Создание эффективной модели эволюции цен активов

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 142–150
Информатика
УДК 519.865
Создание эффективной модели эволюции
цен активов
А.П. Анненков
Аннотация. В рамках статистического подхода к эволюции цен
активов обосновывается вывод о том, что предсказания будущих
значений цен возможно в статистическом смысле. Для достижения
цели эффективной оценки будущих значений цен на активы создается новая математическая модель (Non-stationary volatility model —
модель с нестационарной волатильностью). Основой для создания
данной модели послужила волновая теория Эллиота.
Ключевые слова: эволюция цен активов, статистическая оценка,
справедливая стоимость.
Введение. Сложившаяся в мире кризисная ситуация и резкое падение
мирового фондового рынка летом-осенью 2008 года диктует необходимость
более точного прогнозирования эволюции цен активов. Проанализировав текущую ситуацию с моделями эволюции цен, автор пришел к выводу, что они
не позволяют должным образом предсказывать поведение цен в будущем.
Например, существуют модели, которые говорят, что лучшей статистической оценкой будущей нормированной цены является ее текущее значение.
Очевидно, что процесс изменения цен является нестационарным случайным
процессом, поэтому подобные модели не применимы в реальной обстановке
рынка. В настоящем исследовании разрабатывается новая модель эволюции
цен активов, которая позволит более точно предсказывать поведение цен
в будущем. Это делается на основе волновой модели Эллиота. Как показывает практика, движение цен происходит волнообразно, причем характер
изменения цен на большем временном масштабе повторяет характер изменения на малом масштабе. В финансовой математике это явление называется
фрактальностью. Следовательно, для финансовых аналитиков появляется
возможность более точного предсказания будущего поведения цен. Автор
проанализировал существующую литературу и ему не удалось найти стройной математической формализации волновой теории Эллиота. В литературе
присутствует качественное словесное ее описание. Так как предсказание цен
в данном исследовании осуществляется на основе компьютерного моделирования, то необходимо создать математическую модель волновой теории Эл-
Создание эффективной модели эволюции цен активов
143
лиота и использовать ее в создаваемой нами модели эволюции цен активов.
В современном финансовом мире с последней четверти прошлого столетия
прочное место заняли опционы. Опционами называют ценные бумаги дающие право их владельцам купить или продать актив по заранее оговоренной
цене. Более точное определение справедливой стоимости опционов поможет
определить является ли текущая рыночная их стоимость переоцененной или
недооцененной. Вложение в недооцененные активы позволяет увеличить прибыльность портфеля, поэтому необходимо их точное определение. Модели
эволюции цен активов разрабатываются постоянно, поэтому создание новых
моделей будет всегда актуально. Разработанная нами модель эволюции цен
активов станет очередным этапом в развитии финансовой математики.
Финансовая математика по многим направления заложила фундамент
статистической оценки будущего поведения цен. Следует отметить также
вклад ученых над разработкой моделей экономического равновесия. Как показывает эмпирический анализ, цены на активы то совершают незначительные колебания вокруг равновесного значения, то за короткий промежуток
времени изменяются и приходят к новому равновесному значению.
Большой вклад в разработку механизмов макроэкономического равновесия внесли классики экономической мысли: А. Смит, Дж. Кейнс, Ф. Тейлор,
Л. Вальрас, Р. Лайкерт, Ш. Фурье. Данное научное направление разрабатывается и современными учеными, среди которых особое признание получили
М. Алле, И.Р. Пригожин, В-Б. Занг, И. Стенгерс, В.В. Леонтьев и др.
Также следует отметить вклад ученых, создавших теорию вероятности,
математическую статистику и теорию случайных процессов, являющимися
основой финансовой математики: Б. Паскаль, П. Ферма, Х. Гюйгенс, А.Н.
Колмогоров, А.Я. Хинчин, Е.Е. Слуцкий, Н. Винер и др.
В развитие моделей эволюции цен активов внесли свой вклад следующие
ученые: Р. Энгель (авторегрессионная модель условной неоднородности),
Т. Борреслев (обобщенная модель условной неоднородности), Дж. Коксом,
С. Россом и М. Рубинштейном (модель Кокса–Росса–Рубинштейна) и т.д.
