в 3 ч. / [сост.: В.Д. Золотков - Российский университет кооперации

САРАНСКИЙ КООПЕРАТИВНЫЙ ИНСТИТУТ
АВТОНОМНОЙ НЕКОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ»
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и задания
для самостоятельной работы
Часть 1
САРАНСК
2010
УДК [336.51](76)
Составители: В.Д. Золотков, А.И. Матвеев, Е.А. Черноиванова
Финансовая математика: метод. указания и задания для самостоят. работы: в 3 ч. / [сост.: В.Д. Золотков, А.И. Матвеев,
Е.А. Черноиванова] ; Саран. кооп. ин-т РУК. – Саранск, 2010. –
Ч. 1. – 28 с.
Раскрываются основные понятия финансовой математики, вопросы налогообложения, начисления процентов и финансовой ренты. Каждая глава сопровождается рядом примеров и задач, а также заданиями для самостоятельной работы.
Предназначены для студентов экономических специальностей.
Печатается по решению научно-методического совета Саранского кооперативного института РУК.
2
1. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ
ДЕНЕЖНЫХ СУММ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Важнейшим фактором финансовой операции является неравноценность денег во времени – рубль, полученный сейчас, стоит
больше рубля, который будет получен в будущем, и наоборот.
Данный фактор учитывается с помощью начисления процентов.
Под процентными деньгами, или процентами, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой
форме: выдачи денежной ссуды, продажи в кредит и т. п.
Исходную сумму называют первоначальной и обозначают P,
наращенная сумма S – это первоначальная сумма P плюс начисленные к концу срока ссуды проценты I:
S = P + I.
Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты. Интервал начисления – минимальный промежуток времени, по прошествии которого происходит начисление процентов. Например, сумма P может быть выдана на 2 года
(период), а проценты на нее будут начисляться каждый квартал
(интервал).
Различают два способа начисления процентов. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала,
при антисипативном (предварительном) – в начале.
Процентная ставка наращения – это отношение процентов за
единицу времени (например, год) к сумме долга. Она характеризует интенсивность начисления процентов. Декурсивная процентная
ставка называется ссудным процентом, антисипативная – учетной
ставкой.
При любом способе начисления процентов они могут быть простыми (в течение всего периода начисления применяются к пер3
воначальной сумме) либо сложными (в каждом интервале начисления применяются к текущей наращенной сумме).
1.2. ПРОСТЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В случае простой процентной ставки наращения база начисления процентов остается неизменной. Проценты I за весь срок ссуды определяются по формуле
I = Pni,
(1.1)
где P – первоначальная сумма; n – срок ссуды (как правило, в годах); i – простая ставка наращения (обычно годовая). Тогда наращенную сумму можно узнать следующим образом:
S = P + I = P(1 + ni).
(1.2)
Множитель (1 + ni) называют множителем наращения простых
процентов.
Пример 1.1. Первоначальная сумма 50 тыс. руб. (P) помещена в
банк на 2 года под 15 % годовых (простых). Найдите наращенную
сумму, тыс. руб.
Р е ш е н и е.
S = P(1 + ni) = 50 (1 + 2 ⋅ 0,15) = 65.
Пример 1.2. Первоначальная сумма P равна 30 тыс. руб., наращенная сумма S – 45 тыс. руб., i – 20 % годовых (простых). Найдите период начисления.
Р е ш е н и е. Из формулы (1.2) S = P + Pni, отсюда Pni = S − P;
S−P
n=
. Следовательно, период начисления составляет, лет:
Pi
45 − 30 15
n=
= = 2,5.
30 ⋅ 0,20 6
В формуле (1.2) период начисления n измеряется в годах, что не
всегда удобно, поскольку он может быть меньше года. В таком
случае применяют выражение
n=
t
,
К
где t – число дней ссуды, причем первый и последний принимают4
ся за один; K – временнáя база (число дней в году). Используют
два типа временных баз:
а) K = 360 дней (обыкновенные проценты);
б) K = 365 (366) дней (точные проценты).
Тогда формула (1.2) принимает вид
t
S = P(1 + i).
(1.3)
K
Пример 1.3. Предприятию предоставлена ссуда 100 млн руб.
под 10 % годовых (простых) с 1 января по 1 апреля текущего года.
Долг гасится единовременным платежом, проценты обыкновенные. Определите подлежащую возврату сумму, млн руб.
Р е ш е н и е.
90
S = 100 (1 +
⋅ 0,10) = 102,5 .
360
Если процентные ставки наращения изменяются во времени, то
наращенная сумма вычисляется по формуле
S = P(1 + n1i1 + n2i2 + K + nk ik ),
(1.4)
где n1, n2 , K, nk − временные интервалы, следующие друг за другом; i1, i2 , K, ik − соответствующие этим интервалам ставки.
Пример 1.4. Сумма 30 тыс. руб. помещена в банк. В первой половине года применялась простая процентная ставка 15 % годовых, во второй половине – 12 %. Определите наращенную сумму,
тыс. руб.
Р е ш е н и е.
S = 30 (1 + 0,5 ⋅ 0,15 + 0,5 ⋅ 0,12) = 34,05.
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления n и процентной
ставке i находят первоначальную сумму P:
S
P=
.
(1.5)
1 + ni
1
– это дисконтный множитель, разность
1 + ni
D = S − P – дисконт с суммы S.
Множитель
5
Пример 1.5. Наращенная сумма S составляет 88,4 тыс. руб., период начисления n – 3 года, процентная ставка i – 12 % годовых
(простых). Найдите первоначальную сумму P и дисконт D,
тыс. руб.
Р е ш е н и е.
P=
88,4
88,4
=
= 65;
1 + 3 ⋅ 0,12 1,36
D = 88,4 − 65 = 23,4.
Пример 1.6. Через 146 дней должник уплатит 86,4 тыс. руб.
Кредит выдан под 20 % годовых (простых). Каковы первоначальная сумма P и дисконт D, если временная база K равна 365 дням?
Р е ш е н и е.
P=
86,4
86,4
=
= 80;
146
1+
⋅ 0,20 1,08
365
D = 86,4 − 80 = 6,4.
1.4. ПРОСТЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
Рассмотрим антисипативный (предварительный) способ начисления процентов. В такой ситуации в момент предоставления ссуды с заемщика удерживают проценты за весь срок, т. е. он получает сумму P = S − D.
Данная операция называется дисконтированием по простой
учетной ставке d.
В этом случае D = Snd , следовательно
P = S (1 − nd ).
(1.6)
Пример 1.7. Кредит 70 тыс. руб. выдается на 0,5 года по простой учетной ставке 11 % годовых. Какую сумму (тыс. руб.) получит заемщик?
Р е ш е н и е.
P = 70 (1 − 0,5 ⋅ 0,11) = 70 ⋅ 0,945 = 66,15.
Если период начисления меньше года, то формула (1.6) примет
вид
t 

