Доходность и дюрация портфеля облигаций

Доходность и дюрация портфеля облигаций
Дирочка А.А., Меньшиков И.С.
Введение
История государственных долговых обязательств и облигаций насчитывает несколько веков. Родоначальником этих ценных бумаг явилась Англия. Подробно история возникновения и развития приведена в [1]. Сегодня государственные облигации
есть в любой стране с конвертируемой валютой и сильной экономикой, а гособлигации
крупнейших двадцати двух стран продаются на главных торговых площадках. Примерно 90% всех сбережений вложено в государственные обязательства.
С частичной отменой в 1972 году Бреттон-Вудского соглашения, устанавливавшего золотой стандарт для определения взаимных котировок валют, основой для определения курсов стали государственные облигации. Сейчас процентные ставки по государственным облигациям являются показателем успешного функционирования экономики. Относительно низкие и устойчивые доходности гособлигаций формируют фундамент современной финансовой системы.
В своей работе мы предлагаем формализовать задачу построения оптимального
для инвестора портфеля гособлигаций. Предпочтения инвестора могут зависеть от многих параметров. В первую очередь, портфель облигаций, как и всякий финансовый актив, характеризуется потенциальным доходом и риском, связанным с его получением.
Для сравнения облигаций используются параметры доходности и дюрации.
Формальное определение этих величин будет дано ниже, но можно сказать, что такой
выбор не случаен. Доходность облигации фактически устанавливает связь с равносильной кредитной операцией. (Покупка облигации с доходностью 5% годовых равносильна размещению депозита под тот же процент.) Понятие дюрации одновременно описывает несколько характеристик бумаги, связанных с риском изменения процентных ставок:
• во-первых, она является так называемым "средневзвешенным горизонтом инвестирования", позволяя сравнивать различные типы купонных и бескупонных облигаций по срокам возврата вложенных средств;
• во-вторых, согласно [2], дюрация является эластичностью (с обратным знаком) цены по отношению к изменению процентной ставки, т.е. отвечает за чувствительность стоимости портфеля облигаций к основному фактору риска;
1
•
и, в-третьих, согласно [4], дюрация определяет рискованность вложения в данную
облигацию, оцененной статистически по амплитуде дневных колебаний цены облигации.
В классической задаче управления долгами [2,3,5] устранение (при малых изменениях) зависимости стоимости портфеля от изменения рыночных процентных ставок
достигается за счет уравнивания стоимостей и дюраций долгов и активов. Этот метод,
предложенный Самуэльсоном, получил название иммунизации портфеля. Задача формирования портфеля с заданными параметрами доходности и дюрации постоянно возникает при работе с финансовыми активами с фиксированным доходом (типа облигаций). Однако до сих пор не было описано множество всех допустимых пар (доходность, дюрация) для портфелей облигаций, имеющихся в данный момент на рынке. Построению этого множества и исследованию его свойств посвящена данная работа (ее
результаты были аннонсированы в [7]).
В разделе 1 дается определение доходности и дюрации портфеля облигаций и
формулируются условия допустимости пары для имеющихся на рынке облигаций и цен
на них. В разделе 2 приведен анализ допустимого множества на плоскости (доходность, дюрация). Оно имеет вид криволинейного многоугольника. Вершины этого многоугольника относятся к одному из двух типов. К первому типу принадлежат экстремальные облигации, которые для своего собственного значения дюрации обладают
максимальной или минимальной доходностью среди всех портфелей, составленных из
торгуемых на рынке облигаций. Ко второму типу относятся так называемые критические портфели, которые могут возникнуть при пересечении дуг двух пар портфелей. В
разделе 3 описана процедура приближенного поиска допустимого множества. На первом этапе предлагается строить часть всего допустимого множества по экстремальным
облигациям. Завершение построения требует поиска критических портфелей или установления факта их отсутствия для данного рынка облигаций. Раздел 4 показывает результаты применения техники допустимых множеств на реальных данных. Анализируется экономический смысл средней относительной ширины до доходности допустимого множества как меры выгодности арбитражных операций по переформированию
портфеля с сохранением доходности и дюрации. Сравниваются американский рынок
казначейских облигаций (T-notes) и российский рынок ГКО. Приводятся соображения
по применению разработанной методики на практике.
