Модельный расчёт оптимального портфеля ценных бумаг

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Модельный расчёт
оптимального портфеля ценных
бумаг
Методические указания и индивидуальные задания
по разделу «Теория вероятностей
и математическая статистика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ
2001
Утверждено учебно-методическим советом университета.
Модельный расчёт оптимального портфеля ценных бумаг. Методические указания и индивидуальные задания по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика». — СПб.: Изд-во СПбГУЭФ,
2001. – 24 стр.
Методические указания и индивидуальные задания по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначены для
студентов II курса дневной, вечерней и заочной форм обучения как
практическое пособие при изучении главы «Математическая статистика».
Составитель:
канд. физ.-мат. н., доц. В. Ю. Дорофеев.
Рецензент:
канд. физ.-мат. н., с. н. с. Н. Г. Докучаев.
c Издательство
°
Санкт-Петербургского
государственного
университета
экономики и финансов
2001
— 3
—
Введение
Финансовый рынок – это рынок, где товаром являются деньги и ценные
бумаги. Основные виды ценных бумаг – это облигации, акции, фьючерсы, опционы и т. д. Субъектами рынка являются эмитенты, инвесторы и посредники. При всей сложности и разнообразии финансового
рынка цель любого его участника проста – приумножение капитала.
Один из способов увеличения капитала – получение выгоды при инвестировании денежных средств в ценные бумаги.
Данные методические указания предлагают разобраться на одном
модельном примере – как, применяя методы теории вероятностей, составить оптимальный портфель ценных бумаг.
1
Эффективность ценных бумаг
Простейший вид финансовой сделки – предоставление некоторой суммы
S(t) с условием, что через время ∆t будет возвращена сумма S(t + ∆t).
S(t + ∆t) − S(t)
В этом случае вводят относительный рост, ηt =
или доS(t)
ходность, которую, как правило, выражают в процентах (тогда вместо
доходности говорят о ставке процента).
Обычно в условиях сделки указывается доходность за базовый период T , равный году. Например, пусть выдан кредит в сумме S(t) = 4
млн руб. на ∆t = 3 месяца под η = 60% годовых. Тогда сумма погасительного платежа S(t + ∆t) равна:
S(t + ∆t) = S(t)(1 + ηt ) = S(t)(1 +
∆t(мес.)
η
·
(год))
T (мес.) 100%
(1)
или, подставляя в (1) заданные значения, получим:
S(t + ∆t) = 4(1 +
3 60%
·
) = 4.6 млн руб.
12 100%
В данном случае показателем эффективности сделки служит ставка
процента η. В случае активного участия на рынке ценных бумаг промежуток ∆t мал, тогда вместо (1) получим:
η
∆S(t) = S(t) ∆t = S(t)a∆t,
T
(2)
— 4
—
где ∆S(t) = S(t + ∆t) − S(t). Если вложения безрисковые, то эффективность a постоянна; в том же случае, если она определяется случайными
факторами – эффективность случайна и распределена по заранее неизвестному закону. Если закон распределения эффективности – нормальный, то по нормальному закону распределено отношение ∆S(t)/S(t)1
– такие распределения S(t) называются логарифмически-нормальными
(или лог-нормальными). Оказывается, что стоимости ценных бумаг на
реальном рынке имеют ещё более сложное уравнение, чем (2). Например, в (2) добавляют Винеровский процесс Z(t):
∆S(t)/S(t) = a(t)∆t + b(t)∆Z,
(3)
получая уравнение Ито, где a(t) и b(t) – некоторые постоянные. Однако рассмотрение уравнений (2-3) увело бы нас далеко в сторону – в
увлекательную область финансовой математики (как, сидя за столом и
имея определённый начальный капитал, из денег делать всё больше и
больше денег!).
2
Распределения капитала по видам ценных
бумаг
Договоримся, что весь капитал составляет единицу. Пусть xi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида, ηi – случайная
эффективность ценных бумаг i-го вида или просто i-ая эффективность.
Будем считать известным математическое ожидание i-й эффективности
M ηi = ai и вариацию σij между i-ой и j-ой эффективностями. Рискованность ценной бумаги i-го вида отождествим с её средним квадрати√
ческим отклонением σi = σii . (В самом деле, чем больше риск, тем
больше неопределённость эффективности, тем больше рассеяние её значений, то есть дисперсия.)
Набор ценных бумаг называется портфелем. Эффективность портn
X
феля в оговоренных обозначениях равна ηp =
xi ηi , а ожидаемое
i=1
значение эффективности отождествим с его математическим ожиданиn
X
ем M ηp =
xi ai = ap . Соответственно дисперсия портфеля равна
i=1
1 так
как ∆S(t)/S(t) = ∆ log S(t).
— 5
Dηp =
n
X
xi xj σij , а σp =
p
—
Dηp – риск портфеля.
i,j=1
1o . Независимые ценные бумаги. Пусть ценные бумаги различных видов независимы и в них вкладываются равные суммы денег, то
есть xi = 1/n и при i 6= j, σij = 0. Найдём ожидаемую эффективность
ap и риск σp портфеля:
ap =
n
X
n
M (xi ηi ) =
i=1
1X
ai ,
n i=1
σp =
n
X
xi xj σij =
i,j=1
n
1 X
σii .
n2 i=1
Исключим из рассмотрения все очень ненадёжные ценные бумаги,
что равносильно введению ограничения на риск, то есть ограничим с.
к. о. ценных бумаг: σi 6 σmax , ∀i. В этом случае
v
u n
uX σii
σmax
σp = t
6 √ .
2
n
n
i=1
Следовательно для некоррелированных ценных бумаг с ограничением на риск при увеличении в портфеле числа их видов риск уменьшается. Этот вывод называется эффектом диверсификации (разнообразия)
портфеля.
2o . Зависимые ценные бумаги. Пусть теперь различные виды