Однако анализ идей и концепций, разработанных этими и другими учеными, показал, что прогнозирование будущих цен не рассматривается ими
в качестве инструмента увеличения прибыльности портфеля, как следствие,
процесс принятия решения об инвестировании в тот или иной портфель
становится затруднительным. При этом научные разработки и компьютерные инструментальные средства, поддерживающие данный процесс, сегодня
развиты недостаточно. Причина такого положения дел кроется в несовершенстве моделей и методов, ориентированных на решение подобного рода
задач.
Эта причина рассматривается нами как фактор, обусловливающий необходимость поиска новой модели эволюции цен активов, которая может быть
использована для управления и увеличения доходности портфеля инвестиций, а также создание на ее основе программных средств принятия решения
об инвестировании в тот или иной портфель инвестиций.
144
А.П. Анненков
Слабо проработанным является обоснование возможности адекватного
предсказания поведения цен в будущем. Это обусловлено тем, что системы
предсказания будущих изменений цен основаны на качественных, а не количественных моделях, например, на волновой теории Эллиота. В результате
финансовым аналитикам приходится опираться на анализ прошлого поведения цен и делать предположение, что цены в статистическом смысле будут
иметь те же характеристики. Очевидно, что в реальных условиях рынка
характеристики цен также претерпевают изменение.
В отличие от разработанных методик оценки характеристик вероятностных распределений цен активов апостериори методики предсказания вероятного движения цен в будущем слабо разработаны. В данной работе мы
примем фрактальную гипотезу эволюции цен на активы. Понятие фрактальности означает, что цены на большом временном масштабе повторяют
поведение цен на малом временном масштабе. Примером описания фрактальности эволюции цен на активы может послужить волновая теория Ральфа
Нельсона Эллиота, сформулированная в монографии «Волновой принцип»
в 1938 г. Рассмотрим представленный в [1,2] волновой прицип Эллиота. Его
графической иллюстрацией может послужить следующая иллюстрация:
Рис. 1. Волновой принцип Эллиота
Как видно на иллюстрации волны более крупного временного масштаба
состоят из волн более мелкого. В основе Волновой теории Эллиотта лежит
некоторая постоянная циклическая закономерность в поведенческой психологии людей. Согласно Эллиотту поведение рыночных цен можно четко
определить и выделить на графике в виде волн (волна — это ясно различимое
ценовое движение). Волновая Теория Эллиотта гласит, что рынок может
находиться в двух широких фазах — бычий рынок и медвежий рынок.
Также Эллиот предполагает, что все движения цен на рынке разбиваются на:
Создание эффективной модели эволюции цен активов
145
— пять волн в направлении основного тренда (на рис. 2 волны 1–5);
— три волны в обратном направлении (на рис. 2 волны A, B, C).
Как показано в литературе по волновой теории Эллиота вся «математика» волн сводится к подсчету относительных длин волн. Очевидно, что
этого недостаточно для количественного описанию стохастического процесса, которым является эволюция цен на активы. Как следствие, он, как и
большинство других методов, помогает анализировать прошлые движения
цен активов, а не предстоящие. Получив модель эволюции цен активов, мы
без труда можем найти справедливую стоимость опционов на данный актив.
Например, справедливая стоимость колл-опциона будет рассчитываться по
следующей формуле:
PC = E T (St − C),
(1)
где PC — цена колл-опциона, E T — математическое ожидание с начала
наблюдения до момента времени t = T , St — стохастический процесс, описывающий движения цен активов, C — страйк опциона (цена, по которой будет
куплен актив в случае исполнения опциона). Более точное определение цены
опционов позволит находить недооцененные опционы из массы представленных на бирже и получать дополнительную прибыль.
В качестве индикатора качества модели эволюции цен активов возьмём
простую и имеющую ясный физический смысл величину:
ΩN =
N
1 X
(Sn − Pn )2 ,
N2
(2)
n=1
где Sn — прогноз цены в момент n; Pn — реальная цена в момент n; N —
число разбиений временного интервала.
