижается (возрастает) покупательная способность денег;
 способности денег «оборачиваться» и приносить доход,
то есть капитализироваться.
Под действием этих двух факторов изменяется временнáя
стоимость денежных потоков, то есть соотношение текущей
стоимости денег (их ценности в текущей момент времени) и
будущей стоимости (их ценности в будущий момент времени).
В основе оценки операций с недвижимостью лежат следующие основные понятия:
5
Текущая стоимость денежного потока (ТС или PV – present value)1 – это стоимость денежных потоков, возникающих в
будущие периоды времени (будущей стоимости), приведенная к
текущему (начальному) моменту времени.
Будущая стоимость денежного потока (БС или FV –
future value) – это стоимость денежных потоков (текущей стоимости), приведенная к будущему моменту времени.
Дисконтирование (discounting) – приведение стоимости
будущих денежных потоков к текущему моменту времени, т.е.
определение текущей стоимости денежных потоков.
Компаундинг (compounding) – приведение стоимости текущих денежных потоков к будущему моменту времени, т.е.
определение будущей
стоимости денежных потоков.
Норма дисконта или ставка доходности (Е или R – rate) 
величина, характеризующая степень изменения временнóй стоимости денег за определенный период времени (год, месяц и
т.д.)
Эффективная ставка дисконта или эффективная норма
доходности (е или r)  величина, характеризующая степень изменения временной стоимости денег за определенный период
времени, если начисление процентов (движение денежных
средств) происходит несколько раз в рассматриваемый период,
для которого установлена ставка доходности (например, при
ежемесячном начислении процентов при установленной годовой ставке доходности).
Аннуитет (A или PMT – annuity payment)  это равновеликие равномерные поступления или платежи денежных
средств, то есть периодические денежные потоки, осуществляемые через равные промежутки времени в равной сумме.
1
Далее используются англоязычные обозначения, широко применяемые в
научной и учебной литературе.
6
1.2. Теоретические основы
Соизмерение текущей и будущей стоимости денежных
потоков производится с помощью коэффициентов дисконтирования  и компаундинга  , которые рассчитываются на основе
формулы сложного процента:
1
,
(1)

1  R t
  1  R t ,
(2)
где R – норма дисконта (доходности), измеряется в десятичном
выражении; t – число периодов времени (лет, месяцев и т.д.).
Обычно в расчетах норма дисконта (доходности) принимается как годовая ставка, показывающая изменение стоимости
денег за один год (например, годовая ставка процентов по кредиту). В том случае, если при установленной годовой ставке
начисление процентов или поступление денежных средств происходит чаще, чем один раз в год (например, ежеквартально или
ежемесячно), используется показатель эффективной годовой
ставки, которая рассчитывается по формуле:
t n
 R
r  1    1 ,
(3)
 n
где n – число периодов начисления процентов или поступления
денежных средств в течение периода t, для которого установлена ставка R.
Тогда коэффициенты дисконтирования и компаундинга
примут, соответственно вид:
1

t n
R

1  
n
(4)

7
t n
 R
β  1  
(5)
n

Соотношение обычной годовой ставки процента и эффективной ставки можно проиллюстрировать следующим образом
(рис. 1).
годовая процентная
ставка
а)
проценты
Время
текущее
время
б)
¼ годовой
ставки
будущее
время
1 год
¼ годовой
ставки
¼ годовой
ставки
¼ годовой
ставки
проценты
Время
квартал
текущее
время
квартал
квартал
1 год
квартал
будущее
время
Рис.1. Соотношение доходности при использовании годовой ставки
процента (а) и эффективной ставки процента (б)
8
Например, при установленной годовой процентной ставке
12 % и начислении процентов один раз в год коэффициенты
дисконтирования и компаундинга при сроке 3 года будут, соответственно, равны:

1
 0,712
1  0,12 3
3
β  1  0,12   1,405
При использовании эффективной ставки, например при
начислении процентов ежеквартально при такой же годовой
ставке, эти коэффициенты будут, соответственно, равны:
1

 0,701
34
 0,12 
1 

4 

 0,12 
β  1 

4 

34
 1,426
На основе рассмотренных выше формул строятся шесть
функций, используемых в оценке инвестиций в недвижимость.
1.2.1
Будущая стоимость единицы (накопленная
сумма единицы)
Эта функция, позволяет определить стоимость объекта
недвижимости или финансовых потоков, связанных с использованием объекта недвижимости, в будущем времени, если известны их значения в текущий (настоящий) момент времени:
(6)
FV  PV 1  R t ,
9
где FV – будущая стоимость денежного потока (объекта недвижимости), руб.; PV – текущая стоимость денежного потока
(объекта недвижимости), руб.
Процесс приведения текущей стоимости денежных потоков
(объекта недвижимости) к будущему моменту времени называется компаундингом и показан на рис. 2.
Компаундинг
?
Будущая
стоимость
(FV)
Текущая
стоимость
(PV)
текущее
время
будущее
время
Время
Рис. 2. Приведение стоимости денежных потоков
(объекта недвижимости) к будущему моменту времени
(компаундинг)
В случае применения эффективной ставки процента (нормы доходности) эта формула примет вид:
 R
FV  PV 1  
n

