Касательные напряжения при изгибе

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Донбасская государственная машиностроительная академия
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
конспект лекций по дисциплине
«ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ»
для студентов специальности АПП, ЭСА, ЛП
Утверждено
на заседании кафедры
«Основы конструирования
механизмов и машин»
Протокол № 11 от 23.06.09
Затверджено на засiданнi методичного
семiнару кафедри ОПМ
протокол №6 вiд 20.02.2012
Краматорск 2009
2
МОДУЛЬ 1 – «ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН»
ПМиОК – наука изучающая основные принципы проектирования механизмов и машин и методы
их теоретического и экспериментального исследования.
Механизм – система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких
твердых тел, в требуемое движение других тел (часы, приборы).
Машина – это устройство, выполняющее механическое движение для преобразования энергии
материалов и информации, с целью облегчения или замены физического и умственного труда.
Машины: энергетические (двигатели), рабочие (краны), информационные (ЭВМ),
кибернетические (искусственный интеллект).
Работа машины обычно сопровождается преобразованием движения одних тел в требуемое
движение других.
Функции механизма:
1 преобразование движения одних или нескольких тел в требуемое движение других;
2 трансформация силы;
3 выполнение операций.
Структура и классификация механизмов
Деталь – отдельно изготовляемое твердое тело.
Звено – одна деталь или система жестко связанных друг с другом деталей (при этом имеется
ввиду как твердое тело так и деформируемые и гибкие тела).
Механизмы изучаемые в курсе ТММ – кулачковые, зубчатые, рычажные.
Кинематическая пара – подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев.
Элементом пары называется совокупность поверхностей, линий и точек звена входящих в
соприкосновение с другим звеном пары.
Низшие КП – если звенья контактируют по поверхности.
Высшие КП – если звенья контактируют по линии или в точке.
Рычажный механизм – это механизм, звенья которого образуют только низшие КП:
вращательные, поступательные, цилиндрические и сферические. Плоский рычажный механизм может
быть образован только из вращательных и поступательных пар.
Классификация КП по степени свободы
Свободное тело в пространстве имеет 6 степеней свободы. Под степенью свободы понимают
возможность каждого из независимых, бесконечно малых перемещений. (3 поступательных и 3
вращательных).
Кинематическая пара накладывает на относительное движение, образующих ее звеньев
некоторое число ограничений называемым условием связи КП.
Обозначим H – число степеней свободы звена.
K – число ограничений.
3
H+K=6;
1H5;
1K5.
КП по числу ограничений, которые пара накладывает на относительное движение ее звеньев,
делят на 5 классов. Т.е. класс механизма определяется количеством ограничений.
Вращательная пара – это одноподвижная пара, которая допускает только одно вращательное
движение одного звена относительно другого.
1
2
Поступательная пара – это одноподвижная пара, которая допускает только поступательное
движение одного звена относительно другого.
2
1
2
1
Шар на плоскости. k=1  H=6-k=5.
I класс
Сферический шарнир k=3, H=6-k=3.
III класс
Сферический шарнир с пальцем k=4, H=6-k=2;
IV класс
Цилиндрическая пара k=4, H=2
IV класс
Винтовая
V класс
Пара V класса, так как из двух возможных относительных движений независимым является
только 1.
4
Система звеньев образующих между собой КП называется кинематической цепью.
Кинематическая цепь: плоская и пространственная.
Плоской кинематической цепью называется цепь, в которой при закреплении одного из звеньев
все другие совершают плоское движение в одной или параллельных плоскостях.
Кинематическая цепь: замкнутая и незамкнутая.
Механизм – такая кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного или
нескольких звеньев относительно любого из них все остальные звенья совершают однозначно
определенное движение.
Плоским называется механизм, все подвижные звенья которого совершают плоское движение
в одной или в параллельных плоскостях.
Ведущими называются звенья к которым приложены силы, приводящие механизм в движение.
Все остальные звенья называются ведомыми.
Входное звено – звено, которому сообщается заданное движение, преобразуемое механизмом в
требуемое движение других звеньев.
Выходное звено – звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен
механизм.
При схематическом изображении механизма на чертежах вместо конструктивного изображения
КП и звеньев удобно ввести условное их изображение и представить механизм в виде кинематической
или структурной схемы.
Кинематическая схема механизма – условное изображение построенное в определенном
масштабе с точным соблюдением всех тех размеров и форм, от которых зависит взаимное движение
звеньев механизма.
Главное отличие кинематической схемы от структурной в том, что она выполнена в масштабе.
Подвижность механизмов
Механизмы пространственные
Подвижность механизма это число степеней свободы всех подвижных звеньев механизма
относительно стойки.
Подвижность механизма определяется для определения количества входных звеньев.
Обозначим n – количество подвижных звеньев.
pi – количество КП i-го класса.
V
H=6
H=6
H=6
H=6
H=6
H=6
V
W=6n-5p5-4p4-3p3-2p2-p1
В механизме могут встретиться местная подвижность и избыточная связи, которые не влияют на
кинематику движения всего механизма.
Wм – местная подвижность
5
qu – избыточная связь.
2
1
3
Общая формула Сомова-Малышева: W=6n-5p5-4p4-3p3-2p2-p1-Wм+qu
Плоские механизмы
Звено в плоскости имеет 3 степени свободы. На все звенья плоского механизма еще до их
объединения в пары наложены 3 общих ограничения.
Формула Чебышева: W=3n-2p5-p4-Wм+qu
Все пары V класса – это пары поступательные либо вращательные.
Манипуляторы
Манипулятором называется техническое устройство, предназначенное для воспроизведения
рабочих функций рук человека
Первые конструкции манипуляторов не только по назначению, но и по внешнему виду
напоминали руку человека. 0 – корпус; 1 – плечо; 2 – предплечье; 3 – кисть или захват; 4 – палец.
В дальнейшем появились более сложные манипуляторы и сходство с рукой человека стало
утрачиваться, но сохранилось назначение – воспроизводить движения рук человека.
Основной механизм манипулятора – пространственный рычажный механизм с незамкнутой
кинематической цепью и несколькими степенями свободы
В зависимости от типа управления манипулятора: ручное и автоматическое.
С ручным управлением оператор воздействует на звенья механизма механическим и
дистанционным способом. С автоматическим управлением – по программе.
Привод манипулятора предназначен для приведения в движение звеньев манипулятора и
передвижения самого робота.
В основном используют одноподвижные вращательные и поступательные КП.
Привод манипулятора бывает: электрический, механический, гидравлический, пневматический и
комбинированный.
Электрический привод наиболее компактен и легок в эксплуатации и монтаже.
Пневматический привод применяется при небольшой грузоподъемности. Имеет низкую
стоимость и сравнительно большой срок службы.
6
Гидропривод при большой грузоподъемности и при необходимости плавного изменения
скорости.
Показатели манипулятора: маневренность, угол и коэффициент сервиса, число степеней
свободы, рабочее пространство.
Определяем степень свободы по формуле Сомова-Малышева W=6n-5p5-4p4-3p3-2p2-p1
Маневренность – число степеней свободы механизма при неподвижном фиксированном
положении схвата. Обозначают – М.
М=6(n-1)-5p5-4p4-3p3-2p2-p1
Маневренность дает возможность звеньям манипулятора обходить препятствия или же
располагаться в более удобной позиции при одном и том же положении схвата.
Рабочее пространство – пространство в котором может находится исполнительное устройство
при функционировании манипулятора.
Принцип образования механизмов
Три типа рычажных механизмов: кривошипно-ползунный, кривошипно-кулисный, кривошипнокоромысловый.
Стойка – неподвижное звено. Всегда имеет номер 0.
Входное звено всегда обозначают номером 1.
Кривошип – звено, соединенное вращательной КП со стойкой и совершающее полный оборот
вокруг своей оси. (Как правило, кривошип является входным звеном, если привод механизма от
двигателя).
Ползун – звено, имеющее поступательную кинематическую пару со стойкой. (Ползун тоже
может быть входным звеном, если привод от гидроцилиндра или пневмоцилиндра).
Коромысло – звено, соединенное вращательной КП со стойкой и не совершающее полный
оборот вокруг своей оси.
Камень – звено имеющее поступательную КП с подвижным звеном.
Кулиса – это подвижная направляющая для камня.
Шатун – звено имеющее только вращательные КП и только с подвижными звеньями.
Особенности движений звеньев:
- кривошип только вращательное;
- коромысло только вращательное;
- ползун только поступательное;
- шатун только плоское;
Принцип образования механизмов по Ассуру заключается в том, что механизм будет
работоспособным, если он образован последовательным наслоением на первичный механизм особых
кинематических цепей называемых структурными группами Ассура.
Первичный механизм это простейший механизм, состоящий из входного звена и стойки.
Свойства групп Ассура:
1 Подвижность группы относительно тех звеньев к которым она присоединяется равно 0.
2 Содержит только низшие КП пятого класса.
7
3 Группа Ассура не может быть разложена на более простейшие кинематические цепи с
подвижностью равной 0
4 Имеет свободные элементы КП которыми присоединяется к другим звеньям.
По формуле Чебышева: W=3n-2p5-p4.
p4=0, т.к. свойство – 2 только низшие КП пятого класса.
W=0 – свойство 1.
3n-2p5=0;
p5=3n/2.
Следовательно: т.к. р5 – целое n может быть только четным, а р5 – кратное трем.
Простейшая группа Ассура имеет два звена и три КП.
Группа Ассура состоящая из двух звеньев – это группа Ассура II класса. (Класс группы Ассура
обозначается римскими ). Состоящая из четырех звеньев – III класса.
Порядок группы Ассура определяется количеством внешних КП.
Вид группы Ассура определяется количеством вращательных и поступательных КП а так же их
взаимным расположением.
8
Таблица - Структурные группы пяти видов
Вид группы
Схема группы
Упрощенная схема
Условное обозначение
группы
группы
1
ВВВ
2
ВВП
3
ВПВ
4
ПВП
5
ВПП
a
Группы Ассура третьего класса
B
2
D
5
3
A
C
4
E
F
9
Вместо любой ВКП может быть ПКП. Видов группы Ассура III класса не имеют.
В качестве примера можно привести пример группы Ассура IV класса.
B
C
2
F
4
A
3
D
5
6
E
7
L
G
K
Расчленение механизма по методу “остановки звеньев” выполняется в такой последовательности.
1 Стойке присваиваем номер 0, а начальному звену, в качестве которого принимается кривошип,
коромысло или кулиса, образующие со стойкой вращательную КП, или ползун, образующий со стойкой
поступательную пару, присваиваем номер 1.
2 Выделенное начальное звено мысленно превращаем в мнимую стойку.
3 Отыскиваем два звена, образующие между собой КП, каждое из которых образует КП с
действительной или мнимой стойкой. Такие два звена образуют структурную группу Ассура второго
класса. Им присваиваем номера 2 и 3 и мысленно превращаем в мнимую стойку.
4 Предыдущее действие повторяем для следующей пары звеньев, присваивая им очередные
порядковые номера. Если из оставшихся звеньев не удается выделить двухзвенную структурную
группу, следует отыскать комбинацию звеньев, соответствующую группам Ассура III класса, с учетом
того, что некоторые из вращательных КП могут быть поступательными.
Расчленение механизма выполняется до исчерпания всех звеньев, после чего записывается
формула строения механизма, содержащая номера звеньев, образующих структурную группу, с
указанием вида структурной группы.
Класс всего механизма определяется наивысшим классом группы Ассура входящей в механизм.
Класс механизма определяет методы исследования всего механизма.
Кинематика рычажных механизмов
При кинематическом исследовании механизма рассматриваются движения звеньев без учета сил,
которые действуют на них.
Т.к. движение тела характеризуется перемещением, скоростью и ускорением, поэтому основная
задача кинематического исследования - определить координаты точек, их скорости и ускорения.
Методы кинематического исследования: графический, аналитический и экспериментальный.
Графический основан на построении планов скоростей и ускорений.
Аналитический основан на выводе аналитических зависимостей между точками.
Самый точный метод - экспериментальный.
Т.к. положение любого звена определяется положением одного из звеньев, поэтому вводится
понятие ОКМ.
10
Обобщенной координатой механизма называется каждая из независимых между собой
координат, определяющих положение всех звеньев механизма относительно стойки.
В качестве ОКМ можно взять любой параметр.
B
2
A
1
1
3
О
C
Начальное звено – звено, которому приписывается ОКМ. Т.к. количество начальных звеньев
определяется подвижностью механизма, которая может быть больше 1 поэтому и количество ОКМ
может быть больше 1.
В механизме может быть несколько ОКМ.
Зависимость линейной или угловой координаты какого-либо элемента механизма от обобщенной
координаты 1 называется передаточной функцией нулевого порядка (ПФ0).
Графики всех функций мы изображаем в зависимости от ОК.
Первая производная ПФ0 по обобщенной координате называется ПФ1 или аналог скорости.
Вторая производная ПФ0 по обобщенной координате называется ПФ2 или аналог ускорения.
ПФ различных элементов механизмов
Начальное звено – кривошип
y
A
1
1
О
x
Определим угловую ПФ кривошипа.
1
1
11
1' 
d 1
 1 . =45. (tg 45=1).
d 1
ПФ1=1; 1"  0 .
ПФ2=0.
Определим проекции ПФ т. А кривошипа.
 x  xO  lOAcos1
ПФ0  A
- линейные ПФ0 т.А.
 y A  yO  lOA sin 1
Продифференцируем по обобщенной координате
 x'  lOA sin 1
ПФ1  A'
- линейные ПФ1 т. А.
 y A  lOAcos1
 x''A  lOAcos1
ПФ2  ''
- линейные ПФ2 т. А.
 y A  lOA sin1
Расчет ПФ осуществляется с помощью стандартной процедуры kriv
Описание процедуры
Kriv (Xo, Yo, Loa, fiOAg, q, jk, mas : real;
Xa, Ya, Xa_1, Ya_1, Xa_2, Ya_2 : Real).
Хо, Yo – координаты оси вращения кривошипа, мм
Loa – длина кривошипа
FiOAg – угол определяющий положение кривошипа
q – параметр определяющий наличие изображения на экране
jk – признак направления вращения кривошипа (1 – против часовой; -1 по часовой)
Mas – масштаб графического изображения на экране.
Xa, Ya, Xa_1, Ya_1, Xa_2,Ya_2 – значения ПФ 0, 1, 2 порядка точки A кривошипа.
Начальное звено ползун
y
1
x1
A
1
A0
x
х1 – OK.
1 – угол направляющей
Формулы для определения проекций передаточных функций точки А ползуна.
 x A  x A0  x1cos1
ПФ0 
- линейные ПФ0 т. А.
y

y

x
sin

A
A
1
1
0

12
Продифференцируем по обобщенной координате
 x'  cos1
ПФ1  A'
- линейные ПФ1 т. А.
y

sin

1
 A
 x''  0
ПФ2  ''A
- линейные ПФ2 т. А.
 yA  0
Расчет ПФ осуществляется с помощью стандартной процедуры Polsun
Polsun (xA0, yA0, fing, x1, lcc, Mas, q, xA, yA, xA_1, yA_1, Xa_2, Ya_2 : real);
Xa0, Ya0 – координаты точки отсчета ОК
Fing – угол направляющей ползуна
Х1 – значение обобщенной координаты
Lcc – длина диагонали прямоугольника изображающего на экране ползун
q – параметр определяющий наличие изображения на экране
Mas – масштаб графического изображения на экране.
Xa, Ya, Xa_1, Ya_1, Xa_2,Ya_2 – значения ПФ 0, 1, 2 порядка точки A кривошипа.
Группа Ассура первого вида
B
y
CB

AB
A
C

x
Входные параметры для расчета:
ПФ внешней КП точки А: x A , x A' , x "A , y A , y A' , y "A
ПФ внешней КП точки С: xC , xC' , xC" , yC , yC' , yC"
длины звеньев lAB, lCB
Выходные параметры:
угловые ПФ звена AB:  AB ,  'AB ,  "AB
угловые ПФ звена BС:  BC ,  'BC ,  "BC
Использую формулы тригонометрии и аналитической геометрии можно определить углы  AB ,  BC
Для определения ПФ1 звеньев группы используем систему уравнений в виде
13
 xC  x A  l AB cos AB  l BC cosCB

 yC  y A  l AB sin  AB  l BC sin CB
Продифференцируем эти выражения по ОК, получим
'
 xC'  x'A  l ABcos AB 'AB  l BC cosCBCB
 '
'
'
'
 yC  y A  l AB sin  AB AB  l BC sin CBCB
'
Решая систему уравнений определяем  'AB ,  CB
"
Дифференцируем эти выражения еще раз по ОК и определяем  "AB ,  CB
Расчеты будем делать с помощью процедур, внутри которых заложен весь расчет
Procedure Assur1 (xa, ya, xa_1, ya_1, xa_2, ya_2,
xc, yc, xc_1, yc_1, xc_2, yc_2,
lab, lcb, j , q, mas : real;
var fiabg, ficbg, fiab_1, ficb_1, fiab_2, ficb_2 : real);
j – признак сборки т.к. механизм можно собрать двумя вариантами.
Группа Ассура второго вида
y
AB
A
B
h
N0
N
N
x
Входные параметры
ПФ внешней КП на шатуне - точки А: x A , x A' , x "A , y A , y A' , y "A
ПФ точки на направляющей: x N , x N' , x "N , y N , y N' , y "N
угловые ПФ направляющей:  n ,  n' ,  n"
длина звена AB
длина поводка h
Выходные параметры
угловые ПФ звена AB:  AB ,  'AB ,  "AB
procedure Assur2 (xa, ya, xa_1, ya_1, xa_2, ya_2,
14
xn, yn, xn_1, yn_1, xn_2, yn_2,
fing, fin_1, fin_2, l, lab, h, lcc, j, q, mas : real;
var fiabg, fiab_1, fiab_2 : real);
j – признак сборки, т.к. имеет два варианта сборки
А
2
2
B3
B
3
Группа Ассура третьего вида
y
h1
A
k
A0
B0
h2
C
B
x
Входные параметры для расчета:
ПФ точки на камне А: x A , x A' , x "A , y A , y A' , y "A
ПФ точки B на кулисе: x B , x B' , x B" , y B , y B' , y B"
длины поводков h1, h2
Выходные параметры:
угловые ПФ кулисы:  k ,  k' ,  k"
Procedure Assur3 (xa, ya, xa1, ya1, xa2, ya2,
xb, yb, xb1, yb1, xb2, yb2,
h1, h2, Mas, lcc, q : real;
var fikg, fik1, fik2 : Real);
15
Группа Ассура четвертого вида
y
hm
K
hn
m
m
n
M
n
N
x
Procedure Assur4 (xn, yn, xn1, yn1, xn2, yn2,
fing, fin1, fin2, hn,
xm, ym, xm1, ym1, xm2, ym2,
fimg, fim1, fim2, hm,
mas,ldiag,q:real;var xk,yk,xk1,yk1,xk2,yk2:real);
Группа Ассура пятого вида
y
n
K
n
m
N
n 
c
C