1. Постановка задачи и вспомогательные определения
Введем определения и обозначения. Предполагается, что сначала у инвестора
имеются деньги в количестве W, которые он хочет целиком вложить в облигации; J —
число бумаг, торгуемых на рынке.
Будем называть бумагой Bi связанный с ней поток платежей {C1 i, ..., CLi}, приходящих в моменты времени {t1, ..., tL} соответственно. Предположим, что не будет от2
каза от обязательств (дефолта) со стороны эмитента. Тогда, купив такую бумагу, мы
будем получать фиксированные платежи в известные моменты времени. Поток обещанных платежей по облигации не подвержен рыночному риску, но оценка его стоимости зависит от текущей рыночной процентной ставки.
Дисконтированная стоимость бумаги Pi(r) определяется в [3] согласно следующей формуле:
C ki
tk
k =1 (1 + r )
L
Pi (r ) = å
(1)
В этой формуле каждый валовой платеж Cki приводится к настоящему моменту времени
с учетом рыночной процентной ставки r и времени до платежа tk. Дисконтированная
стоимость является априорной оценкой рыночной цены облигации даже, если она еще
не поступила на рынок.
Рыночная стоимость i-ой бумаги PiM — это ее цена на рынке облигаций. Она
формируется, исходя из спроса и предложения на данную бумагу.
Доходность i-ой бумаги yi — решение уравнения Pi(r)=PiM. Доходность имеет
смысл процентной ставки, при которой покупка данной бумаги равносильна депонированию денег под процент yi. При этом предполагается, что все промежуточные платежи
по бумаге снова депонируются под процент yi.
Дюрация Маколи Di(r) i-ой бумаги для процентной ставки r определена в [5] как
L
Di (r ) = å
k =1
C ki t k
t
Pi (r )(1 + r ) k
(2)
Учитывая определение для дисконтированной стоимости бумаги (1), можно заметить,
что
Cki
=1
å
tk
k =1 Pi (r )(1 + r )
L
(3)
Слагаемые в (3) являются долями платежей в разные моменты времени в дисконтированной стоимости бумаги. Если на эти числа посмотреть как на распределение вероятностей случайного момента платежа, то дюрация — это среднее время платежа, вычисленное по данному распределению.
Вместе с тем, хорошо известно, что производная стоимости по процентной ставке при заданных величинах процентной ставки и стоимости полностью определяется
дюрацией бумаги, поскольку справедливо равенство:
P (r )Di (r )
′
Pi (r ) = − i
(4)
(1 + r )
(см., например, [2,3]).
Дюрация бескупонных бумаг (типа ГКО или T-bill) равна времени до погашения
и не зависит от стоимости бумаги. Справедливо и обратное: если дюрация бумаги не
зависит от процентной ставки, то (ненулевой) платеж по такой бумаге производится
3
только в один момент времени. Для остальных облигаций дюрация (как и стоимость)
убывает с ростом процентной ставки.
Портфель облигаций Q можно определить как набор {n1, n2, ..., nJ}, где ni —
число i-ых бумаг в портфеле. Однако инвестору удобнее рассуждать в долях капитала,
истраченного на покупку облигаций. Определим долю капитала α i в бумагах i по следующей формуле: α i=Wi /W, где Wi — капитал, вложенный в i-ую бумагу. Тогда переход от количественного представления портфеля к определению его в виде долей выполняется согласно следующей формуле:
αi =
ni Pi M
W
(5)
В дальнейшем мы часто будем использовать и ссылаться на формулу обратной замены:
αW
(6)
ni = i M
Pi
При этом будем считать, что величина ni может принимать как целые, так и
дробные значения. Поскольку мы предполагаем, что в ценные бумаги инвестируется
весь капитал W, то
J
åα
j
=1
(7)
j =1
Зависимость дисконтированной стоимости портфеля от величины процентной
ставки r задается выражением
J
PQ (r ) = å n j Pj (r )
(8)
j =1
Теперь мы можем перейти к определению доходности портфеля. Рассмотрим
уравнение относительно процентной ставки r:
J
PQ (r ) = å n j PjM
(9)
j =1
Его решением y является доходность портфеля. Правая часть (9) представляет собой
рыночную цену портфеля. Так как по условию задачи в портфель облигаций вкладывается весь капитал W, можно записать уравнение (9) в следующем виде:
J
J
j =1
j =1
PQ ( r ) = å n j Pj (r ) = å n j PjM = W
(10)
Найти доходность портфеля y — значит решить это уравнение относительно величины
процентной ставки r.