t n
(7)
Пример 1:
Инвестор приобрел объект недвижимости за 10 млн. руб.
Какова будет стоимость объекта через три года, если ежегодный рост стоимости на данном сегменте рынка недвижимости
составляет 13 %?
Решение:
Дано: PV=10 млн. руб.; R=0,13; t=3
10
Используя функцию будущей стоимости единицы (формула 6), получим:
FV  PV 1  R t  10  1  0,133  14,43 млн. руб.
Пример 2:
Риэлторская компания готовит прогноз состояния рынка
жилья на три года. Какова будет прогнозная стоимость жилья
через три года, если на момент составления прогноза средняя
стоимость одного квадратного метра жилья составляла 35 тыс.
руб., а ежеквартальный рост цен на жилую недвижимость прогнозируется на уровне 3,5 %.
Решение:
Дано: PV=35 тыс. руб.; R=0,035; t=3; n=4
34
FV  PV 1  R t = 35  1  0,035  35 1,51  52,89 тыс. руб.
за кв. м.
Пример 3:
Определить какая сумма будет накоплена на счете к концу
второго года, если сегодня положить на счет, приносящий 14 %
годовых, 1 000 000 руб.? Начисление процентов осуществляются в конце каждого месяца.
Решение:
Дано: PV=1000000 руб.; R=0,14; t=2; n=12
 R
FV  PV 1  
n

t n
 0,14 
 1000000  1 

12 

2 12
 1320987,1 руб.
11
1.2.2
Текущая стоимость единицы
Эта функция позволяет определить стоимость объекта недвижимости в текущий момент времени при известной будущей
стоимости:
FV
PV 
(8)
1  R t
где FV – будущая стоимость объекта недвижимости, руб.;
PV – текущая стоимость объекта недвижимости, руб.
Процесс приведения будущих денежных потоков к текущему моменту времени называется дисконтированием (рис. 3).
Дисконтирование
?
Текущая
стоимость
(PV)
текущее
время
Будущая
стоимость
(FV)
будущее
время
Время
Рис. 3. Приведение стоимости денежных потоков к текущему
моменту времени (дисконтирование)
При использовании эффективной процентной ставки (эффективной нормы дисконта) эта формула, соответственно, принимает вид:
FV
PV 
tn
(9)
 R
1  
n

12
Пример 4:
Инвестор приобрел объект недоходной недвижимости за
3500 тыс. руб., предполагая через два года его продать за 4600
тыс. руб. Эффективны ли будут инвестиции в недвижимость,
если ставка доходности по альтернативным вариантам инвестирования составляет в среднем 20 процентов в год?
Решение:
Дано: PV1 = 3500 тыс. руб., FV1=4600 тыс. руб.; R=0,2; t=2
Эта задача может быть решена двумя способами:
Вариант решения 1:
FV2  PV1 1  R t
FV2  3500  1  0,2 2  5040 тыс. руб.;
FV1  FV2 , следовательно, инвестиции в данный объект неэффективны, так как, вложив деньги в альтернативный вариант,
инвестор получил бы большую сумму.
Вариант решения 2:
FV1
PV2 
1  R t
4600
PV2 
 3194,44 тыс. руб.;
1  0,22
PV2 < PV1 , следовательно, инвестиции неэффективны, так как
для получения через два года 4600 тыс. руб. достаточно было
бы в настоящий момент вложить под 20 % 3194,444 тыс. руб. (а
не 3500 тыс. руб.)
1.2.3
Текущая стоимость аннуитета
Аннуитет это равновеликие равномерные поступления
или платежи денежных средств, осуществляемые через равные
промежутки времени в равной сумме. Функция текущей стои13
мости аннуитета позволяет определить текущую стоимость
равномерных равновеликих поступлений денежных средств:
1
1(1 + R )t
PVA = A
(10)
R
где PVA – текущая стоимость аннуитета, руб.; A – сумма аннуитета, то есть сумма равновеликих равномерных поступлений
денежных средств, руб. (рис. 4).
?
Текущая
стоимость
аннуитета
(PVA)
текущее
время
А
А
будущее
время
А
Время
Рис. 4. Приведение равномерных равновеликих денежных поступлений к текущему моменту времени
Если R установлена как годовая ставка доходности (норма дисконта), а поступления производятся чаще, чем раз в год
(ежеквартально, ежемесячно и т.д.), то используется эффективная ставка, т.е. формула примет вид:
14
1PVA  A 
1
 R
1  
n

R
n
tn
(11)
Текущая стоимость равновеликих равномерных выплат
может быть определена также с помощью дисконтирования денежных потоков:
T
At
PVA  
(12)
t
t 0 (1  R)
Пример 5:
Инвестор рассматривает возможность вложения средств в
объект недвижимости с целью получения дохода в виде арендной платы в течение пяти лет. Ежегодная сумма арендной платы, которая будет вноситься в конце каждого года, составит 280
тыс. руб. Какую максимальную цену целесообразно заплатить
за объект сегодня при ставке дисконта 15 % годовых.
Решение:
Дано: A=280 тыс. руб.; R=0,15; t=5
Вариант решения 1:
1
1
11t
1  R   280  1  0,155  938,6 тыс. руб.
PVA  A 
R
0,15
Вариант решения 2:
T
At
280 280 280 280 280
PVA  





