Финансовая математика

Финансовая
математика
В результате инвестиций происходит наращение вложенной суммы
и образуется доход который удобно измерять в %..
Задача. Фирма приобрела
вексель за 2 млн, руб., по которому в
последствии продала за 3 млн. руб. Какова процентная доходность
сделки?
Решение: На вложенные I0=2 млн получен прирост ∆I=1млн. т.е. рост
исходной суммы составил ∆I / I0=0.5 (или 50% от вложенной суммы)
Задача. Торговая компания купила в январе 80 столов по цене 500
руб. и 50 шкафов по цене 1000 руб. за шт. Торговая наценка для
столов 20%, для шкафов 15%. Сколько процентов прибыли получила
компания от продажи всей мебели?
Общие затраты 80*500+50*1000=90 000
Валовая выручка 80*500*1.2+50*1000*1.15=105 500
Прибыль 105 500-90 000=15 500 руб.17.22% от общих затрат.
15500
100% = 17,22%
90000
Период доходности
Применительно к инвестициям нужно различать
• общую доходности за весь период проекта;
• годовую доходность (может различаться по
годам);
• среднегодовую, среднеквартальную,
среднемесячную и т.д.
Номинальная и реальная доходность
1. В банковской сфере часто используют понятие номинальной
доходности, как один из параметров кредитования. Реальная или
эффективная доходность таких операций зависит не только от
номинального %, но и от способа его начисления (базы начисления) и
периода начисления.
Для сравнения такие данные удобно приводить к единой форме:
годовой сложный %, с выплатой дохода раз в год. Этот приведённый
процент называют реальной или эффективной ставкой.
2. Реальной доходностью так же называют доход отчищенный от
инфляции
( 1+iн ) = ( 1+iр ) ( 1+iинф )
Пример: доходность банковского депозита составляет 12% при
уровне инфляции 10%. Оценить реальную доходность депозита.
(1+0,12)=(1+iр)(1+0,1) → iр=0,0181 или 1,81%
Кредиты и депозиты
Сумма всех выплат инвестору (сумма долга + дивиденды, сборы, взносы и
т.д.) называют наращенной суммой (S).
Размер и и форма выплат может сильно различаться. Обычно выплаты
рассчитывают как определённый процент от базы (исходной суммы, остатка
долга, средней величины суммы долга и т.д.). Обычно используют простой
или сложный процент.
Для простых процентов S=I0+∑dt = I0+I0*i*T = I0 (1 + i T), где i- годовая %
ставка на вложенный капитал, Т- годы
Задача. Фирма вложила 1млн в под 20% годовых от исходной суммы
(простой %). Определить размер выплаченных процентов через 3,5 года.
Решение: 1млн*0.2*3,5 года = 0.7 млн.
Задача. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 4%
простых в год, чтобы накопить 5000 у.е. за 3 года.
Решение: 5000=I0 (1+0.04*3) → I0=4464 у.е.
Для простых процентов не важно сколько раз в год они начисляются: 30%
годовых 1 раз в год тоже самое, что 2 раза по 15% годовых.
Сложный процент
Многократное начисление процентов с учётом капитализации %
дохода. Метод предполагает реинвестирование и его применяют в
долгосрочных проектах (больше года).
Задача. Фирма вложила 1 млн в под 20% годовых с
капитализацией. Период начисления % -1 год. Сколько фирма получит
через три года?
Решение: (1*(1+0,2)) * (1+0.2) ) * (1+0,2)=1.725 млн.
Для сложных процентов S= I0+∑dt=I0(1+i1)(1+i2)*…*(1+iT) = I0 (1+i)T
В реальных кредитных договорах указывают годовую (номинальную)
ставку и число периодов начисления % за год (m) поэтому
i 

S = I 0 1 + 
 m
T ⋅m
Задача. Фирма берёт кредит 100 тыс. руб. на 2 года Условия
кредитования: 10% годовых, сложные проценты,
ежеквартальное. Определить размер наращенной суммы.
Решение:.
2⋅4
 0.1 
S = 1001 +

4


= 100 ⋅1,22 = 122
начисление
Выбор лучших условий кредитования и расчёт
эффективной ставки
Задача. Выбрать более выгодное предложение для размещения
депозитов на срок 2 года
а) 18% сложных, начисление ежеквартальное,
б) 16% сложных, начисление ежемесячное
в) 19% простых
Решение:
 0.18 
S а = I 0 1 +

4 

2⋅4
 0.16 
= 1,42 ⋅ I 0 ; S б = I 0 1 +

12 

2⋅12
= 1,37 ⋅ I 0 ; S в = I 0 (1 + 0,19 ⋅ 2) = 1,38 ⋅ I 0
Эффективная ставка
 iн 
S = I 0 1 + 
 m
4
T ⋅m
= I 0 (1 + iэф ) ⇒ iэф
 0.18 
iэф ( а ) = 1 +
 − 1 = 0,1925
4 