ценных бумаг портфеля зависимы. Так как математическое ожидание
суммы случайных величин всегда равно сумме математических ожиданий, то на ожидаемой эффективности зависимость ценных бумаг не
отразится. Следовательно зависимость ценных бумаг не влияет на
эффективность портфеля. Однако, риск может измениться. В самом
деле, если, например, между всеми ценными бумагами имеется прямая
линейная зависимость (коэффициент корреляции равен «+1»), то
Dηp =
n
X
i,j=1
xi xj σij =
n
X
i,j=1
xi xj σi σj = (
n
X
xi σi )2 .
i=1
n
1X
Для равного вложения риск портфеля равен σp =
σi .
n i=1
Следовательно, при полной прямой зависимости диверсификация
портфеля не дает никакого эффекта – риск портфеля равен среднему
— 6
—
арифметическому рисков составляющих его ценных бумаг и при росте
числа видов ценных бумаг к нулю не стремится.
(Положительная корреляция между эффективностями двух ценных
бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора действует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Таким образом связаны, например, курсы
акций электроэнергетической и транспортной компаний.)
Пусть теперь портфель состоит из двух ценных бумаг, между которыми имеется обратная линейная зависимость (коэффициент корреляции равен «−1»). Тогда
Dηp = x21 σ12 + x22 σ22 − 2x1 x2 σ1 σ2 = (x1 σ1 − x2 σ2 )2 .
Если положить
x2 = x1
σ1
,
σ2
(4)
(5)
то Dηp = 0 и риск равен нулю. Следовательно, при обратной линейной
зависимости возможно такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.
(Обратная корреляция возможна, например, между акциями фирм,
производящих машины на электричестве и бензиновом топливе.)
3o . Оптимальный портфель.2 Пусть требуется найти доли капитала xi , минимизирующие риск и максимизирующие ожидаемое значение эффективности M ηp :
n
X
xi xj σij → min,
i,j=1
n
X
xi ai → max,
i=1
n
X
xi = 1.
i=1
Далеко не всегда удаётся найти единственное решение для многокритериальной задачи. (Такие решения называются Парето-оптимальными.) Сведём задачу с двумя критериями к задаче с одним критерием
и одним условием, считая, что эффективность портфеля ap известна и
требуется найти доли капитала xi , минимизирующие риск σp :
n
X
i,j=1
xi xj σij → min,
n
X
i=1
x i ai = ap ,
n
X
xi = 1.
(6)
i=1
2 Markowitz H.M. (Американский экономист (р. 1927), лауреат нобелевской премии
по экономики 1990 года.) Portfolio selection. – J. of Finaces, v. 7, N 1, pp. 77-91, 1952.
— 7
—
Рассмотрим частный случай задачи (6), когда n = 2:
 2
 x1 σ11 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22 → min,
x a + x2 a2 = ap ,
 1 1
x1 + x2 = 1.
Но тогда оптимизационная часть отсутствует, а неизвестные x1 и x2
находятся из последних двух уравнений:
x1 =
ap − a2
,
a1 − a2
x2 = −
ap − a1
.
a1 − a2
(7)
Из (7) видим: если ожидаемая эффективность портфеля лежит между эффективностями a1 и a2 , то обе доли x1 и x2 положительны. Если
же требуется получить эффективность большую каждой из эффективностей (пусть a1 > a2 ), то x1 > 0, но x2 < 0, что равносильно необходимости взять в долг, или провести операцию «short-sale», которая теоретически может обеспечить любую эффективность. Суть этой операции такова: инвестор, формирующий портфель, обязуется через какоето время поставить ценные бумаги 2-го вида и доход по ним. Сам же
вкладывает выданные ему средства в покупку ценных бумаг 1-го вида. Так как ценные бумаги 1-го вида более эффективны, то инвестор
оказывается в выигрыше.
Из формулы (7) следует также, что, во-первых, с ростом ожидаемой
эффективности растёт рисковая часть ценных бумаг; во-вторых, предельная эффективность портфеля – когда нет операции «short-sale» –
совпадает с самой высокой эффективностью из всех ценных бумаг (в
этом случае в такие ценные бумаги вкладывается весь капитал).
Выводы, полученные на основе рассмотренной модели с двумя акциями оказываются справедливыми и для произвольного числа акций.
Изучение оптимального портфеля для большего числа ценных бумаг
позволяет получить дополнительную информацию об изменении риска.
Опуская подробный анализ, сформулируем качественные особенности
оптимального портфеля [1].
а) С увеличением ожидаемой эффективности вклады в каждую
ценную бумагу меняются линейно, если возможен «short-sale», или
кусочно-линейно, если такие операции запрещены. Некоторые вклады растут (это относится к более эффективным, но и более рисковым ценным бумагам), некоторые уменьшаются (менее эффективные
и менее рисковые ценные бумаги).
— 8
—
б) Риск портфеля возрастает с ростом ожидаемой эффективности, причем одинаковым последовательным приростом риска отвечают все меньшие и меньшие приросты эффективности.
4o . Оптимальный портфель при наличии безрисковых бумаг.3
Пусть a0 – эффективность безрисковых бумаг, а x0 – доля капитала,
в них вложенного; ar , σr – ожидаемая эффективность и с. к. о. рисковой части портфеля соответственно. Тогда ожидаемая эффективность
портфеля равна ap = x0 a0 + (1 − x0 )ar , а его риск σp = (1 − x0 )σr .
Исключая x0 , получим:
ap = a0 +
σr
(ar − a0 ),
σp
то есть ожидаемый доход портфеля при наличии безрисковой части
линейно зависит от риска.
Найдём структуру рисковой части портфеля, считая как и ранее,
что известно ожидаемое значение эффективности портфеля ap , т. е.
xi , i = 0, 1, . . . , n, что
 n
X