При переходе от количественных переменных портфеля nj к долевым уравнение
(10) преобразуется к виду:
J
P (r )
α j j M =1
(11)
å
Pj
j =1
4
Полученное выражение наводит на мысль о введении новых переменных
P (r )
αˆ i (r ) = α i i M
Pi
(12)
Легко видеть, что
αi
Pi ( y )
Pi M
ni Pi ( y )
=
(13)
W
В числителе правой части выражения (13) стоит дисконтированная стоимость бумаги i,
взятой в количестве ni штук, а в знаменателе, согласно (10), дисконтированная стоимость всего портфеля. Таким образом, переменные α̂ i (r) показывают, какая доля дисконтированной стоимости портфеля приходится на бумагу i при процентной ставке r.
В переменных α̂ i уравнение для определения доходности портфеля запишется в
совсем простом виде — в виде распределения дисконтированной стоимости портфеля
по входящим в него бумагам:
J
åαˆ
j =1
=1
i
(14)
Дюрация портфеля Q для процентной ставки r согласно определению (2) равна:
L
DQ (r ) = å t k
k =1
å
J
j =1
n jC kj
J
PQ (r )(1 + r ) k
t
t k C kj n j
L
= åå
j =1 k =1
(15)
PQ (r )(1 + r ) k
t
Снова перейдем от количественного задания портфеля к долевому, тогда выражение
для дюрации портфеля Q перепишется как:
J
L
DQ (r ) = åå
j =1 k =1
t k C kjWα j
J
PQ (r )PjM (1 + r ) k
t
L
= W åå
j =1 k =1
t k Ckjα j
PQ (r )PjM (1 + r ) k
t
(16)
В дальнейшем нас будет интересовать дюрация портфеля Q для процентной ставки,
равной его доходности. С учетом уравнения (10) получим:
J
L
DQ ( y ) = å å
j =1 k =1
t k C kj α j
PjM (1 + y ) k
t
(17)
Упростим выражение для дюрации портфеля, выразив ее через дюрации входящих в портфель бумаг:
J
Pj ( y )
DQ ( y ) = åα j D j ( y ) M
(18)
Pj
j =1
Наша задача состоит в построении портфеля с заранее заданными величинами
доходности и дюрации. Это, конечно, возможно не для всех пар на плоскости (доходность, дюрация).
Согласно сказанному выше, портфель с доходностью y и дюрацией D должен
удовлетворять уравнениям доходности PQ(y)=W и дюрации DQ(y)=D, а также должно
5
быть выполнено условие инвестирования всех денег в облигации. Запишем эти условия
в долевых переменных α i (слева) и в α̂ i (справа):
J
åα i
i =1
Pi ( y )
=1
Pi M
J
DQ ( y ) = å α i Di ( y )
i =1
J
åα
i =1
i
J
åαˆ
i =1
Pi ( y )
=D
Pi M
i
=1
J
DQ ( y ) = å αˆ i Di ( y ) = D
i =1
Pi
J
M
åαˆ P ( y ) = 1
=1
i =1
i
i
В долях дисконтированной стоимости дюрация портфеля оказывается средневзвешенной дюрацией входящих в нее бумаг. В долях по цене — это не так, так как при формировании портфеля приходится учитывать различия доходностей самого портфеля и
входящих в него бумаг, что дает различие между рыночной ценой и стоимостью. Мы
так подробно останавливаемся на трех вариантах задания портфеля облигаций, поскольку все они используются на практике, что иногда приводит к путанице. Кроме того, переменные α̂ i будут использоваться в дальнейшем при доказательстве некоторых
утверждений.
Поскольку не всегда возможно занимать короткие позиции на рынке облигаций,
будем обходиться без них при формировании портфеля. В связи с этим введем понятие
допустимого портфеля как неотрицательного набора ценных бумаг. Короткая позиция
(ni < 0) означает продажу (обычно через брокера) бумаги, которой нет у инвестора. Короткая позиция не приводит к дополнительной эмиссии бумаг. Просто брокер разрешает клиенту продать имеющуюся у брокера бумагу, если клиент берет на себя всю ответственность по платежам, связанным с данной бумагой. Первичные участники рынка не
могут занимать короткие позиции, поскольку это нарушило бы право эмитента.