P = S 1 − d .
 K 
6
(1.7)
На практике простые учетные ставки применяются при учете
(покупке) векселей. Банк может купить вексель до наступления
срока платежа с дисконтом, т. е. приобрести его у владельца по
цене, меньшей номинала. Номинал – это указанная на векселе
сумма денег, которую его владелец получит в момент наступления
срока платежа.
Пример 1.8. Вексель номинальной стоимостью 8 тыс. руб. (S)
учтен в банке по учетной ставке 18 % годовых (простых) за
110 дней до срока его погашения. K = 360 дней. Какую сумму
(тыс. руб.) получит владелец векселя?
Р е ш е н и е.
 110

P = 81 −
⋅ 0,18 = 8 ⋅ 0,945 = 7,56.
 360

Пример 1.9. Вексель учтен банком за 0,25 года до срока погашения по простой учетной ставке 15 % годовых. Банк заплатил
9,625 тыс. руб. Найдите номинальную стоимость векселя, тыс. руб.
P
Р е ш е н и е. P = S (1 − nd ), следовательно, S =
.
1 − nd
S=
9,625
= 10.
1 − 0,25 ⋅ 0,15
1.5. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Предположим, что P руб. помещены в банк под i % годовых,
причем проценты сложные.
Через год наращенная сумма составит S = P(1 + i).
Через два года: S = P(1 + i) + iP(1 + i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i) 2.
Через три: S = P(1 + i) 2 + iP(1 + i) 2 = P(1 + i) 2 (1 + i) = P(1 + i)3.
Таким образом, формула сложных процентов имеет вид
S = P(1 + i) n .
(1.8)
Множитель (1 + i) n называется множителем наращения сложных процентов.
7
Пример 1.10. Первоначальная сумма в размере 60 тыс. руб. помещена в банк на 4 года под 16 % годовых (сложных). Найдите
наращенную сумму S, тыс. руб.
Р е ш е н и е.
S = 60 (1 + 0,16) 4 ≈ 60 ⋅1,812 = 108,72.
Зная первоначальную (Р) и наращенную (S) суммы, сложную
процентную ставку i, можно определить период начисления.
Пример 1.11. Первоначальная сумма P равна 30 тыс. руб., наращенная сумма S – 45 тыс. руб., сложная процентная ставка i –
20 % годовых. Найдите период начисления, лет.
Р е ш е н и е.
S
ln
S
S
P .
S = P(1 + i) n ; (1 + i) n = ; n ln(1 + i) = ln ; n =
P
P
ln(1 + i)
45
ln 1,5
30
n=
=
≈ 2,2.
ln(1 + 0,20) ln 1,2
ln
Зная первоначальную и наращенную суммы, а также период
начисления, можно рассчитать сложную годовую ставку i.
Пример 1.12. Первоначальная и наращенная суммы составляют
20 и 35 тыс. руб. соответственно. Период начисления n – 3 года.
Определите сложную процентную ставку i.
Р е ш е н и е.
S
S
S = P(1 + i) n ; (1 + i) n = ; i = n − 1;
P
P
i=3
35
− 1 = 3 1,75 − 1 ≈ 1,205 − 1 = 0,205; i = 20,5 %.
20
1.6. НОМИНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ
СТАВКИ НАРАЩЕНИЯ
В финансовых операциях в качестве интервала начисления
процентов часто используется не год, а, например, месяц, квартал
или другой период. Тогда говорят, что проценты начисляются
m раз в году. В контрактах при этом обычно фиксируется годовая
8
ставка, которая в этом случае называется номинальной и обозначается через j. Наращенная сумма при использовании номинальной
процентной ставки наращения определяется по формуле
mn
j

S = P1 +  .
 m
(1.9)
Пример 1.13. Первоначальная сумма P равна 70 тыс. руб., период начисления n – 2 года, сложная процентная ставка j – 12 %
годовых ежеквартально. Найдите наращенную сумму S, тыс. руб.
Р е ш е н и е.
 0,12 
S = 70 1 +