 938,6 тыс.руб.
t
1,15 1,152 1,153 1,154 1,155
t 0 (1  R )
15
Пример 6:
Инвестор рассматривает возможность вложения средств в
объект недвижимости с целью получения дохода в виде арендной платы в течение пяти лет. Ежеквартальная сумма арендной
платы, которая будет вноситься в конце каждого квартала, составит 60 тыс. руб. Какую максимальную цену целесообразно
заплатить за объект сегодня при ставке дисконта 15 % годовых.
Решение:
Дано: A=60 тыс. руб.; R=0,15; t=5, n=4
Вариант решения 1:
1PVA  A 
1
 R
1  
n

R
n
1-
tn
 60 
1
 0,15 
1 

4 

0,15
4
54
 833,6 тыс. руб.
Вариант решения 2:
60
60
60
PVA 


 ...
1
2
3
 0,15   0,15 
 0,15 
1 
 1 

1 

4  
4 
4 


60

 833,6 тыс.руб.
20
 0,15 
1 

4 

Сравнивая пример 5 с примером 6, можно увидеть, что
чем чаще поступления арендной платы, тем больше доход от
объекта недвижимости, и тем выше может быть его рыночная
цена.
16
1.2.4
Будущая стоимость аннуитета
Эта функция позволяет определить будущую стоимость
равномерных равновеликих поступлений:
(1  R)t  1
FVA  A 
(13)
R
где FVA– будущая стоимость аннуитета, руб.; A – сумма аннуитета, то есть сумма равновеликих равномерных поступлений
денежных средств, руб.
?
А
А
Будущая
стоимость
аннуитета
(FVA)
А
текущее
время
будущее
время
Время
Рис. 5. Приведение равномерных равновеликих денежных поступлений к будущему моменту времени
В случае осуществления более частых поступлений:
R

1  
n
FVA  A  
R
n
t п
1
(14)
17
Пример 7:
Семья предполагает приобрести через 3 года квартиру. С
этой целью открыт жилищный накопительный счет в банке, на
который в конце каждого года вносятся по 200 тыс. руб. Какая
сумма накопится на счете через три года, если по счету начисляется 12 % годовых?
Решение:
Дано: A=200 тыс. руб.; R=0,12; t=3
(1  R ) t  1
(1  0,12) 3  1
FVA  A 
 200 
 674,88 тыс. руб.
R
0,12
Пример 8:
Семья предполагает приобрести через 3 года квартиру. С
этой целью открыт жилищный накопительный счет в банке, на
который в конце каждого квартала вносятся по 90 тыс. руб. Какая сумма накопится на счете через три года, если по счету
начисляется 13,5 % годовых?
Решение:
Дано: A=90 тыс. руб., R=0,135, t=3, n=4
R

1  
n
FVA  A  
R
n
t п
3 4
 0,135 
1
1 

4 

 90 
0,135
4
1
 1304,84 тыс. руб.
Как и в примере 6, в данном примере можно видеть преимущество применения эффективной ставки доходности: чем
чаще осуществляются взносы на счет, тем больше накопленная
сумма.
18
1.2.5
Взнос на амортизацию единицы
Эта функция позволяет определить аннуитетные платежи
в погашение текущей стоимости объекта или кредита:
R
A  PV 
(15)
1
1
(1  R) t
где A – сумма аннуитета, то есть сумма равновеликих равномерных поступлений денежных средств, руб.; PV – текущая
стоимость объекта недвижимости, руб.
Текущая
стоимость
аннуитета
(PVA)
текущее
время
?
А
?
А
будущее
время
?
А
Время
Рис. 6. Приведение текущей стоимости к будущим равномерным денежным поступлениям
При использовании эффективной ставки процента формула (15) примет, соответственно, вид:
R
n
A  PV 
(16)
1
1
t n
 R
1  
 n
19
Пример 9:
На приобретение квартиры выдан кредит в размере 2000
тыс. руб. сроком на 5 лет под 15 % годовых. Выплаты по кредиту осуществляются аннуитетным методом в конце каждого года. Определить, какую сумму должна выплачивать семья ежегодно?
Решение:
Дано:
PV=2000 тыс.руб.; R=0,15; t=5
R
0,15
A  PV 
 2000 
 596,63 тыс. руб.
1
1
1
1

(1  R) t
(1  0,15) 5
Пример 10:
На приобретение квартиры выдан кредит в размере 2000
тыс. руб. сроком на 5 лет под 15 % годовых. Выплаты по кредиту осуществляются аннуитетным методом в конце каждого месяца. Определить, какую сумму должна выплачивать семья
ежемесячно?
Решение:
Дано:
PV=2000 тыс.руб.; R=0,15; t=5; n=12
R
n
A  PV 
1
R