xi xj σij → min,




i,j=1



n

X
(8)
x0 a0 +
xi ai = ap ,


i=1



n

X



x
+
xi = 1,
 0
i=1
где xi при i = 1, 2, . . . , n – рисковая часть портфеля.
Из последних двух уравнений системы (8) исключим неизвестную
x0 , тогда предпоследнее уравнение приобретает вид связи:
n
X
(ai − a0 )xi − (ap − a0 ) = 0.
i=1
Будем решать задачу методом неопределённых множителей Лагран3 Tobin
J., (американский экономист (р. 1918). Лауреат нобелевской премии в 1981
году.) Liquidity preference as behavior toward risk. – Rev. of Econ. Studies, v. 25, N 1,
pp. 65-86, 1958.
— 9
—
жа. Функция Лагранжа L имеет вид:
L=
n
X
n
X
xi xj σij + 2λ( (ai − a0 )xi − (ap − a0 )).
i,j=1
i=1
В точке экстремума частные производные функции Лагранжа по
всем переменным xi и λ равны нулю, поэтому:

n
X
1 ∂L



=
σij xj + λ(ai − a0 ) = 0

 2 ∂xi
j=1
n

1 ∂L X



=
(ai − a0 )xi − (ap − a0 ) = 0,
 2 ∂λ
i=1
что равносильно
½
V X + λ(A − a0 I) = 0
(A − a0 I)0 X = ap − a0 ,
(9)
где введены обозначения: V = (σij ) – матрица ковариаций рисковой
части, X = (xi ), A = (ai ) – вектор-столбцы долей капитала, вкладываемого в i-ый вид рисковых ценных бумаг, и ожидаемая по ним эффективность соответственно; I – единичный вектор-столбец.
Из первого уравнения системы (9) находим
X = −λV −1 (A − a0 I),
(10)
который подставим во второе. В результате:
λ=−
(ap − a0 )
(ap − a0 )
=−
,
(A − a0 I)0 V −1 (A − a0 I)
D
(11)
где введено обозначение:
D = (A − a0 I)0 V −1 (A − a0 I).
(12)
Подставим (11) в (10). Тогда
X = (ap − a0 )X ∗ =
ap − a0
V −1 (A − a0 I).
(A − a0 I)0 V −1 (A − a0 I)
(13)
В решении (13) выражение (ap − a0 )/D – число, поэтому значение
доли i-го вклада определяется только вектором V −1 (A − a0 I), который
— 10
—
не зависит от эффективности портфеля ap . Следовательно, структура
рисковой части портфеля не зависит от его ожидаемого значения.
Однако сумма компонент вектора X зависит от ap , так как компоненты
вектора X в (13) пропорционально увеличиваются с ростом ap , при этом
доля x0 безрисковых вложений будет сокращаться по формуле
x0 = 1 − (ap − a0 )SpX ∗ ,
(14)
где SpX ∗ – след вектора X ∗ (сумма его компонент). Необходимость же
в операции «short-sale» возникнет, если x0 < 0, откуда
ash−sl =
3
1
+ a0 .
SpX ∗
(15)
Нахождение оптимального портфеля
по заданной таблице стоимостей
ценных бумаг
Пусть задана таблица 1 стоимостей ценных бумаг (акций фирм «РАО
ЕС», «Российский никель», «ММ«МУ», «Электрокар» и «Дизель») за
26 недель I полугодия в рублях (в таблице указана средняя стоимость
ценной бумаги в течении недели).
Необходимо:
I. Ввести эффективность ценной бумаги и составить таблицу эффективностей ценных бумаг, соответствующую таблице 1.
II. Найти ценные бумаги, коэффициент корреляции между которыми равен «−1». Распределить M−1 = 100 тыс. руб. на покупку ценных
бумаг данного вида так, чтобы риск равнялся нулю. Найти интервальные оценки ожидаемых эффективностей с доверительной вероятностью
γ = 0.95.
III. Составить оптималный финансовый портфель объёмом Mp =
500 тыс. руб. и эффективностью ap = 25%, состоящий из безрисковой
части в виде одной ценной бумаги в a0 = 5% годовых (государственные 5-процентные облигации) и рисковой частью, состоящей из трёх
оставшихся ценных бумаг (ценные бумаги с обратной зависимостью,
найденные в пункте II, сюда не включаются).
IV. Найти максимальную эффективность портфеля ash−sl , когда
необходимость в операции «short-sale» ещё не возникает.
Решение.
— 11
—
Таблица 1.
№
yj
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
«ЕС»
y1
50
50.26
50.7
50.92
51.38
51.73
51.96
52.2
52.5
52.81
53.
53.4
53.66
54.12
54.28
54.6
54.85
55.22
55.6
55.9
56.31
56.53
56.85
57.17
57.25
57.61
«Р. ник.»
y2
20
20.17
20.36
20.54
20.8
21.14
21.37
21.43
21.64
21.88
22.1
22.16
22.3
22.5
22.72
22.86
23.07
23.35
23.53
23.98
24.21
24.44
24.73
24.98
25.11
25.28
«ММ«МУ»
y3
10
10.28
10.25
10.3
10.45
10.61
10.88
11.22
11.33
11.5
11.62
11.84
11.92
12.
12.22
12.46
12.28
12.47
12.67
12.8
12.92
12.96
13.02
13.27
13.4
13.57
«Эл-кар»
y4
20
19.98
20.15
20.28
20.
20.73
21.14
21.41
21.9
21.35
21.51
21.51
21.7
21.9
22.68
22.74
22.43
22.87
23.76
23.58
24.01
24.13
24.21
25.01
25.1
25.53
«Диз.»
y5
40
40.8
41.22
41.73
43.06
42.36
42.31
42.54
42.33
44.2
44.65
45.4
45.81
46.2
45.4
46.03
47.42
47.31
46.3
47.43
47.33
47.87
48.48
47.64
48.23
47.46
I. Важным вопросом исследования динамики стоимости ценных бумаг является правильный выбор их эффективности. В качестве модели
возьмём формулу простого процента (1), которую модифицируем применительно к поставленной задаче.
Пусть стоимость j-ой ценной бумаги на i-ой недели yji , определяется двумя факторами: ростом стоимости ценной бумаги по формуле
