Определение оптимального портфеля ценных бумаг

Оптимизационная модель портфеля ценных бумаг с булевыми
переменными.
В.М. Гордуновский.
Определение оптимального портфеля ценных бумаг
представляет собой одну из задач, с которыми сталкиваются
инвесторы на фондовом рынке. При выборе оптимального
портфеля учитываются доходность и риск, как отдельных активов,
так и портфеля в целом. При построении модели учтены
корреляционные связи между доходностями активов [1].
Предположим, что имеется инвестиционный капитал С и n
наименований ценных бумаг, которые имеют хождение на
фондовом рынке. Требуется распределить капитал С по n активам,
опираясь на количественные оценки доходности и риска. Пусть
y j , j 1,...,n булева переменная, которая принимает значения: 1, если
ценная бумага j-го наименования включена в портфель; 0, если она
не входит в состав портфеля. Имеются статистические данные за
последние Т лет, отражающие колебания цен и выплаты
дивидендов на протяжении этого периода. При помощи этих
данных оценивается доходность для каждого наименования ценных
бумаг. Обозначим r j (t ) - доходность j-го актива в году t. Тогда
r j (t )
p j (t 1)
p j (t ) d j (t )
p j (t )
, где
p j (t 1)
p j (t )
- прирост капитала за счѐт
колебания цены j-го актива за год t, а d j (t ) - суммарные дивиденды,
полученные в t-м году. В модели используется ожидаемая
доходность
которая вычисляется как среднее значение
j,
случайной величины доходности актива за период Т:
j
1
T
T
r j (t ) .
t 1
Величина ожидаемой доходности инвестиционного портфеля
задаѐтся следующим образом:
n
rp
j
xj ,
где
xj
yj
n
j 1
- доля j – го
yj
j 1
актива в портфеле [2]. Курс некоторых ценных бумаг имеет
тенденцию к сильным колебаниям, что увеличивает фактор риска,
но ожидаемая доходность высока в силу их способности к
сильному повышению. С другой стороны, «безопасные»
инвестиции, такие, как облигации, текущие счета, банковские
депозитные сертификаты и др., могут давать меньший доход.
1
Кроме того, курс некоторой группы ценных бумаг может зависеть
от состояния определѐнной области экономики; спад в этой области
повлечѐт за собой падение цен на все ценные бумаги данной
группы. Для уменьшения подобного риска необходимо учитывать
оценку соотношения уровней доходности для каждой пары
наименований ценных бумаг при распределении инвестиций по
различным группам ценных бумаг. В качестве меры
инвестиционного риска рассматривается величина дисперсии
2
портфеля
вычисляемая как среднее значение квадратов
p,
отклонений доходности портфеля от средней доходности портфеля
n n
T
за период T: p2
[2]. Здесь i j 1 (ri (t ) i )(r j (t ) j ) i j xi x j
T
i 1 j 1
t 1
ковариация доходности ценных бумаг i и j; xi , x j - доли i – ой и j –
ой бумаг в портфеле соответственно. При i j ковариация
представляет собой дисперсию j-ой ценной бумаги.
Построим математическую модель формирования портфеля
ценных бумаг по критерию минимума инвестиционного риска с
условием гарантированного ожидаемого дохода. Целевая функция
задачи:
n n
2
min .
p
i j xi x j
i 1 j 1
Условие обеспечения заданной ожидаемой доходности портфеля:
n
rp .
jxj
j 1
Здесь
xj
yj
n
yj
,
n
yj
1 , yj
– булева переменная, j=1,…,n.
j 1
j 1
Портфель ценных бумаг может формироваться с учѐтом
различных ограничений, связанных с финансовой политикой
инвестора. Количество наименований ценных бумаг в портфеле
может быть ограничено величиной К ( K n ):
n
yj K .
j 1
Иногда ограничивают спектр наименований обычных акций,
если известно, что доходность последних подвержена слишком
большим колебаниям. Такое ограничение записывается следующим
yj
образом:
, где множество J1 содержит индексы спектра
1
j J1
наименований обычных акций, а через
2
1
обозначено максимально
допустимое количество наименований этих акций. Когда инвестор
считает необходимым держать определѐнную часть капитала в
форме эквивалентной наличным деньгам для удовлетворения
возможных требований вкладчиков, следует ввести в модель
yj
следующее ограничение:
. Здесь индексы из множества J 2
2
j J2
соответствуют
наименованиям
ценных
бумаг,
которые
эквивалентны наличным средствам (например, сберегательные
счета, текущие счета);
представляет собой минимальное
количество наименований таких бумаг. Математическая модель
может также содержать и другие ограничения, более или менее
адекватно отражающие особенности инвестиционного процесса. В
результате решения задачи находим оптимальный состав портфеля
yj, доли ценных бумаг xj и оптимальное распределение капитала по
активам C j Cx j , j=1,…,n.