4 

4⋅ 2
= 70 ⋅1,038 ≈ 88,672.
З а м е ч а н и е. Если бы проценты начислялись раз в год, то наращенная сумма составила бы, тыс. руб.:
S = 70 (1 + 0,12) 2 = 87,8,
т. е. меньше на 872 руб.
Математическое дисконтирование в случае сложной процентной ставки осуществляется по формуле
S
Р=
.
(1.10)
(1 + i) n
Пример 1.14. Наращенная сумма S равна 52,9 тыс. руб., период
начисления n – 2 года, сложная процентная ставка i – 15 % годовых. Найдите первоначальную сумму Р, тыс. руб.
Р е ш е н и е.
52,9
P=
= 40.
(1 + 0,15) 2
1.7. СЛОЖНЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
При применении сложных учетных ставок сумма, выдаваемая
банком при учете векселей, рассчитывается по формуле
Р = S (1 − d ) n .
(1.11)
9
Пример 1.15. Вексель на сумму 20 тыс. руб., срок платежа по
которому наступит через 1,8 года, учтен по сложной учетной ставке 18 % годовых. Определите сумму, полученную владельцем векселя, и дисконт, тыс. руб.
Р е ш е н и е.
P = 20 (1 − 0,18)1,8 = 13,992;
D = 20 − 13,992 = 6,008.
1.8. СРЕДНИЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
Если во время финансовой операции размер процентной ставки
изменяется, то все ее значения можно обобщить с помощью средней. Замена усредняемых значений на среднюю по определению
не влияет на результат наращения.
Начнем с простых ставок. Пусть за последовательные периоды
n1, n2, ..., nt начисляются простые проценты по ставкам i1, i2,..., it.
Искомые средние получим путем приравнивания соответствующих множителей наращения друг к другу.
Пусть n = ∑ nt – общий срок наращения процентов. Тогда
1 + ni = 1 + ∑ nt it .
t
Следовательно,
i=
∑ nt it
t
.
(1.12)
n
Найденный показатель представляет собой среднюю арифметическую взвешенную с весами, равными продолжительности отдельных периодов.
Аналогичным способом определим среднюю учетную ставку:
∑ nt dt .
d =
(1.13)
n
Пример 1.16. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов – 2, 3 и
5 мес. Какой размер средней ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы?
Р е ш е н и е.
0,2 ⋅ 2 + 0,22 ⋅ 3 + 0,25 ⋅ 5
i=
= 0,231.
10
10
Если усредняются переменные во времени ставки сложных
процентов, то из равенства множителей наращения
(1 + i ) n = (1 + i1) n1 (1 + i2 ) n2 ... (1 + it ) nt
следует, что
i = n (1 + i1 ) n1 (1 + i2 ) n2 ... (1 + it ) nt − 1.
(1.14)
Средняя ставка ссудного процента в этом случае вычисляется
как взвешенная средняя геометрическая.
Пример 1.17. Для первых двух лет ссуды применялась ставка,
равная 15 %, для следующих трех лет она составляла 20 %. Рассчитайте среднюю ставку за весь срок ссуды.
Р е ш е н и е.
i = 5 1,152 ⋅1,23 − 1 = 0,179 74.
Рассмотрим теперь усреднение ставок, применяемых в
нескольких однородных операциях, в которых суммы ссуд и процентные ставки различны, а сроки операций n одинаковы.
Искомые средние ставки найдем из условия равенства соответствующих сумм после наращения процентов:
∑ Pt (1 + ni ) = ∑ Pt (1 + nit ) ;
i=
∑ Pt it .
∑ Pt
(1.15)
Перейдем к усреднению сложных ставок для однородных ссудных операций. Из равенства
n
n
∑ Pt (1 + i ) = ∑ Pt (1 + it )
следует, что
P (1 + it ) n
i =n ∑ t
− 1.
(1.16)
∑ Pt
Формулы (1.15) и (1.16) получены для частных случаев, когда
сроки ссуд одинаковы. В общих случаях они не работают.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Налог на добавленную стоимость (НДС) составляет 18 % от
цены. Найдите цену товара, если с учетом НДС он стоит 1 652 руб.
2. За первый месяц цена товара увеличилась на 30 %, а в течение следующего месяца новая цена уменьшилась на 10 %. На
11
сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за
2 мес.?
3. За месяц цена товара увеличилась на 25 %, а в течение следующего месяца возвратилась к первоначальному уровню. На
сколько процентов уменьшилась новая цена товара?
4. Банковский вклад, не востребованный на протяжении года,
в конце этого срока увеличивается на 10 %. На сколько процентов
возрастет сумма вклада, не запрашиваемого в течение 3 лет?
5. Месячный темп инфляции равен 5 %. На сколько процентов
возрастают цены за год?
6. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении кредита в размере 1 млн руб. на 1 год. Банк выделил ему эту
ссуду с годовой процентной ставкой 20 % при условии ее погашения одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через
год возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги
получит банк?
7. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении кредита в размере 1 млн руб. на 1 год. Банк выделил ему
ссуду с годовой учетной ставкой 20 % при условии ее погашения
одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год
возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги получит банк?
8. Первоначальная сумма равна 1 млн руб., i – 0,12, n – 0,5. В
каком случае плата за кредит меньше: при расчете по схеме простых или сложных процентов?
9. Первоначальная сумма равна 3 млн руб., i – 0,16, n – 3,4.
Найдите сумму, возвращаемую кредитору в случае расчета по
смешанной схеме.
10. Заемщик получил ссуду 1 млн руб. Он должен погасить ее
одним платежом через 0,75 года. Расчет производится по схеме
простых процентов, причем первые 0,25 года годовая процентная
ставка равна 12 %, а в оставшееся время – 16 %. Найдите сумму,
возвращаемую кредитору, и процентные деньги.
2. НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ
В развитых странах со стабильной экономикой проценты, получаемые при помещении некоторой суммы в рост, облагают налогом. Естественно, это уменьшает реальную наращенную сумму.
Пусть на сумму Р в течение n лет начислялись простые проценты i. Тогда до выплаты налогов они составят величину Pni. Если
ставка налога на проценты равна q, то государству необходимо
выплатить сумму Pniq и, следовательно, наращенную сумму с
учетом налога можно будет найти по формуле
12
S q = P + Pni − Pniq = P[1 + ni(1 − q)].
(2.1)
Таким образом, учет налога при определении наращенной суммы сводится к соответствующему сокращению процентной ставки:
вместо i фактически применяется i(1 – q).
Пример 2.1. На депозит была помещена сумма в размере
30 тыс. руб. под 16 % годовых (простых) на 1,5 года, по истечении
которых были начислены проценты. Ставка налога на проценты q
составила 12 %. Определите наращенную сумму с учетом уплаты
налога, тыс. руб.
Р е ш е н и е.
S q = 30 [1 + 1,5 ⋅ 0,16(1 − 0,12)] = 36,335.
Перейдем к долгосрочным операциям со сложными процентами. Начнем с варианта определения налога за весь срок.
Пусть на сумму Р в течение n лет начислялись сложные проценты i. При ставке налога на проценты q государству необходимо
выплатить сумму [P(1 + i)n − P] q, т. е. наращенную сумму с учетом
налога можно рассчитать по формуле
S q = P(1 + i) n − [P(1 + i) n − P] q = P[(1 + i) n (1 − q) + q].
(2.2)
Пример 2.2. Пусть ставка налога на проценты равна 10 %.
Ссудная ставка – 30 % годовых, период начисления процентов –
3 года. Первоначальная сумма ссуды – 1 млн руб. Определите
сумму налога при начислении простых и сложных процентов,
тыс. руб.
Р е ш е н и е. При начислении простых процентов сумма ссуды
без налога и с его учетом составит соответственно, тыс. руб.:
S = 1 000(1 + 3 ⋅ 0,3) = 1 900; S q = 1 000[1 + 3 ⋅ 0,3(1 − 0,1)] = 1 810.
Общая сумма налога на проценты, тыс. руб.:
Q = 1 900 − 1 810 = 90.
При использовании метода сложных процентов сумма ссуды
без налога и с его учетом составит соответственно, тыс. руб.:
S = 1 000(1 + 0,3)3 = 2 197; S q = 1 000[(1 + 0,3)3 (1 − 0,1) + 0,1] = 2 077,3.
Общая сумма налога на проценты, тыс. руб.:
Q = 2 197 − 2 077,3 = 119,7.
Пусть на сумму Р по истечении n лет начислены сложные проценты по годовой номинальной ставке j, т. е. исходя из начисления
13
m раз в году. Величину наращенной за n лет суммы можно узнать
по формуле
S = Pa n ,
m
j