Для построения множества допустимых пар (y, D) мы будем для каждого значения дюрации D искать максимальную и минимальную доходность y портфеля имеющихся на рынке бумаг. Приведем для определенности формулировку задачи поиска
максимальной доходности при заданной дюрации D. Найти максимальное значение y
при выполнении условий:
Pi ( y )
ìJ
ïå α i P M = 1
i
ï i =1
J
ï
Pi ( y )
ïå α i Di ( y ) M = D
Pi
í i =1
ïJ
ïå α i = 1
ï i =1
ïα ≥ 0, α ≥ 0, K , α ≥ 0
2
J
î 1
Условия поиска минимальной доходности формулируются аналогично.
6
(19)
2. Исследование допустимого множества портфелей
До формулировки утверждений о свойствах решения введем одно дополнительное определение.
Определение. Будем называть пару (y, D) допустимой, если существует допустимый портфель облигаций с данными параметрами доходности и дюрации и удовлетворяющий системе (19).
Справедливо следующее
Утверждение 1. Для допустимой пары (y, D) существует реализующий ее
портфель, состоящий только из трех бумаг, торгуемых на рынке.
Это утверждение следует из того, что при фиксированной доходности и дюрации множество допустимых портфелей имеет вид многогранника, заданного тремя равенствами и условиями неотрицательности. Крайние точки такого многогранника имеют не более трех положительных координат. Им и соответствуют искомые портфели.
Утверждение 1 может быть усилено для экстремальных доходностей.
Утверждение 2. Для допустимой пары (yext, D), где yext — наибольшее или наименьшее значение доходности при заданной дюрации, существует портфель только из
двух бумаг, торгуемых на рынке.
Доказательство. Если существует экстремальный портфель из двух или одной
бумаги, то все доказано. Предположим, что такой портфель может быть построен не
менее, чем из трех бумаг. Тогда, опираясь на Утверждение 1, возьмем допустимый
портфель ровно из трех бумаг. Следовательно, система уравнений
Pj ( y )
ì3
ïå α j P M = 1
j
ï j =1
ïï 3
Pj ( y )
íå α j D j ( y ) M = D
Pj
ï j =1
ï3
ïå α j = 1
ïî j =1
(20)
должна быть невырождена и иметь положительное решение. Из непрерывной зависимости решения данной системы уравнений от параметра y следует сохранение единственного положительного решения и в некотором интервале значений параметра y. Значит, можно увеличить (или уменьшить) доходность y, и для нового значения доходности построить допустимый портфель из тех же трех бумаг. Это противоречит нашему
предположению о том, что имеющееся значение доходности y является экстремальным
и не допускает дальнейшего увеличения (уменьшения). Полученное противоречие доказывает утверждение 2.
Таким образом, мы имеем множество допустимых портфелей (многогранник в
пространстве RJ) и его образ на плоскости (y, D). Верхняя (и нижняя) граница допустимого множества на плоскости (y, D) соответствует портфелям, состоящим из не более, чем двух облигаций. При движении вдоль границы выделим участки, когда пара
7
облигаций, составляющих портфель, не меняется. Каким образом может происходить
смена пар облигаций? Возможны два случая: 1) экстремальный портфель состоит из
единственной облигации; 2) происходит замена пары бумаг на новую пару. В первом
случае экстремальная облигация (нет другого портфеля с той же дюрацией и большей
доходностью) меняет пару; иными словами, до точки смены экстремальный портфель
состоит из бумаг А и В, а после точки — из бумаг А и С. Во втором случае на границе
должна существовать критическая точка (y, D), которой соответствуют два (а значит, и
бесконечное подмножество) допустимых портфеля. При этом подсистема из (20) из
трех уравнений с четырьмя неизвестными долями бумаг αi оказывается вырожденной и
обладающей положительными решениями.
Существование экстремальных облигаций связано со следующими утверждениями.
Утверждение 3. Для произвольных облигаций А и В доходность портфеля, составленного как αA+(1-α)B, 0<α <1, лежит между доходностями yA и yB.
Доказательство. Предположим, что существует портфель с доходностью y,
большей, чем ymax=max{yA , yB}. Так как стоимость бумаги монотонно убывает с ростом
процентной ставки, то PA(y) < PAM и PB(y) < PBM. (PAM и PBM — это цены бумаг A и B).