A
m
h
x
Procedure Assur5(xa, ya, xa1, ya1, xa2, ya2,
h,
xn, yn, xn1, yn1, xn2, yn2,
fing, fin1, fin2,
alfag, mas, ldiag, q : real;
var xk, yk, xk1, yk1, xk2, yk2 : Real);
16
Принцип проектирования механизмов
1
2
3
4
5
Механизм разбиваем на первичный механизм и структурные группы
Определяем ПФ конца кривошипа (используя процедуру kriv)
Согласно формуле строения механизма присоединяем структурную группу Ассура используя ПФ
конца кривошипа.
Определяем недостающие ПФ точек звеньев, центров масс.
Присоединяем следующую группу Ассура.
Контроль передаточных функций
Контроль ПФ0
Используют качественную и количественную оценку правильности расчета.
Качественная оценка правильности определения ПФ0 элементов механизма может быть
осуществлена посредством наблюдения их экранных изображений и взаимного расположения звеньев.
Количественная оценка ПФ0 может быть выполнена в результате построения кинематической
схемы в масштабе методом засечек для одного или нескольких положений начального звена.
Следует в масштабе построить произвольное положение кривошипа, значение которого должно
обязательно соответствовать одному из положений, выводимых на экран. Дальнейшее построение
схемы механизма следует выполнить в соответствии с формулой строения механизма.
После построения необходимо измерить координаты всех точек механизма и сравнить с
координатами полученными при аналитическом расчете.
17
Тестирование ПФ1 и ПФ2
С помощью выведенных на экран графиков можно дать качественную оценку правильности ПФ1
и ПФ2.
Эти графики связаны между собой операцией дифференцирования.
1) Значения при i=1 и i=m+1 одинаковы, т.к. все ПФ являются циклическими функциями.
2) График ПФ1 пересекает ось абсцисс в точках экстремуму графика ПФ0.
3) На участках возрастания ПФ0 значения ПФ1 положительны, а на участках убывания отрицательны.
4) Площадь под положительной и отрицательной частью ПФ0 равны.
Количественная оценка правильности расчета ПФ1 и ПФ2 может быть осуществлена путем
численного дифференцирования ПФ0 по ОК, и сравнения полученного результата с рассчитанным по
аналитическим зависимостям.
Динамическое исследование механизмов.
При динамическом исследовании рассматривают движения звеньев с учетом действующих сил.
Различают две основные задачи динамики.
1 Задан закон движения начального звена - необходимо определить внешние силы, которые
вызывают это движение (силовой анализ механизма).
2 Заданы внешние силы, которые действуют на звенья - необходимо определить закон движения
начального звена (динамика механизмов).
Как правило, вторая задача динамики решается первой. По ней определяют закон изменения
угловой скорости кривошипа. По второй задачи динамики определяют реакции в опорах, уже для
полученного закона движения кривошипа.
К динамике механизмов также относятся следующие задачи: расчет маховика, уравновешивание
масс, определение КПД, определение коэффициента неравномерности движения кривошипа.
Силы действующие на звенья механизма
18
Под силой следует понимать причины изменения механического состояния тела, а так же
реакции, которые при этом возникают.
Силы делятся на 2 группы:
1 Движущие силы, которые действуют в направлении движения тела и пытаются ускорить его
движение;
2 Силы сопротивления, которые действуют против движения тела, т.е. пытаются замедлить
движение тела.
Движущие силы – это те силы, которые приводят механизм в движение (пар, электромагнитные
силы и др.).
Силы сопротивления делятся на полезные силы (производственные), и силы вредные силы
(непроизводственные: трение).
Работа движущих сил положительна, сил сопротивления – отрицательна.
Силы тяжести, силы инерций и реакции в опорах могут быть как полезными так и вредными.
Силы тяжести определяется по формуле G=mg.
Так как направление силы тяжести всегда остается постоянной, а траектория движение точек
звеньев замкнута, поэтому работа сил тяжести за период движения равна 0.
Силы инерций появляются при изменении величины или направления скорости.
Определяется по формуле Fu=-maS.
Прилагается в центре масс звеньев.
Момент сил инерций возникает при изменении величины или направления угловой скорости.
Определяется по формуле Mu=-JS,
где JS – центральный момент инерций.
 - угловой ускорение.
При периодическом движении работа сил инерций за период движения также равна 0.
Реакции в опорах по 3-му закону Ньютона взаимообратные, поэтому работы не совершают.
Силы трения – совершают всегда отрицательную работу
Наибольшее влияние на закон движения механизма оказывают движущие силы и моменты, а так
же силы и моменты сопротивления.
Крайнее положение механизма
О
1
А
B
2
2
Mс
A
B
3
Fпс
1
3
C
19
Если выходное звено совершает поступательное движение, то на выходное звено действует сила
сопротивления (Fc), если вращательное, то момент сопротивления (Mc).
Движение механизма разбиваем на фазу рабочего хода и фазу холостого хода.
Силы технологического сопротивления действуют только на рабочем ходу, т.к. на холостом ходу
механизм возвращается в исходное положение.
Разбиение на фазы необходимо проводить по выходному звену.
Крайним называется такое положение начального звена, когда аналог скорости (ПФ1)
выходного звена равен нулю.
Если выходное звено совершает поступательное движение, то крайнее положение необходимо
определять по аналогу линейной скорости, если качательное, то по угловой ПФ.
ПФ1
х.х.
х.х.
р.х.
ОК
Фаза рабочего хода должна быть больше фазы холостого хода. (стремятся уменьшить время
простоя всего механизма)
Чтобы легче было анализировать механизм необходимо заставить механизма работать от
крайнего положения.
Имея закон изменения ПФ1 выходного звена можно сформировать закон изменения силы или
момента сопротивления.
Определение параметров динамической модели
При решении задач динамики с целью упрощения уравнений и их решения реальный механизм
условно заменяют динамической моделью.
Динамическая модель это расчетная схема с одним звеном, координата которого совпадает с
ОК механизма в любой момент времени.
Т.к. в реальном механизме положение всех звеньев и характер их движения определяется
положением и законом движения входного звена, следовательно, динамическая модель представляет
собой входное звено.
20
Fпр V
1
mпр
Рисунок 1.4 – Динамическая модель механизма
Условие приведения:
закон движения входного звена механизма и закон движения динамической
модели должны быть равны. ω1  ωм .
Следствие: если определить закон движения простой модели, то станет известным искомый
закон движения начального звена заданного механизма.
Это условие будет обеспечено, если при приведении сил будет соблюдено условие равенства
элементарных работ, а при приведении масс – условие равенства кинетических энергий.
Приведенный момент сил сопротивления
Приведенным моментом сил сопротивления называется момент пары сил, условно
приложенный к звену приведения и определяемый из равенства элементарной работы этой пары сил и
элементарной работе сил и пар сил, действующих на звенья механизма.
Обозначается M пс .
Равенство элементарных работ означает равенство элементарных мощностей.
Мощность силы – величина равная произведению силы на передаточную функцию первого
порядка ее точки приложения.
PF  FV .
Мощность момента – величина равная произведению момента на угловую передаточную
функцию первого порядка звена к которому приложен момент.
PM  Mω
Приведенный момент сил сопротивления определяется из условия равенства мгновенных
мощностей модели и механизма.
Pмод=Рмех.
Приведенный момент внешних сил без учета момента двигателя определяется по формуле:
n
М пс   (Fix X ki'  FiyYki'  M i i'  GiYS' i )
i 2
Fix, Fiy – проекции силы сопротивления на оси Х, Y
Х’ki, Y’ki – ПФ1 точки приложения силы сопротивления в проекции на ось Х и Y
Mi – момент сопротивления
Gi – сила тяжести, определяем по формуле Gi  mi g ;
Y’si – ПФ1 центра масс звеньев
21
M пс вычисляется для определения параметров электродвигателя.
Правильно рассчитанный момент сопротивления имеет вид
Мпс
х.х.
ОК
р.х.
Всплеск на рабочем ходу обусловлен действием силы сопротивления, отсутствующей на
холостом ходу. Колебания на холостом обусловлены действием сил тяжести
Если бы силы действовала только сила сопротивления, то график имел бы вид:
Мпс
х.х.
ОК
р.х.
График выходит из нуля на рабочем ходу и приходит в ноль, т.к. нет сил тяжести.
Приведенный момент инерции всех звеньев
Обозначается J звпр
пр
Приведенный момент инерции J зв
это условный момент инерции звена приведения,
кинетическая энергия которого равна сумме кинетической энергии всех звеньев механизма в любой
момент времени.
Приведенный момент инерции всех звеньев определяется из условия равенства кинетических
энергий механизма и модели
Тмод=Тмех.
Вычисляется для определения параметров махового колеса.
mV 2
m
Кинетическая энергия поступательного движения Tп 
. Tп  ( X S2  YS2 ) .
i
i
2
2
Jω 2
Кинетическая энергия вращательного движения Tв 
.
2
J – центральный момент инерции звена.
22
mV 2 Jω2
.

2
2
Вычисляется по формуле:
Плоского Tпл 
n

J звпр   mi(X s'2i  Ys'2i )  I si i'2

i 2
Первая производная определяется по формуле
n

J '  2 mi(X s' i X s"i  Ys'i Ys"i )  I si i'  i"
пр
зв

i 2
Тестируем приведенный момент инерции и его первую производную с помощью процедуры
testpf.
Выбор электродвигателя
Движущие силы и моменты сопротивления могут зависеть как от перемещения, так и от
скорости и времени. Эти функциональные зависимости, представленные графически или аналитически
носят название механических характеристик.
Зависимость движущей силы или момента от скорости называют механической
характеристикой.
В качестве источника движения большинства технологических машин используют асинхронные
электродвигатели.
Участок характеристики ав соответствует неустойчивой работе механизма, вс- устойчивой
работе двигателя.
Pmax
M max
M дв
b
d
P
a
H
 max
c  дв
н
с
Механическая характеристика асинхронного электродвигателя.
Если при работе двигателя сопротивление в рабочей машине возрастают, а скорость падает, то
крутящий момент двигателя растет, преодолевая возросшее сопротивление, и наоборот – при
возрастании скорости движения момент уменьшается. Такое свойство двигателя называют
саморегулированием.
При дальнейшем увеличении момента происходит остановка двигателя.
Ммах – максимальный критический момент.
23
При динамическом расчете машины следует обеспечить такой режим, при котором используется
устойчивая часть характеристики двигателя, за которую принимают участок dc.
При некотором значении
дв
двигатель развивает нормальную мощность (номинальный режим
работы двигателя). Параметры, соответствующие этому режиму (точка Н характеристики), называют
номинальными -
 Н , М Н , РН .
Отношение
M max
 r - коэффициент перегрузки электродвигателя.
M min
Угловую скорость холостого хода электродвигателя
с
называют синхронной. Значения
 С ,  Н , М Н и М max / M Н приведены в каталогах электродвигателей.
Рабочую часть характеристики двигателя dc часто опроксимируют прямой
М дв  k (C  дв )
где k 
MH
- коэффициент наклона рабочей части характеристики двигателя.
C   H
Асинхронный электродвигатель для машин, работающих в режиме периодического
установившегося движения выбирают так, чтоб его средняя мощность, необходимая для выполнения
технологического процесса, соответствовала его номинальному режиму.
Необходимая средняя модность двигателя
Р ДВ 
Р1
 П .М