Рассмотрим числовые примеры расчѐта оптимального
портфеля на основе предложенной модели в сравнении с известной
моделью с непрерывными переменными [2]. Целевая функция:
n n
2
min .
p
i j xi x j
2
i 1 j 1
Ограничения:
n
j
xj
rp ;
n
1; x j
xj
0,
j=1,…,n.
j 1
j 1
Исходные данные представлены в следующих таблицах:
Наименования ценных бумаг
Ожидаемая
доходность j
1
2
3
4
5
6
0,01
0,03
0,09
0,02
0,12
0,06
Оценки соотношения уровней доходности для каждой пары
ценных бумаг (матрица ковариаций i j ).
1
1
0,001
2
0,006
3
0,001
4
0,007
5
-0,001
6
0,004
2
0,006
0,002
0,004
0,003
0,001
0,002
3
0,001
0,004
0,005
0,006
0,012
-0,002
4
0,007
0,003
0,006
0,001
0,006
0,001
5
-0,001
0,001
0,012
0,006
0,006
0,007
6
0,004
0,002
-0,002
0,001
0,007
0,003
3
Ожидаемая доходность портфеля rp – не менее 0,05.
Решение задачи c помощью стандартного пакета программ
“Microsoft Excel” даѐт следующие результаты.
Оптимальные доли ценных бумаг x *j
1
2
3
4
5
0,636363
0
0
0
0,363636
6
0
Ожидаемая доходность портфеля rp – 0,05. Дисперсия портфеля
(инвестиционный риск) p2 = 0,000736. Чтобы сравнить между собой
оптимальные портфели, сформированные по разным моделям,
воспользуемся показателем эффективности, представляющим
собой отношение ожидаемой доходности к дисперсии портфеля
rp
. Для данного примера
2
p
= 67,97731.
Теперь рассчитаем оптимальный портфель с теми же
исходными данными, но применяя модель с булевыми
переменными. Целевая функция:
n n
2
min .
p
i j xi x j
i 1 j 1
Ограничения:
n
j
xj
rp ; x j
yj
n
j 1
yj
;
n
yj
1 ; yj
– булева переменная, j=1,…,n.
j 1
j 1
Решение задачи, полученное при помощи “Microsoft Excel”,
приводится в следующей таблице.
Оптимальный состав ценных бумаг y *j
1
0
2
0
1
0
2
0
3
4
5
1
0
0
Оптимальные доли ценных бумаг x *j
3
0,5
4
0
5
0
6
1
6
0,5
Ожидаемая доходность портфеля rp – 0,075. Дисперсия
портфеля p2 = 0,001. Эффективность портфеля
= 75, что больше,
чем в предыдущем примере.
4
Полученный результат можно улучшить, если усложнить
модель, увеличивая еѐ адекватность. Обозначим дисперсию j – ой
бумаги как 2j ij при i=j. Теперь определим долю актива в
портфеле как величину обратнопропорциональную дисперсии
этого актива. Тогда постановка задачи будет иметь следующий вид.
Целевая функция:
n n
2
min .
p
i j xi x j
i 1 j 1
Ограничения:
n
jxj
yj
rp ; x j
1
2
j
;
n
j 1
yj
j 1
1
n
yj
1 ; yj–булева
переменная, j=1,…,n.
j 1
2
j
Решение задачи содержится в следующих таблицах.
Оптимальный состав ценных бумаг y *j
1
0
2
0
3
1
4
0
5
0
6
1
Оптимальные доли ценных бумаг x *j
1
0
2
0
3
0,375
4
0
5
0
6
0,625
Ожидаемая доходность портфеля rp – 0,07125. Дисперсия
портфеля p2 = 0,000938. Эффективность портфеля = 76.
Сравнивая между собой полученные результаты можно
сделать следующие выводы. Во-первых, применение модели
портфеля с булевыми переменными может дать хорошие
результаты по эффективности оптимального портфеля в смысле
отношения доходность/риск. Во-вторых, повышение качества
портфеля может быть достигнуто за счѐт увеличения адекватности
математической модели.
Литература.
1. Уильям Ф.Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В.Бэйли.
Инвестиции. – М.: Инфра-М, 1997.
2. Markowitz H.M. Mean Variance Analysis in Portfolio Choise and
Capital Markets, Basil, Blackwell, 1990.
5