Следовательно, PA(y)/ PAM < 1 и PB(y)/ PBM < 1. Подставляя эти неравенства в первое
уравнение системы (19), получаем, что:
P (y)
P (y)
α A M + (1 − α ) B M < 1
(21)
PA
PB
Первое уравнение системы (19) не выполняется, следовательно, наше предположение о
существовании портфеля с доходностью большей ymax неверно.
Случай с y<ymin=min{yA , yB} разбирается аналогично.
Утверждение 4. Для бескупонных облигаций А и В дюрация портфеля, составленного как αA+(1-α)B, α > 0, лежит между DA , DB .
Доказательство: Перейдем к введенным ранее переменным α̂ . Система ограничений (19) запишется в виде:
ìαˆ D A ( y ) + (1 − αˆ )DB ( y ) = D
ï
M
PM
ï PA
+ (1 − αˆ ) B = 1
íαˆ
PB ( y )
ï PA ( y )
ïî0 ≤ αˆ ≤ 1
(22)
У бескупонной облигации дюрация равна времени до погашения и не зависит от величины процентной ставки. Тогда из первого равенства системы (22) следует наше утверждение, поскольку при y min ≤ y ≤ y max третье условие из (22) следует из второго.
Получается, что для бескупонных облигаций множество экстремальных портфелей не пусто, поскольку в него заведомо входят бумаги с минимальным и максимальным сроками до погашения.
8
Для купонных бумаг утверждение 4 в общем случае неверно. Тем не менее, удается указать условия, при соблюдении которых дюрация портфеля из двух облигаций
лежит на отрезке [Dmin , Dmax ], где Dmin=min{DA , DB}, Dmax=max{DA , DB}. Найдем эти
условия.
По аналогии с дюрацией облигации как математическим ожиданием момента
платежа вводится разброс V аналогично дисперсии момента платежа (см. (3)). Разброс
моментов платежа V определяется как:
L
V (r ) = å
j =1
C j (t j − D(r ))
2
P(r )(1 + r ) j
t
Нетрудно показать, что имеет место следующее соотношение:
dD(r )
V (r )
=−
dr
1+ r
Для вывода этой формулы нужно двумя способами вычислить
(23)
(24)
P′′(r )
двумя способами:
P(r )
1) непосредственно из определения (1) и 2) из уравнения (4). Приравняв полученные
выражения, получим (24).
Предположим, что произведена нормировка бумаг, при которой все рыночные
цены облигаций равны 1. Этого можно добиться нормировкой платежей (поделив их на
цену бумаги). Рассмотрим портфель, состоящий из двух бумаг, в долевых переменных.
Учитывая нормировку, первое уравнение системы (19) запишется в виде:
αP1 ( y ) + (1 − α )P2 ( y ) = 1
(25)
где α — доля первой бумаги в портфеле. Продифференцировав выражение (25) по y,
получаем следующую формулу для производной доли α по y:
dα αP1′( y ) + (1 − α ) P2′ ( y )
=
dy
P2 ( y ) − P1 ( y )
(26)
В точке α=1, когда весь портфель состоит из первой облигации, производная α равна:
P1′( y1 )
dα
=
dy P2 ( y1 ) − P1 ( y1 )
(27)
где y1 — доходность первой бумаги. В долевых переменных дюрация портфеля согласно (18) равна:
D( y ) = αP1 ( y ) D1 ( y ) + (1 − α ) P2 ( y ) D2 ( y )
(28)
Дюрация портфеля вычисляется при процентной ставке, равной его доходности. Если
мы хотим, чтобы дюрация портфеля не была между дюрациями первой и второй бумаги, то для этого требуется неотрицательный наклон графика дюрации портфеля от его
доходности в точке y1, или формально D'(y1)≥ 0. Продифференцировав выражение (28)
в точке y1, воспользовавшись формулами (24), (4) и (27), и произведя необходимые
9
преобразования, получаем равносильное неравенство, которое будем называть условием монотонности:
D ( y ) − D1 ( y1 )
(29)
V1 ( y1 ) ≤ D1 ( y1 )P2 ( y1 ) 2 1
P2 ( y1 ) − P1 ( y1 )
Разброс бескупонной облигации всегда равен нулю, поэтому в окрестности бескупонной облигации всегда выполнено условие монотонности (29). Условие монотонности выполнено для любой пары облигаций с одинаковой доходностью, но разной
дюрацией. Формально правая часть (29) превращается в +∞. По сути любой портфель,
составленный из этой пары, имеет одну и ту же доходность (по Утверждению 3). Условие монотонности (29) нарушается, если дюрации бумаг близки, а доходности сильно
разнятся и V1(y1)>0, т.е. бумага 1 не является бескупонной облигацией.