АДВ
t Ц П .М
,
2
где
АДВ  АС   М СПР d1 ;
0
tЦ 
2
1СР
- время цикла;
 П .М - К.П.Д. передаточного механизма от двигателя к входному звену исполнительного
механизма.
По полученному значению Рдв из каталога выбирают электродвигатель с ближайшим большим
значением номинальной мощности и синхронной частотой вращения, позволяющий получить
приемлемые габариты двигателя и передаточное отношение передаточного механизма.
Допускается применять э.д. с меньшей мощностью, но не более 15%.
Синхронная частота может быть 750/1000/1500/3000.
При выборе синхронной частоты необходимо учитывать какой редуктор будет использоваться .
Передаточное отношение одноступенчатого U=1..10, двухступенчатого U=10...30.
Частота вращения э.д. может изменятся только в определенном диапазоне, т.е. для каждого
двигателя имеется своё значение , которое нельзя превышать.
Описание параметров процедуры
motor (var mpc:massiv;var n1,umax,om1cp,mpdcp,nc,nn,pn,
dk,lk,massa,delta:real);
24
Режимы работы механизма
Процесс движения машинного агрегата в общем случае состоит из трех фаз: разбег,
установившийся, выбег.
Если к>0 – режим разбега; к<0 – режим выбега (торможения); к=0 – установившийся
режим;
Разбег и выбег относятся к неустановившемуся движению.
Мы проектируем механизм для установившегося режима.
Режим разбега имеет место при пуске механизма, а выбега при остановке.
Установившееся движение не следует путать с равномерным движением. При равномерном
движении угловая скорость остается постоянной. При установившемся движении вращение звена
является неравномерным.
Установившимся называется такое движение, при котором скорость начального звена
(обобщенная скорость) является периодической функцией времени, а также сумма работ всех сил за
период их действия равна 0. Эти условия являются необходимым и достаточным условием для
подержания установившегося движения.
Для установившегося движения характерно циклическое повторение всех параметров.
1
ОК
Работа сил тяжести за полный оборот равна 0, поэтому общая работа равна A=Aд+Аc.
Ад – работа движущих сил (положительная работа).
Ас – работа сил сопротивления (отрицательная работа).
Режим разгона Ад > Ас
торможения Ад < Ас
установившийся Ад = Ас
(1)
Из условия (1) следует приращения кинетической энергии равно нулю T=0. Условие (1)
называется основное энергетическое уравнение установившегося режима.
Т.к. угловая скорость кривошипа изменяется в определенных пределах, следовательно
необходимо оценивать в каких пределах она изменяется.
Неравномерность вращения оценивается по формуле
δ
ωmax  ωmin
;
ωср
где max и min – максимальное и минимальное значение угловой скорости кривошипа.
25
Коэффициент неравномерности вращения механизма это отношение разности максимального и
минимального значения обобщенной скорости механизма к ее среднему значению за один цикл
установившегося движения механизма.
ωср 
ωmax  ωmin
.
2
Неравномерность движения вредно сказывается на работе машин.
Для различных типов машин практикой устанавливаются допустимые значения [].
Для насоса 1/5; для авиационных двигателей 1/100.
Машина должна быть спроектирована так чтобы ее действительное значение <[]
ωmax  ωср(1  δ/2)
ωmin  ωср(1  δ/2)
У рычажных механизмов даже при нормальном стационарном режиме работы устранить
колебания угловой скорости кривошипа нельзя, но можно снизить их амплитуду (колебания) за счет
увеличения общей инерционности механизма, что, как правило, достигается установкой
дополнительного звена с большим моментом инерции.
Чем большей инерционностью в целом обладает машина, тем более равномерно будет вращаться
кривошип, тем большее сопротивление она будет оказывать внешним силам, стремящимся изменить ее
скорость.
Маховик
Основное назначение маховика состоит в ограничении колебаний угловой скорости 1 главного
вала машины при периодическом установившемся движении в пределах, определяемых допустимым
значением коэффициента неравномерности [δ].
Маховик – добавочная масса, выполненная в виде колеса с развитым ободом.
Маховик играет роль аккумулятора кинетической энергии, отдавая часть своей энергии при
возрастании нагрузки на механизм на рабочем ходу, или накапливая ее на холостом ходу, когда
нагрузка уменьшается.
Когда Адв>Ас маховик берет на себя значительную часть приращения кинетической энергии и
отдает часть накопленной энергии в систему, когда Адв<Ас.
Аккумулирующая способность маховика позволяет выбирать двигатель меньшей мощности, что
особенно существенно для машин с кратковременной пиковой нагрузкой.
Iдоб=Iм+Iпр+Iрот.
26
Встречаются случаи, когда значение
I IПР
оказывается меньше или равным сумме приведенных
моментов всех звеньев I группы машины без маховика. В этом случае маховик не нужен, т.к. общая
инертность машины без маховика оказывается достаточной, чтобы обеспечить допустимую
неравномерность движения.
При конструировании маховика стремятся к тому, чтобы получить необходимый момент
инерции маховика Jм при возможно малом весе G и диаметре D.
Варианты установки маховика.
редуктор
двигатель
на тихоходном
валу
B
2
на быстроходном
валу
A
1
3
О
C
исполнительный
механизм
Энергия, запасаемая маховиком T 
Jω 2
,
2
где J – момент инерции маховика.
J т ωт2
J б ωб2
Тт=Тб  Tб 
= Tт 
. Т.к. б2   т2  Jб<Jт.
2
2
Маховик на быстроходном валу значительно меньше, чем на тихоходном, что приводит к
уменьшению всего механизма, а также к уменьшению массы используемого металла.
Маховик установленный на тихоходном валу редуктора защищает редуктор от ударов.
Если размеры маховика на тихоходном валу соизмеримы с размерами двигателя, лучше
установить маховик на тихоходном валу.
Кинематический анализ механизма
При кинематическом анализе определяют линейные и угловые скорости элементов механизма и
ускорения, необходимые для силового расчета.
При известных значениях 1 и 1 кривошипа, а также передаточных функций механизма,
кинематические параметры элементов механизма могут быть определены по следующим формулам.
Угловая скорость и угловое ускорение i-го звена:
ωi  iω1 ;
εi  iω12  iε1 .
Проекции скорости и ускорения произвольной точки i-го звена:
27
VSi  y'Si ω1 ;
x
VS i  y'S i ω1 ;
y
aSi  x"Si ω12  x'Si ε1 ;
x
a S i  y"S i ω12  y'S i ε1 .
y
Модули скорости и ускорения:
VS i  VS2  VS2 ;
ix
iy
a S i  a S2  a S2 .
ix
iy
Силовой анализ механизмов
Силовой анализ – по заданному движению определить действующие силы.
Внешние силы, приложенные к звеньям механизма считаются заданными и подлежат
определению реакции в кинематических парах.
Зная реакции в опорах можем определить продольные и поперечные усилия, а также изгибающие
моменты в звеньях, необходимые для расчета их на прочность.
Учет ускоренного движения звеньев выполним методом –кинетостатики.
При силовом анализе используют принцип Даламбера: звено механизма находится в равновесии,
если ко всем внешним силам, действующим на него, добавить силы инерции.
Тогда для каждого звена можно записать три уравнения кинетостатики:
 Fx  Фi x  0 ;
 Fy  Фi y  0 ;
 M(F)   M(Фi )  0 ;
Никакой силы Фi и пары сил МФ к звену в действительности не приложено – они выполняют
роль математических величин, посредством которых учитывается ускоренное движение.
После расчета сил и моментов сил инерции следует проверить правильность динамического
анализа. Для этого необходимо использовать общее уравнение динамики (принцип ЛагранжаДаламбера) для всего механизма в форме
M пд(1 )  M пс(1 )  M Ф1 (1 ) 
где M Ф   I м ε1 .
1
n
 (Фi x x'Si
i 2
 Фi y y'S i  M Фi i' )  0 ,
28
Силовой расчет рычажного механизма осуществляется последовательно по группам Ассура,
начиная с той, которая соединена с остальной частью механизма двумя КП.
Для группы Ассура, состоящей из двух звеньев – 6 уравнений равновесия.
В группе Ассура состоящей из двух звеньев всего три кинематический пары, в каждой из
которых возникают по две реакции (в проекции на ось Х и Y) следовательно в группе Ассура – 6
неизвестных реакций.
Необходимо определять с последней присоединенной группы Ассура, так как в этом случае мы
получим шесть неизвестных, для которых можно записать шесть уравнений равновесия, т.е. система
получится статически определима.
Если сила приложена в точке В и задана проекциями, то ее момент относительно точки А следует
определять на основании теорему Вариньона.
M A(F)  Fx(Y A  YB )  Fy(X A  X B )
y
R23y
B
R23x
2
RAy
A
1)
 M A(Fi )2  0 .
2)
 M C(Fi )3  0 .
RC y
3
C
R Cx
RAx
x
Это уравнение содержит две неизвестных: R23 и R23 .
x
y
Это уравнение содержит также два неизвестных: R32 и R32 .
x
y
Учитывая, что R23   R32 и R23   R32 , и решая систему уравнений (42) и (43), можно
x
x
y
y
определить эти реакции.
3)
 (Fi x )2  0 
4)
 (Fi y )2  0  R Ay ;
5)
 (Fi x )3  0 
6)
 (Fi y )3  0  RC y .
R Ax ;
RC x ;
Для проверки правильности расчета необходимо использовать общее уравнение динамики (принцип
Лагранжа-Даламбера) для группы Ассура.
После определения реакций в группах Ассура необходимо выполнить общую проверку расчета
механизма, используя условие равновесия кривошипа.
Мпд+МФ1+R12x(YO-YA)-R12y(XO-XA)=0
29
Кулачковые механизмы
Кулачковый механизм – механизм, в состав которого входит кулачок.
Кулачковый механизм используется либо как основной механизм, осуществляющий движение
исполнительных звеньев, либо как вспомогательный для выполнения операций подачи смазки,
перемещения суппорта и др.
Кулачок – звено механизма, имеющее элемент высшей пары в виде поверхности переменной
кривизны.
Толкатель – звено кулачкового механизма, взаимодействующее с рабочей поверхностью
кулачка своим наконечником - башмаком.
Характер движения толкателя: поступательный или качательный.
Типы кулачковых механизмов:
- с поступательным роликовым толкателем;
- с поступательным плоским толкателем;
- с поступательным остроконечным толкателем;
- с качающимся роликовым;
- с качающимся плоским.
Замыкание в высшей КП может быть силовым (пружина, вес толкателя) или геометрическим за
счет пазов.
Фазы движения толкателя: удаление, выстой при максимальном удалении, сближение, выстой
при минимальном сближении к оси вращения кулачка.
Обозначают у, дв, сб, бв.
У кулачкового механизма может отсутствовать фаза дальнего и ближнего выстоя.
Центровой профиль кулачка – траектория центра ролика на толкателе относительно
конструктивного профиля кулачка.
Начальный радиус кулачка r0 – минимальный радиус-вектор центрового профиля кулачка.
Угол давления – это угол между нормалью к центровому профилю кулачка и вектором скорости
толкателя.
Текущее значение угла давления является величиной переменной и может иметь знак.
При работе кулачкового механизма должно выполнятся условие <[]
При превышении допустимого угла давления происходит заклинивание
30
МОДУЛЬ 2 – «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
Введение
Основоположником с.м. является Галилей.
Сопротивление материалов это наука о инженерных методах расчета на прочность, жесткость
и стойкость элементов машин и конструкций. (пример вал редуктора). С.м. решает вопрос: какой
материал элемента конструкции и какие размеры его поперечных сечений обеспечивают достаточную
сопротивляемость внешним нагрузкам.
Цель с.м. – создание простых инженерных методов расчетов наиболее часто встречающихся
элементов конструкций.
Прочность – это способность материала конструкции, ее частей и деталей, выдерживать
определенные нагрузки не разрушаясь.
Расчеты на прочность дают возможность определить размеры и форму деталей, выдерживающих
заданную нагрузку, при наименьших затратах материала.
F
F
F
Жесткость – это способность конструкций и их элементов противостоять деформированию
(изменению форм и размеров) под действием внешних нагрузок.
Расчеты на жесткость гарантируют, что изменения формы и размеров конструкций и их
элементов не превзойдут допустимых форм.
Стойкость (устойчивость) – это способность конструкций и её элементов сохранять
определенную начальную форму.
Под устойчивостью понимают способность конструкции сопротивляться усилиям, стремящимся
вывести ее из исходного состояния равновесия.
Расчеты на устойчивость предотвращают возможность внезапной потери устойчивости и
искривления длинных или тонких деталей.
Деформации
Слово деформация с.м. использует в двойном понимании:
1) в обиходном – это всякое изменение размеров и форм.
2) в научном – это количественная мера изменения элементарных (бесконечно малых)
отрезков в окрестности точки.
31
B'
S
+
S
A'
S
A
B
Для определения деформации в какой-нибудь точке А проведем в недеформированном теле
отрезок АВ, который имеет длину S. После деформации точки А и В переместились и заняли положение
А’ и В’, расстояние между ними изменилось на S – абсолютное удлинение отрезка АВ. Вектор АА’ –
это вектор перемещения т. А.
ΔS
 ε - относительное удлинение или линейная деформация.
S
Деформация приводит к изменению не только линейных размеров, но и угловых.
С
B'
A'
С'
A
B
γCAB  CAB  C'A'B' - угловая деформация
Деформация, полностью исчезающая после прекращения действия внешних сил, называется
упругой деформацией. Неисчезающая деформация называется остаточной или пластической
деформацией.
Способность материала иметь значительные остаточные деформации не разрушаясь при этом,
носит название пластичности, а сами материалы называются пластичными (низкоуглеродистая сталь,
медь, алюминий, латунь).
Материалы, обладающие малой пластичностью, называются хрупкими. Хрупкие материалы
разрушаются без заметных остаточных деформаций. (чугун, стекло, кирпич и др.)
Основные гипотезы:
С.м. прибегает к упрощающим предположениям (гипотезам), которые проверяются
экспериментально или точными методами теории упругости.
Объектом изучения в с.м. становится не само реальное тело, а его приближенная модель.
Брус – тело, один из размеров которого (длина) значительно (в 10…12 раз и более) больше 2-х
остальных размеров.
Линия, проходящая через центр тяжести поперечных сечений бруса, называется его осью.
Плоское сечение, перпендикулярное оси бруса, называется поперечным, параллельное оси бруса
– продольным.
1) гипотеза абсолютной упругости (идеальной упругости): рассматриваются только такие
материалы и в таком диапазоне нагрузок, когда элементы конструкций можно считать абсолютно
упругими (после снятия нагрузок все элементы возвращают свои первоначальные размеры и
формы).
2) гипотеза сплошности (однородности материала): материал, из которого изготовляются
конструкции, считается непрерывным, однородным во всех точках тела и обладающим во всех
направлениях одинаковыми свойствами (обладают изотропностью).
3) гипотеза о малости перемещений или принцип начальных размеров - ввиду малости
упругих деформаций при составлении уравнений равновесия для деформированного тела, его
размеры считаются такими, какие он имел в недеформированном состоянии.
32
4) принцип независимости действия сил: при упругих деформациях результат действия на
тело системы сил равен сумме результатов действия каждой из этих сил в отдельности.
5) гипотеза об отсутствии первоначальных внутренних усилий. Если нет причин,
вызывающих деформацию тела, то во всех его точках внутренние усилия равны нулю.
6) допущения о линейной деформируемости тела. Перемещение точек и сечений упругого
тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти
деформации.
7) гипотеза плоских сечений, или гипотеза Бернулли. Плоские поперечные сечения,
проведенные в теле до деформации, остаются при деформации плоскими и нормальными к оси.
Классификации сил
На тело действуют внешние силы и внутренние.
Внешние силы это те силы, которые давят на тело.
Внутренние силы или силы упругости сопротивляются его деформации и стремятся вернуть
частицы в положение, которые они занимали до деформации. Внутренние силы и являются
непосредственной причиной нарушения целостности материала. Силы упругости возникают в
результате существования сил молекулярного взаимодействия.
В зависимости от способа приложения внешние силы можно разделить на объемные и
поверхностные. Примеров объемных сил может быть, например собственный вес.
Поверхностные делятся на распределенные и сосредоточенные.
Распределенными называют силы, приложенные по некоторой площадке или длине (слой снега
на крыше, давление газа на стенки сосуда). Если нагрузка распределена по площади, то она выражается
в кг/м2. Если распределена по длине, то кг/м.
Нагрузка может быть распределена равномерно и неравномерно. Пример неравномерной
нагрузки (давление воды на плотину – с увеличением глубины давление возрастает).
Сосредоточенными называют силы, действующие по очень малой площадке тела. (для
упрощения ее считают приложенной в точке).
По характеру действия нагрузки делятся на статические и динамические.
Статической называют нагрузку, возрастающую медленно от нуля до некоторого
определенного максимального значения и далее остающуюся постоянной или меняющуюся очень
незначительно. (сила тяжести сооружений).
Динамическими называются нагрузки, характеризующиеся быстрым изменением во времени их
значения, направления или места приложения.
Пример динамической нагрузки: ударная нагрузка – действие бабы парового молота. К
динамическим нагрузкам относятся также периодические нагрузки, изменяющиеся во времени.
Разделение на динамические и статические нагрузки связано с тем, что материал различно
сопротивляется этим видам нагрузок.
Метод сечений
Метод сечений заключается в следующем: тело мысленно разрезается плоскостью на две части,
любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние
силы, действовавшие до разреза; оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело,
находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.
Так как согласно третьему закону Ньютона действие равно противодействию, поэтому, применяя
к оставленной части условия равновесия, мы можем приложить статические эквивалентные силы эти
силы называют внутренними силовыми факторами. В общем случае возникают шесть внутренних
силовых факторов.
Основная идея метода сечений: внутренние силы перевести из категорий внутренних в
категорию внешних.
N –продольная (нормальная) сила;
Qx, Qy – поперечные силы (перерезывающие силы);
Мк – крутящий момент;
Mux, Muy – изгибающие моменты;
33
y
F3
F2
Mиу
F3
F4
Центр
тяжести
сечения
Qу
F2
F5
N
F1
F1
F6
x
Qx
S
z
Mкр.z
Mиx
Основные виды деформаций
Деформации элементов сооружений и машин могут быть очень сложными. Сложные
деформации всегда можно представить состоящими из небольшого числа основных видов деформаций.
Основные виде деформаций:
1) растяжение (цепи, тросы). В сечении возникают только продольная сила N направленная
от сечения.
2) сжатие (колонны, кирпичная кладка). В сечении возникают только продольная сила N
направленная к сечению.
3) сдвиг (шпонки, швы сварных соединений). В сечении возникают только поперечные силы
Q.
4) кручение (валы). В сечении возникает только крутящий момент Мк.
5) изгиб (балки, зубья зубчатых колес). В сечении возникает только изгибающий момент.
34
Напряжение
Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении.
Напряжение Р – это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади в окрестности
определенной точки рассматриваемого сечения. В СИ напряжение измеряется в мегапаскалях
(ньютонах на квадратный миллиметр). Напряжение является величиной векторной.
F
P ,
S
где F – сила;
S – площадь сечения.

P

A

В общем случае напряжение Р составляет с площадкой S некоторый угол . При этом его
раскладывают на две составляющие: одну - , перпендикулярную площадке и называемую
нормальным напряжением; вторую - , лежащую в плоскости площадки и называемую касательным
напряжением.
Модуль полного напряжения определяется по формуле: p  σ 2  τ 2
При сдвиге и кручении действуют только касательные напряжения.
При растяжении, сжатии и чистом изгибе действуют только нормальные напряжения.
35
Растяжение и сжатие
Под растяжением-сжатием понимают такой вид нагружения бруса, при котором в любом его
поперечном сечении из шести возможных внутренних силовых факторов действует только один нормальная сила N.
Брусья с прямолинейной осью, работающие только на растяжение или сжатие называют
стержнем.
Нормальная внутренняя сила в рассматриваемом поперечном сечении N – это
результирующая напряжений, действующих по этому сечению. При чистом растяжении, сжатии
внутренние силы распределены равномерно, поэтому
N
 ,
S
где
N – внутренняя нормальная сила;
S – площадь сечения.
Вывод из формулы: От длины стержня прочность не зависит, т.е. стержень длиной в 1000 м (1
км) такой же по прочности, что и стержень длиной в 1 м при одной и той же приложенной нагрузке,
т.к. возникают одинаковые напряжения.
Принято деформацию растяжения считать положительной, а деформацию сжатия
отрицательной. Соответственно растягивающие силы N и растягивающие напряжения –
положительными, сжимающие силы N и напряжения сжатия - отрицательными.
Продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних
сил, расположенных по одну сторону сечения.
Пример задачи
Дано: F1=100 kH; F2=300 kH; F3=100 kH. d=50 мм.
Необходимо построить эпюру внутренних продольных сил N и нормальных напряжений .
Эпюра N(кН)
Эпюра (МПа)
c

b
F3
F2
200 10

3

300 10
102
3
153
a
150 10
3
76,5
F1


Необходимо рассматривать сечение до приложения силы и после.
πd 2
Площадь сечения S=
=502/4=1,96103 мм2.
4
В точках приложения силы на эпюре продольных сил должен быть скачек на величину силы.
36
Допускаемые нормальные напряжения

Обозначается [] вычисляется []= , где k – коэффициент запаса прочности. (иногда в
k
литературе обозначают s)
Коэффициентом запаса прочности называют отношение допускаемого напряжения к
напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют
[ ]
k
.

Сечение, для которого коэффициент запаса прочности наименьший, называется опасным.
Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым и
обозначают [k].
[k] зависит от свойств, качества и однородности материала, ответственности конструкции и т.д.
Для пластичных материалов [k]=1,2…2,5; для хрупких [k]=2…5, для древесины [k]=8…12.
Условие прочности детали конструкции заключается в том, что наибольшее возникающее в ней
напряжение не должно превышать допускаемое: σ max  [σ ] .
Значения допускаемых напряжений растяжения и сжатия для некоторых материалов различны. В
этом случае их обозначают [р] или [c]
Пример
Условие: стальной брус квадратного сучения нагружен растягивающим усилием F=30 кН.
Определит сторону сечения если допускаемое напряжение при растяжении равно [р]=28 МПа.
Решение:
F 30000
F
σ   [σ ], следовательно S 

 1071 мм2.
S
[ ]
28
S=a2. следовательно a= S = 1071 =33 мм.
Закон Гука при растяжени-сжатии
Нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или
укорочению.
(1)
  E .
где  - относительное удлинение.
Е – модуль упругости первого рода или модуль продольной силы или модуль Юнга
характеризует жесткость материала, т.е. способность материала сопротивляться упругим деформациям.
Измеряется Е в МПа. Для каждого материала значение Е берется из справочников. Для одного и
того же материала значение Е измеренное экспериментально может сильно отличаться. (Сталь
E=2105 МПа)
Закон справедлив только в определенных пределах нагружения. (т.е. в пределах упругих
деформаций)
F
l
Fl
  ;   . Подставляя в формулу (1) получаем l=
.
(2)
S
l
ES
Вывод из формулы: чем больше длина стержня, тем больше получается удлинение всего
стержня. Стержень длиной в 1000 м (1 км) удлинится в 1000 раз больше чем стержень в 1 м при
одной и той же приложенной нагрузке.
Формула (2) читается: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально
продольной силе и длине и обратно пропорционально жесткости сечения.
Произведение ES называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии.
ES
c
- жесткость стержня;
l
37
В общем случае площадь поперечного сечения изменяется, величина силы также может
изменятся, поэтому формулу (2) можно записать
l
F ( z )dz
.
l  
E  S ( z)
0
Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами
поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно, алгебраической сумме
удлинений и укорочений отдельных участков. (Применяем гипотезу о независимости действия сил).
l=(li).
Поперечная деформация.
Поперечное сечение бруса при растяжении уменьшается, а при сжатии увеличивается.
Опытным путем установлено, что при одноосном растяжении и сжатии отношение
относительных поперечных и продольных деформаций есть величина постоянная.
Величина пропорциональности называется коэффициентом поперечной деформации или
коэффициентом Пуассона - .
'
 ,

где ’ – относительная поперечная деформация.
Экспериментальное определение характеристик материала
Механические характеристики материалов определяют
путем механических испытаний
стандартных образцов, изготовленных из исследуемого материала.
Берут образцы, выделяют участки и нагружают постепенно возрастающей силой F.
Для изучения механических свойств материала независимо от размеров образца применяется
диаграмма в координатах «напряжение-относительное удлинение».
Напряжение получают делением растягивающей силы на первоначальную площадь поперечного
сечения образца S0.
P
σ
S0
Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали представлена на рис.
38
Точка А соответствует пределу пропорциональности.
Пределом пропорциональности п называется то наибольшее напряжение, до которого
деформации растут пропорционально нагрузке, т.е. справедлив закон Гука.
Эта линия образует с осью ординат очень небольшой угол, т.е. удлинения образца на этом
участке растут медленно.


tg 
согласно закону Гука E  следовательно tg=E.