простых процентов с постоянным еженедельным начислением ηj0 % и
— 12
—
случайным отклонением αji %:
yji = yj0 (1 +
ηj0 %
αji %
·i+
),
100%
100%
(16)
где yj0 – первоначальная стоимость j-ой ценной бумаги.
Тогда процент возможного дохода j-ой ценной бумаги на i-ой неделе ηji по отношению к первоначальной стоимости (предполагается, что
ценная бумага приобретается на длительный срок, то есть с ней не осуществляются еженедельные операции купли-продажи, но в течении этого срока сравнивается её стоимость на рынке ценных бумаг со стоимостью покупки) равен:
ηji =
yji − yji−1
· 100% = ηj0 + αi − αi−1 = ηj0 + θji ,
yj0
(17)
Назовём процент дохода j-ой ценной бумаги ηj её эффективностью
и произведём пересчёт таблицы 1 значений стоимостей ценных бумаг
по формуле (17) в расчёте на год, полагая в году 52 недели:
η11 =
50.26 − 50
· 52 · 100% = 27,
50
η12 =
50.7 − 50.26
· 5200% = 46, . . .
50
(Округляем до целой части.)
В результате вычислений приходим к таблице 2, где введены обозначения эффективностей акций: η1 – «РАО ЕС», η2 – «Российский никель», η3 – «ММ«МУ», η4 – «Электрокар» и η5 – «Дизель».
II. Из таблицы 2 замечаем, что акции фирм «Электрокар» и «Дизель» возможно имеют обратную зависимость. (В самом деле, при увеличении эффективности акций фирмы «Электрокар» эффективность
акций фирмы «Дизель» уменьшается и наоборот.)
Для провеки этой гипотезы найдём выборочный коэффициент корреляции между акциями фирм «Электрокар» и «Дизель» по формуле:
n
X
(ηik − η̄i )(ηjk − η̄j )
rвыб. (ηi , ηj ) = v k=1
,
u n
n
X
uX
t (η k − η̄i )2
(ηjl − η̄j )2
i
k=1
n
где η̄i =
l=1
Вычислим коэффициент корреляции по шагам:
1X k
ηi . (18)
n
k=1
— 13
—
Таблица 2.
№ нед.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
η1
27
46
23
48
36
24
24
32
32
19
43
27
48
17
33
26
38
39
32
43
23
33
33
8
37
η2
44
49
47
65
91
60
16
55
62
57
16
34
52
60
36
55
73
47
117
60
60
75
65
34
44
η3
146
-16
26
78
83
140
177
57
88
62
114
42
42
114
125
-94
99
104
62
68
21
31
30
68
88
η4
-5
44
34
-73
190
107
70
127
-143
42
0
49
49
205
16
-81
114
231
-47
112
31
21
208
23
112
η5
104
55
66
173
-91
-6
30
-27
243
58
98
53
49
-104
83
181
-14
-133
148
-13
70
79
-109
77
-100
1). В соответствии с таблицей 2, при использовании формулы (18),
возьмём i = 4, j = 5 и n = 25.
2). Найдём выборочные средние: η̄4 и η̄5 .
η̄4 = (−5+44+34−73+190+107+70+127−143+42+0+49+49+205+
16 − 81 + 114 + 231 − 47 + 112 + 31 + 21 + 208 + 23 + 112)/25 = 57, η̄5 = 39.
Так как в дальнейшем используются центральные моменты, то вме◦
◦
сто η4 и η5 введём η 4 i = η4i − η̄4 и η 5 i = η5i − η̄5 :
◦
η 4 = (−5 − 57, 44 − 57, 34 − 57, −73 − 57, 190 − 57, 107 − 57, 70 − 57, 127 −
57, −143−57, 42−57, 0−57, 49−57, 49−57, 205−57, 16−57, −81−57, 114−
— 14
—
57, 231−57, −47−57, 112−57, 31−57, 21−57, 208−57, 23−57, 112−57, ) =
(−62, −13, −23, −130, 133, 50, 13, 70, −200, −15, −57, −8, −8, 148, −41,
− 138, 57, 174, −104, 55, −26, −36, 151, −34, 55).
Аналогично найдём, что
◦
η 5 = (65, 16, 27, 134, −130, −45, −9, −66, 204, 19, 59, 14, 10, −143, 44,
142, −53, −172, 109, −52, 31, 40, −148, 38, −139).
3). Вычислим выборочные дисперсии по формуле:
n
σjj =
1X ◦ i 2
(η ) .
n i=1 j
(19)
σ44 = ((−62)2 + (−13)2 + (−23)2 + (−130)2 + 1332 + 502 + 132 + 702 +
(−200)2 + (−15)2 + (−57)2 + (−8)2 + (−8)2 + 1482 + (−41)2 + (−138)2 +
572 +1742 +(−104)2 +552 +(−26)2 +(−36)2 +1512 +(−34)2 +552 )/25 = 8370.
Аналогично получим σ55 = 9082.
По формуле
n
1X ◦k ◦ k
ηi ηj
(20)
cov(ηi , ηj ) =
n
k=1
найдём ковариацию cov(η4 , η5 ) = (−62·65−13·16−23·27−130·134+133·
(−130)+50·(−45)+13·(−9)+70·(−66)−200·204−15·19−57·59−8·14−
8 · 10 + 148 · (−143) − 41 · 44 − 138 · 142 + 57 · (−53) + 174 · (−172) − 104 · 109 +
55 · (−52) − 26 · 31 − 36 · 40 + 151 · (−148) − 34 · 38 + 55 · (−139))/25 = −8577.
√
Тогда r4,5 = cov(η4 , η5 )/ σ44 σ55 = −0.98.
Значение коэффициента корреляции близко к «−1». Будем считать
(и не без оснований4 ), что, если −1 < r 6 −0.95, то коэффициент корреляции незначимо отличен от −1.
Решим поставленную в условии задачу о распределении 100 тыс.
руб. на покупку акций фирм «Электрокар» и «Дизель». Для этого, в
соответствии с формулой (5) необходимо знать отношение среднеквадратических отклонений σ4 и σ5 . Ранее были найдены дисперсии σ44 и
σ55 , откуда σ4 = 91.5 и σ5 = 95.3. Близость значений σ4 и σ5 позволяет предположить об их незначимом различии. Для проверки гипотезы
о равенстве генеральных дисперсий необходимо знать законы распределения случайных величин. С этой целью построим их гистограммы,
4 Равенство r = −1 для случайных величин Y и X означает их линейную связь, поэтому проверка на незначимость отличия коэффициента корреляции от «−1» означает проверку гипотезы о статистической незначимости отличия Y от уравнения