Существование экстремальных облигаций не вызывает сомнений, если для всякой пары облигаций выполнены условия монотонности (29). Если условия монотонности (29) не выполнено, то функция D(y), определенная в силу (28) и (25), принимает два
одинаковых значения, равных D1(y1) при y=y1 и при некотором y=y12, где y12 лежит между y1 и y2. Это противоречит экстремальности бумаги 1, причем она сама входит в тот
портфель, который доминирует ее по доходности. При выполнении условия монотонности функция D(y) монотонна, и существует обратная функция Y(D), которая показывает доходность портфеля из пары облигаций при заданной дюрации на отрезке
[Dmin , Dmax ].
При выполнении условия монотонности экстремальность облигации нетрудно
проверить численно. Более того, если соединить все пары экстремальных облигаций, то
на плоскости (y, D) будет построена граница части допустимого множества. Если нет
критических точек, то эта часть совпадает со всем допустимым множеством.
Возникает естественный вопрос: существуют ли критические точки?
Сначала рассмотрим следующую ситуацию, когда имеются два портфеля, A и B с различными доходностями
Y
C
A
и совпадающими дюрациями. Тогда портфель А домиB
нирует портфель В в том смысле, что инвесторы будут
стремиться покупать именно его. Будем строить портфели, составленные как линейные комбинации портфеD
лей А и C, а также В и С (см. Рис. 1). Кажется вполне
естественным то, что кривая АС, состоящая из доходРис. 1
ностей и дюраций портфелей А и С в различных пропорциях, всегда лежит выше кривой ВС, а потому можно выдвинуть следующую гипотезу:
Гипотеза: Если две бумаги, А и В, имеют одинаковые дюрации и доходность по
бумаге А больше, чем по бумаге В, то любой портфель, состоящий из бумаги А и некоторой бумаги С будет иметь более высокую доходность при фиксированной дюрации,
10
чем портфель из бумаг В и С. Иными словами, если бумага “плохая”, то есть не обеспечивающая максимальную доходность для заданной дюрации, то с какой бумагой ее
не комбинируй, все равно не достичь максимальной доходности.
Справедливость гипотезы означает отсутствие критических точек. Невыполнение гипотезы приводит к возникновению критической точки на пересечении дуг AC и
BC.
Гипотеза кажется вполне правдоподобной, но она не всегда верна. Был построен
пример для рынка, состоящего всего из трех бескупонных облигаций со сроками до погашения 3, 6 и 9 месяцев. Доходность шестимесячной бумаги немного (на ε=0.01%)
превышает доходность портфеля из 3-х и 9-и месячных бумаг с дюрацией 6 месяцев.
Ситуация изображена на рисунке 2.
Получается, что доходность шесY
тимесячной бескупонной бумаги немного больше, чем у портфеля с той же дю3,9
20%
C
6,9
рацией из трех- и девятимесячной бумаги, но линейная комбинация шести и
девятимесячных бумаг не всегда являет5%
ся оптимальной. Существует точка пе3м
6 м DC
9м D
ресечения кривых, где равны доходноРис. 2
сти и дюрации портфелей 3-9 и 6-9. Это
и есть критическая точка. Критическая
точка возникла из не строго экстремальной шестимесячной бумаги подъемом доходности на малое ε. При увеличении ε критическая точка смещается к девятимесячной бумаге и исчезает (при ε порядка 0.02%)
Множество допустимых пар (y, D) всегда имеет внутренние точки, если число
бумаг J>3. Иными словами, для некоторых значений дюрации возможно построение
портфелей с различными доходностями. Тогда теоретически возможно проведение
операции, когда покупается один портфель и продается другой портфель с той же дюрацией. В результате возникает портфель (с короткими позициями) нулевой стоимости,
положительной доходности и нулевой дюрации. Это означает (частичный) арбитраж,
поскольку мы будем получать прибыль при любых (достаточно малых) колебаниях рыночной процентной ставки.