1  
n

20
 2000 
1
t n
1
0,15
12
1
 0,15 
1 

12 

 47,58 тыс. руб.
512
В примере 10 можно видеть, что общая сумма выплат по
кредиту при ежемесячном погашении будет значительно меньше, чем в случае ежегодного погашения, рассмотренного в
примере 9 (47,58125 = 2854,8, что меньше суммы выплат
596,635 = 2983,15).
1.2.6
Формирование фонда возмещения
С помощью этой функции определяются текущие платежи
(поступления) для покрытия будущей стоимости объекта:
R
A  FV 
(17)
(1  R) t  1
где A – сумма аннуитета, то есть сумма равновеликих равномерных поступлений денежных средств, руб.; FV – будущая
стоимость объекта недвижимости, руб.
?
А
?
А
текущее
время
?
А
Будущая
стоимость
аннуитета
(FVA)
будущее
время
Время
Рис. 7. Приведение будущей стоимости к текущим равномерным
денежным поступлениям
21
При использовании эффективной ставки процента формула примет вид:
R
n
A  FV 
t n
(18)
 R
1    1
n

Пример 11:
Для покупки жилого дома стоимостью 4800 тыс. руб. семьей открыт накопительный жилищный счет с начислением по
нему 7 % годовых. Какую сумму нужно вносить на счет ежегодно, чтобы накопить нужную сумму за три года?
Решение:
Дано:
PV=4800 тыс.руб.; Е=0,07; t=3
A  FV 
R
0,07
 4800 
 1493,05 тыс. руб.
t
(1  R )  1
1  0,07 3  1
Пример 12:
Для покупки жилого дома стоимостью 4800 тыс. руб. семьей открыт накопительный жилищный счет с начислением по
нему 7 % годовых. Какую сумму нужно вносить на счет ежемесячно, чтобы накопить нужную сумму за три года?
Решение:
Дано:
FV=4800 тыс.руб.; R=0,07; t=3; n=12
22
R
0,07
n
12
A  FV 
 4800 
 120,21 тыс. руб.
t n
312
R
0,07