регрессии aX + b. Однако проверка этой гипотезы выводит нас за пределы данных
методических указаний.
— 15
—
для чего из точечных значений эффективностей таблицы 2 составим
интервальные ряды.
Так как значения эффективностей акций фирмы «Электрокар» и
«Дизель» в соответствии с таблицей 2 колеблются от −143 до 231 и от
−133 до 243, то за шаг возьмём h = 100 с размахом выборки от −200
до 300. В результате приходим к следующей таблице частот:
Таблица 3.
ηi
ni(4)
ni(5)
–200,–100
1
4
–100,0
4
5
0,100
11
11
100,200
6
4
200,300
3
1
и их гистограмм (рис. 1):
n
10 6 i(4)
n
10 6 i(5)
6
6
2
η4
–100 100
a).
2
300
η5
–100 100
b).
300
Рис. 1. Гистограммы эффективностей акций фирм:
a). «Электрокар»,
b). «Дизель».
Внешний вид, приведённых гистограмм (рис. 1), сходен с видом графика функции плотности нормального распределения, поэтому выдвинем гипотезу H0 о нормальном распределении случайных величин – эффективностей акций фирм «Электрокар» и «Дизель» и проверим эту
гипотезу с помощью критерия Пирсона. Для этого вычислим значение
критерия χ2набл. обоих случайных распределений по формуле:
χ2набл. =
n
int
X
k=1
(nk − n0k )2
,
n0k
(21)
nh
ϕ(uk ) – теоретические частоты, n – объём выборки (в данσ
ном случае n = 25), h – шаг (здесь h = 100), nint – число интервалов
где n0k =
— 16
—
(здесь nint = 5):
uk =
lk − lv.
,
σv.
2
1
ϕ(uk ) = √ e−uk /2 ,
2π
(22)
lv. – выборочное среднее и σv. – выборочная дисперсия, lk – середина
k-го интервала (иногда в качестве lk выбирают границу k-го интервала).
Вычислим наблюдаемое значение χ2набл. эффективности акций фирмы «Электрокар». Для этого составим таблицу 4, подставляя в формулы (22) lv. = 57 и σv. = 91.5:
Таблица 4.
k
lk
1
2
3
4
5
-150
-50
50
150
250
lk − lv.
σv
-2.26
-1.17
-0.08
1.02
2.11
uk =
ϕ(uk )
n0k
nk
(nk − n0k )2 /n0k
0.030
0.201
0.398
0.238
0.043
0.84
5.50
10.87
6.50
1.18
1
4
11
6
3
0.29
0.41
0.00
0.04
2.82
Откуда находим, что χ2набл. = 0.29 + 0.41 + 0 + 0.04 + 2.82 = 3.56.
Зададим уровень значимости α = 0.05. По таблице критических точек распределения, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k0 = nint. − 3 (nint. – число групп выборки или число
интервалов, здесь nint. = 5) найдём критическую точку правосторонней критической области: χ2kr. (α = 0.05, k0 = nint. − 3 = 5 − 3 = 2) = 6.0.
Так как χ2набл. < χ2kr. , то эмпирические и теоретические частоты,
различаются незначимо (случайно) и нет оснований отвергать гипотезу
о нормальном распределении генеральной совокупности значений эффективности акций фирмы «Электрокар».
Проведя точно такие же расчёты с эффективностью акций фирмы
«Дизель», получим χ2набл. = 5.2. Следовательно и в этом случае нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной
совокупности значений эффективности акций фирмы «Дизель».
Итак, пусть эффективности акций фирм «Электрокар» и «Дизель»
распределены нормально.
Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий случайных величин
– эффективностей акций фирм «Электрокар» и «Дизель» – используем
критерий Фишера-Снедекора. Выдвинем гипотезу H0 : σ44 = σ55 – о
равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе H1 : σ55 > σ44 и найдём наблюдаемое значение
— 17
—
критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей)
Fнабл. = Sgr. /Slo. ,
где Sgr. – большая и Slo. – меньшая исправленные дисперсии.
n5 − 1
n4 − 1
σ44 , Slo. =
σ55 и n4 = n5 = 25, то
Так как Sgr. =
n4
n5
Fнабл. =
9082
= 1.09.
8370
(23)
По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора,
по заданному критерию значимости α = 0.05 и числу степеней свободы
ki = ni − 1, найдём критическую точку Fkr. (α = 0.05; k1 = 25 − 1 =
24, k2 = 25 − 1 = 24) = 2.19.
Так как F набл. = 1.09 < Fkr. = 2.19, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей
значений эффективности акций фирм «Электрокар» и «Дизель».
Таким образом средства в объёме M−1 = 100 тыс. руб., вкладываемые в акции фирм «Электрокар» и «Дизель», необходимо распределить
поровну: 50 тыс. руб. – на покупку акций фирмы «Дизель» и 50 тыс.
руб. – на покупку акций фирмы «Электрокар».
Найдём интервальные оценки генеральных средних при заданной
доверительной вероятности γ = 0.95 по формуле
agen = (av − √
σv
σv
tγ,k , av + √
tγ,k ),
n−1
n−1
(24)
где tγ,k – коэффициент Стьюдента с k = n − 1 степенями свободы, av –
выборочное среднее и σv – выборочное с. к. о. По таблице распределения
Стьюдента (например, в [2] – это таблица приложения 3) находим, что
t0.95,24 = 2.07. Следовательно
91
91
agen,(4) = (57 − √ · 2.07, 57 + √ · 2.07) = (19; 95)γ=0.95 .
24
24
(25)
Аналогично находим
agen,(5) = (−2; 78)γ=0.95 .
(26)