где a = 1 +  .
 m
Если q – ставка налога, то сумма налога будет равна
(Pa n − P)q
и наращенная сумма с учетом уплаты налога составит
S q = Pa n − (Pa n − P)q = P[a n (1 − q) + q)].
(2.3)
Пример 2.3. На вклад 20 тыс. руб. по истечении 4 лет были начислены сложные проценты по номинальной ставке j 12 % годовых исходя из полугодовой схемы начисления. Ставка налога на
проценты q – 8 %. Определите наращенную сумму c учетом уплаты налога, тыс. руб.
2
 0,12 
Р е ш е н и е. Поскольку m = 2, то a = 1 +
 ≈ 1,123 6. Следо2 

вательно,
S q = 20[1,123 6 4 (1 − 0,08) + 0,08] ≈ 30,927;
S = 20 000 ⋅1,1 2364 ≈ 31,877;
Q = 31,817 − 30,927 = 0,95.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. На депозит была помещена сумма в размере 50 тыс. руб. под
12 % годовых (простых) на 1,5 года, по истечении которых были
начислены проценты. Ставка налога на проценты q составляет
10 %. Определите наращенную сумму с учетом уплаты налога.
2. Пусть ставка налога на проценты равна 12 %. Ссудная ставка – 24 % годовых, период начисления процентов – 2 года. Первоначальная сумма ссуды – 2 млн руб. Найдите сумму налога на проценты при использовании методов простых и сложных процентов.
3. На вклад 40 тыс. руб. по истечении 5 лет были начислены
сложные проценты по номинальной ставке (j) 9 % годовых исходя
из полугодовой схемы начисления. Ставка налога на проценты
q – 8 %. Рассчитайте наращенную сумму c учетом уплаты налога.
14
3. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ
В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
3.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНФЛЯЦИИ
Под инфляцией понимают повышение общего уровня цен в экономике или, что практически эквивалентно, процесс снижения покупательной способности денег. При этом инфляция может проявляться двояко: в переполнении сферы обращения бумажными
деньгами вследствие их чрезмерного выпуска либо в сокращении
товарной массы при неизменном количестве выпускаемых денег.
Пусть выбран определенный набор товаров и услуг и за время t
его стоимость изменилась от Р1 до Р2.
Индексом цен (инфляции) за время t называется величина
P
I p(t ) = 2 .
(3.1)
P1
Данный параметр показывает, во сколько раз выросли цены за
рассматриваемый период.
Темпом инфляции ht за время t называется величина
P −P
(3.2)
ht = 2 1 .
P1
Темп инфляции ht (умноженный на 100) демонстрирует, на
сколько процентов выросли цены за период t.
Из (3.1) и (3.2) вытекает следующее соотношение между индексом цен и темпом инфляции за время t:
I (pt ) = 1 + ht .
(3.3)
Пример 3.1. Каждый месяц цены растут на 1,5 %. Каков ожидаемый темп инфляции за год?
Р е ш е н и е.
Распространен
неправильный
ответ
–
12 ⋅1,5 % = 18 %. Поскольку цены увеличиваются на 1,5 % каждый
месяц от достигнутого уровня, их рост идет по схеме сложных
процентов:
(1 + 0,015)12 ≈ 1,2;
т. е. цены вырастут в 1,2 раза. Следовательно, индекс инфляции за
год I p ≈ 1,2, а темп инфляции за этот период составит:
h = I p − 1; h = 1,2 – 1 = 0,2.
15
Грубейшей ошибкой, которая, к сожалению, встречается в российской практике, является именно эта – суммирование темпов
инфляции отдельных периодов для определения обобщающего
показателя за весь срок. Что, заметим, существенно занижает его
величину.
Например, постоянный темп инфляции на уровне 5 % в месяц
приводит к росту цен в размере I p = 1,0512 = 1,796 за год. Следовательно, действительный годовой темп инфляции равен 79,6 %, а не
60 % (12 ⋅ 5 %), как при суммировании.
Индекс цен за несколько периодов k, следующих друг за другом, вычисляется по формуле
I p(t ) = (1 + h1 )(1 + h2 ) ⋅ K ⋅ (1 + hk ) = ∏ (1 + hi ) = ∏ I (pti ) ,
k
k
i =1
i =1
(3.4)
k
где hi и I (pti ) – темп и индекс инфляции в периоде ti , t = ∑ ti .
i =1
Пример 3.2. Пусть приросты цен по месяцам составили: 1,5; 1,2
и 0,5 %. Определите индекс цен и темп инфляции за этот период.
Р е ш е н и е. Индекс цен (инфляции) за три месяца, согласно
(3.4), равен
I (pt ) = 1,015 · 1,012 · 1,005 ≈ 1,032 3,
а темп инфляции
h = 1,032 3 − 1 = 0,032 3 ≈ 3,2 %.
3.2. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
В рассмотренных ранее методах наращения все денежные величины измерялись по номиналу. Иначе говоря, не принималось
во внимание снижение реальной покупательной способности денег
за период, охватываемый финансовой операцией. Однако в современных условиях инфляция играет заметную роль, и без ее
учета конечные результаты часто представляют собой условную
величину.
Инфляцию необходимо принимать во внимание, по крайней
мере, в двух случаях:
а) при расчете наращенной суммы денег;
б) при измерении реальной доходности финансовой операции.