1    1
1 
 1
n
12




Здесь также можно видеть, что чем чаще осуществляются
взносы на накопительный счет, тем быстрее происходит накопление суммы и тем меньше суммарный годовой взнос:
(120,2112  1442,5  1493,05)
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 2
Для решения задач с использованием шести функций процента рекомендуется предварительно изучить теоретический
материал, представленный выше, и составить на его основе
сводную таблицу шести функций в виде табл. 1.
Таблица 1
Шесть функций процента, используемые для оценки
инвестиций в недвижимость
Название функции
Расчетная формула
Экономическое
содержание
Задача 1
Организация приобрела объект недвижимости с целью его
недоходного использования и с последующей перепродажей
2
Вариант для решения задач принимается по последней цифре номера зачетной книжки
23
его через определенный период времени. Окупит ли организация свои вложения, продав объект за предварительно оговоренную цену, если рост цен на данном сегменте рынка недвижимости прогнозируется в размере Е % в квартал?
Показатели
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
Стоимость приобретаемого объекта недвижимости, тыс.руб. 8161 8645 5400 7563 2889 4440 6121 5765 7567 4686
Предполагаемая цена
продажи объекта в
10424 11044 6438 9670 5064 6182 8208 7648 9722 6596
будущем, тыс.руб.
Период времени, по
истечении которого
объект предполагается продать, лет
Прогнозируемый
рост цен на данном
сегменте рынка, % в
квартал
2
3
2
3
3
3
2
2
2
3
3
4
2
2
3
4
4
2
3
3
Задача 2
В соответствии с договором аренды ежемесячные платежи
осуществляются в конце каждого месяца. Какова текущая стоимость арендных платежей, которую получит арендодатель за
весь период аренды объекта?
Показатели
1
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
Сумма ежемесячных арендных платежей, 51000 25300 60000 40000 30500 28100 41500 35000 45000 52000
руб.
24
2
Показатели
Срок аренды,
лет
Ставка дисконта, % в год
Варианты
5
6
1
2
3
4
3
5
4
4
5
12
13
11
13
15
7
8
9
10
3
2
2
4
3
12
11
14
10
12
Задача 3
Для приобретения объекта недвижимости гражданин взял
в банке кредит на указанных ниже условиях. Каков размер ежемесячных выплат по кредиту, если они осуществляются аннуитетным методом в конце каждого месяца?
Показатели
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
Сумма креди2000 2000 2200 2600 3000 2500 1800 2100 3600 2400
та, тыс. руб.
Ставка процентов по
15
12
11
14
16
12
15
12
11
14
кредиту, % в
год
Срок кредита,
5
4
6
5
4
5
4
3
4
4
лет
Задача 4
Инвестор приобрел недвижимость с рассрочкой платежа
на несколько лет. Согласно договору выплаты покупателем
осуществляются ежегодно. Какова текущая стоимость выплат
за весь период рассрочки?
Показатели
Период рассрочки выплат,
лет
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
3
4
5
3
3
5
4
4
3
4
25
Показатели
Сумма ежегодных выплат,
тыс. руб.
Ставка дисконта, % в год
Варианты
5
6
1
2
3
4
400
450
320
380
410
12
12
14
13
14
7
8
9
10
530
290
450
760
840
12
13
11
12
12
Задача 5
Для покупки жилого дома семьей открыт накопительный
жилищный счет с начислением по нему процентов. Какую сумму нужно вносить на счет ежемесячно, чтобы накопить нужную
сумму за четыре года?
Показатели
1
Прогнозируемая стоимость, покупки жилья
тыс.руб.
Проценты,
начисляемые
на вклад, % в
год.
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
9500 8900 6872 7500 8550 9000 7820 8400 9600 6500
12
13
11
12
14
11
13
12
12
11
Задача 6
Инвестор рассматривает вариант приобретения объекта
офисной недвижимости с намерением в последующем сдавать
его в аренду под офисы. Окупит ли инвестор свои вложения в
недвижимость за три года при норме дисконта 12 % в год?
Показатели
1
26
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
Средняя
стоимость 1
кв.м. на
9000 9200 9100 9400 9500 9200 9400 9100 9200 9600
рынке недвижимости,
руб.
Площадь
приобретае500 520 450 600 480 460 530 540 620 480
мого объекта, кв.м.
Средняя
стоимость
аренды
офисных
270 450 330 600 570 600 580 375 480 450
помещений,
руб. за кв.м.
в месяц
Задача 7
Молодая семья, накапливая средства для приобретения
жилья, в конце каждого квартала вносит деньги на свой счет в
банке. Какая сумма будет накоплена на счете через определенное время, если по счету начисляются проценты? Достаточно
ли будет накопленных средств для приобретения однокомнатной квартиры, если на момент открытия вклада рыночная стоимость таких квартир была равна 1800 тыс. руб., и если известен
прогноз роста цен на рынке жилья?