T
m
 iн 
= 1 +  − 1
 m
12
 0.16 
iэф ( б ) = 1 +
 − 1 = 0,1723
12 

Сроки кредитования
S= I0 (1 + i T)
S= I0 (1+i)T
Ставка должна по периоду соответствовать времени:
если Т- годы, то i- годовая доходность;
если Т-месяцы, то i- месячная доходность
Задача. Годовая доходность составляет 20%. Сколько составляет
средний месячный доход?
Решение: S= I0 (1+iгод)1= I0 (1+iмес)12
(1 + 0,2)1 = (1 + iмес )12 ⇒ iмес = 12 (1 + 0,2) − 1 = 0.0153
или 1,53%
Задача. Месячный доход составляет 2%. Сколько составляет
квартальный доход?
Решение: S= I0 (1+iмес)3= I0 (1+iкв)1
S = I 0 (1 + iмес ) = I 0 (1 + iкв ) ⇒ iкв = (1 + i мес ) − 1 = 1,023 − 1 = 6,12%
3
1
3
Определение сроков ссуды
Обычно Т- годы или доля от года. Длительность года считают двумя способами:
а) год равен 365 дней (Американский метод, точный процент);
б) год равен 12 мес * 30 дней=360 дней (Европейский метод, коммерческий %).
Длительность ссуды можно рассчитывать различно:
а) точно в днях согласно календарю
б) приближённо на основе: каждый полный месяц принимается 30 дней
(Европейский метод): 31 число считается 30 числом.
Пример: кредит выдается 10 марта со сроком возврата 17 июня. Длительность
ссуды это количество полных дней + день выдачи и день возврата кредита как один
день.
Срок кредита точно
Срок кредита приближённо
21 день в марте
+ 30 дней в апреле
+ 31 день в мае
+ 16 дней в июне
+ 1 граничный день
= 99 дней.
21 день в марте
+ 2 полных месяца* 30дней
+ 16 дней в июне
+ 1 граничный день
=98 дней.
Задача: ссуда в размере 10 млн. рублей выдана 1 мая с.г на 1,5 года.
под 12% (простая процентная ставка).
Рассчитать размер выплачиваемых процентов при различных
методах исчисления сроков
а) точные проценты с точным числом дней,
б) обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды,
в) обыкновенные проценты с приближенной длительностью ссуды
Решение:
Точная длительность ссуды с 1.05.11 по 1.10.12 составляет по
календарю 244 дня; приближенная длительность 241 день (6 * 30 +
30май + 30дек + 1).
а) 10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. рублей
б) 10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. рублей
в) 10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. рублей
Аннуитеты (финансовая рента)
Часто одинаковые платежи осуществляются через равные промежутки
времени (выплата задолженности, лизинговые платежи, аренда, отчисления в
фонды…). Ряд последовательных фиксированных платежей через равные
промежутки времени называю аннуитетом или финансовой рентой.
Пример: фирма создаёт инвестиционный фонд. С этой целью в течение
5 лет в конце каждого год в банк вносятся 50,0 млн. руб., под 20% годовых с
последующей капитализацией (% начисляется ежегодно).
(1 + i / m) − 1
S=R
n ⋅ [(1 + i / m) m / n − 1]
mT
R- общая сумма рентных платежей за год,
Т- срок действия ренты, годы
m- число периодов начисления % за год
n- число рентных платежей за год.
Дисконтирование рент
Приведение позволяет найти денежную сумму А, которая будучи
положенная в банк на период Т под i с ежегодным начислением процента
(m=1) даст тоже значение S
(1 + i / m) − 1
T
S=R
= A(1 + i )
m/n
n ⋅ [(1 + i / m) − 1]
mT
1
1−
T ⋅m
(1 + i / m)
A= R
n ⋅ [(1 + i / m) m / n − 1]
Капитализация бесконечных
денежных потоков
CF1=CF2=CFn
Бесконечные постоянные потоки экономических выгод (перпетуитеты)
поводятся к настоящему времени по формуле:
T
V = lim ∑
T →∞
t =1
CF
CF
=
(1 + i ) t
i
Формула применима при относительной стабилизации величины СF
Задача
Задача: Фирма запланировала за 3 года сформировать фонд
модернизации ОПФ. Выберете наиболее выгодный вариант
заключения контракта с банком.
а) 20% годовых, начисление ежеквартально, платежи по
полугодьям
б) 20% годовых, начисление по полугодиям, платежи
ежеквартально
Решение:
а) kA=2.162,
б) kA=2.233.
Вариант «а» выгоднее.
Задачи
• Задача 1. Товар закуплен за 200 тыс., реализован за 250 тыс. Каков
процентный доход от сделки?
• Задача 2. Фирма вложила 1 млн. в под 20% (простых) Определить
наращенную сумму через 2 года.
• Задача 3. В банк, выплачивающий 20% годовых (сложных),
положили 10 000 руб. Приблизительно через сколько лет эта сумма
удвоиться ?
• Задача 4. Ссуда в размере 100 000. руб. выдана 10 января с
возвратом 10 марта под 20% (простых). Оценить затраты на
обслуживание долга (тыс. руб.) если расчёт длительности
производится на условиях точных процентов с точным числом дней.
• Задача 5. Фирма вложила 100 000 на условиях сложных процентов
при условии, что процентная ставка в первый год 10%, второй- 12%.
Определить накопленную сумму через 2 года.
Задачи
•
Задача 6. Фирме требуется на 2 года разместить на депозите 100 000 тыс.
руб. Выбрать наилучшее предложение:
•
а) 12 % сложных, начисление раз в год
•
б) 10 % сложных, начисление по полугодиям.
•
Задача 7. На сколько возрастёт реальная доходность депозита
положенного на 2 года под 20 % (сложных) если периодичность начисления
процентов изменится с одного года до двух раз в год (по полугодиям)?
•
Задача 8. Инфляция по месяцам составила 10, 12 и 13 %. Найти инфляцию
за квартал.
•
Задача 9.Фирма каждые полгода перечисляет на депозит 10 000 руб. Какая
сумма накопится через 3 года, если на вклад начисляется 20% (сложных),
начисление ежегодное?
•
Задача 10. Фирме необходимо накопить за два года 1 млн. Для этого она
планирует в течение года перечислять на счёт определённую суммы.
Выберете более выгодный вариант для накопления при условии, что
годовая величина рентных платежей не меняется.
•
а) 10 % (сложных) платежи и начисление процентов раз в год
•
б) 10 % (сложных) платежи и начисление процентов по полугодиям