Остановимся на первой проблеме. Пусть С – наращенная сумма
с учетом ее обесценения в результате инфляции; S – наращенная
16
сумма денег, измеренная по номиналу; Р – первоначальная сумма;
n – период начисления; i – годовая простая ставка ссудного процента. Тогда наращенная сумма будет определяться по формуле
S = P(1 + ni).
Если темп инфляции за рассматриваемый период n равен h, то
реальная наращенная сумма денег с учетом их покупательной способности составит
S
P(1 + ni)
(3.5)
.
C = ( n) =
1+ h
Ip
Из формулы (3.5) следует, что реальное наращение первоначального капитала с учетом покупательной способности денег
произойдет только в том случае, если 1 + ni > 1 + h. При ni = h наращение лишь компенсирует действие инфляции. Ставка
h
(3.6)
i* =
n
является минимально допустимой процентной ставкой, при которой не происходит реального уменьшения (эрозии) капитала.
Ставка i > i * называется положительной, так как только она обеспечит действительный рост капитала.
Обозначим через Sh сумму денег, покупательная способность
которой с учетом инфляции равна покупательной способности
суммы S при отсутствии инфляции:
S h = P(1 + ni)(1 + h).
Ту же сумму Sh можно получить, поместив сумму Р на срок n
под простую ставку r, учитывающую инфляцию:
S h = P(1 + nr ).
Отсюда
P(1 + nr ) = P(1 + ni)(1 + h); nr = ni + h + nih;
r=
ni + h + nih
.
n
(3.7)
Именно под такую простую ставку ссудных процентов нужно
положить сумму Р на срок n, чтобы при уровне инфляции h за рассматриваемый период обеспечить реальную доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов i.
Если считать n = 1, получим формулу Фишера:
r = i + h + ih.
(3.8)
Величина h + ih называется инфляционной премией. Таким об17
разом, способом компенсации обесценения денег является увеличение ставки процентов i на величину инфляционной премии.
Величину r, определяемую по формуле (3.7), называют брутто-ставкой.
Пример 3.3. Период начисления n равен 3 мес., ожидаемый
ежемесячный уровень инфляции – 2 %. Под какую простую ставку
ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму Р,
чтобы обеспечить реальную доходность 5 % годовых (простых)?
Р е ш е н и е. Ожидаемый индекс цен за 3 мес. (0,25 года) составил:
I p = (1 + 0,02)3 ≈ 1,061;
таким образом, за рассматриваемый период темп инфляции
h = 0,061.
Тогда процентная ставка равна:
r=
0,25 ⋅ 0,05 + 0,061 + 0,25 ⋅ 0,05 ⋅ 0,061
≈ 0,297;
0,25
иными словами, реальная доходность в 5 % годовых (простых) будет обеспечена при брутто-ставке 29,7 % годовых.
Предположим, что величина r задана и известен темп инфляции
h за рассматриваемый период n. Оценим реальную доходность i от
вложения суммы P под r % годовых (простых).
Из формулы (3.7) следует, что rn = h + i(n + nh).
Отсюда
i=
rn − h
.
n + nh
(3.9)
Пример 3.4. Первоначальная сумма положена на срок апрель –
июнь под простую брутто-ставку 15 % годовых. Темп инфляции в
апреле составил 1 %, мае – 1,5, июне – 2 %. Какова реальная доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов?
Р е ш е н и е. Индекс цен (инфляции) за 3 мес. (0,25 года):
I p = (1 + 0,01)(1 + 0,015)(1 + 0,02) ≈ 1,046;
т. е. темп инфляции за рассматриваемый период h = 0,046.
i=
0,15 ⋅ 0,25 − 0,046
≈ − 0,033;
0,25 + 0,25 ⋅ 0,046
или –3,3 % годовых. Значит, операция убыточна.
18
3.3. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Выведем формулу, учитывающую инфляцию в случае начисления в течение n лет сложных процентов.
Наращенная сумма (без учета инфляции) S = P(1 + i) n . Если
темп инфляции за этот период равен h, то реальная наращенная
сумма денег с учетом ее покупательной способности будет определяться по формуле
P(1 + i) n
C=
.
1+ h
Обозначим через Sh сумму денег, покупательная способность
которой с учетом инфляции эквивалентна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции:
S h = P(1 + i) n (1 + h).
Эту же сумму можно получить, поместив сумму Р в ссуду под
сложную ставку r, учитывающую инфляцию:
S h = P(1 + r ) n .
Отсюда
P(1 + r ) n = P(1 + i) n (1 + h); 1 + r = (1 + i)n 1 + h ;
r = (1 + i)n 1 + h − 1.
(3.10)
Именно под такую сложную процентную ставку следует дать
ссуду на срок n лет, чтобы при темпе инфляции h за этот период
обеспечить реальную доходность i % годовых.
Пример 3.5. Период начисления n составляет 3 года, ожидаемый темп ежегодной инфляции – 14 %. Под какую сложную брутто-ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную
сумму, чтобы обеспечить реальную доходность 5 % годовых
(сложных)?
Р е ш е н и е. Ожидаемый индекс цен за 3 года равен
I p = (1 + 0,14)3 ≈ 1,48;
т. е. темп инфляции h = 0,48. Значит,
r = (1 + 0,05)3 1 + 0,48 − 1 ≈ 0,197, или 19,7 %.