Числовая величина модуля упругости первого рода может быть определена как тангенс угла
наклона прямолинейного участка ОА к оси абсцисс.
у – предел упругости, напряжение до которого материал можно считать абсолютно упругим. у
и пр почти равны.
Т – предел текучести, напряжение при котором образец удлиняется без роста нагрузки
(материал течет). Материал не оказывает сопротивление деформации. Точку С называют критической
точкой.
Полированная поверхность образца при достижении предела текучести тускнеет и
постепенно делается матовой. На поверхности образцов появляются риски, наклоненные к
их оси под 45. Эти линии называются линиями Людерса-Чернова.
После перехода за предел текучести материал снова начинает оказывать
сопротивление деформации, но удлинение его уже начинает расти быстрее напряжений.
Если нагрузить образец постепенно возрастающей силой до любой точки
диаграммы, а затем силу постепенно уменьшить до 0, график разгрузки пойдет
параллельно своему прямолинейному участку (прямая TF). У образцов из пластичных
материалов при т будут существенные остаточные деформации, что для элементов
конструкций недопустимо. Поэтому за предельное напряжение для пластичных материалов
принимают т.
в - временное сопротивление - напряжение при максимальной силе. Точка В соответствует
наибольшему значению растягивающего усилия. При достижении временного сопротивления
постепенно начинает образовываться местное сужение образца, называемое шейкой. Это приводит к
быстрому разрушению образца (точка D), поэтому в считают началом разрушения.
Напряжение в момент разрыва образца по диаграмме растяжений лежит ниже, чем предел
прочности. Это объясняется тем, что напряжения мы относим к первоначальной площади поперечного
сечения образца.
Образцы из хрупких материалов (чугун) явной площадки текучести практически не имеют. Их
разрыв происходит при очень малых деформациях. Диаграмма имеет вид:
пр – предел прочности – временное сопротивление образца, разрушающегося без образования
шейки. Предел прочности является основной механической характеристикой при оценке прочности
хрупких материалов.
Если образец нагрузить за пределы
пропорциональности и затем нагрузку снять, то
образец удлинится в соответствии с прямой TF. При
повторной нагружении того же образца его
деформация будет соответствовать диаграмме FTBD.
При повторном растяжении образца, ранее
нагруженного
выше
предела
упругости,
механические свойства материала
меняются:
повышается прочность и уменьшается пластичность
это явление называется наклёп.
С
повышением
содержания
углерода
увеличивается прочность стали и уменьшается ее пластичность.
39
Сдвиг
Сдвигом называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса
возникает только поперечная сила.
Определим внутреннюю поперечную силу.
Рассмотрим брус площадью поперечного сечения S, перпендикулярно оси, которого приложены
две равные и противоположно направленные силы F. Для определения поперечной силы Q применим
метод сечений.
Y  0 . F-Q=0, следовательно F=Q.
При сдвиге в поперечном сечении бруса действуют только касательные напряжения .
Q
Так как напряжения по сечению распределены равномерно, поэтому   ,
S
При сдвиге форма поперечного сечения на значение напряжений не влияет.
40
Величина на которую сдвинулось сечение cd относительно c’d’ называется абсолютным
сдвигом. Обозначается a.
Угол, на который изменяются прямые углы параллелепипеда, называется относительным
сдвигом. Обозначается .
a
Определяется как  tg   .
h
При сдвиге справедлив закон Гука: касательные напряжения прямо пропорциональны
относительному сдвигу.
  G
Коэффициент пропорциональности G характеризует жесткость материала при сдвиге и
называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода. Измеряется в МПа.
Экспериментально установлено, что величина абсолютного сдвига в пределах упругих
деформаций пропорциональна сдвигающей силе Q, расстоянию h, на котором происходит сдвиг и
обратно пропорционален площади сечения S.
Qh
a
.
GS
Допустимое касательное напряжение обозначается [].
Условие прочности при сдвиге: наибольшее возникающее касательное напряжение не должно
превышать допускаемое.
Q
   [ ] .
S
Деформация сдвига, доведенная до разрушения материала называется срезом (применительно к
металлическим деталям) или скалыванием (применительно к неметаллическим деталям).
Допускаемое напряжение на срез выбирают для пластичных материалов в зависимости от
предела текучести: [ср]=(0,25…0,35)т.
Между тремя упругими постоянными E, G и  существует зависимость:
E
.
G
2(1  )
Смятие
Если детали конструкции, передающие значительную сжимающую нагрузку, имеют небольшую
площадь контакта, то может произойти смятие поверхностей деталей.
Пример: гайка при завинчивании вдавливается в дерево.
При контакте по плоскости возникают нормальные напряжения смятия, равномерно
распределенные по площади контакта.
Расчетное уравнение на смятие имеет вид:
Q
 см 
[см], где Q – сжимающая сила., S – площадь стыка; [см] – допускаемое напряжение
S см
на смятие.
Для стали допускаемое напряжение на смятие равно [см]=(2…2,5)[], где [] – допускаемое
напряжение на сжатие.
Если соприкасающиеся детали сделаны из разных материалов, то на смятие проверяют более
мягкий материал.
41
Твердость
Под твердостью материала понимают его способность оказывать сопротивление
проникновению в него другого, более твердого тела. Твердость позволяет судить о прочности
материала.
Твердость измеряют с помощью приборов твердомеров.
Для мягких материалов твердость выражают Бринеллях и обозначают HB, для твердых твердость
по Роквеллу и обозначают HRC. Еще встречается твердость по Виккерсу HV или Шору HSD.
Метод Бриннеля. Наиболее распространенным способом определения твердости является
способ, при котором производится вдавливание стального закаленного шарика диаметром 5 мм в
испытуемый металл.
Твердость по Бринеллю представляет отношение силы P, с которой вдавливается шарик, к
площади поверхности S лунки, оставшейся после вдавливания на испытуемом металле.
HB 
P
P
.
 2
S π D
2
2
(D  D  d )
2
Метод Роквелла заключается во вдавливании в образец алмазного наконечники с углом при
вершине 120 и нагрузкой F=600 Н.
Для листовых материалов используют метод супер-Роквелла. Используются малые нагрузки.
F=150 Н.
UCI метод (импедансный метод) Принцип измерения твердости прост: алмазная пирамидка для
измерений по Виккерсу закреплена на конце металлического стержня, который под действием
пьезоэлектрического устройства колеблется на определенной частоте. Если алмазная пирамидка
внедряется в материал, то металлический стержень меняет резонансную частоту. Это изменение
возрастает с увеличением площади контакта. Так как эта площадь контакта является мерой для оценки
твердости, то существует прямая связь между изменением частоты и твердостью материала.
Метод отскока Ударное тело, на конце которого закреплен шарик из твердого материала, под
действием пружины падает на исследуемую поверхность. После своего падения вследствие суммарной
пластической деформации падающее тело теряет часть своей энергии (как уменьшение скорости) и тем
больше, чем меньше твердость исследуемого материала. Бесконтактным методом измеряются
начальная скорость и скорость при отскоке.
Так как напряжения тоже определяют как сила на площадь, поэтому между HB и напряжениями
прослеживается связь.
Для сталей связь между числом твердости HB и пределом прочности выражается приблизительно
так:
пр  0,36HB.
Напряжения в наклонных площадках при растяжении
Рассмотрим брус постоянного поперечного сечения, растягиваемый силами.
Обозначим
А – площадь поперечного сечения.
 - нормальные напряжения в поперечном сечении.
F
Напряжения в поперечном сечении бруса равны: P  .
A
Через всякую точку деформированного тела можно провести бесчисленное множество различно
ориентированных секущих плоскостей.
42
Возьмем произвольную площадку, наклоненную по отношению к горизонтали под углом .
А, ,  - площадь и напряжения для наклонного сечения
A
Площадь наклонной площадки определим А=
.
cos 
Равнодействующая в наклонной площадки равна N=F.
Так как напряжения по наклонной площадке распределены равномерно поэтому
N N
p 
 cos    cos  .
A
A
Разложим полное напряжение р на нормальное  напряжение (перпендикулярное сечению) и
касательное  напряжение (в плоскости сечения).
   p cos    cos2.
τ   p sin   σcossin  
1) при =0
2) при =90
3) при =45
4) при =135
=; =0.
=0; =0;
σ
σ
= ; = .
2
2
σ
σ
= ; =- .
2
2
σ
sin2
2
Вывод:
1) При растяжении бруса в наклонных сечениях возникают нормальные и касательные
напряжения равномерно распределенные по сечению, и соответствующие этим напряжениям
деформации растяжения и сдвига.
Многие материалы такие как мягкая сталь, сопротивляются воздействию касательных
напряжений значительно хуже, чем нормальным напряжениям. Поэтому, несмотря на то, что
максимальные касательные напряжения при растяжении или сжатии достигают только половины
максимальных нормальных напряжений, они являются опасными и могут стать причиной разрушения
таких материалов.
Нормальные напряжения имеют максимальное значение в поперечном сечении бруса.
Касательные напряжения достигают своего максимального значения в сечениях, наклоненных к
оси под углом 45. Эти напряжения являются причиной появления на растягиваемом образце при
достижении предела текучести линий Людерса-Чернова.
В продольных сечениях бруса нет ни касательных, ни нормальных напряжений. Чистое
растяжение можно уподобить растяжению пучка параллельных нитей, которые растягиваются не
надавливая друг на друга и не сдвигая друг относительно друга.
Касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях равны между собой по
модулю и противоположны по знаку.
Отсюда вывод о законе парности касательных напряжений: если в какой-либо плоскости
элемента действуют касательные напряжения, то в перпендикулярной к ней плоскости имеются равные
по абсолютной величине касательные напряжения противоположного знака.
43
Закон парности касательных напряжений
Закон парности касательных напряжений формулируется так: касательные напряжения в
двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярны их общему ребру, равны по модулю и
направлены к ребру или от ребра.
Вырежем элементарный параллелепипед, на верхней грани которого действует касательное
напряжение . По закону парности касательных напряжений должна существовать ’. Так
параллелепипед находится внутри тела в равновесии следовательно, на других гранях будут
действовать такие же силы но направленные в противоположную сторону.
Возникновение касательных напряжений приводит к тому, что при сдвиге возникают
касательные напряжения не только в плоскости среза, но и вдоль сечения, что приводит к тому, что
возникают трещины вдоль стержня.
Главные напряжения
При растяжении (сжатии) стержня имеются сечения, в которых касательные напряжения равны
нулю, при этом значения нормального напряжения являются либо максимальными либо
минимальными.
Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называются главными
площадками, а возникающие в них нормальные напряжения – главными напряжениями.
При любом напряженном состоянии тела через каждую его точку можно провести три взаимно
перпендикулярные главные площадки, т.е. такие в которых отсутствуют касательные напряжения.
Наибольшее по алгебраической величине (т.е. учитывая знаки) обозначают 1, среднее по величине 2,
а наименьше 3.
1>2>3.
Если все три главных напряжения не равны нулю, то такое напряженное состояние называется
объемным.
Если одно из главных напряжений равно нулю, то плоским. Растяжение (сжатие) по двум
направлениям.
Если два главных напряжения равны нулю, то линейным. Растяжение (сжатие) по одному
направлению.
44
Геометрические характеристики плоских сечений
Статический момент площади
При некоторых деформациях прочность деталей зависит не только от площади
поперечного сечения, но и от его формы.
Статический момент площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же
плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок
на расстояния их до этой оси.
Обозначают S с индексом соответствующей оси.
S x   ydA ; S y   xdA .
A
A
Из теоретической механики известно
xc 
(A x ) ;
A
i i
yc 
(A y ) ,
A
i
i
i
i
где Аi – можно понимать площадь элементарной площадки dA. Ai – площадь всей фигуры -А.
S y   xdA  xC A ; S x   ydA  yC A .
A
A
Статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен
произведению площади фигуры на расстояние ее центра тяжести до этой оси.
S x  AyC ;
S y  AxC ;
Единица статического момента площади [S]=[xC][A]=мм2=м3.
Статический момент площади фигуры может быть величиной положительной, отрицательной и
равной нулю.
Статический момент площади относительно центральной оси равен нулю.
Ось проходящая через центр тяжести называется центральной осью
При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод
разбиения, т.е. определять статический момент всей фигуры как алгебраическую сумму статических
моментов отдельных ее частей.
S   Si .
Статический момент площади необходим для определения положения центров тяжести сечений
и при определении касательных напряжений при изгибе.
45
Полярный момент инерции
Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса, лежащего в той же
плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок
на квадраты их расстояний до полюса.
Обозначают Ip.
I p   (x 2  y 2 )dA   ρ 2 dA .
A
A
Единица измерения [Ip]=[2][A]=м4.
Полярный момент инерции – величина всегда положительная и не равная нулю.
Полярный момент инерции необходим при изучении деформаций кручения.
1. Круг диаметров d.
πd 4
Ip 
 0,1d 4 .
32
2. Кольцо размером Dd.
Ip 
π
(D 4  d 4 )  0,1(D 4  d 4 ) .
32
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции называется взятая по всей площади сумма произведений
площадей элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей.
J xy   xydA
Может быть положительным и отрицательным.
A
Осевой момент инерции
Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости,
называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат
их расстояний до этой оси.
Обозначают I c индексом, соответствующей оси: I x   y 2 dA ,
I y   x 2 dA .
A
A
Осевой момент величина всегда положительная и неравная нулю.
Единица измерения: [I]=м4.
Ix+Iy=  y 2 dA   x 2 dA   ( y 2  x 2 )dA    2 dA  I p .
A
A
A
Ix+Iy=Ip.
A
46
Сумма осевых моментов инерций относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна
полярному моменту инерций относительно начала координат.
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то момент инерции сложной фигуры можно
вычислять как сумму моментов инерции простых фигур.
Осевой момент инерции необходим при изучении теории изгиба.
bh 3
1. Прямоугольник bh - I x 
.
12
2. Круг диаметром d относительно диаметров x и y.
πd 4
т.к. Ix+Iy=Ip=
.
32
πd 4
Ix=Iy=Ip/2=
.
64
При повороте на произвольный угол Jp остается постоянной, а значение осевых моментов
инерций изменяется, следовательно существует такой угол при котором Jх и Jy имеют максимальное и
минимальное значение.
Оси, относительно которых моменты инерций имеют максимальное и минимальное значения,
называются главными осями инерции.
Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.
Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, то она называется главной
центральной осью, а момент инерции относительно этой оси – главным центральным моментом
инерции.
Кручение вала
Кручение это нагружения бруса при котором во всех его поперечных сечениях из шести
возможных внутренних силовых факторов действует только один Мкр.
Круглые брусья, работающие на кручение называются валами.
Теория кручения основана на следующих предположениях:
1)
плоские поперечные сечения остаются плоскими
2)
радиусы сечений остаются прямыми
3)
расстояния между поперечными сечениями не изменяются.
Мы будем рассматривать деформацию кручения на примере цилиндра радиуса r, длиной l,
жестко закрепленного с одной стороны.
Деформация кручения круглого цилиндра заключается в повороте поперечных сечений
относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны
расстояниям от закрепленного сечения.
47
Угол  поворота концевого сечения называется полным углом закручивания цилиндра.
Относительным углом закручивания 0 называется отношение полного угла закручивания  к
расстоянию от данного сечения до заделки.

 0  =const.
l
При кручении возникает деформация сдвига, но не за счет поступательного, а в результате
вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого.
При кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы,
образующие крутящий момент.
Так как равномерно вращающийся вал находится в равновесии, поэтому внутренние силы,
возникающие в поперечном сечении должны уравновесить внешние моменты, действующие на
рассматриваемую часть бруса.
mA
mД
mB
mC
z
A
B
0,2 м
C
0,3 м
Д
0,4 м
Для определения внутренних крутящих моментов в поперечных сечениях вала необходимо
ЭпюранаМдве
применить метод сечений. Вал рассекается
части. Одна часть рассматривается, вторая
кр.z (Нм)
отбрасывается.
1300
Внутренний крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической
сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.
600
M кp   mi .
Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры
крутящих моментов, которая дает возможность определить опасное сечение.
Опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.
800
Напряжения и деформации при кручении
48
При кручении возникают только касательные напряжения , перпендикулярные радиусу,
соединяющему эти точки с осью кручения.
Абсолютный сдвиг a равен дуге aa1=r.
Величина абсолютного сдвига прямо пропорциональна расстоянию от оси кручения.