(Результаты (25 – 26) и (23) показывают очень неопределённую выгоду от инвестирования в данные ценные бумаги, с одной стороны, но,
с другой стороны, большую степень их безрисковости.)
— 18
—
При этом ожидаемая выборочная эффективность τv (η4 , η5 ) равна:
τv (η4 , η5 ) = τv (x4 η4 + x5 η5 ) = η̄4 /2 + η̄5 /2 = (57 + 38)/2 = 47.5 (47.5
процентов годовых). 5
III. Найдём ковариации эффективностей акций фирм «РАО ЕС»,
«Российский никель» и «ММ«МУ» по формуле:
cov(ηi , ηj ) =
n
X
(ηik − η̄i )(ηjk − η̄j ).
(27)
k=1
Так как расчёты аналогичны тем, которые были выполнены при
нахождении ковариации эффективностей акций фирм «Электрокар» и
«Дизель» , то запишем в виде таблицы уже готовые результаты:
Таблица 5.
N
1.
2.
3.
вид акций
«ЕС»
«Рос. ник.»
«ММ«МУ»
«ЕС»
96
-
«Рос. ник.»
27
437
-
«ММ«МУ»
-31
-233
3083
(В нижней части таблицы поставлены прочерки, так как таблица
симметрична.)
Ненулевые значения ковариации указывают на возможную зависимость эффективностей акций. Чтобы принять или отвергнуть гипотезу о зависимости между эффективностями, необходимо знать законы
распределения заданных случайных величин, поэтому построим гистограммы распределений, составив из точечных значений эффективностей интервальные ряды, и по виду гистограммы угадаем их законы
распределения.
Так как значения эффективности акций «РАО ЕС» колеблются от
0 до 50, то за шаг h1 возьмём 10, аналогично для шага эффективности
акций «Российский Никель» возьмём h2 = 20, и, наконец, h3 = 50 – шаг
эффективности акций «ММ«МУ». В результате приходим к следующим
гистограммам:
5 Имеются
возможности дать интервальную оценку
ожидаемой эффективности
q
∂f
∂f
портфеля, например, по формуле: ∆f (x1 , x2 ) =
( ∂x
∆x1 )2 + ( ∂x
∆x2 )2 . Одна1
2
ко эти вычисления выводят за пределы данных методических указаний, поэтому
здесь ограничимся только значением выборочного среднего портфеля и интервальной оценкой средних η̄i .
— 19
—
6ni(2)
6ni(1)
10
10
6
6
η1
-
2
2
η2
120
80
0
40
40
60
b).
a).
Рис. 2. Гистограммы эффективностей акций фирм:
a). «РАО «ЕС», b). «Российский Никель», c). «ММ«МУ».
Внешний вид приведённых гисто6ni(3)
грамм (рис. 2) сходен с видом графика
функции плотности нормального рас10
пределения, поэтому имеет смысл проверить гипотезу о нормальном законе
6
распределения эффективностей акций
η3 «РАО ЕС», «Российский Никель» и
2
- «ММ«МУ» с помощью критерия Пир0
100 200 сона. По формулам (21) 2и (22) найдём
-100
наблюдаемые значения χ набл. каждого
c).
из распределений:
0
20
χ2набл.(1) = 2.6,
χ2набл.(2) = 4.7,
χ2набл.(3) = 3.5.
Так как критические точки правосторонней критической области
для степеней свободы k1 = 2 и k2 = 3 равны χ2kr. (α = 0.05, k = nint −
3 = 5 − 3 = 2) = 6.0 и χ2kr. (α = 0.05, k = 6 − 3 = 3) = 7.8, откуда
χ2набл.(1),(2),(3) < χ2kr. , то принимаем гипотезу о нормальном распределении каждой из случайных величин.
Из теории вероятностей известно, что для нормально распределённых случайных величин понятия зависимости и коррелированности совпадают. Следовательно, чтобы выяснить, имеется ли зависимость между случайными величинами, достаточно найти коэффициент корреляции между ними. Если окажется, что он равен нулю, то случайные величины независимы и их ковариация незначимо отличаются от нуля.
По формуле (18) найдём выборочные коэффициенты корреляции и
проверим их значимость. Найденные выборочные коэффициенты корреляций выпишем в таблицу:
— 20
—
Таблица 6.
N
1.
2.
3.
вид ц. б.
«ЕС»
«Рос. ник.»
«ММ«МУ»
«ЕС»
1
–
–
«Рос. ник.»
0.13
1
–
«ММ«МУ»
– 0.06
– 0.2
1
Проверим их значимость. Выдвинем нулевую гипотезу H0 : rij =
0, (i 6= j), i, j = 1, 2, 3 о равенстве нулю генерального коэффициента
корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 : rij 6= 0, (i 6= j), i, j = 1, 2, 3 при уровне значимости
α = 0, 05. Для этого необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия
q
√
2
Tijнабл. = rij n − 2/ 1 − rij
(28)
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n−2 найдём критическую точку двусторонней критической области. Если |Tijнабл. | <
tkr. – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если |Tijнабл. | > tkr. –
нулевую гипотезу отвергают. В данном случае tkr. (α = 0.05; k = 25−2 =
23) = 2, 07. Из таблицы 6 и по формуле (28) при n = 25 находим наблюдаемые значения критерия:
T12набл. = 0.63,
T13набл. = −0.29,
T23набл. = −0.98.
Так как во всех трёх случаях |Tijнабл. | < tkr. , то принимаем гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Иными словами, все случайные величины некоррелированны и как следствие – независимы, поэтому при i 6= j, i, j < 4 необходимо принять,
что cov(ηi , ηj ) = 0. С помощью таблицы 5 находим матрицу ковариаций
эффективностей акций V и ей обратную V −1 :




