Оценка вероятности дефолта облигации О.В.Русаков

Оценка вероятности дефолта облигации
О.В.Русаков, Н.А.Темкина
ovirusakov@yahoo.co.uk, n_temkiana@yahoo.com
С-Петербургский государственный университет
Экономический факультет
кафедра информационных систем в экономике
Аннотация
В статье предлагается простой вариант метода оценки вероятности дефолта
облигации. Метод основан на рыночном подходе к кредитному риску. Вероятности
дефолта и рациональные цены кредитных производных кредитных инструментов
вычисляются исходя из данных, предоставляемых рынком. Это цены и доходности
рассматриваемых облигаций, а также доходностей по выбранным безрисковым
инструментам. В статье приводятся теоретические формулы, лежащие в основе метода и
их адаптация для работы с реальными данными. На конкретных примерах вычисляются
вероятности дефолтов и рациональных цен дефолтных пут опционов.
Введение и обозначения
Размер мирового рынка кредитных производных инструментов уже сейчас
существенно превышает размер американской экономики. Тенденций к
ослабеванию бума инвестиций в рынок кредитов и кредитных производных в
мире пока не наблюдается. Рост этих инвестиций проявляется как в
количеством отношении, так и в качественном. Соответственно, это связано
как с увеличением объема рынка, так и с постоянным появлением новых
кредитных финансовых производных. Несмотря на то, что до сих пор этот
бум обходил российский финансовый рынок стороной, вследствие его не
развитости, есть основания предполагать, что скоро наряду с классическими
производными контрактами на российском рынке появятся и кредитные
производные ценные бумаги.
Увеличивающаяся популярность на мировых финансовых рынках кредитных
финансовых производных влечет потребность в методах оценки кредитного
риска, а также в моделях ценообразования кредитных производных
инструментов.
Предлагаемая здесь модель оценки кредитного риска основана на рыночном
методе оценки риска, ее теоретические основы подробно изложены в работах
Филиппа Шонбухера ( Ph. Schönbucher ) [2], [3]. Методы вычисления
теоретических цен производных кредитных инструментов (кредитных
деривативов) изложены современным доступным языком в работе Даррелла
Даффи [1].
Мы используем подход, в котором численное значение кредитного риска
выражается в вероятностях дефолта. Дефолт представляется в виде рисксобытия отказа от погашения кредита или выплат по нему до момента или в
1
сам момент заявленного погашения. В применяемом подходе кредитный
риск эмитента полностью определяется его кредитным спрэдом, т.е.
разностью спот ставки эмитента и спот ставки по заранее выбранной
безрисковой ценной бумаге. В качестве безрисковых ставок берутся ставки
спот LIBOR1. Под спот ставкой мы понимаем текущую ставку по облигации
с самым ближайшим погашением.
Динамика изменения безрисковой ставки и кредитного спрэда
представляются случайными процессами, которые в данном варианте
методики предполагаются независимыми. На основе знания распределений
данных процессов оцениваются как вероятности дефолта (неисполнения
эмитентом своих обязательств), так и такие показатели риска, как
рациональные (справедливые) цены кредитных производных финансовых
инструментов.
Введем обозначения:
r (t ) – процесс бездефолтной спот ставки;
h(t ) – процесс спрэда ставки;
T – срок до погашения облигации (в годах);
P (0, T ) – цена безрискового бонда с нулевым купоном со сроком до
погашения T , вычисленная «сейчас» на основе спот ставок базовой
облигации (текущих ставок LIBOR);
P ′(0, T ) – цена дефолтной облигации с нулевым купоном со сроком
погашения T , вычисленная «сейчас» на основе спот ставок базовой
облигации и спрэда.
Основные формулы2
Цена бездефолтной облигации равна
⎡ − ∫ T r ( s )ds ⎤
⎥.
P (0, T ) = E ⎢e 0
⎢
⎥
⎣
⎦
Цена дефолтной облигации с нулевым покрытием3 равняется
⎡ − ∫ T r ( s ) + h( s )ds ⎤
⎥.
P ′(0, T ) = E ⎢e 0
⎢
⎥
⎣
⎦
1
В качестве базовой ставки можно выбрать любую другую ставку, доминирующую снизу рассматриваемую
кредитную ставку. В этом случае будет вычисляться условная вероятность дефолта, при условии, что
базовая облигация (определяющая базовую ставку) не претерпит дефолта.