Показатели
Сумма ежеквартального взноса,
тыс. руб.
Срок накопления
средств на счете,
лет
Проценты по
вкладу, % в год
Варианты
5
6
1
2
3
4
7
8
9
10
37
45
35
36
40
39
36
32
36
45
5
4
4
5
4
4
5
5
4
4
15
14
13
14
12
14
13
12
14
12
27
Показатели
Прогнозируемый
рост цен на рынке недвижимости, % в квартал
1
2
3
4
2
3
2
2
Варианты
5
6
3
4
7
8
9
10
3
2
3
2
Задача 8
Фирма хочет в конце периода сделать ремонт объекта, который сегодня стоит 850000 рублей. Каждый год ремонт дорожает. Доход от аренды фирма получает в конце года. Эта сумма
инвестируется. Хватит ли накопленной суммы, чтобы произвести ремонт?
Показатели
Срок эксплуатации, год
1
2
3
4
3
2
5
1
Варианты
5
6
4
2
7
8
9
10
3
6
4
5
Прогнозируемый
рост цен на ре7
5
8
6
5
4
9
7
6
8
монт, %
Доход от аренды,
270 505 220 300 450 380 260 520 355 415
тыс. руб.
Годовой процент
инвестирования,
18 15 16 17 14 15 18 13 17 12
%
Задача 9
Проводится оценка стоимости земельного участка. Известен ежеквартальный уровень инфляции. Определить стоимость
земельного участка?
Показатели
Варианты
5
6
1
2
3
4
Период времени,
год
3
9
5
8
4
Ежеквартальный
рост, %
2,6
1,8
2,2
1,9
2
28
7
8
9
10
2
9
6
4
5
2,3
2,7
2,5
1,6
1,8
Показатели
Стоимость
участка сегодня,
тыс. руб.
1
2
3
4
95
89
92
105
Варианты
5
6
87
79
7
8
9
10
112
97
109
91
Задача 10
Какую сумму следует положить на депозит, чтобы через
14 лет приобрести объект недвижимости, если банк начисляет
проценты с периодичностью раз в месяц?
Показатели
Процентная
ставка ежегодная, %
Предполагаемая
сумма покупки,
тыс. руб.
1
2
3
4
20
18
17
16
Варианты
5
6
21
20
7
8
9
10
18
17
16
18
420 390 382 305 405 400 372 428 352 369
Задача 11
Молодая семья предполагает переехать в новый дом, для
этого открыт счет в банке по которому начисляются проценты.
Сколько надо внести на счет сегодня, если известна стоимость
покупки?
Показатели
Период накопления, год
Процентная
ставка, %
Предполагаемая
сумма покупки,
тыс. руб.
Варианты
5
6
1
2
3
4
3
7
5
8
4
20
18
17
16
21
7
8
9
10
2
7
6
4
5
20
19
16
19
18
1200 2900 3820 1050 4050 3000 2720 1280 2520 2690
29
Задача 12
Владелец дома решил произвести капитальный ремонт
своего здания. Стоимость ремонта с каждым годом растет. Какую сумму ежеквартально следует откладывать владельцу дома
на счет в банке, приносящем доход?
Показатели
Стоимость
ремонтных
работ, тыс.
руб.
Ставка процентов по
вкладу, % в
год
Период времени, год
Рост стоимости ремонта,
%
Варианты
5
6
1
2
3
4
7
8
9
10
208
220
235
260
301
250
180
210
360
240
10
12
14
13
15
12
11
12
15
13
3
4
2
5
4
2
4
3
4
4
6
4
5
4
3
6
4
3
5
6
Задача 13
Семья для летнего отдыха ежемесячно откладывает определенную сумму на пополняемый депозитный счет. Какая сумма будет накоплена на счете?
Показатели
Период
накопления,
месяц
Ежемесячная
сумма,
тыс.руб.
30
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
10
12
11
15
12
14
15
11
12
13
4
4,5
3,2
3,8
4,1
5,3
2,9
4,5
7,6
8,4
Показатели
Ставка дисконта, % в
год
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
12
12
14
13
14
13
11
12
12
12
Задача 14
Определить сумму, которую арендатор может внести за
год вперед, если договор аренды предусматривает ежемесячные
платежи в начале каждого месяца, при известной годовой ставке дисконта?
Показатели
Ежемесячный платеж,
тыс.руб.
Ставка дисконта, %
Варианты
5
6
1
2
3
4
15
18
22
17
20
13
11
9
13
8
11
12
7
8
9
10
14,7 16,8 15,4 21,4
12
11
12
11
Задача 15
Продана квартира и деньги находятся в банке. Какова
предельная стоимость недвижимости, которую можно будет
купить через 10 лет за счет средств, накопленных на счете?
Показатели
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
Сумма на сче2000 2000 2200 2600 3000 2500 1800 2100 3600 2400
те, тыс. руб.
Процент годового дохода,
5
9
11
10
6
9
8
7
6
7
%
Задача 16
Договор аренды офисного помещения составлен на несколько лет. Арендные платежи вносятся в конце каждого года.
31
Причем первые два года это одна сумма, следующие года – другая. При известной ставке дисконта определить текущую стоимость арендных платежей?
Показатели
Срок аренды, лет
1
2
3
4
7
5
4
4
Варианты
5
6
5
6
7
8
9
10
5
7
4
6
Сумма арендных
платежей первые 500 250 600 400 350 280 410 350 450 520
2 года, тыс. руб.
Арендные платежи последую515 270 623 421 387 298 423 369 476 542
щие года, тыс.
руб.
Ставка дисконта,
14 15 14 13 16 12 16 14 17 18
% в год
Задача 17
Какую сумму следует положить в настоящее время в банк,
при известной годовой ставке, чтобы через семь лет накопить
на автомобиль?
Показатели
Годовая ставка,