Арбитраж принято отделять от спекулятивных операций, успех которых зависит
от реализации некоторого рыночного сценария. Успех арбитража не зависит от колебания цен (хотя бы в малом). Природа арбитража связана с проблемой полноты финансовых активов [6].
Полезные свойства дюрации Маколи основаны на гипотезе о параллельных
сдвигах кривой процентных ставок. Но предположив, что возможен только параллельный сдвиг процентных ставок, мы получили рынок с арбитражем. Это верно даже, если
бы шестимесячная бумага лежала точно на кривой 3-9!
11
Любопытно, что в точке пересечения кривых 3-9 и 6-9 нет касания. Если снова
посмотреть на Рис.2, то может показаться, что можно отступить немного влево от точки пересечения С по кривой 6-9 и построить соответствующий портфель. Аналогично,
можно отступить немного вправо по кривой 3-9 и снова построить портфель, лежащий
на этой кривой. Затем можно составить линейную комбинацию двух построенных
портфелей таким образом, чтобы получить дюрацию, равную DС. При этом кажется,
что мы получим портфель с большей доходностью, чем в критической точке C на пересечении кривых 3-9 и 6-9. Но это не так, образ отрезка этих двух портфелей пройдет
точно через особую через критическую точку С.
Подтвердим это непосредственным вычислением. Обозначим портфель в точке
С, состоящий из трех и девятимесячных бумаг, как {3,9}, а аналогичный портфель из
шести и девятимесячных бумаг — как {6,9}. Сами бумаги будем обозначать как {3},
{6} и {9} соответственно. Без ограничения общности будем считать, что рыночные
стоимости бумаг {3}, {6}, {9} равны 1, этого всегда можно добиться нормировкой платежей по ним. Введем также величину возмущения ε> 0. Портфель, полученный отступом влево от точки С по кривой 6-9 можно записать как (1-ε){6,9}+ε{6}. Аналогично
для отступа вправо получаем портфель (1-ε){3,9}+ε{9}. Составим комбинацию этих
двух портфелей, первый войдет с весом α, второй с весом 1-α, и проверим выполнение
уравнения доходности:
α æçè (1 − ε ) P{6, 9} + εP{6} ö÷ø + (1 − α ) æçè (1 − ε) P{3, 9} + εP{9} ö÷ø = 1
(30)
Это условие выполняется при α, равной доле шестимесячной бумаги в портфеле
{6,9}, и значении r равном yС. В самом деле, при r = yC из уравнения доходности имеем
P{6,9} = P{3,9} = 1, и левая часть (30) преобразуется:
(
)
1 − ε + ε αP{6} + (1 − α ) P{9} = 1
(31)
Учитывая определение α, выражение в скобках — это портфель {6,9}. Уравнение (31)
обращается в тождество.
Следовательно, доходность такого портфеля равна yC, и нам осталось только
найти его дюрацию. В этом портфеле доли бумаг {6}, {9}, {6,9} и {3,9} составляют соответственно αε, (1-α)ε, α(1-ε) и (1-α)(1-ε). Дюрация такого портфеля составляет:
αεP{6}D{6}+(1-α)εP{9}D{9}+α(1-ε)P{6,9}D{6,9}+(1-α)(1-ε)P{3,9}D{3,9}
(32)
Группируя члены, получаем, что αεP{6}D{6}+(1-α)εP{9}D{9} = εDC, согласно определению α, равной доле шестимесячной бумаги в портфеле {6,9}. Принимая во внимание,
что для процентной ставки yC P{3,9} = P{6,9} = 1 и D{3,9} = D{6,9} = DC, и подставив это в
выражение (32) получаем:
α(1-ε)P{6,9}D{6,9}+(1-α)(1-ε)P{3,9}D{3,9} = (1-ε)DC
(33)
Итак, для любого возмущения ε> 0 кривая (выпуклых) линейных комбинаций
портфелей из возмущенных бумаг проходит через критическую точку С.
12
Геометрически треугольник портфелей отображается в криволинейный треугольник на плоскости (y, D). Критическая точка соответствует пересечению образов
границ треугольника портфелей.
3. Численная реализация алгоритма поиска допустимого множества
Мы обсуждали различные характерные особенности допустимого множества, не
особо заботясь об указании способа его отыскания. Но оказывается, это достаточно
просто сделать, опираясь именно на сформулированные выше свойства, и один из авторов реализовал процедуру численного поиска оптимальных портфелей в пакете MS
Excel. В дальнейшем мы считаем, что условие монотонности выполнено.