Относительный сдвиг =
=0.
l
Из формулы видно, что относительный сдвиг пропорционален радиусу закручиваемого тела.
Применяя закон Гука при сдвиге: =G=G0.
При =0, =0, т.е. на оси кручения касательные напряжения равны нулю.
При =r, =max, т.е. касательные напряжения достигают максимального значения у волокон,
наиболее удаленных от оси кручения.
max=G0r.
Эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника.
Из эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что внутренние волокна
бруса испытывают небольшие напряжения, поэтому валы иногда делают пустотелыми, чем достигается
значительный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.
Выделим в сечении бесконечно малую площадь dA на расстоянии  от оси кручения.
dQ=dA.
Момент внутренних сил относительно оси кручения:
Mкр=  dQ    dA   G0 dA  G0   2 dA  G0 I p .
A
A
A
Откуда относительный угол закручивания:  0 
A
M кр
GI p
Полный угол закручивания цилиндра длиной l:  
.
M кl
.
GI p
GIp – жесткость сечения при кручении.
Полный угол закручивания круглого цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту,
длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении.
Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом,
размерами поперечного сечения, значением крутящего момента, полный угол закручивания равен
алгебраической сумме углов закручивания отдельных участков:
=i.
Формула для определения напряжений:
GM к ρ M к ρ

=G0=
GI p
Ip
при =r напряжения достигают максимального значения
49
max=
Wp 
Mкr Mк
.

Ip
Wp
Ip
- момент сопротивления кручению (или полярный момент сопротивления).
r
Момент сопротивления кручению равен отношению полярного момента инерции к радиусу
сечения.
[Wp]=[Ip] / [r]=м3.
1. Для круга диаметров d.
πd 3
Wp=
 0,2d 3 .
16
2. Кольцо размеров Dd.
 ( D 4  d 4 ) 0,2( D 4  d 4 )
.
Wp 

16 D
D
По закону парности касательных напряжений, касательные напряжения возникают не только в
поперечных, но и в продольных сечениях. В деревянных брусьях при кручении возникают трещины
вдоль волокон.
Расчеты на прочность при кручении
Валы должны удовлетворять двум условиям:
1) Условие прочности при кручении: наибольше возникающее в нем касательное напряжение не
должно превышать допускаемое.
М
  кр  [ k ]
Wp
[к]=(0.55…0.60)[р],
здесь [р] – допускаемое нормальное напряжение при растяжении.
2) Условие жесткости при кручении: угол закручивания 1 м длины вала не должен превышать
определенной величины.
180 М к
 [0 ]
0=
π GI p
Величина допускаемых углов закручивания зависит от назначения вала
град
[0]=0.25…1
.
м
При подборе сечений валов используют оба условия. При этом диаметр вала принимается
равным большему из двух полученных значений, округленному в большую сторону до ближайшего
стандартного.
50
Валы на чистое кручение никогда не работают, так как всегда кроме кручения испытывают
изгиб от собственной силы тяжести, сил тяжести насаженных на него элементов передач и усилий в
этих передачах. Однако даже при значительных изгибных нагрузках, при приближенных прикидочных
расчетах валы считают работающими на чистое кручение, а действие изгиба косвенно учитывают
путем понижения допускаемого напряжения [].
Чистый изгиб
Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении
бруса возникает только изгибающий момент.
Брус, работающий на изгиб называется балкой.
На изгиб работают: балки, валы
На боковую поверхность призматического резинового бруса прямоугольного сечения нанесем
сетку продольных и поперечных прямых линий и подвергнем этот брус деформации чистого изгиба.
При этом
1) поперечные прямые линии останутся при деформации прямыми, но повернутся навстречу друг
другу;
2) продольные прямые линии, а также ось бруса искривятся;
3) волокна, лежащие на выпуклой стороне, растягиваются, лежащие на вогнутой стороне - сжимаются,
а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя
своей длины.
Слой волокон не испытывающий деформации растяжения сжатия называется нейтральным
слоем.
Т.к. при деформации растяжения и сжатия возникают нормальные напряжения, поэтому при
чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и
сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется
нейтральной осью.
На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.
Поперечный изгиб балки
51
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная
сила, называется поперечным изгибом.
У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, алгебраическая сумма
моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю.
Это свойство используется для определения реакций в опорах.
У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси,
алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю.
Поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил,
действующих справа или слева от сечения.
Изгибающий момент в любом сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов
относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.
Правило знаков:
1) если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в
сечении считается положительным;
Дифференциальные зависимости при изгибе или теорема Журавского
Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределения нагрузки
существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского.
Русский инженер-мостостроитель Д.И.Журавский (1821-1891).
Теорема Журавского: поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по
абсциссе сечения балки.
Рассмотрим балку
Запишем уравнение для определения поперечной силы для сечения z.
Q=RA-F1+q(z-b).
Запишем уравнение изгибающего момента на одном из участков балки с текущей координатой z.
Mu=RAz+M-F1(z-a)+q(z-b)2/2.
Продифференцировав это уравнение по z получим.
dM u
 R A  F1  q(z  b) .
dz
dM u
 Q.
Выражение в правой части есть поперечная сила Q в сечении z. Следовательно
dz
Если уравнение изгибающих моментов продифференцировать второй раз получим:
d 2 M u dQ

q.
dz
dz 2
Вторая производная от изгибающего момента или первая производная от поперечной силы по
абсциссе сечения балки равна интенсивности распределения нагрузки.
52
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Для наглядного изображения распределения моментов строят эпюры, которые дают возможность
определить опасное сечение балки.
При построении эпюр следует руководствоваться следующими правилами:
1)
в сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы
меняется скачкообразно.
2)
на участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра моментов представляет собой
наклонную прямую, а эпюра поперечных сил – прямую, параллельную оси.
3)
в сечении, где приложена пара сил или моментов, значение изгибающего момента
меняется скачкообразно.
4)
На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов
представляет собой параболу, а эпюра поперечных сил – наклонную прямую.
5)
На конце балки изгибающий момент равен нулю, если не приложена пара сил.
6)
правильность построения эпюр следует проверять с помощью теоремы Журавского
Нормальные напряжения при чистом изгибе
В поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения
растяжения и сжатия.
53
Двумя поперечными сечениями AB и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds.
Радиус кривизны нейтрального слоя обозначим .
Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN. Этот слой
в результате деформации изгиба удлинился на величину nn1.
В виду малости величины деформации треугольники OEF и Fn1n считают подобными.
nn1 y
 .
ds
ρ
nn1
y
y
 ε    . Согласно закону Гука =E  =E .
(1)
ds
ρ

Нормальные напряжения при изгибе распределены неравномерно: максимальные напряжения
возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси.
По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Эпюра распределения нормальных напряжений имеет вид:
В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA.
54
Нормальная сила dN действующая на площадку dA равна: dQ=dA.
1) Т.к. система находится в равновесии, следовательно Fi(z)=0   dN  0 .
A
y
E
 dN   σdA   E ρ dA  ρ  ydA  0 , т.к. E и  не равны нулю, следовательно  ydA  0  S x .
A
A
 ydA  S x
A
A
A
- статический момент площади.
A
Равенство нулю статического момента площади означает, что при изгибе нейтральная ось
проходит через центр тяжести площади поперечного сечения.
2)  M x  0 . –m+  ydN  0 .
A
Так как при чистом изгибе внутренний изгибающий момент равен внешнему Mu=m, то
Ey
E
EI
dA   y 2 dA 
Mu=  ydN   ydA   y
.
ρ
ρ

A
где
y
2
A
A
A
dA  I - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.
A
EI – жесткость сечения при изгибе.
EI
.
Mu
Ey

Подставляя в формулу (1) получаем  
Радиус нейтрального слоя равен  
M y
Ey
 u .
 EI / M u
I
Максимальное напряжение будет у волокон наиболее удаленных от нейтральной оси.
M y
M
I
σ max  u max  u , где W 
- момент сопротивления изгибу.
I
W
y max
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения
относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица измерения момента сопротивления изгибу – [W]=м3.
M
Наибольшее нормальное напряжение при чистом изгибе вычисляется по формуле: σ  u .
W
1)
2)
bh 2
для прямоугольника bh: W=
6
круг диаметром d: W=0.1d3.
55
Так как вблизи нейтральной оси материал мало напряжен, то выгодно больше материала
располагать дальше от нейтральной оси. Поэтому в машиностроении широко распространены
прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений.
Касательные напряжения при изгибе
Поперечная сила стремится сдвинуть одну часть балки относительно другой в направлении,
перпендикулярном к оси балки. Поэтому поперечная сила вызывает в плоскости поперечного сечения
балки касательные напряжения.
В поперечных сечениях балки при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и
касательные напряжения, вызывающие деформации сдвига.
В силу закона парности касательных напряжений в балке появляются касательные напряжения,
действующие параллельно нейтральной плоскости, которые стремятся сдвинуть горизонтальные слои
балки друг относительно друга.
Возьмем балку, составленную из двух ничем не скрепленных брусьев, и нагрузим ее изгибающей
силой. Каждый отдельный брус в этом случае будет вести себя, как самостоятельная балка. Концы
такой балки принимают при изгибе ступенчатое расположение, т.е. отдельные брусья сдвигаются
друг относительно друга в продольном направлении. В целой балке ступенчатости концов не
получается, Следовательно упругие силы препятствуют этому продольному сдвигу.
у
Qу
Эпюра (у)
х
S
х
y
(у)
z
у
Формула для расчета касательных напряжений была выведена Журавским, поэтому и
называется она формулой Журавского.
QS(y)
QS
или  
.
(1)
τ(y) 
bI
b(y)I
56
где (y) – касательные напряжения в рассматриваемом продольного сечения на уровне y. y –
отсчитывается от нейтрального слоя сечения.
Q – внутренняя перерезывающая сила в рассматриваемом сечении.
S(y) – статический момент относительно нейтральной оси части рассматриваемого сечения,
расположенной выше уровня y.
b(y) – ширина сечения на уровне y.
Формула Журавского читается так: касательные напряжения в поперечном сечении балки равны
произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно нейтральной оси части
сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения
относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.
Проанализируем: так величина I, Q постоянны. Поэтому касательные напряжения изменяются
S
прямо пропорционально . Касательные напряжения распределены неравномерно.
b
В самых верхних и нижних продольных слоях балки касательные напряжения равны нулю, так
как S=0. ( S x   ydA  yC A ).
A
Для прямоугольных сечений, у которых ширина b остается по всему сечению балки постоянной,
наибольшие касательные напряжения будут в нейтральном слое. (эпюра представлена на рисунке).
Вследствие закона парности касательных напряжений формула (1) определяет и величину
касательных напряжений в поперечных сечениях балки. Следовательно касательные напряжения в
поперечных сечениях балки распределены неравномерно, что приводит к искривлению плоскости
поперечного сечения.
Зная закон распределения касательных напряжений для прямоугольного сечения можно
построить эпюры напряжений для двутаврового сечения.
Эпюра (y)
Эпюра (y)
y
max
a
a
a
max
S x
x
a
z
a
a
y
max
Расчеты на прочность при изгибе
57
Для большинства встречающихся на практике длинных балок нормальные напряжения
значительно выше касательных. поэтому необходимое сечение балок, как правило, находят из условия
прочности по нормальным напряжениям.
Три вида балок следует проверять по касательным напряжениям, а именно:
1) деревянные балки, так как древесина плохо работает на скалывание;
2) узкие балки (например двутавровые), так как максимальные касательные
напряжения обратно пропорциональны ширине слоя;
3) короткие балки, так как при относительно небольших изгибающем моменте и
нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и
касательные напряжения.
Условие прочности: максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно
превосходить допускаемое.
Расчетная формула на прочность: σ max 
M ux.max
Wx
 σ .
Сечение, полученное из условия прочности по нормальным напряжениям, проверяют по
касательным напряжениям ( τ max  τ ).
Гипотезы прочности
Гипотеза прочности – это научные предположения об основной причине достижения
материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.
Предельным состоянием считают состояние качественных изменений металла.
При растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести т, а
хрупких пределом прочности в; эти напряжения считаются предельными, в зависимости от них
вычисляют допускаемые напряжения.
При чистом растяжении-сжатии причиной появления предельного состояния можно не
интересоваться, т.к. эксперименты по растяжению образцов из разных материалов дают те напряжения
в их поперечных сечениях при которых предельное состояние возникает независимо от его причины.
Напряженные состояния при сочетании основных деформаций и при одноосном растяжении
будем называть равноопасным или эквивалентными, если их главные напряжения отличаются от
предельного для данного материала в одинаковое число раз, иначе говоря, коэффициенты запаса
прочности для эквивалентных напряженных состояний одинаковы.
Эквивалентным напряжением называется такое условное напряжение при одноосном
растяжении, которое равноопасно заданному случаю сочетания основных деформаций.
На основании гипотез прочности выводят формулы для вычисления эквивалентного напряжения,
которое затем сопоставляют с допускаемым напряжением на растяжение.
σ экв  [σ р ]
Первая теория прочности, основанная на гипотезе наибольших нормальных напряжений, и
вторая теория прочности, основанная на гипотезе наибольших линейных деформаций, в настоящее
время не применяются, и мы их рассматривать не будем.
1) Гипотеза наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
Опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения
достигают предельной величины.
σ экв  σ 2  4τ 2 .
где  и  есть нормальные и касательные напряжения на площадке поперечного сечения,
проходящего через опасную или предположительно опасную точку.
Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в особенности
для пластичных материалов.
2) Гипотеза Мора (четвертая теория прочности)
58
Мор (1835-1918) – немецкий ученый в области сопротивления материалов и строительной
механики.
Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется
наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.
Формула для вычисления:
1 k
1 k
σ экв 
σ
σ 2  4τ 2 ,
2
2
где k=[р]/[c].
Эта формула одинаково пригодна как для хрупких, так и для пластичных материалов, при k=1
она тождественна с формулой третьей теории прочности.
3) Энергетическая гипотеза (пятая, или энергетическая теория прочности)
При деформации элементарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и ее объем.
Полная потенциальная энергия деформации состоит из двух частей: энергии формоизменения и
энергии изменения объема.
Энергетическая теория прочности в качестве критерия перехода материала в предельное
состояние принимает только энергию формоизменения.
Опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная
энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины.
Формула для вычисления:
σ экв  σ 2  3τ 2 .
Эта формула для пластичных материалов хорошо подтверждается опытами и в настоящее время
получила широкое распространение.
59
МОДУЛЬ 3 – «ДЕТАЛИ МАШИН»
Классификация зубчатых механизмов
З.м. относятся к группе трехзвенных механизмов, имеющих две низшие и одну высшую пару.
Преимущества: компактность, имеют высокий КПД, постоянное передаточное отношение.
Передаточное отношение показывает во сколько раз скорость входного колеса больше скорости
выходного и определяется по формуле:
U
z 2 d 2 r2 n1 ω1

 

z1 d1 r1 n2 ω2
Передаточному отношению приписывается знак «-», если колеса вращаются в разные стороны и
«+» если в одну сторону.
Одноступенчатая зубчатая передача состоит из двух колес: ведущего и ведомого.
В зависимости от расположения осей валов делятся:
1) с параллельными осями (цилиндрические);
2) с пересекающимися (конические); показать схематическое изображение
3) с скрещивающимися осями (червячные, гипоидные). показать схематическое изображение
Передачи имеющие зубчатые колеса с неподвижными осями называются рядными, с
перемещающимися осями – планетарными.
В зависимости от взаимного расположения зубчатых колес зубчатые передачи могут быть
внешнего и внутреннего зацепления.
Реечное зацепление является разграничительным между внешним и внутренним.
При внешнем зацеплении колеса вращаются в разные стороны, при внутреннем в одном
направлении.
По расположению зубьев на поверхности колес: прямозубые, косозубые, шевронные и с
круговым зубом.
Косозубые колеса прочнее прямозубых. Они работают более бесшумно.
По форме профиля зуба различают: эвольвентные, и круговые.
По окружной скорости различают: тихоходные (v<3 м/с), среднескоростные (v=3…15 м/с),
скоростные (v=15…40 м/с), быстроходные (v>40 м/с).
По конструктивному исполнению передачи могут быть: открытые (не защищенные от влияния
внешней среды) и закрытые (изолированные от внешней среды).
По числу ступеней – одно- и многоступенчатые.
По точности зацепления. Стандартом предусмотрено 12 степеней точности. Практически
передачи общего машиностроения изготовляют от шестой до десятой степени точности. Передачи
6-й степени точности изготавливают для наиболее ответственных случаев.
60
61
Элементы зубчатой передачи
Меньшее по числу зубьев называется шестерней, а большее – колесом.
Поверхность, отделяющая зубья от тела зубчатого колеса, называется поверхностью впадин
зубьев.
Поверхность, ограничивающая зубья со стороны, противоположной телу зубчатого колеса –
поверхностью вершин зубьев.
Пространство между двумя соседними зубьями – впадина.
Поверхность ограничивающая зуб со стороны впадины называется боковой поверхностью зуба.
Боковая поверхность состоит из главной и переходной поверхности.
Боковая поверхность – это та часть боковой поверхности зуба, которая взаимодействуя с
главной поверхностью другого зуба, обеспечивает заданное передаточное отношение.
Переходная поверхность соединяет боковую поверхность с поверхностью впадин.
Боковая поверхность может быть: эвольвентной и очерченными по дуге окружности (колеса
Новикова).
В зацеплении Новикова торцевые профили зубьев очерчены дугами окружностей. Они могут при
одних и тех же габаритных размерах передавать в 1,5-2 раза большую мощность.
Основная теорема эвольвентного зацепления
Основная теорема зацепления устанавливает связь между геометрией сопряженных профилей и
законом относительного движения элементов высшей КП.
Была сформулирована Виллисом в 1841 г.
Формулируют в следующем виде: общая нормаль в точке контакта сопряженных профилей в
любой момент зацепления должна проходить через полюс зацепления Р и делит межосевое расстояние
на отрезки, которые обратно пропорциональны угловым скоростям.
62
Следствие: для обеспечения постоянного передаточного числа положение полюса P на линии
центров должно быть постоянным.
Из теоретически возможных профилей, удовлетворяющих требованиям основной теоремы
зацепления применение в машиностроении получили эвольвентные профили
Преимущества эвольвентного колеса:
1)
в определенных пределах допускают изменение межосевого расстояния, сохраняя при
этом постоянство передаточного отношения.
2)
наиболее просты в изготовлении;
Эвольвентой называется плоская кривая которую образует любая точка прямой
перекатывающейся по окружности без проскальзывания.
n
Правая ветвь
эвольвенты
Ai
i
Левая ветвь
эвольвенты
A0
C0
Ci
i
90 o
O
n
rb
Основная
окружность
Окружность по которой перекатывается прямая называется основной окружностью и
обозначают db.
63
Острый угол между касательной к профилю зуба в точке Ку и ее радиус-вектором ОКу
обозначают у и называется углом профиля.
Свойства эвольвенты:
1)
эвольвента – симметричная кривая, имеющая две ветви, сходящиеся в одной точке,
расположенной на основной окружности
2)
точка Nу является мгновенным центром скоростей и центром кривизны эвольвенты.
Поэтому нормалью к эвольвенте в любой ее точке является прямая, касательная к основной
окружности.
3)
при увеличении радиуса основной окружности эвольвентный профиль теряет свою
кривизну и при rb= эвольвента преобразуется в прямую линию.
Угол профиля стандартизирован и равен 20.
d – делительная окружность прямозубого колеса это та окружность, которая пересекает
профиль зуба в точке, для которой угол профиля равен стандартному углу =20.
Если длину окружности поделить на число зубьев z, то получим расстояние между профилями
двух соседних зубьев, называемое шагом.
Окружной шаг зубьев – расстояние между одноименными профилями соседних зубьев по дуге
концентрической окружности.
Шаг по делительной окружности обозначается p.
Шаг по основной окружности pb.
По любой окружности p=s+e,
где
s – окружная толщина зуба;
е – окружная ширина впадины.
По делительной окружности s и e равны между собой.
64
Угловой шаг обозначают  
360
.
z
2r  pz . или d=pz.  d=
Отношение
pz

.
p
обозначают m и называют модулем зубьев колес. (единица измерения мм).