0.0104
0
0
96 0
0
 (29)
0.002288
0
V =  0 437
0  , V −1 =  0
0
0
0.000324
0
0 3083
По таблице 2 найдём средние выборочные значения вектора эффективностей:
A0 = (η̄1 , η̄2 , η̄3 ) = (32, 55, 74)
(30)
— 21
—
и по формуле (24) их интервальные оценки с доверительной вероятностью γ = 0.95:
a1 = (28; 36)γ=0.95 ,
a2 = (46; 64)γ=0.95 ,
a3 = (51; 98)γ=0.95 .
Так как, по условию эффективность безрисковых вложений равна
a0 = 5%, то используя (29) и (30), по формуле (12) находим D:
D = (A − a0 I)0 V −1 (A − a0 I) =
 

0.0104
0
0
27
  50  = 14.8442.
= (27, 50, 69)  0
0.002288
0
0
0
0.000324
69
Откуда в соответствии с формулой (13) находим вектор X ∗ :
X ∗ = V −1 (A − a0 I)/D = (0.0189, 0.0077, 0.0015).
По условию ожидаемая эффективность портфеля равна ap = 30%.
Следовательно структура рисковой части оптимального портфеля по
формуле (13) следующая:
X = (ap − a0 )X ∗ = (25 − 5)(0.0189, 0.0077, 0.0015) = (0.378, 0.154, 0.03).
Следовательно x0 = 1 − (0.378 + 0.154 + 0.03) = 0.438.
Таким образом, распределение вложений по различным ценным бумагам имеет следующий вид:
1). В государственные облигации – 43.8% или 0.438 · 500 = 219 тыс.
рублей,
2). 37.8% или 0.378 · 500 = 189 тыс. рублей – в акции «РАО ЕС»,
3). 15.4% или 0.154 · 500 = 77 тыс. рублей – в акции фирмы «Российский никель», и, наконец,
4). 3% или 0.03 · 500 = 15 тыс. рублей – в акции фирмы «ММ«МУ».
IV. В операции «short-sale» возникнет необходимость когда ожидаемая эффективность в соответствии с формулой (15) равна
ash−sl = 5 +
1
= 40.59.
0.0189 + 0.0077 + 0.0015
Следовательно, при ожидаемой эффективности портфеля более, чем
40.59% годовых, необходимо произвести операцию «short-sale».
Замечание. Для результатов 1). – 4). части III и в части IV не указаны доверительные интервалы, так как их расчёт выходит за пределы
данного методического пособия.
— 22
4
—
Практическое задание:
нахождение оптимального портфеля
Таблица 7.
№
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
X1
60
60.76
61.66
62.61
62.89
63.8
64.5
65.43
66.13
66.94
68.01
68.89
69.65
70.68
72.11
73.25
73.83
74.78
75.94
76.46
77.45
78.54
79.17
79.93
80.91
81.73
X2
40
41.06
41.27
41.8
42.63
43.46
43.86
43.9
44.47
44.96
45.4
46.07
47.23
47.99
49.22
50.04
50.7
51.56
52.25
52.87
53.59
53.93
54.83
55.52
56.28
56.68
X3
30
30.45
30.7
32.
32.73
33.25
33.98
34.56
35.03
35.59
36.05
36.52
36.39
36.81
37.46
37.79
38.14
38.37
38.67
39.01
39.62
40.06
40.15
40.28
41.34
42.06
X4
70
70.86
71.52
72.55
73.47
75.04
76.31
77.08
77.91
78.52
79.66
80.51
81.69
82.66
83.73
84.6
85.65
86.47
87.12
87.19
87.68
88.42
89.
89.23
89.7
90.87
X5
50
50.48
51.16
51.57
52.07
51.91
52.16
52.76
53.32
54.04
54.19
54.74
55.04
55.5
55.9
56.43
56.83
57.4
58.09
59.2
60.
60.62
61.36
62.35
63.26
63.58
X6
70
70.41
70.94
71.37
72.04
72.55
73.25
73.68
74.2
74.81
75.07
75.61
76.03
76.36
76.98
77.33
78.06
78.54
78.99
79.55
80.12
80.94
81.56
82.26
82.81
83.16
X7
20
20.14
20.53
20.8‘
21.44
21.55
21.45
21.91
22.07
22.33
22.68
22.95
23.25
23.34
23.55
23.88
24.35
24.65
24.99
25.17
25.23
25.42
25.75
26.08
26.19
26.78
X8
80
80.83
81.47
82.04
83.52
84.15
85.07
85.67
86.58
87.35
87.76
88.44
89.27
89.75
89.69
90.01
91.09
91.67
91.96
93.12
93.64
94.04
95.04
95.87
96.41
97.16
X9
60
61.05
62.63
62.33
62.6
63.28
63.57
64.14
64.92
65.53
66.35
67.14
69.13
70.02
70.45
71.52
72.56
73.82
74.95
76.
76.52
77.36