Предположим, что величина r задана и известен темп инфляции
h за рассматриваемый период. Оценим реальную доходность от
вложения суммы P под сложную ставку r.
19
Из формулы (3.10) следует, что
r +1
1+ i = n
.
1+ h
Отсюда
r +1
− 1.
i= n
1+ h
(3.11)
Пример 3.6. Первоначальная сумма была помещена в банк на
3 года под сложную брутто-ставку 20 % годовых. Темп инфляции
за первый год был равен 16 %, за второй – 14 %, за третий –13 %.
Какова реальная доходность этой операции в виде сложной годовой ставки ссудных процентов?
Р е ш е н и е. Индекс цен за рассматриваемый период составил
I p = (1 + 0,16)(1 + 0,14)(1 + 0,13) ≈ 1,494;
т. е. темп инфляции h = 0,494;
0,2 + 1
i=
− 1 ≈ 0,05, или 5 %.
3 1 + 0,494
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Каждый месяц цены растут на 2 %. Каков ожидаемый темп
инфляции за год?
2. Пусть приросты цен по месяцам составили 2; 1,5 и 0,75 %.
Определите индекс цен и темп инфляции за этот период.
3. Период начисления n равен 3 мес., ожидаемый ежемесячный
уровень инфляции – 2 %. Под какую простую ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму Р, чтобы обеспечить реальную доходность 5 % годовых (простых)?
4. Первоначальная сумма помещена на срок январь – март под
простую брутто-ставку 10 % годовых. Темп инфляции в январе
составил 2 %, феврале – 1,5 %, марте – 1 %. Какова реальная доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов?
5. Период начисления n равен 4 годам, ожидаемый темп ежегодной инфляции – 15 %. Под какую сложную брутто-ставку ссудных
процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность 9 % годовых (простых, сложных)?
6. Первоначальная сумма была помещена в банк на 2 года под
сложную брутто-ставку 10 % годовых. Темп инфляции за первый
год составил 15 %, за второй – 12 %. Какова реальная доходность
этой операции в виде сложной годовой ставки ссудных процентов?
20
4. ФИНАНСОВАЯ РЕНТА (АННУИТЕТ)
В финансовых контрактах часто предусматривают серию платежей, распределенных во времени, например, регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный
счет, на котором формируется некоторый фонд, и т. п.
Ряд последовательных выплат и поступлений называется потоком платежей. Поступления представляют собой положительные
величины, выплаты – отрицательные.
Поток платежей, в котором все члены положительны, а временные интервалы между поступлениями постоянны, – это финансовая рента, или аннуитет. Аннуитет считается постоянным, если
все денежные поступления равны между собой.
По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты делятся:
а) на постнумерандо (обыкновенные) – выплаты производятся
в конце периода;
б) пренумерандо – выплаты осуществляются в начале периода.
4.1. ГОДОВАЯ РЕНТА ПОСТНУМЕРАНДО
Пусть в конце каждого года в течение n лет в банк вносится по
R руб., на которые в конце следующего года начисляются проценты по сложной процентной ставке i.
В этом случае к концу срока ренты первый взнос возрастет до
величины R(1 + i) n −1, так как на сумму R проценты начислялись
(n – 1) лет. Второй взнос увеличится до R(1 + i) n − 2 , предпоследний –
до R(1 + i). На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма, записанная в обратном порядке, будет определяться по формуле
S = R + R(1 + i) + R(1 + i) 2 + K + R(1 + i) n − 2 + R(1 + i) n −1.
Мы получили сумму n первых членов геометрической прогрессии
S n = a + aq + aq 2 + K + aq n −1,
в которой первый член a = R, множитель q = 1 + i. Как известно,
qn −1
Sn = a
,
(4.1)
q −1
21
значит, наращенная сумма годовой ренты постнумерандо к концу
срока начисления находится по формуле
(1 + i) n − 1
S pst = R
.
(4.2)
i
Часто эту формулу записывают в следующем виде:
S pst = R sn;i ,
(4.3)
где
(1 + i) n − 1
(4.4)
sn;i =
i
обозначает коэффициент наращения ренты (табулированная функция). Он показывает, чему будет равна суммарная величина аннуитета в 1 ден. ед. (например, 1 руб.) к концу срока его действия.
Пример 4.1. В фонд в течение 7 лет в конце года поступают
10 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты по ставке
15 % годовых. Определите величину фонда на конец срока.
Р е ш е н и е.
Коэффициент
наращения
ренты
(1 + 0,15)7 − 1
s7;15 =
≈ 11,066 8, следовательно, сумма, наращенная к
0,15
концу срока, составит, тыс. руб.:
S pst = 10 ⋅ 11,066 8 = 110,668.
4.2. ГОДОВАЯ РЕНТА, НАЧИСЛЕНИЕ
ПРОЦЕНТОВ m РАЗ В ГОДУ
Пусть платежи осуществляются один раз в конце года, а проценты начисляются m раз в году. Это означает, что каждый раз
j
применяется ставка , где j – номинальная ставка процентов.
m
В этом случае к концу срока ренты первый взнос возрастет до
j