Модуль – это часть делительного диаметра, приходящаяся на один зуб.
Модуль стандартизирован. Через модуль выражают все линейные размеры как колеса, так и
передачи.
Величина модуля определяется из прочностных расчетов.
Для пары зацепляющихся колес модуль должен быть одинаковым.
Из треугольника KON находим радиус основной окружности.
rb=rcos.
Высота зуба h – радиальное расстояние между окружностями вершин и впадин зубчатого
колеса.
Головка зуба – часть зуба расположенная между делительной окружностью зубчатого колеса и
окружностью вершин.
ha – высота головки зуба.
Величина высоты головки зуба определяется коэффициентом высоты головки зуба - h*a .
(стандартная величина h*a =1).
ha= h*a m.
Ножка зуба – часть зуба, расположенная между делительной окружностью впадин.
hf – высота ножки зуба.
Величина высоты ножки зуба определяется коэффициентом высоты ножки зуба - h *f .
(Стандартная величина h*f  1,25 ).
hf= h*f m.
Тогда высота зуба равна:
h  ha  h f .
Радиальный зазор – расстояние между поверхностями вершин зубьев и впадин шестерни и
колеса:
с=hf - ha.
Величина радиального зазора определяется коэффициентом радиального зазора - с*, который
является величиной стандартной (c*=0, 0,25 или 0,35).
с=с*m.
Ширина зубчатого венца b – наибольшее расстояние между торцами зубьев цилиндрического
зубчатого колеса по линии, параллельной его оси.
Определяется коэффициентом ширины зубчатого венца относительно:
b

межосевого расстояния  ba  . (Определяется назначением коробки скоростей
a
0,2…0,25; редукторы 0,2…0,4).
b
U 1

диаметра шестерни ψbd   ψba
.
d
2
b
U 1

модуля ψ bm   ψ ba z
.
m
2
Межосевое расстояние – aw – расстояние между осями зубчатых колес передачи по межосевой
линии.
Окружность вершин зубьев – это окружность, ограничивающая высоту зубьев - da;
65
 d  2  m  (h*  x  Δy) .
ai
i
a
i
где y=x - y – коэффициент уравнительного смещения;
d
aw  a
- коэффициент воспринимаемого смещения.
m
Окружность впадин зубьев – это окружность, ограничивающая глубину впадин - df;
d fi  d i  2  m  (ha*  c*  xi ) .
y
Начальная окружность dw – окружности проходящие через полюс зацепления.
2  a w  zi
.
d wi 
zΣ
Начальная окружность относится только к паре колес.
При вращении колес точка зацепления эвольвентных профилей перемещается по общей нормали
n-n, которая называется линией зацепления.
Так как сила давления профиля зуба шестерни на профиль зуба колеса передается только по
нормали, то линия зацепления является и линией давления.
Активная линия зацепления – это отрезок линии зацепления, отсекаемый окружностями
вершин зубьев обоих колес. Он определяет начало и конец зацепления зубьев.
Острый угол w между линией зацепления и прямой, перпендикулярной межосевой линии,
называется углом зацепления (стандартизировано 20).
Угол поворота зубчатого колеса от момента входа зуба в зацепление до момента выхода его из
зацепления называется углом перекрытия - .
Отношение угла перекрытия зубчатого колеса к его угловому шагу называется коэффициентом
перекрытия v.

εv  v
τ
Необходимо, чтобы v>1, иначе при работе передачи возможны моменты, когда в зацеплении не
будет ни одной пары зубьев и передача будет работать с ударами.
66
С увеличением коэффициента перекрытия
1) повышается плавность работы и несущая способность передачи;
2) уменьшаются динамические нагрузки и шум в передачи.
Для высокоскоростных и тяжелонагруженных передач используют косозубые, шевронные или
криволинейные зубья.
Общий коэффициент перекрытия
v=+.
где
 - коэффициент торцевого перекрытия;

 1
1 
ε α  1,88  3,2
  cosβ
 z 2 z1 

 - коэффициент осевого перекрытия.
 
 - угол наклона зуба.
b sin 
m
b – ширина зубчатого венца.
Для прямозубых =0.
При z= все окружности преобразуются в параллельные прямые, а эвольвентный профиль
станет прямолинейным с углом профиля равным =20 , а вместо колеса получим зубчатую рейку.
Методы изготовления зубчатых колес
Способы изготовления:
1 литье без последующей механической обработки (применяется редко);
2 накатка зубьев на заготовке без последующей обработки;
3 нарезание зубьев (самый распространенный);
4 штамповка, протягивание и др.
Методы нарезания: копирование и обкатка.
Копирование заключается в прорезании впадин между зубьями с помощью дисковой или
пальцевой фрезы.
Обкатка. Заготовке и инструменту сообщается такое же относительное движение, какое имеют
звенья зубчатой пары "эвольвентное колесо-рейка", т.е. движение обкатки. Кроме обкатки инструмент
должен совершать движение резания - возвратно-поступательное движение вдоль оси заготовки.
Обкатка производится долбяком, червячной фрезой или инструментальной рейкой.
67
Достоинства обкатки:
1 позволяет одним и тем же инструментом изготовлять колеса с зубьями различной формы.
Изменяя относительное расположение инструмента и заготовки на станке можно получать зубья
различной формы и толщины.
2 обеспечивает большую точность и производительность.
Коррегирование зубчатых колес
Форма эвольвентного профиля зубьев при заданном угле инструмента и модуле зависит от
числа зубьев z: с уменьшением числа зубьев увеличивается кривизна эвольвентного профиля и
соответственно уменьшается толщина зубьев у основания.
Если число зубьев меньше некоторого предельного значения, то при нарезании зубьев
происходит подрезание ножек зуба.
Минимальное число зубьев z колеса, у которого исключено подрезание зубьев для стандартного
зацепления равен 17.
Для устранения явлений подрезания зубьев и улучшения параметров передачи применяют
коррегирование.
При коррегировании инструмент устанавливают с некоторым дополнительным смещением по
отношению к оси заготовки.
Установка инструмента, при которой делительной окружности касается его средняя прямая,
считается номинальной (нулевой); колеса, нарезанные при такой установке инструмента, - нулевыми,
Смещение инструмента по отношению к нулевой установке от центра заготовки считается
положительным, колеса - положительными.
Смещение инструмента к центру заготовки - отрицательным, колеса - отрицательными.
Отношение абсолютного смещения инструмента  к модулю называют коэффициентом
Δ
смещения: x  .
m
Значениям  и x приписывают соответствующие знаки. При нулевой установке инструмента x=0,
=xm=0; при положительном смещении x>0 и =xm>0; при отрицательном смещении x<0 и =xm<0.
При увеличении х увеличивается толщина зуба у основания. Следовательно, положительное
смещение увеличивает изгибную прочность зубьев, так как зуб на изгиб работает как консольная балка,
жестко защемленная у основания. Отрицательное смещение изгибную прочность уменьшает.
1
68
F
F
1
h
2
2
1
ra
rf
С увеличением радиусов кривизны контактирующих профилей увеличивается пятно контакта, а
следовательно, снижаются контактные напряжения.
Следовательно, положительное смещение увеличивает контактную прочность зубьев, а
отрицательное - уменьшает.
При увеличении положительного смещения толщина зубьев по окружности выступов
уменьшается.
Положительное смещение имеет тенденцию к заострению зубьев.
Максимально возможное положительное смещение ограничивается условием отсутствия
заострения зубьев: Sa  [Sa].
Рекомендуется величины коэффициентов смещения выбирать с помощью блокирующего
контура, который представляет собой совокупность линий, ограничивающих зону допустимых
значений коэффициентов смещения для зубчатой передачи с данными числами зубьев.

1
2
Абсолютные границы контура
X2
Xz11 =
Xz12 =
O
(S a )1 =0,25m
X1
(X 2 )min
a
(X 1 )min
X 2 = -X1
=1,2
Линия х2=-х1 определяет равносмещенное зацепление (х=0).
Линия а-а определяет равнопрочность по изгибу сопряженных зубьев при одинаковых
материалах и термообработке колес, если ведущей является шестерня.
Линия 1=2 определяет одинаковые удельные скольжения в граничных точках рабочих
сопряженных профилей.
Линия =1,2 определяет указанное значение коэффициента перекрытия передачи.
Левее линии (х1)min расположена область допустимого подрезания зубьев шестерни.
Ниже линии (х2)min расположена область допустимого подрезания зубьев колеса.
Правее линии (Sa)1=0,25m расположена область допустимого заострения зубьев шестерни.
Способы отделки:
Для достижения высокой точности и малой шероховатости поверхности зубьев после
нарезания производится их отделка:
69
1 шлифование (производится методом копирования или обкатки шлифовальным кругом);
2 шевингование (выполняется шевер-шестерней или шевер рейкой);
3 притирка (выполняется с помощью чугунного колеса - притира).
Зубчатые колеса, у которых диаметр впадин незначительно превышает диаметр вала в месте
посадки зубчатого колеса, изготавливают за одно целое с валом – валом-шестерней. В остальных
случаях зубчатое колесо выполняется отдельно.
Колеса с диаметром меньше 400 мм имеют форму диска с выточками.
Колеса с диаметром более 400 мм изготавливают со спицами.
Для изготовления колес применяют следующие материалы:
1 сталь обыкновенная: Ст5, Ст6; сталь качественная 35, 40, 50; легированная сталь 12ХН3А,
40ХН
2 серый чугун СЧ10 СЧ15;
3 неметаллические материалы: текстолит, капрон.
Силы в зацеплении зубчатых колес
Силы взаимодействия между зубьями принято определять в полюсе зацепления Р.
Распределенную по контактным линиям нагрузку заменяют равнодействующей Fn, которая
направлена по линии давления. (зацепления) NN.
Силами трения в зацеплении пренебрегают.
Силу Fn раскладывают на составляющие:
2000T1 2000T2 1000P1
- окружная сила Ft : Ft1  Ft 2 


d1
d2
V1
На ведомом колесе направление силы Ft совпадает с направлением вращения, на ведущем противоположно ему.
- радиальная сила Fr : Fr1  Fr2  Ft tgα
Направлена из полюса по радиусу к оси вращения.
F
Сила нормального давления на зуб Fn  t
cos 
70
Виды разрушений зубьев
Поломка зубьев. Поломка наблюдается у основания зуба, вследствие периодического действия
переменной нагрузки, а так же в результате значительной кратковременной перегрузки.
Если зуб работает с одной стороны, то первоначально трещина образуется в зоне
растяжения. Трещина распространяется вдоль основания ножки зуба.
Долговечность зубьев можно повысить, увеличив прочность основания зуба и уменьшив
концентрацию напряжений в опасном сечении.
71
Выкрашивание. Возникает на ножках зубьев вблизи полюсной линии. Подвержены передачи
работающие при обилии смазочного материала.
Смазочной материал, который заходит в микротрещины, находясь под действием внешнего
давления, расклинивает трещину. Чем тверже поверхность, тем большую нагрузку они могут
выдерживать.
Изнашивание зубьев заключается в истирании рабочих поверхностей, вследствие попадания
металлических частиц, пыли, грязи. Наблюдается в открытых передачах.
Заедание. Под действием высоких давлений сопряженные поверхности сцепляются одна с
другой и при последующем относительном движении частицы делают на рабочих поверхностях
борозды, задиры.
Критерии работоспособности
1 Контактная усталостная прочность зубьев.
2 Изгибная усталостная прочность зубьев.
3 Статическая контактная прочность (в условиях возможных перегрузок)
4 Статическая изгибная прочность (в условиях возможных перегрузок)
Основным критерием работоспособности
выносливость активных поверхностей зубьев.
закрытых
передач
является
контактная
Основные размеры передач определяют из расчета по контактным напряжениям
Валы и оси
Общие положения: валы и оси предназначены для поддержания в пространстве деталей передач
вращательного и качательного движения.
Отличие вала от оси. Вал воспринимает все усилия, действующие на закрепленные на нем
детали, и передает вращающий момент к этим деталям. Оси воспринимают только силы, а вращающий
момент не передают.
В валах возникают нормальные напряжения изгиба, нормальные напряжения растяжения-сжатия
и касательные напряжения кручения (сложное напряженное состояние). В осях возникают только
нормальные напряжения изгиба и растяжения.
Оси служат для поддержания вращающихся вместе с ним или на них различных деталей (блоков,
барабанов ит.п.).
Оси бывают вращающимися (ось вагона) и неподвижными (ось блока грузоподъемной машины).
По конструктивной форме оси выполняются гладкими или имеют незначительные переходы
диаметров (для выделения посадочных мест). Широко практикуют полые оси.
Материалы для изготовления осей: Ст4, Ст5, Сталь 35, Сталь 45.
По назначению валы делят на валы передач (на них устанавливают детали передач) и коренные
(на них устанавливают дополнительно еще и рабочие органы машины).
72
Валы по конструкции принято делить на трансмиссионные, машинные (промежуточные) и
специальные.
Трансмиссионные валы применяют для передачи вращающего момента между далеко
отстоящими друг от друга, но кинематически связанными деталями. Отличительная особенность
трансмиссионных валов – большая длина.
Машинными валами принято называть промежуточные валы в машинах и механизмах с рядом
последовательных передач (редуктора, коробки скоростей и т.д.). Отличительная особенность это
небольшая длина и сложная конфигурация.
К специальным валам относятся валы особой формы и назначения, применяемые в некоторых
специализированных машинах: коленчатые валы, гибкие валы, кривошипные.
По геометрической форме валы делят на: прямые, кривошипные, коленчатые, гибкие,
телескопические.
Ступени – это участки вала разного диаметра. Они делаются из конструктивных соображений и
для упрощения сборки.
Участки осей и валов, которыми они опираются на подшипники, называются цапфами (при
восприятии радиальных нагрузок) или пятами (при восприятии осевых нагрузок).
Концевые цапфы называются шипами, а расположенные на расстоянии от конца вала –
шейками.
Опорами для пят служат подпятники. Подпятники бывают конические, цилиндрические и
шаровые.
73
Проектировочный расчет валов
1) Проектировочный расчет (приближенный)
Определяют минимальный диаметр вала из условия крутильной прочности.
Обычно при расчете какого-либо механизма известен вращающий момент, передаваемый валом.
Так как еще неизвестно положение опор, невозможно определить величины изгибающих моментов.
Поэтому предварительно оценивают диаметр вала из расчета только на кручение при пониженных
допускаемых напряжениях.
M кр
τ
 []
Wp
Для вала круглого сечения Wp=d3/160,2 d3
M
После преобразования получаем d  3
.
0,2[ ]
После ориентировочного определения приступают к его конструированию, т.е. определяют
диаметры всех участков вала, подбирают подшипники и определяют расстояния между опорами.
2) Проектировочный расчет из условия изгибной прочности
1.
определяют значения и направления сил, действующие на вал.
2.
внешние силы привести к оси и разложить во взаимно перпендикулярных плоскостях.
3.
определить реакции опор в каждой из взаимно перпендикулярных плоскостей.
4.
Построить эпюру изгибающих моментов в каждой из координатных плоскостей.
5.
Определить опасное сечение вала и для каждого опасного сечения рассчитать суммарный
изгибающий момент.
6.
7.
M и  М и2
 M и2
гор
вер
Находим приведенный момент в опасном сечении вала.
M прив  M и2  (T)2
Определяем диаметр вала из условия изгибной прочности.
M прив
d 3
0,1(1  β 4 )[σ ]u
d вн
, если вал сплошной =0.
dн
[] – допускаемые напряжения изгиба.
3) Проверочный расчет вала
Так как валы испытывают циклически меняющиеся напряжения, поэтому основным критерием
работоспособности является усталостная прочность.
1. Усталостная прочность вала S[S]. [S]=1,7…2,5.
Sσ S τ
S
S σ2  S τ2
S, S - запас прочности по нормальным и касательным напряжениям.
2. Проверка статической прочности
 - коэффициент сплошности вала =
2
2
σ экв  σ max
 3τ max
 [σ ] ,
Расчет валов на жесткость
Под действием нагрузок F валы и оси в процессе работы деформируются и получают линейный
прогиб и угловое перемещения , которое отрицательно влияет на работу связанных с ним деталей:
подшипников, зубчатых колес и др.
74
От прогиба вала в зубчатом зацеплении возникает концентрация нагрузки по длине зуба.
Жесткость валов и осей оценивается величиной прогиба в местах установки деталей или углом
закручивания сечений.
Причем угол прогиба определяется отдельно в горизонтальной и вертикальной плоскости
2
2
[].
  верт
 гор
Допускаемые упругие перемещения зависят от конкретных требований к конструкции и
определяются в каждом отдельном случае.
Например для шарикового однорядного подшипника []=0,005 рад/м;
Переходные участки валов между двумя ступенями разных диаметров выполняют следующими
способами:
1 С канавкой для выхода шлифовального круга или для выхода резьбонарезного инструмента.
Канавки должны иметь максимально возможные радиусы закругления для уменьшения концентрации
напряжений.
2 С переходной поверхностью – галтелью постоянного радиуса r.
Подшипники
Подшипники предназначены для поддержания вращающихся осей и валов.
Требования предъявляемые к подшипникам
1.
обеспечивает вращение достаточно длительное время
2.
простота в изготовлении, монтаже, обслуживании
3.
небольшие габариты
4.
экономичность
5.
точность вращения
По видам трения делятся на подшипники качения и скольжения
У подшипников скольжения опорная поверхность скользит по поверхности подшипника.
В подшипниках качения трение скольжения заменено трением качения посредством установки
шариков или роликов между опорными поверхностями подшипника и вала.
Преимущества подшипников скольжения
1.
дешевые
2.
малые радиальные размеры
3.
изготовление доступно любому заводу, любых типоразмеров
4.
работают бесшумно
Недостатки:
75
1 необходим принудительный подвод под давлением смазочного материала.
2 при пониженных температурах возрастает пусковой момент
Подшипник скольжения состоит:
1 корпус подшипника;
2 – вкладыш;
3 - цапфа вала.
Подшипники
скольжения
по
воспринимаемой нагрузке делятся
1.
радиальные
2.
упорные (подпятники)
3.
радиально-упорные
Радиальные
подшипники
бывают
разъемными и неразъемными.
Неразъемные как правило выполняются за одно целое со станиной.
Для изготовления вкладыша используют материалы
обладающие высокими антифрикционными свойствами:
латунь, бронза, алюминиевые сплавы, текстолит, капрон.
Выходят
из
строя
вследствие
абразивного
изнашивания или заедания. При восприятии больших
ударных нагрузок и вибрационные нагрузки возможно
усталостное разрушение вкладышей.
Подшипники качения
Преимущества подшипников качения
1.
Высокий КПД
2.
Небольшие осевые размеры
3.
Экономичны в эксплуатации
4.
Простота конструкций опор
5.
Экономия цветных материалов
6.
Недостатки подшипников качения
1.
Низкая долговечность при ударных и вибрационных нагрузках
2.
Ограниченная быстроходность из-за опасности разрушения
сепараторов
3.
Большие радиальные размеры
4.
Шум при больших скоростях
Подшипники качения состоят из двух колец – внутреннего 1 и
наружного 3, тел качения 2 и сепаратора 4.
Классификация
По форме тел качения: шариковые и роликовые.
Роликовые по форме:
- с короткими цилиндрами;
- конические;
- бочкообразные;
- игольчатые;
- витые ролики.
76
По направлению воспринимаемых сил:
- радиальные (воспринимают преимущественно радиальные нагрузки, действующие
перпендикулярно оси);
- радиально-упорные (воспринимают одновременно радиальные и осевые нагрузки);
- упорно-радиальные (воспринимают осевые при одновременном действии незначительной
радиальной нагрузке)
- упорные (воспринимают только осевые силы)
По способу самоустановки: несамоустанавливающиеся и самоустанавливающиеся (допускают
поворот оси внутреннего кольца по отношению к оси наружного)
По числу рядов тел качения: однорядные, двухрядные, четырехрядные и многорядные.
Характеристики подшипников: грузоподъемность, быстроходность, масса, габариты, потери
энергии.
По радиальным размерам:

сверхлегкие;

особо легкие;

легкие;

средние;

тяжелые.
По ширине:

особо узкие;

узкие;

нормальные;

широкие;

особо широкие.
Чем выше серия тем менее быстроходны, но обладают более высокой грузоподъемностью.
Материалы:
тела качение изготавливают из высокоуглеродистых подшипниковых сталей с последующей
термообработкой;
сепараторы из низкоуглеродистой листовой стали, для быстроходных подшипников из бронзы,
латуни, капрона и др.
77
Типы подшипников
1.
Шариковые радиальные предназначены для восприятия радиальной нагрузки (могут
воспринимать и небольшую осевую). Обладают большой быстроходностью.
2.
Шариковые радиальные сферические предназначены для восприятия радиальной и
большой осевой нагрузки. Применяют для валов подверженных значительным прогибам.
3.
Роликовые радиальные с короткими цилиндрическими роликами воспринимают только
радиальную нагрузку. (Грузоподъемность составляет 1,7 грузоподъемности шариковых). Применяют
для коротких жестких валов.
4.
Роликовые радиальные с игольчатыми роликами обладают высокой радиальной
грузоподъемностью при небольших радиальных габаритах. Чувствительны к прогибам и несоосности.
Применяют в опорах, требующих компактности в радиальных направлениях.
При необходимости максимально уменьшить радиальные нагрузки применяют подшипники без
внутреннего кольца.
5.
Роликовые радиальные с витыми роликами предназначены для восприятия радиальных
нагрузок, в том числе и ударного характера, при небольших частотах вращения.
6.
Шариковые
радиально-упорные
воспринимают
радиально-осевые
нагрузки.
Воспринимают осевую нагрузку только в одном направлении.
7.
Роликовые конические предназначены для восприятия одновременно радиальных и
осевых нагрузок.
8.
Шариковые упорные воспринимают только осевые нагрузки. Допускают небольшие
частоты вращения.
Условные обозначения
Последние две цифры условно обозначают внутренний диаметр подшипника с диаметрами
d=20…495 мм. Для определения истинного значения в миллиметрах необходимо эти цифры умножить
на 5. d=125=60 мм. Подшипники с диаметрами меньше 17 мм первая и вторая цифра соответствуют
диаметру.
Третья цифра справа обозначает серию подшипника по диаметру:
1 – особо легкая;
2 – легкая;
3 - средняя;
4 – тяжелая;
5 – легкая широкая;
6 – средняя широкая.
78
Четвертая цифра справа обозначает тип подшипника
0 – радиальный шариковый;
1 – радиальный шариковый сферический;
2 – радиальный с короткими цилиндрическими роликами;
3 – радиальный роликовый сферический;
4 – радиальный роликовый с длинными роликами или игольчатый;
5 – радиальный роликовый с витыми роликами;
6 – радиально-упорный шариковый;
7 – роликовый конический;
8 – упорный шариковый;
9 – упорный роликовый.
Если после 0 слева нет цифр, то 0 в условном обозначении не проставляют.
Пятая и шестая цифры справа обозначают конструктивные отклонения от основной конструкции.
5 – наличие стопорной канавки на наружном кольце.
Седьмая цифра справа обозначают серию подшипника по ширине.
Цифры стоящие через тире впереди цифр обозначают класс точности. Пять классов точности
(0, 6, 5, 4, 2).
Буквы проставленные правее от основного условного обозначения изменение металла. Б сепаратор из бронзы; Е сепаратор из пластических материалов; Л – сепаратор из латуни; Ш –
специальные требования по шуму. Ю – детали из коррозийно-стойкой стали.
Пример: 6-305 – подшипник шариковый радиальный, средней серии, внутренний диаметр
d=55=25 мм, класс точности 6.
Виды разрушений
Пластические деформации. Деформации в виде вмятин на дорожках качения колец, нарушающие
работоспособность подшипника, наблюдаются в невращающихся и тихоходных подшипниках при
действии на них больших статических и ударных нагрузок.
Основным критерием работоспособности невращающихся и тихоходных подшипников является
расчет на базовую статическую грузоподъемность.
Усталостное выкрашивание. Выкрашивание рабочих поверхностей тел качения и дорожек
качения колец подшипников в виде раковин или отслаивания происходит вследствие действия на них
циклического контактного напряжения.
Основным критерием работоспособности подшипников, работающих в нормальных условиях
при n10 об/мин является расчет на долговечность по усталостному выкрашиванию.
Абразивное изнашивание. Наблюдается при недостаточной защите подшипников от пыли.
Это основной вид разрушения подшипников автомобильных, тракторных и др. машин.
Раскатывание колец и тел качения. Этот вид разрушения связан с ударными и вибрационными
перегрузками, неправильным монтажом, вызывающим перекосы колец, заклинивание тел качения и т.п.
Разрушение сепараторов. Характерно для быстроходных подшипников. Происходит от действия
центробежных сил и воздействия на сепаратор тел качения.
Критерии работоспособности
Основным критерием расчета являются номинальная долговечность подшипников и статическая
грузоподъемность.
При n1 об/мин делают расчет на усталостную контактную прочность;
при n<1 об/мин расчет на статическую контактную прочность.
Базовая динамическая грузоподъемность – постоянная радиальная нагрузка, которую
подшипник качения может воспринимать при базовой долговечности составляющей 1 млн. оборотов.
Обозначается C, указано в каталогах подшипников.
Расчет по динамической грузоподъемности
Номинальная долговечность подшипников
79
m
С 
Lмлн.об    ,
P
где m=3 для шарикоподшипников;
m=10/3 для роликоподшипников;
P – эквивалентная динамическая нагрузка.
Для шарикоподшипников
P=XVFrKбКт
Для подшипников с короткими цилиндрическими роликами
Р=FrVKбКт,
Для упорных подшипников
Р=FaKбКт,
X – коэффициент радиальной нагрузки;
V – коэффициент вращения (зависит от того какое кольцо вращается);
Кб – коэффициент безопасности;
Кт – температурный коэффициент;
Fr – радиальная нагрузка на подшипник;
2
2
.
Fr  R A  R A
 RA
гор
вер
Определяю номинальную долговечность подшипников в часах
L  106
.
Lh 
60n
Полученную долговечность сравнивают со сроком службы передачи в часах Lh>h.
h – долговечность выбирается по ГОСТу в зависимости от назначения машины.
Расчет по статической грузоподъемности
Проверяют не будет ли внешняя радиальная или осевая нагрузка превосходить статическую
грузоподъемность – С0.
Р  С0 .
Р – эквивалентная статическая грузоподъемность;
Для шарикоподшипников Р=ХFr+YFa
X, Y – коэффициенты радиальной и осевой нагрузки.
Шпоночные соединения
Шпоночные соединения служат для закрепления на валу вращающихся деталей, а также для
передачи вращающего момента от вала к ступице.
Преимущества: простота, надежность конструкции, низкая стоимость, простота сборки.
Недостатки: ослабление вала и ступицы шпоночными пазами, что приводит к значительной
концентрации напряжений и к усталостному разрушению валов.
По конструкции подразделяются:
- призматические со скругленными и плоскими торцами. Эти шпонки не имеют уклона.
по форме торцов различают трех исполнений:
- сегментные, представляют собой сегментную пластину, заложенную закругленной стороной в
паз соответствующей формы.
- клиновые: имеют уклон 1:100 и вводятся в паз с усилием.
80
Делятся на две группы: ненапряженные и напряженные.
Ненапряженные соединения осуществляются призматическими шпонками и сегментными
шпонками, которые не вызывают деформации ступицы и вала при сборке.
Напряженные соединения осуществляются клиновыми шпонками, которые вызывают
деформации вала при сборке.
Материалы: углеродистая или легированная сталь.
Шпоночные пазы на валах изготавливают дисковыми или торцевыми фрезами.
В ступицах деталей шпоночные пазы получают на долбёжных станках.
Тангенциальные шпонки представляют собой призматический брусок, составленный из двух
клиньев, устанавливаемых в паз вала таким образом, что одна из граней клина оказывается касательной
к цилиндрической поверхности вала.
Устанавливаются под углом 120. Применяются при больших динамических нагрузках. Могут
передавать больший вращающий момент.
Для создания фрикционной связи между валом и ступицей используют клиновые шпонки. С
нижней стороны шпонку обрабатывают в виде вогнутой цилиндрической поверхности с радиусом
равным радиусу вала. Вращающий момент передают за счет сил трения.
Могут передавать незначительный вращающий момент.
Шпонку на лыске устанавливают в пазу втулки с уклоном 1:100. На валу фрезерую плоскость.
Такая шпонка меньше ослабляет вал чем прямобочная, но передает меньший момент.
81
Соединения призматическими шпонками проверяют на смятие и только для ответственных
соединений на срез.
Шпонку выбирают в зависимости от диаметра вала.
2000T
σ см 
 [σ см ] ,
d(h-t1 )l p
τ ср 
2000T
 [τ ср ]
dbl p
T – момент на валу;
d – диаметр вала;
b – ширина шпонки;
lp – длина шпонки;
h – высота шпонки;
t1 – глубина паза.
Шлицевые соединения
Шлицевое соединение можно рассматривать как многошпоночное соединение.
Иногда можно встретить название – зубчатое зацепление.
Состоит из вала и втулки (ступицы).
Достоинства:
- меньше ослаблен вал, обеспечивает более высокую усталостную прочность вала;
- высокая надежность;
- технологичность;
- имеют большую нагрузочную способность благодаря большей рабочей поверхности контакта;
- лучше центрируют сопрягаемые детали.
Недостатки:
- повышенная стоимость.
Шлицевые соединения бывают неподвижные для закрепления деталей на валу и подвижные
допускающие перемещение деталей вдоль вала.
В зависимости от формы профиля зуба различают три типа соединений:
- с прямобочными;
- с эвольвентными;
- с треугольными зубьями.
82
Наибольшее распространение в машиностроении получило прямобочное соединение.
Эвольвентные шлицы по сравнению с прямобочными имеют более высокую точность и
прочность шлицев благодаря большому числу шлицев и скруглению впадин. Технология нарезания
проще и дешевле.
Прямобочные соединения выполняют с тремя видами центрирования:
- по наружному диаметру.
- по внутреннему диаметру;
- по боковым сторонам шлицев.
Центрирование по наружному и внутреннему диаметру применяют в тех случаях, когда
требуется повышенная точность совпадения геометрических осей вала и ступицы.
Центрирование по боковым сторонам способствует более равномерному распределению
нагрузки по шлицам, но не обеспечивает точной соосности ступицы и вала.
Зубья на валу фрезеруют, а в ступице – протягивают на специальных станках.
Число зубьев для прямобочных и эвольвентных соединений – 4…20; для треугольных до 70.
Стандартом предусмотрены три серии прямобочных зубчатых соединений – легкая, средняя и
тяжелая, отличающиеся высотой и числом зубьев.
Легкая серия рекомендуется для неподвижных соединений, средняя – для подвижных, тяжелая –
для неподвижных и подвижных при передаче больших моментов.
Изготовляют из сталей с временным сопротивлением в>500 МПа.
Проверочный расчет на прочность прямобочных зубчатых соединений аналогичен расчету
призматических шпонок. В зависимости от диаметра вала выбирают параметры зубчатого соединения,
после чего соединение проверяют на смятие.
Проверочный расчет на срез не производят.
При расчете допускают, что по боковым поверхностям зубьев нагрузка распределяется
равномерно, но из-за неточности изготовления в работе участвует только 75% общего числа зубьев.
Штифтовые соединения
83
Предназначены для точной фиксации деталей, а также для соединения осей и валов с
установленными на них деталями при передачи небольших моментов.
По назначению делятся на силовые и установочные.
Иногда используют как предохранительное звено, работающее на срез.
Преимущества:
- простота изготовления;
- в условиях вибрационных и ударных нагрузок лучше сварных соединений;
- процесс не тепловой (холодная клепка).
Недостатки:
- ослабление деталей;
- технологически сложный процесс образования соединения.
По форме делятся: на цилиндрические и конические.
Цилиндрические устанавливают в отверстиях с натягом. Иногда концы штифтов расклёпывают.
Конические штифты выполняют с конусностью 1:50, обеспечивающий самоторможение и
центрирование деталей.
При больших нагрузках ставят 2 или 3 штифта (под углом 90 или 120).
Применяют штифты с резьбой для извлечения при разборке и с резьбой для предохранения от
ослабления натяга.
Материалы: Ст5, Ст6, 40, 35Х и др., при необходимости проводят поверхностную закалку.
При передаче вращающего момента средний диаметр штифта определяют из условия прочности
на срез.
τ ср 
8000T
2
zπd ш
dв
 [τ ]ср.
z – число поверхностей среза.
[] ср=35…75 МПа.
Профильное соединение
Профильное соединение относится к бесшпоночным соединениям.
Соединяемые детали скрепляются между собой посредством взаимного контакта по некруглой
поверхности.
Профильное соединение надежное, но трудно выполнимое.
Соединение деталей с гарантированным натягом
84
В посадках с натягом в соединении обеспечивается натяг.
Такие посадки могут обеспечивать передачу вращающего момента без применения шпонок,
клиньев и т.п.
Натягом называют положительную разность размера вала и отверстия до сборки
N = dв – dо>0
Соединение с натягом передает нагрузку за счет сил трения между валом и отверстием.
Достоинство: простота конструкций и хорошее центрирование сопрягаемых деталей.
Недостаток: повышенная концентрация напряжений в соединяемых поверхностях.
Ременная передача
Ременная передача относится к передачам трением с гибкой связью и может применяться для
передачи движения между валами, находящимися на значительном расстоянии один от другого.
Передача состоит из двух шкивов: ведущего 1 и ведомого 2, закрепленных на валах, и ремня,
надетого на шкивы с предварительным натяжением для обеспечения возникновения сил трения на
участках контакта.
D1, D2 – диаметры ведущего и ведомого колеса.
 - угол обхвата.
Нагрузка передается силами трения, возникающими между шкивами и ремнем.
Передаваемая мощность достигает 50 кВт при скорости ремня 5…100 м/с.
Применяют в основном для быстроходной ступени привода как менее нагруженной.
Достоинства:
- плавность и бесшумность работы;
- простота конструкции и эксплуатации;
- возможность передачи мощности на большие расстояния;
- смягчение вибрации, толчков и ударов;
- предохранение механизмов от перегрузок вследствие возможности проскальзывания ремня;
Недостатки:
- большие габариты;
- непостоянство передаточного отношения;
- повышение нагрузки на валы и подшипники от натяжения ремня;
- низкая долговечность ремня;
- необходимость натяжного устройства;
В зависимости от скорости передачи могут быть тихоходными (до 10 м/с), среднескоростными
(до 30 м/с), быстроходные (до 100 м/с).
По взаимному расположению осей делятся:
- с параллельными осями;
- с пересекающимися - угловые;
- со скрещивающимися;
85
По направлению вращения шкива:
- с одинаковым направлением;
- с противоположным (перекрестные).
По способу создания натяжения ремня:
- простые;
- с натяжным роликом;
- с натяжным устройством.
По конструкции шкивов:
- с однорядными шкивами;
- со ступенчатыми шкивами;
- с раздвижными конусными шкивами
(клиноременной вариатор).
Передачи делятся в зависимости от
формы сечения ремня: плоскоременные,
клиноременные,
с
зубчатыми
ремнями,
поликлиновые и круглоременные.