78.91
80.04
79.65
79.95
Пусть задана табл. 7 стоимостей ценных бумаг (акций фирм «Фарфоровые заводы» – X1 , «Российские самоцветы» – X2 , «Алюминиевый
консорциум» – X3 , «Металлист» – X4 , «Турбинные лопатки» – X5 , «Рубины» – X6 и «Агаты» – X7 ) за 26 недель I полугодия в рублях (в
таблице указана средняя стоимость ценной бумаги в течении недели).
— 23
—
Необходимо выполнить пункты I – IV на странице 10, с данными из
своего номера варианта.
1. {X1 , X2 , X3 , X7 , X8 }, M−1 = 200, Mp = 3700, a0 = 3%, ap = 23%.
2. {X1 , X2 , X3 , X6 , X9 }, M−1 = 100, Mp = 3800, a0 = 4%, ap = 24%.
3. {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 }, M−1 = 300, Mp = 3900, a0 = 5%, ap = 25%.
4. {X1 , X3 , X4 , X7 , X8 }, M−1 = 150, Mp = 3000, a0 = 6%, ap = 16%.
5. {X1 , X3 , X4 , X6 , X9 }, M−1 = 170, Mp = 3100, a0 = 7%, ap = 17%.
6. {X1 , X3 , X4 , X5 , X6 }, M−1 = 120, Mp = 3200, a0 = 8%, ap = 18%.
7. {X1 , X2 , X4 , X5 , X8 }, M−1 = 220, Mp = 3300, a0 = 9%, ap = 29%.
8. {X1 , X2 , X3 , X4 , X9 }, M−1 = 150, Mp = 3400, a0 = 4%, ap = 24%.
9. {X1 , X2 , X4 , X5 , X7 }, M−1 = 250, Mp = 3500, a0 = 5%, ap = 25%.
10. {X1 , X2 , X6 , X8 , X9 }, M−1 = 110, Mp = 3600, a0 = 3%, ap = 13%.
11. {X2 , X3 , X5 , X8 , X9 }, M−1 = 160, Mp = 1700, a0 = 4%, ap = 14%.
12. {X3 , X5 , X6 , X8 , X9 }, M−1 = 190, Mp = 1800, a0 = 5%, ap = 15%.
13. {X1 , X5 , X6 , X8 , X9 }, M−1 = 230, Mp = 1900, a0 = 6%, ap = 26%.
14. {X3 , X4 , X5 , X7 , X9 }, M−1 = 210, Mp = 1000, a0 = 7%, ap = 27%.
15. {X2 , X5 , X6 , X7 , X8 }, M−1 = 280, Mp = 1100, a0 = 8%, ap = 28%.
16. {X1 , X3 , X6 , X7 , X8 }, M−1 = 290, Mp = 1200, a0 = 9%, ap = 19%.
17. {X2 , X3 , X6 , X7 , X9 }, M−1 = 170, Mp = 1300, a0 = 4%, ap = 14%.
18. {X3 , X4 , X5 , X7 , X8 }, M−1 = 140, Mp = 1400, a0 = 5%, ap = 15%.
19. {X1 , X3 , X5 , X7 , X8 }, M−1 = 160, Mp = 1500, a0 = 3%, ap = 23%.
20. {X2 , X3 , X5 , X7 , X9 }, M−1 = 240, Mp = 1600, a0 = 4%, ap = 24%.
21. {X2 , X4 , X5 , X7 , X9 }, M−1 = 200, Mp = 2700, a0 = 5%, ap = 25%.
22. {X1 , X3 , X5 , X6 , X8 }, M−1 = 100, Mp = 2800, a0 = 6%, ap = 16%.
23. {X3 , X5 , X7 , X8 , X9 }, M−1 = 160, Mp = 2900, a0 = 7%, ap = 17%.
24. {X2 , X4 , X5 , X6 , X8 }, M−1 = 280, Mp = 2000, a0 = 8%, ap = 18%.
25. {X1 , X2 , X5 , X8 , X9 }, M−1 = 390, Mp = 2100, a0 = 9%, ap = 29%.
26. {X3 , X5 , X6 , X8 , X9 }, M−1 = 140, Mp = 2200, a0 = 4%, ap = 24%.
27. {X4 , X5 , X6 , X7 , X8 }, M−1 = 160, Mp = 2300, a0 = 5%, ap = 25%.
28. {X1 , X2 , X3 , X8 , X9 }, M−1 = 270, Mp = 2400, a0 = 3%, ap = 13%.
29. {X3 , X4 , X7 , X8 , X9 }, M−1 = 220, Mp = 2500, a0 = 4%, ap = 14%.
30. {X2 , X4 , X5 , X8 , X9 }, M−1 = 160, Mp = 2600, a0 = 5%, ap = 15%.
— 24
—
Список литературы
[1] Первозванский А. А., Первозванская Т. Н. Финансовый рынок: расчёт и риск. М.: ИНФРА-М, 1994.
[2] Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.:Наука, 1982.
Модельный расчёт
оптимального портфеля
ценных бумаг
Методические указания и индивидуальные задания
по разделу «Теория вероятностей
и математическая статистика»
Редактор Е. Д. Груверман.
Лицензия ЛР N 020412 от 12.02.97.
Подписано в печать 30.05.01 Формат 60 × 84 1/16 Бум. газ. П. л. 1,5
Бум. л. 0,75 РТП изд-ва СПбГУЭФ Тираж 300 экз. Зак.
Издательство Санкт-Петербургского государственного университета
экономики и финансов.
191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.