%
Варианты
5
6
1
2
3
4
17
15
18
16
15
950 1200 870
963
756 1235 1521 961 1035 1048
14
7
8
9
10
19
17
16
18
Стоимость покупки, тыс. руб.
Задача 18
32
Планируется покупка квартиры. Открыт счет в банке, по
которому начисляются проценты. Какую сумму необходимо
ежеквартально в течение пяти лет откладывать в банк?
Показатели
Процентная
ставка, %
Стоимость
квартиры,
тыс. руб.
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
8
14
11
12
10
10
6
7
8
9
1200 1268 1494 1895 1567 1794 1345 1041 1297 1956
Задача 19
Открыт счет для начисления ежемесячной ренты в течение
трех лет, по которому начисляются проценты. Какова сумма
ренты, которую можно ежемесячно в течение трех лет снимать
со счета, при условии, что снимаемые суммы будут одинаковы.
Показатели
Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Процентная ставка, % 10 12 12 11 11 10 13
9
10
6
Первоначальный
120 350 145 205 321 195 154 309 198 231
вклад, тыс.руб.
Задача 20
Какую сумму необходимо ежемесячно в течение нескольких лет перечислять в пенсионный фонд, при известной ставке
дохода, чтобы затем в течение 20 лет ежемесячно получать
определенную сумму?
Показатели
1
Срок перечисления средств,
лет
2
15
3
17
Варианты
5
6
7
4
12
14
17
19
8
13
9
10
10
16
17
33
Показатели
1
2
Ежемесячная
сумма дохода, 15,2
тыс. руб.
Ставка дохо12
да, %
3
Варианты
5
6
7
4
8
9
10
13
14
10,3
9
11,3
12
14,8
16
9,5
15
14
13
15
12
11
14
15
12
3. ТАБЛИЦЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ – ШЕСТЬ
ФУНКЦИЙ ДЕНЕЖНОЙ ЕДИНИЦЫ
Таблицы шести функций, предложенные в данном разделе, могут быть использованы для решения широкого круга задач, предполагающих проведение расчетов с учетом стоимости
денег во времени. Приведены годовые таблицы.
Использование таблиц:
1. Выбрать таблицу с соответствующей функцией;
2. Найти процентную ставку с лева и год справа;
3. Пересечение колонки и ряда дает фактор;
4. Умножить фактор на соответствующую основную
сумму или депозит.
Таблица 2
Будущая стоимость единицы (начисление ежегодное)
Процент
1
6
7
8
9
10
11
12
13
34
2
3
4
Год
5
6
7
8
9
10
1,069 1,123 1,191 1,262 1,338 1,418 1,503 1,593 1,689 1,790
1,070 1,145 1,225 1,311 1,402 1,501 1,605 1,718 1,838 1,967
1,080 1,166 1,259 1,360 1,469 1,586 1,713 1,850 1,999 2,158
1,090 1,188 1,295 1,411 1,538 1,677 1,828 1,992 2,171 2,367
1,100 1,210 1,331 1,464 1,611 1,771 1,948 2,143 2,358 2,594
1,110 1,232 1,367 1,518 1,685 1,870 2,076 2,304 2,558 2,839
1,120 1,254 1,405 1,574 1,762 1,934 2,211 2,476 2,773 3,106
1,130 1,277 1,443 1,630 1,842 2,082 2,353 2,658 3,004 3,395
Процент
1
2
3
Год
5
6
4
7
8
9
10
1,140 1,299 1,482 1,689 1,925 2,195 2,502 2,853 3,252 3,707
14
15
1,150 1,323 1,521 1,749 2,011 2,313 2,660 3,059 3,518 4,046
Таблица 3
Будущая стоимость аннуитета (начисление ежегодное)
Процент
6
Год
1
2
3
4
5
6
7
8
1,000 2,606 3,184 4,375 5,637 6,975 8,394 9,897
7
1,000 2,070 3,215 4,439 5,751 7,153 8,654 10,259 11,978 13,816
8
1,000 2,080 3,246 4,506 5,867 7,336 8,923 10,637 12,488 14,487
9
1,000 2,090 3,278 4,573 5,985 7,523 9,200 11,028 13,021 15,193
10
1,000 2,100 3,310 4,641 6,105 7,716 9,487 11,436 13,579 15,937
11
1,000 2,110 3,342 4,709 6,228 7,913 9,783 11,859 14,164 16,722
12
1,000 2,120 3,374 4,779 6,353 8,115 10,089 12,299 14,776 17,549
13
1,000 2,130 3,407 4,849 6,480 8,323 10,405 12,757 15,416 18,419
14
1,000 2,140 3,439 4,921 6,610 8,536 10,730 13,233 16,085 19,337
15
1,000 2,150 3,473 4,993 6,742 8,754 11,067 13,727 16,786 20,304
9
10
11,491 13,181
Таблица 4
Формирование фонда возмещения (начисление ежегодное)
Процент
1
2
3
4
Год
5
6
7
8
9
10
6
1,000 0,485 0,314 0,229 0,177 0,143 0,119 0,101 0,087 0,076
7
1,000 0,483 0,311 0,225 0,174 0,139 0,116 0,097 0,083 0,072
35
Процент
1
2
3
4
Год
5
6
7
8
9
10
8
1,000 0,481 0,308 0,222 0,170 0,136 0,112 0,094 0,080 0,069
9
1,000 0,478 0,305 0,219 0,167 0,133 0,109 0,090 0,077 0,066
10
1,000 0,476 0,302 ,0215 0,164 0,129 0,105 0,087 0,073 0,062
11
1,000 0,474 0,299 0,212 0,161 0,126 0,102 0,084 0,071 0,059
12
1,000 0,472 0,296 0,209 0,157 0,123 0,099 0,081 0,068 0,057
13
1,000 0,469 0,294 0,206 0,154 0,120 0,096 0,078 0,065 0,054
14
1,000 0,467 0,291 0,203 0,151 0,117 0,093 0,076 0,062 0,052
15
1,000 0,465 0,288 0,200 0,148 0,114 0,090 0,072 0,059 0,049
Таблица 5
Текущая стоимость единицы (начисление ежегодное)
Процент
1
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
36
2
3
4
Год
5
6
7
8
9
10
0,943 0,889 0,839 0,792 0,747 0,705 0,665 0,627 0,592 0,558