Как видно из формулы, величина ΩN показывает средний квадрат отклонений прогноза цены от ее реального значения. Согласно [5] ряд ΩN является
сходящимся, поэтому для бесконечно малого шага разбиения временного
интервала имеем:
N
1 X
Ω = lim
(Sn − Pn )2 .
(3)
N →∞ N 2
n=1
Основной результат. Как показывает эмпирический анализ эволюции
цен активов, цены большую часть времени совершают колебания вокруг
определенного значения, а потом за относительно короткий промежуток времени изменяются на значительную величину. Это говорит о том, что процесс
изменения цены нестационарен, т.е. математическое ожидание и дисперсия
доходностей меняется со временем. Воспользуемся методикой представления
цен активов, рассмотренной в [4]. Пусть Sn — цена актива в момент n. По
формуле сложных процентов имеем:
Sn = S0 eHn ,
(4)
146
А.П. Анненков
где Hn — доходность актива за n периодов; Hn = h1 + . . . + hn . Здесь hi
доходности в периоды i. Следовательно
Sn
Sn
, hn = ln
.
Hn = ln
(5)
S0
Sn−1
Рассмотрим обобщенную авторегрессионную модель условной неоднородности (GARCH), рассмотренную в [3,4]. Считая µn = E(hn |Fn−1 ) = 0, будем
предполагать
p
q
X
X
2
σn2 = E(h2n |Fn−1 ) = α0 +
αi h2n−i +
βj σn−j
.
(6)
i=1
j=1
Модель GARCH это последовательность hn таких, что
hn = µn + σn εn .
(7)
В качестве прототипа разрабатываемой модели возьмем измененную
GARCH модель с µn = a0 + a1 hn−1 + . . . + ar hn−r , с заданными изначально
(h1−r , . . . , h0 ). Тогда для доходностей hn имеем:
Ã
!
p
q
X
X
2
hn = a0 + a1 hn−1 + . . . + ar hn−r + α0 +
αi h2n−i +
ε. (8)
βj σn−j
i=1
j=1
Назовем модель (8) MGARCH (Modified GARCH). Как показывает эмпирический анализ эволюции цен, цены в какой-то период времени совершают
колебания возле определенного значения, а затем за короткий промежуток
времени изменяются на значительную величину. Это большое изменение
происходит за счет увеличения волатильности цен, которая определяется
величиной σn . Следовательно, в некоторые случайные моменты времени
волатильность значительно увеличивается, а затем уменьшается. Введем
коэффициент К такой, что
½
c1, t = tj , j ∈ (1, . . . , N )
K=
.
(9)
3, t = ti , i ∈ (1, . . . , N ) i 6= j
Без ограничения общности, мы положили значения К в момент резкого
увеличения волатильности равное 3. Безусловно, в дальнейшем имеет смысл
обобщить нашу модель. Но данное обобщение качественно на результат настоящего исследования не влияет. Тогда для значений hn в нашей модели
имеем:
Ã
!
p
q
X
X
2
2
hn = a0 + a1 hn−1 + . . . + ar hn−r + K α0 +
αi hn−i +
βj σn−j ε. (10)
i=1
j=1
Как видно из формулы, данная модель является синтезом обобщенной
GARCH и модели с дискретным вмешательством случая, с той лишь разницей, что в модели с дискретным вмешательством случая изменяется цена, а
в нашей модели — волатильность.
Создание эффективной модели эволюции цен активов
147
Для расчета справедливой цены опциона необходимо задать число периодов, провести моделирование эволюции цен и рассчитать следующее математическое ожидание:
Pc = E(Sn − C)+ .
(11)
Здесь Pc — справедливая цена колл-опциона, Sn — цена актива в момент n
исполнения опциона, C — страйк. Обозначение (Sn − C)+ :
½
cSn − C, Sn > C
+
(Sn − C) =
.
(12)
0, Sn < C
Моделирование осуществляется в системе Matlab. Для сравнения данных
необходимо провести сначала моделирование для обобщенной GARCH модели, а затем для нашей модели.