Плоскоременную передачу рекомендуется применять при больших межосевых расстояниях (до
15 м) и высоких скоростях (до 100 м/с).
- обладает высокой долговечностью.
- передаточные отношение рекомендуется применять c U<6.
- рабочей поверхностью является нижняя сторона ремня.
В настоящий момент применяются достаточно редко.
Круглоременную передачу применяют только при малых мощностях: в приборостроении и
бытовых механизмах.
Клиновые ремни – это ремни трапецеидального сечения с рабочими боковыми гранями и углом
клина 40. Получили наибольшее распространение в машиностроении.
Обладают повышенной силой сцепления со шкивом и повышенной тяговой способностью,
которая в 3 раза выше, чем у плоскоременной.
За счет большего сцепления допускают меньшее межосевое расстояние, и меньший угол охвата.
Недостаток
86
- большая жесткость и как следствие малый срок службы ремня;
- более низкий КПД.
Скорость не должна превышать 30 м/с. (иначе клиновые ремни начинают вибрировать)
Передаточное отношение до 8.
Выполняют только с параллельными осями.
Форму канавки шкива проектируют таким образом, чтобы между шкивом и ремнем был
гарантированный радиальный зазор.
Боковые стороны ремня являются рабочей поверхностью, поэтому ремень не должен выступать
за пределы наружного диаметры ремня.
Клиновые бывают двух типов: нормального и узкого сечения.
Нормального сечения выпускают семи сечений: О, А, Б, В, Г, Д и Е
отличающиеся размерами.
Узкие ремни четырех сечений: УО, УА, УБ, УВ. Тяговая способность и
долговечность их выше, чем у ремней нормальных сечений, а при равной площади
сечения передают в 2 раза большую мощность.
Зубчатая ременная передача обладает постоянным передаточным
отношением.
Не требуется большого начального натяжения ремня.
Окружная скорость до 70 м/с.
Передаточное отношение до 15.
Двухсторонние клиновые ремни.
Поликлиновые ремни – выполняют из плоского ремня с продольными клиньями.
Выпускают трех типов К, Л М.
При одинаковой передаваемой мощности в 1,5…2 раза меньше клиновой.
Недостаток – передачи с поликлиновыми ремнями очень чувствительны к отклонениям от
параллельности валов и осевому смещению валов.
n
d2
d
Передаточное число u  1 
, где =(1-2)/1. 0,01…0,02. u  2 .
n2 d1(1  ε)
d1
Для плоскоременной передачи среднее значение КПД 0,96-0,98; для клиноременной передачи
0,95-0,96.
Материалы для изготовления:
Шкивы делают из серого чугуна – СЧ10, СЧ 15; стальные Ст1, Ст2, алюминевые сплавы,
текстолит.
Для плоскоременной передачи ремни изготавливают из прорезиненной хлопчатобумажной и
шерстяной ткани, синтетических материалов, кожи.
Клиновые ремни выпускают кордшнуровые и кордтканевые.
87
У первого основной слой состоит из кордовых шнуров, а у второго нескольких слоев кордовой
ткани.
Круглоременные ремни делают из прорезиненной ткани, полиуретана, резины.
Виды разрушений:
- изнашивание, возникающее вследствие упругого скольжения, попадания абразивных
материалов и буксироание.
- разрыв вследствие перегрева и снижение физико-механических свойств ремня;
- расслаивание и перетирание тканей вследствие усталостного разрушения.
Цепные передачи
Цепная передача относится к передачам зацепления с гибкой связью (цепью).
Состоит из ведущей 1 и ведомой 2 звездочек и охватывающей их цепи.
Цепь огибается только в одной плоскости, поэтому звездочки устанавливают на строго
параллельных валах.
Принцип зацепления, а не трения устраняет проскальзывание и буксование.
Достоинства:
- возможность передачи мощности на большие расстояния (больше чем ременная);
- могут передавать большие мощности;
- меньшая нагрузка на валы, так как предварительное натяжение невелико;
- более компактны;
- большой КПД;
- постоянное передаточное число;
- возможность передачи одной цепью нескольким звездочкам.
Недостатки:
- быстрый износ шарниров и как следствие удлинение цепи, что требует натяжных устройств;
- повышенный шум вследствие удара звена цепи при входе в зацепление;
- ограниченная скорость;
- повышенная стоимость;
- вытягивание цепей вследствие изнашивания в шарнирах.
- необходимость высококачественного монтажа передачи и тщательного ухода за ней.
- сложность подвода смазочного материала к шарнирам цепи.
Делятся по типу цепей:
88
- роликовые
- втулочные;
- зубчатые.
По числу рядов: однорядные и многорядные.
По числу ведомых звездочек: нормальные двухзвенные, специальные – многозвенные.
По способу регулирования провисания цепи: с натяжным устройством, с натяжной звездочкой.
По конструктивному исполнению: открытые, закрытые.
По расположению звездочек: горизонтальные, наклонные, вертикальные.
Передаваемая мощность до 100 кВт.
Скорости вращения – до 30 м/с.
n
ω
z
Передаточное число u  1  1  2 .
n2 ω2 z1
Рекомендуется u4, допускается u7.
При нормальном условии работы среднее значение КПД – 0,92 – 0,98.
Роликовая цепь состоит из наружных и внутренних звеньев, шарнирно соединенных с
помощью валиков и втулок.
Сцепление со звездочкой осуществляется роликом 1, свободно сидящем на втулке 2.
Материал цепей Сталь 50 с дополнительной закалкой.
89
Втулочные цепи по конструкции аналогичны роликовым. Отличаются отсутствием ролика. В
зацепление с зубьями звездочки входит втулка.
Изнашивание звездочки значительно большее, чем при использовании роликовой цепи.
Зубчатая цепь состоит из набора зубчатых пластин, шарнирно соединенных между собой.
По сравнению с роликовыми и втулочными цепями зубчатые малошумные, обладают большей
плавность в работе, лучше воспринимают ударную нагрузку.
Недостаток - очень тяжелые и дороже.
Звездочки:
Для роликовой и втулочной имеют профиль зуба, очерченной дугой окружности.
Для зубчатой цепи – прямолинейный рабочий профиль.
Критерии работоспособности.
- вытяжка цепи;.
- разрушение шарниров за счет вхождения цепи в зацепление.
- разрушение пластин.
Муфты
Муфтой называется устройство, соединяющее концы двух валов и передающее вращающий
момент с одного вала на другой без изменения его значения и направления.
Функции муфт:
- соединения валов, изготовляемых из отдельных частей;
- компенсация неточности;
- придания валам подвижности (шарнирная муфта);
- амортизация резких колебаний вращающего момента;
- предохранительная;
- включения и выключения отдельных узлов;
- направления передачи вращения;
- используют как маховик;
- для согласования диаметров валов.
- получения длинных валов, изготовленных из отдельных частей (шарнирная муфта).
90
Классификация муфт
По длинам концов валов
- на короткие;
- на длинные.
По форме конца вала:
- на цилиндрический;
- на конический.
Общая классификация муфт
- соединительные;
- сцепные;
- предохранительные.
Соединительные муфты делятся на
- глухие;
- компенсирующие.
Соединительные глухие муфты: втулочные, фланцевые.
Втулочные применяются когда составной вал должен работать как одно целое. Требуют точной
соосности соединяемых валов.
Представляет собой втулку посаженную с помощью шпонок, штифтов или шлицев на выходные
концы валов.
Используют в тихоходных и неответственных конструкциях машин.
Достоинство – простота конструкции и малые габаритные размеры;
Недостаток – необходимость раздвигать концы валов на полную длину валов.
Материал – сталь 45, для втулок большого размера – чугун.
Фланцевые муфты состоят из двух фланцевых полумуфт, установленных на концах валов и
укрепленных болтами. Эти муфты способны передавать большие моменты. Фланцевые муфты
стандартизованы в диапазоне диаметров вала 12…250 мм и передаваемых моментов 8…45000 Нм.
Достоинство – простота конструкций и легкость монтажа.
Недостаток – необходимость точного совмещения валов и точного соблюдения
перпендикулярности.
Продольная муфта. Линия разъема полумуфт, выполненных в виде разрезной втулки,
располагается вдоль ось вала.
91
Вращающий момент передается за счет шпоночных соединений, а так же сил трения,
возникающих от затяжки болтов.
Достоинство – удобный монтаж и демонтаж.
В машиностроении применяются редко.
Компенсирующие муфты
Применяют для уменьшения вредных нагрузок на валы и опоры за счет компенсации небольших
радиальных, осевых, угловых и комбинированных смещений.
Делятся на подвижные с жестким элементом и упругим.
Соединительные компенсирующие муфты с жестким подвижным элементом: зубчатые,
цепные.
Кулачково-дисковая муфта: состоит из двух полумуфт 1 и 2 с диаметральными пазами на
торцах. и промежуточного плавающего диска с взаимно-перпендикулярными выступами.
Недостаток – повышенная чувствительность к угловым перекосам валов.
Достоинство – компенсируют непараллельности валов.
Зубчатые муфты компенсируют продольное и радиальное смещение валов в пределах 1…8 мм.
Состоит из двух полумуфт с наружными зубьями эвольвентного профиля и разъемной обоймы с
двумя рядами внутренних зубьев.
Компенсирует радиальные, угловые и комбинированные смещения валов.
Муфта цепная – несоосность осей соединяемых валов компенсируются за счет относительной
податливости деталей цепи и их деформации.
92
Состоит из двух полумуфт-звездочек с одинаковым числом зубьев, охватывающей их
однорядной, двухрядной роликовой или зубчатой цепью.
Соединительные компенсирующие с упругим элементом – уменьшают динамические
нагрузки, передаваемые через соединяемые ими валы, предохраняют валы от резонансных колебаний.
Упругие втулочно-пальцевые муфты. Деформация резиновых упругих элементов смягчает
толчки и удары.
Состоит из двух полумуфт, соединительных пальцев, закрепленных в конических отверстиях
одной из полумуфт и надетых на пальцы гофрированных резиновых втулок.
Сцепные муфты
Предназначены для соединения и разъединения валов.
По принципу работы делятся: кулачковые и фрикционные.
93
Кулачковые муфты состоят из двух полумуфт 1 и 2, имеющих кулачки на торцевых
поверхностях. Включение муфты осуществляется за счет полумуфты 2, которая может передвигаться
дволь вала по направляющей шпонке.
Недостаток: жесткий удар, в результате замыкания муфты, сопровождающийся мгновенным
изменением структурной схемы механизма.
Фрикционные муфты.
Допускают включение на ходу под нагрузкой. Передают вращающий момент за счет сил трения.
Делятся по конструкции:
- дисковые;
- конусные;
- цилиндрические.
Фрикционные материалы: асбесто-проволочная ткань – ферродо; фрикционную пластмассу и др.
Применяют другие виды сцепных муфт:
- пневматические;
- гидравлические;
- электромагнитные.
Предохранительные муфты
Допускают ограничение передаваемого вращающего момента, что предохраняет машины от
поломок при перегрузках.
Наибольшее распространение получили: шариковые, кулачковые. Они постоянно замкнуты, а
при перегрузках кулачки или шарики выдавливаются из впадин полумуфты и муфта размыкается.
94
В фрикционной муфте при перегрузке за счет проскальзывания происходит пробуксовывание.
Предохранительные муфты с ломающимся элементом применяются при маловероятных
перегрузках.
Основным критерием при выборе муфты является передаваемый крутящий момент.
M = kM  [M]
где k – коэффициент режима работы.
M – номинальный вращающий момент.
Резьбовые соединения
Резьбовые соединения выполняются с помощью резьбовых крепежных деталей – болтов, винтов,
шпилек и др.
Относится к группе напряженных, так как создают начальное напряжение на поверхности
разъема посредством винтового механизма.
Резьба делятся: цилиндрическая и коническая; наружная (болт) и внутренняя (гайка).
Основные характеристики: шаг резьбы – Р; высота теоретического профиля H; рабочая высота
профиля – h; угол профиля - .
По назначению делятся на крепежные, крепежно-уплотняющие и передачи движения.
К крепежным относят метрическую, дюймовую и специальную (часовую).
95
Крепежно-уплотняющие резьбы используют в резьбовых изделиях, предназначенных как для
скрепления деталей, так и для создания герметичности. К ним относят: трубная цилиндрическая,
трубная коническая, коническая дюймовая, круглая.
Резьбы для передачи движения применяют в передачах винт-гайка: прямоугольная,
трапецеидальная, упорная.
Метрическая резьба является основной крепежной резьбой. Имеет треугольный профиль с
углом =60; диаметр и шаг измеряется в мм.
Бывает с крупным шагом (Р=1...6 мм) и мелким шагом. Крупный применяют при d=1...68 мм,
мелкий при изготовлении резьбовых тонкостенных деталей.
Дюймовая резьба относится к крепежной резьбе. Применяют для импортных машин. Имеет
треугольный профиль с углом =55, диаметр измеряется в дюймах; шаг – числом витков на 1 дюйм.
Часовая резьба является разновидностью метрической, нарезаемой на изделиях с наружным
диаметром от 0,25 мм до 0,9 мм и шагом от 0,075...0,225 мм. Применяют в часовой промышленности и
приборостроении.
Трубная резьба бывает цилиндрической и конической. Представляет собой мелкую дюймовую
резьбу нарезанную на трубах. Для улучшения уплотнения резьбу выполняют с закругленным профилем
без зазоров.
Коническая дюймовая резьба является разновидностью дюймовой резьбы нарезанной на
коническую поверхность. Обеспечивают герметичность соединения без специальных уплотнений.
Обозначений К3/4”.
Круглая резьба применяется для резьбовых соединений, несущих большие динамические
нагрузки, соединений работающих в загрязненной среде, требующих герметичность и хорошего
контакта. (цоколь электролампы, противогазы).
Изготавливают выдавливанием, отливкой.
96
Прямоугольная резьба относится к резьбам для передачи движения под нагрузкой; имеет
прямоугольный или квадратный профиль; диаметр и шаг измеряются в мм.
Применяется редко.
Трапецеидальная резьба применяется в передачах винт-гайка. Имеет симметричный
трапецеидальный профиль с углом профиля =30. Для червяков =40.
По сравнению с прямоугольной имеет большую прочность.
Упорная резьба применяется в нажимных винтах с большой осевой нагрузкой. Имеет
несимметричный трапецеидальный профиль.
Изготовляют
- слесарным инструментом метчиком, плашкой.
- резцом на токарных станках или специальных болтонарезных станках.
- отливкой;
- выдавливанием для тонкостенных деталей.
97
Болтами скрепляют детали не очень большой толщины.
Отверстия выполняют немного большего диаметра, чтобы не
повредить резьбу.
По форме головки болты и винты изготовляют с шестигранной
головкой, квадратной, цилиндрической, полукруглой, потайной, с
углублением под шестигранный ключ или специальную отвертку.
Установочные винты. Применяют для фиксации положения
деталей и предотвращения их сдвига.
Изготавливают небольшой длины с резьбой по всей длине.
Гайки. Имеют шестигранную форму с одной фаской, с фаской и проточкой; прорезные;
корончатые.
При частом отвинчивании и завинчивании применяют гайки-барашки.
Литература
1
2
Методические указания к изучению дисциплин "Теория механизмов и машин", "Прикладная
механика", "Расчет и моделирование механических систем". Передаточные функции плоских
рычажных механизмов. / Сост. Владимиров Э.А., Шоленинов В.Е. - Краматорск: ДГМА, 2003. 100 с.
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи № 2 з теорії механізмів і машин, для
студентів усіх спеціальностей. Структурна класифікація плоских механізмів / Укл.:
Н.В.Чоста, В.О.Загудаєв. - Краматорськ: ДДМА, 2003. - 20 с.