2
См. Shonbuher [2]
3
При нулевом покрытие в случае дефолта владелец облигации несет потери в размере всего обещанного
платежа.
2
Вероятность того, что дефолт не произойдет, определяется как
⎡ − ∫T h( s )ds ⎤
⎥,
Ph (0, T ) = E ⎢e 0
⎥
⎢
⎦
⎣
тогда вероятность дефолта равна:
⎡ − ∫ T h( s )ds ⎤
⎥.
Pd (0, T ) = 1 − Ph (0, T ) = 1 − E ⎢e 0
⎢
⎥
⎣
⎦
Во всех приведенных формулах символ E обозначает математическое
ожидание, вычисляемое по риск-нейтральным вероятностям (по
эквивалентной мартингальной мере с фильтрацией, порожденной
информацией, согласованной для r (t ) и h(t ) ; см., напр. [4]).
Практическое применение основных формул и примеры
Рассмотрим облигацию некоторого эмитента. Для вычисления вероятности
дефолта облигации этого эмитента выберем на кривой безрисковых
доходностей (годовых, эффективных) значение r0 для срока T , равного сроку
(в годах) до погашения рассматриваемой дефолтной облигации. Вычисляем
разность между доходностью рисковой облигации, ставкой r0′ и доходностью
безрисковой облигации, ставкой r0 . Полученный результат представим как
спрэд,
h0 = r0′ − r0 .
Далее упростим формулы для того, чтобы по ним можно было провести
вычисления. Используем то, что доходности r0 и r0′ являются усредненными
спот ставками за период [0, Т ] ,
r0 =
1
Т
∫ r (s )ds ;
Т
r0′ =
0
1
Т
∫ (r (s ) + h(s )) ds ,
Т
0
запишем вероятность дефолта
Pd ( 0 , T ) = 1 − Ph ( 0 , T ) = 1 − e
− h0 * T
.
Кроме вероятности дефолта предлагается вычислять справедливую
стоимость кредитного дефолтного пут опциона, выплата по которому
происходит в случае дефолта облигации. В случае нулевого покрытия
выплата по опционному требованию равна номиналу облигации. Цена
(теоретическая, рациональная) кредитного дефолтного опциона типа пут D
вычисляется по следующей формуле:
D = P(0, T ) − P ′(0, T ) = e
3
− r0 * T
−e
− r0′ * T
.
Значения P(0, T ) и P ′(0, T ) следует понимать как цены бескупонных
облигаций, эквивалентных по доходностям к рассматриваемым реальным
бумагам.
Пример 1. Вычисление вероятность дефолта для облигации СевероЗападный Телеком 2 со сроком погашения 03.10.2007. Определим (на основе
данных, полученных из интернета) значение безрисковой ставки r0 как
значение LIBOR на 12 месяцев, заданное на 19.09.2006:
r0 = 0.0539
Доходность облигации Северо-Западный Телеком на 19.09.2006:
r0′ = 0.0752
Таким образом, спрэд равен h0 = r0′ − r0 = 0.0752 − 0.0539 = 0.0213 . Затем
вычислим вероятность дефолта облигации Северо-Западного Телекома с
погашением через год. Она равна 2,2%, так как
Pd (0, T ) = 1 − Ph (0, T ) = 1 − e
− h0 * T
= 1 − e − 0.0213 * 374 / 360 = 0.022
Далее получим стоимость защиты от дефолта, то есть стоимость кредитного
дефолтного опциона типа пут,
D = P(0, T ) − P ′(0, T ) = e
= 0.946 − 0.926 = 0.02
− r0 * T
−e
− r0′ * T
= e − 0.0539 * 374 / 360 − e − 0.0752 * 374 / 360 =
То есть (рациональная) стоимость защиты от дефолта равна 2% от номинала
дефолтной облигации.
Пример 2. В этом примере проведем аналогичные вычисления для
муниципальной облигации. Для примера возьмем Томскую область со
сроком погашения 13.10.2007 (облигация Томская область, 31018 (RUR)).