R1 + 
 m
m(n −1)
, так как на сумму R проценты начислялись в тече-
j

ние (n – 1) года. Второй взнос увеличится до R1 + 
 m
22
m(n − 2)
, пред-
j

последний – до R1 + . На последний взнос проценты не начисm


ляются.
Наращенная сумма ренты равна сумме n членов геометрической прогрессии с первым членом a = R и знаменателем
m
j

q = 1 +  :
m


mn
j

1 +  − 1
m
S pst = R 
.
(4.5)
m
j

1 +  − 1
 m
Если воспользоваться формулой (4.4), то последнее выражение
можно записать в виде
s j
mn;
m
(4.6)
.
S pst = R
s j
m;
m
Пример 4.2. В фонд в течение 7 лет в конце года поступают
10 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты по номинальной ставке 16 % годовых ежеквартально. Определите величину фонда на конец срока.
j 16
Р е ш е н и е. Произведение m n = 4 ⋅ 7 = 28;
= = 4 %. Наm 4
ращенная сумма составит, тыс. руб.:
s28; 4
49,967 6
S pst = R
= 10
≈ 117,668.
s4;4
4,246 5
4.3. ГОДОВАЯ РЕНТА ПРЕНУМЕРАНДО
Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо
происходят в начале каждого периода, то он отличается от
ренты постнумерандо количеством периодов начисления процентов. В этом случае к концу срока ренты первый взнос возрастет до
23
величины R(1 + i) n , второй – до R(1 + i) n −1, последний – до R(1 + i),
и наращенная сумма составит S = R(1 + i) + R(1 + i) 2 + K + R(1 + i) n .
Воспользуемся формулой (4.1). a = R(1 + i), q = 1 + i, следовательно,
(1 + i) n − 1
S pre = R(1 + i)
= R(1 + i) sn; i .
(4.7)
i
Из сравнения формул (4.3) и (4.7) видно, что наращенная стоимость ренты пренумерандо S pre в (1 + i) раз больше наращенной
стоимости ренты постнумерандо S pst .
4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА РЕНТЫ
Зная величину отдельного платежа R, процентную ставку i и
наращенную сумму S годовой ренты, можно узнать ее срок.
(1 + i) n − 1
Для ренты постнумерандо S pst = R
;
i
(1 + i) n = 1 +
n pst
Si
 Si 
; n ln(1 + i) = ln1 + ;
R
R

 Si 
ln1 + 
R
= 
.
ln(1 + i)
(4.8)
В случае ренты пренумерандо для определения n необходимо в
формулу (4.8) вместо R подставить выражение R(1+i):

Si 
ln1 +
R(1 + i) 
n pre = 
.
(4.9)
ln(1 + i)
Пример 4.3. Размер ежегодных платежей R составил
5 тыс. руб., процентная ставка i – 12 % годовых, наращенная сумма S – 61,49 тыс. руб. Определите сроки рент постнумерандо и
пренумерандо, лет.
Р е ш е н и е. Для ренты постнумерандо:
n pst
0,12 