Рассмотрим более подробно механизм вычисления коэффициента К. Для
его вычисления необходимо решить следующие задачи:
— выбрать момент останова
— выбрать число периодов, во время которых волатильность будет иметь
большее значение.
Так как волатильность изменяется скачкообразно в случайный момент
времени, то данный момент можно определить на основе сравнения значения, полученного генератором случайных чисел и некого эталонного значения. Без ограничения общности, положим, что наступил момент скачкообразного увеличения волатильности, когда генератор случайных чисел выдал
неотрицательное число.
Число периодов повышенного значения волатильности определим следующим образом. Как показывает практика, основное движение цен осуществляется от 1 до 10 периодов. Возьмем генератор равномерного распределения, который выдает величину, лежащую на отрезке [0,1]. Разобьем
данный отрезок на 10 равных частей. Если величина принадлежит интервалу
[0,0.1), тогда число периодов равно 1, если — интервалу [0.1,0.2), тогда число
периодов равно 2 и т.д. Безусловно, существует множество методов задания
числа периодов. В настоящей работе мы выбрали, без ограничения общности,
один из них. Приведем результаты моделирования в графическом виде.
На рис. 2 представлен пример результат моделирования для MGARCH
модели.
На рис. 3 представлен пример моделирования для модели (1). Как видно
из рис. 3 цена большую часть времени совершает колебания возле определенного значения, а потом за короткое время изменияется на значительную
величину. Назовем модель (1) моделью с нестационарной волатильностью
(non-stationary volatility model — NSVM).
Для того, чтобы доказать превосходство модели (1) над обобщенной
GARCH необходимо провести серию экспериментов. Возьмем реальные значения цен на акцию. Согласно математической статистике одна модель дает
более эффективную оценку, чем другая, если величина (3) для первой из
148
А.П. Анненков
Рис. 2. MGARCH
Рис. 3. NVSM
двух моделей меньше, чем для второй. Покажем экспериментально, что для
модели NSVM величина (3) меньше, чем для модели MGARCH.
Эксперимент будем проводить для MGARCH(p,q) и NSVM(p,q) моделей
различных порядков: (1,1), (3,3), (5,5), (10,10).
Результаты эксперимента √
для наглядности приведем в табл. 1. В ней
приведем значения величины ΩN , имеющую размерность долларов.
Табл. 1 наглядно показывает превосходство NSVM над MGARCH.
Создание эффективной модели эволюции цен активов
149
Таблица 1
Результаты эксперимента
Порядок
(1,1)
(3,3)
(5,5)
(10,10)
MGARCH(p,q)
2,34
2,27
2,03
1,97
NSVM(p,q)
2,05
1,86
1,57
1,43
Автор выражает благодарность профессору, доктору экономических наук
Уринцову Аркадию Ильичу за помощь в подготовке данной статьи.
Список литературы
1. Технический анализ. Курс для начинающих. М.: Альпина Паблишерз, 2009.
184 c.
2. Джеральд А. Технический анализ. Эффективные инструменты для активного
инвестора. СПб: Питер, 2007. 304 c.
3. Duan J.C. The GARCH Option Pricing Model // Mathematical Finance. 1995. V.5.
P.13–32.
4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. М.: Фазис,
1998. 489 с.
5. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Т. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 2005. 584 с.
Анненков Александр Петрович (annenkov.alexander@gmail.com), аспирант, Евразийский Открытый Институт.
Creating of effective assets prices evolution model
A.P. Annenkov
Abstract. Using statistical approach to assets prices evolution we make a
conclusion that it is possible to predict statistically future prices. To achieve
effective evaluation of future assets prices we create a new mathematical model
of assests prices evolution — NSVM (Non-stationary volatility model). The basis
of creating of this model is the wave theory of Elliot.
Keywords: assets prices evolution, statistical estimation, fair value.
Annenkov Alexander (annenkov.alexander@gmail.com), postgraduate student, Eurasian Open Institute.
Поступила 26.03.2010