Значение безрисковой ставки r0 (LIBOR на 12 месяцев) на 20.09.2006 равно
r0 = 0.054
Доходность облигации Томской области, заданная на дату 20.09.2006 равна
r0′ = 0.0695
Таким образом, спрэд h0 = r0′ − r0 = 0.0659 − 0.0540 = 0.0119 . Теперь можно
вычислить вероятность дефолта облигации Томской области с погашением
через год. Она равна 1,3%,
Pd (0, T ) = 1 − Ph (0, T ) = 1 − e
− h0 * T
= 1 − e − 0.0119 * 383 / 360 = 0.013
Справедливая цена кредитного дефолтного опциона пут равна 1,2% от
номинала дефолтной облигации,
4
D = P(0, T ) − P ′(0, T ) = e
= 0.945 − 0.933 = 0.012
− r0 * T
−e
− r0′ * T
= e − 0.0540 * 383 / 360 − e − 0.0659 * 383 / 360 =
Модель с ненулевым покрытием дефолта
Рассмотрим вариант модели дефолта с ненулевым покрытием. Как правило, в
момент дефолта владелец облигации теряет не всю сумму обещанного
платежа, а некоторую часть. Та часть, доходности по облигации, которая всетаки выплачивается эмитентом, называется квотой (долей) покрытия.
Пусть c – доля выплаты по облигации, теряемая в случае дефолта. Таким
образом, квота покрытия равна 1 − c . Величина c может принимать
различные значения в разные моменты времени, а также быть случайной
величиной. Обозначим,
Pc′(0, T ) – цена дефолтной облигации с квотой покрытия 1 − c .
Цена дефолтной облигации с квотой покрытия 1 − c может быть представлена
как сумма c безрисковых облигаций и 1 − c дефолтных облигаций с нулевым
покрытием:
4
Pc′(0, T ) = (1 − c ) ⋅ P ′(0, T ) + c ⋅ P (0, T ) .
Тогда в приведенных выше примерах можно провести расчеты для случая с
ненулевым покрытием. Предположим, что ставка покрытия постоянна и
равна 60%, т.е. в данном случае c = 0.4 .
Введение ненулевой ставки покрытия не повлияет на вероятность дефолта
как видно из приведенных выше формул. Пересчитаем рациональную цену
кредитного дефолтного опциона пут.
Пример 1 (Северо-Западный Телеком 2):
D = P(0, T ) − Pc′(0, T ) = (1 − c) ⋅ e
− r0 * T
− (1 − c) ⋅ e
− r0′ * T
= 0.4 ⋅ (0.946 − 0.926) = 0.4 * 0.02 = 0.008
Пример 2 (Томская область, 31018):
D = P (0, T ) − Pc′(0, T ) = (1 − c) ⋅ e
− r0 * T
− (1 − c) ⋅ e
− r0′ * T
= 0.4 ⋅ (0.945 − 0.933) = 0.4 * 0.012 = 0.0048
Из приведенных примеров видно, что введение в модель ставки покрытия
существенно сокращает стоимость защиты от дефолта для данных
облигаций.
Замечания
4
См. Shonbuher [2]
5
1. Поскольку по многим российским облигациям рынок не имеет
достаточной ликвидности, то доходности к погашению могут день
ото дня очень сильно меняться. Изменения доходности могут
составлять до 100 бп. (базовых пунктов)_ и выше. В подобных
случаях целесообразно брать в качестве рисковой ставки не
доходность на последнюю дату, а некоторое усредненное значение
(скользящее среднее). Например, брать доходность, вычисленную по
средневзвешенной цене, за последние 5-10 торговых дней, − в
зависимости от активности торгов по данной облигации.
2. Значение ставки LIBOR можно брать более точное. То есть не на 360
дней как в данных примерах, а, например, равно на 383 (как требуется
в примере 2), получая ее путем аппроксимации кривой, построенной
исходя из известных значений ставки.
Литература
1. Darell Duffie (2002) “Credit Risk Modeling and Affine Processes” Cattedra
Galileana Lectures in Pisa
2. Philipp J. Schönbucher (1998) “Pricing Credit Risk Derivatives” Bonn
University
3. Philipp J. Schönbucher (2003) “Credit Derivatives and Pricing Models” New
York: Wiley
4. Steven E. Shreve (2004) “Stochastic Calculus for Finance II. Continuous-Time
Models” Springer finance series
5. www.cqg.com
6. www.cbonds.ru
6