ln1 + 61,490

5  ln 2,476
= 
≈
= 8.
ln(1 + 0,12)
ln 1,12
Для ренты пренумерандо:
24
n pre

0,12 
ln 1 + 61,49
5(1 + 0,12)  ln 2,318
≈
≈ 7,42.
= 
ln(1 + 0,12)
ln 1,12
4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
ОТДЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА РЕНТЫ
Зная процентную ставку i, количество выплат n и наращенную
сумму S годовой ренты, можно вычислить величину отдельного
платежа R.
(1 + i) n − 1
Для ренты постнумерандо S pst = R
. Отсюда
i
R pst =
Si
.
(1 + i) n − 1
(4.10)
В случае ренты пренумерандо для определения R необходимо в формуле
(4.10) вместо R pst подставить R(1 + i):
R(1 + i) =
Si
, следовательно,
(1 + i) n − 1
R pre =
Si
.
(1 + i)[(1 + i) n − 1]
(4.11)
Из сравнения формул (4.10) и (4.11) видно, что R pst в (1 + i) раз
больше R pre .
Пример 4.4. Определите размер ежегодных платежей
(тыс. руб.) по сложной процентной ставке 14 % годовых для накопления 50 тыс. руб. через 3 года, если платежи осуществляются:
а) в конце года; б) в начале года.
Р е ш е н и е.
а) R pst =
50 ⋅ 0,14
7
≈
≈ 14,538;
3
(1 + 0,14) − 1 0,481 5
б) R pre =
50 ⋅ 0,14
7
≈
≈ 12,753.
3
(1 + 0,14)[(1 + 0,14) − 1] 0,548 9
25
4.6. СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ
ГОДОВОЙ РЕНТЫ
Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало ренты и
суммировать все продисконтированные платежи.
Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n лет.
Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
R /(1 + i) = Rv, где v = 1 /(1 + i) – дисконтный множитель. Приведенная к началу ренты величина второго платежа составляет
Rv 2 , третьего – Rv 3 , последнего – Rv n . Указанные величины образуют геометрическую прогрессию с первым членом a = Rv и знаменателем q = v. Сумма членов этой прогрессии представляет собой современную стоимость ренты постнумерандо:
n
 1 

 −1
vn −1
R 1+ i 
(1 + i) − n − 1
1 − (1 + i) − n
=
=R
=R
A = Rv
.
1
v −1 1 + i
−i
i
−1
1+ i
Часто последнюю формулу записывают в виде
A = Ran;i ,
(4.12)
1 − (1 + i) −n
– коэффициент приведения (дисконтироваi
ния) аннуитета (табулированная функция).
Коэффициент an;i можно интерпретировать как величину капитала, поместив который в банк под сложную процентную ставку i,
можно обеспечить регулярные выплаты в размере 1 ден. ед. в течение n лет (выплаты производятся в конце каждого года).
Например, поскольку a4,;18 = 2,690 1, то, поместив 2 руб. 69 коп.
под сложную процентную ставку 18 %, можно обеспечить выплаты по 1 руб. в конце каждого года в течение 4 лет.
где an; i =
Пример 4.5. Петров предполагает поместить в банк, который
выплачивает 10 % годовых (сложных), такую сумму, чтобы его
дочь, поступившая в университет, могла снимать с этого счета в
конце каждого года по 10 тыс. руб., исчерпав вклад к концу пятилетнего срока обучения. Какую сумму он должен положить?
26
1 − (1 + 0,1) −5
≈ 3,790 8, следова0,1
тельно, в банк необходимо положить сумму, тыс. руб.:
Р е ш е н и е: Вычислим
a5;10 =
A = 10 ⋅ 3,790 8 = 37,908 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. В фонд в течение 8 лет в конце года поступают средства в
размере 1 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты
по ставке 16 % годовых. Определите величину фонда на конец
срока.
2. В фонд в течение 10 лет в конце года поступают средства в
размере 1 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты
по номинальной ставке 10 % ежеквартально. Определите величину фонда на конец срока.
3. Размер ежегодных платежей R составляет 9 тыс. руб.,
процентная ставка i = 10 % годовых, наращенная сумма S –
73,8 тыс. руб. Определите сроки рент постнумерандо и пренумерандо.
4. Рассчитайте размер ежегодных платежей по сложной
процентной ставке i 11 % годовых для накопления 100 тыс. руб.
через 3 года, если платежи осуществляются:
а) в конце года; б) в начале года.
5. Иванов планирует положить в банк, который выплачивает
15 % годовых (сложных), такую сумму, чтобы его дочь, поступившая в университет, могла снимать с этого счета в конце каждого года по 15 тыс. руб., исчерпав вклад к концу пятилетнего срока
обучения. Вычислите размер начального вклада.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Ковалев, В.В. Курс финансовых вычислений / В.В. Ковалев, В.А. Уланов. М.:
Финансы и статистика, 2005. 346 с.
Колемаев, В.А. Финансовая математика. М.: Юнити-Дана, 2005. 278 с.
Кузнецов, Б.Т. Математические методы финансового анализа. М.: ЮнитиДана, 2006. 152 с.
Мелкумов, Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. М.: Инфра-М, 1996. 366 с.
Просветов, Г.И. Математика в экономике: задачи и решения. М.: Изд-во РДЛ,
2005. 134 с.
Четыркин, Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2006. 422 с.
27
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и задания
для самостоятельной работы
Часть 1
Составители:
ЗОЛОТКОВ Вячеслав Дмитриевич
МАТВЕЕВ Александр Иванович
ЧЕРНОИВАНОВА Елена Анатольевна
Редактор О.С. К а р я к и н а
Компьютерная верстка
Л.Н. Ч е б а к о в о й
Подписано в печать 19.04.10. Формат 60 × 84 1/16
Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 33
Саранский кооперативный институт
АНО ВПО ЦС РФ «Российский университет кооперации»
430027, г. Саранск, ул. Транспортная, 17
Отпечатано с оригинал-макета заказчика
в ОАО «Типография „Рузаевский печатник“»
431440, г. Рузаевка, ул. Трынова, 67а
28