0,935 0,873 0,816 0,763 0,713 0,666 0,623 0,582 0,544 0,508
0,926 0,857 0,794 0,735 0,681 0,630 0,583 0,540 0,500 0,463
0,917 0,842 0,772 0,708 0,649 0,596 0,547 0,502 0,460 0,422
0,909 0,826 0,751 0,683 0,621 0,564 0,513 0,467 0,424 0,386
0,900 0,812 0,731 0,659 0,593 0,535 0,482 0,434 0,391 0,352
0,893 0,797 0,712 0,636 0,567 0,507 0,452 0,404 0,361 0,322
0,885 0,783 0,693 0,613 0,543 0,480 0,425 0,376 0,333 0,295
0,877 0,769 0,675 0,592 0,519 0,456 0,399 0,351 0,308 0,269
0,869 0,756 0,658 0,572 0,497 0,432 0,376 0,327 0,284 0,247
Таблица 6
Текущая стоимость аннуитета (начисление ежегодное)
Процент
1
2
3
4
Год
5
6
7
8
9
10
0,943 1,833 2,673 3,465 4,212 4,917 5,582 6,209 6,802 7,360
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,935 1,808 2,624 3,387 4,100 4,767 5,389 5,971 6,515 7,023
0,926 1,783 2,577 3,312 3,993 4,623 5,206 5,747 6,247 6,710
0,917 1,759 2,531 3,239 3,889 4,486 5,033 5,535 5,995 6,418
0,909 1,736 2,487 3,169 3,791 4,355 4,868 5,335 5,759 6,145
0,900 1,713 2,444 3,102 3,696 4,231 4,712 5,146 5,537 5,889
0,893 1,690 2,402 3,037 3,605 4,111 4,564 4,968 5,328 5,650
0,885 1,668 2,361 2,974 3,517 3,998 4,423 4,799 5,132 5,426
0,877 1,647 2,322 2,914 3,433 3,889 4,288 4,639 4,946 5,216
0,869 1,626 2,283 2,855 3,352 3,784 4,160 4,487 4,177 5,019
Таблица 7
Взнос на амортизацию единицы (начисление ежегодное)
Процент
1
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
Год
5
6
7
8
9
10
1,060 0,545 0,374 0,289 0,237 0,203 0,179 0,161 0,147 0,136
1,070 0,553 0,381 0,295 0,244 0,209 0,186 0,167 0,153 0,142
1,080 0,560 0,388 0,302 0,250 0,216 0,192 0,174 0,160 0,149
1,090 0,568 0,395 0,309 0,257 0,223 0,199 0,181 0,167 0,156
1,100 0,576 0,402 0,315 0,264 0,229 0,205 0,187 0,174 0,163
1,110 0,584 0,409 0,322 0,271 0,236 0,212 0,194 0,181 0,169
1,120 0,591 0,416 0,329 0,277 0,243 0,219 0,201 0,188 0,177
1,130 0,599 0,423 0,336 0,284 0,250 0,226 0,208 0,195 0,184
1,140 0,607 0,431 0,343 0,291 0,257 0,233 0,216 0,202 0,192
37
Процент
1
2
3
Год
5
6
4
7
8
9
10
1,150 0,615 0,438 0,350 0,298 0,264 0,240 0,223 0,209 0,199
15
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1
Семья купила квартиру с привлечением кредита. При
оформлении сделки она заплатила фирме 30 %, остальную сумму обязалась выплатить в течение определенного времени. Какова сумма ежегодных выплат?
Показатели
Срок кредита,
лет
Стоимость квартиры, тыс. руб.
1
2
3
4
7
5
9
4
Варианты
5
6
5
6
7
8
9
10
8
7
4
10
2010 2563 1984 3002 2654 2489 1874 2894 2648 3106
Ставка по кредиту, % в год
7
15
14
13
6
8
9
12
11
10
Задача 2
Определить стоимость объекта оценки в конце планируемого периода, при известной рыночной стоимости и ежегодном
росте на данном сегменте рынка?
Показатели
1
Планируемый
период, лет
38
2
5
3
7
Варианты
5
6
7
4
2
4
7
9
8
3
9
10
10
6
8
Показатели
1
2
3
Стоимость
объекта сего- 150,2 130
дня, тыс. руб.
Ежегодный
5
3
рост, %
Варианты
5
6
7
4
8
9
10
140 100,3 90 110,3 120 140,8 160 90,5
9
7
4
8
6
5
10
4
Задача 3
Организация планирует провести реконструкцию цеха.
Для этого открыт отдельный счет с начислением процентов.
Какую сумму необходимо ежегодно в течение семи лет перечислять в банк?
Показатели
Процентная
ставка, %
Стоимость
реконструкции, тыс.
руб.
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
15
6
9
13
10
11
7
14
12
8
200
0
250
6
320
2
380
5
310
8
230
9
290
3
350
7
260
6
340
5
Задача 4
Инвестор планирует купить дом и продать его через определенное время. При условии ежегодного роста недвижимости.
Какую максимальную сумму он может заплатить за дом сегодня?
Показатели
Варианты
5
6
1
2
3
4
Период пользования, год
10
9
5
8
4
Рост недвижимости, %
10
8
7
6
11
7
8
9
10
2
3
6
7
1
15
13
12
14
9
39
Показатели
1
Предполагаемая
стоимость продажи, тыс. руб.
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
425 328 396 346 405 498 372 454 352 379
Задача 5
Какую сумму необходимо перечислить на депозит, что бы
затем ежегодно снимать по определенной сумме?
Показатели
Ежегодная
сумма, тыс.
руб.
Ставка по депозиту, % в
год
Срок депозита, лет
Варианты
5
6
1
2
3
4
7
8
9
10
250
285
220
266
301
257
183
214
368
243
15
7
11
14
6
8
13
10
19
12
5
10
6
7
4
3
8
2
9
10
Задача 6
Вы сдаете квартиру, деньги ежегодно поступают к вам на
счет под проценты. Какая будет сумма на счете через заданное
время?
Показатели
Период сдачи
квартиры, лет
Сумма ежегодных выплат, тыс.
руб.
Ставка, % в
год
40
1
2
3
4
Варианты
5
6
7
8
9
10
3
4
5
7
8
4
9
6
2
10
300
350
220
280
180
330
290
310
240
280
6
12
14
7
10
8
13
11
9
15