Алгоритм поиска границы допустимого множества. Все бумаги упорядочиваются по величине дюрации для их доходности. Будем считать, что выполнены условия
монотонности. Тогда из свойств допустимого множества следует, что первая и последняя бумаги всегда будут лежать на границе. Берется вторая по величине дюрации бумага и затем строятся портфели из двух бумаг с дюрацией, равной дюрации второй бумаги. В этот портфель обязательно входит первая бумага и еще какая-нибудь, с большей
дюрацией, чем у второй бумаги (третья, четвертая и так далее). Доходность таких
портфелей сравнивается с доходностью эталонной второй бумаги, запоминается максимальное значение и бумага из портфеля, на котором оно реализовалось, Если доходность портфеля не превосходит доходность второй бумаги, то сохраняется ссылка на
вторую бумагу.
После выполнения полного шага до бумаги с максимальной дюрацией подводятся итоги, и отбирается бумага, на которой достигается максимум доходности портфеля. После этого множество портфелей усекается, первой объявляется бумага, на которой был достигнут максимум, и все повторяется заново на меньшем множестве бумаг. Процесс завершается, когда во множестве бумаг, на котором производится поиск,
останется менее трех бумаг.
Аналогично строится нижняя граница допустимого множества.
Заметим, что этот алгоритм не позволяет точно находить допустимое множество
пар (доходность-дюрация). В нем неявно предполагается отсутствие критических точек. Действительно, предложенный алгоритм дает некоторое приближение допустимого множества, причем находит его достаточно быстро — максимальное число шагов в
нем пропорционально J3, где J — число бумаг на рынке. Точность такого решения
обычно достаточно велика. Если каждая экстремальная бумага (кроме крайних по дюрации) достаточно сильно отличается по доходности от портфеля, ее не включающего,
то критических точек совсем не будет. Однако пока мы не можем привести точные
оценки.
13
При желании можно достроить допустимое множество, но это потребует более
значительных временных затрат, поскольку необходимо найти все критические точки
или убедиться в их отсутствии. Каждая критическая точка соответствует двум парам
облигаций. Нужно искать пересечения пар кривых, как показано на рис. 2. Другая возможность появления сразу пары критических точек связана с малым сдвигом пары не
строго экстремальных точек (скажем, 6- и 9- месячной бумаг), лежащих на кривой другой пары бумаг (скажем, 3- и 12-месячных).
4.
Обсуждение результатов.
Доходность
Объединяя полученные утверждения, получаем следующую картину. На рынке
торгуются облигации, которые формируют кривую доходности. Некоторые из них являются портфелями с максимальной доходностью, и верхняя граница доходности “натянута” на них. Иными словами, некоторые из бумаг являются экстремальными, из них
получаются все портфели с максимальной доходностью (при отсутствии критических
точек). На рис. 3 приведена кривая доходности реального рынка и расчетная верхняя и
нижняя граница доходности. Для развитого рынка разрыв между границами обычно
невелик, но может быть весьма значителен в дни кризисов для неустойчивых формирующихся рынков.
Нижняя граница соответствует множеству портфелей с минимальной доходностью или максимальной стоимостью. Вместе с кривой максимальной доходности (и
минимальной стоимости) они ограничивают допустимое множество пар (доходностьдюрация), то есть такую область на плоскости, что для любой ее точки можно сформировать портфель именно с такими параметрами.
Реальная доходность
На рис. 3 привеМаксимальная доходность
Минимальная доходность
дены результаты расче35%
тов для рынка отечест33%
31%
венных ГКО для данных
29%
от 28 ноября 1997 года.
27%
Видно, что разрыв меж25%
23%
ду границами допусти21%
мого множества и ре19%
альной кривой доходно17%
15%
сти достаточно велик.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Для сравнения приведем
Дней до погашения
на рис. 4 результаты
Рис. 3
расчета для американских казначейских векселей (T-bills) для данных от 16 февраля 1999 года.
14
Реальная доходность
Максимальная доходность
Минимальная доходность
5,0%
4,8%
4,6%
Доходность
4,4%
4,2%
4,0%
3,8%
3,6%
3,4%
3,2%
3,0%
0
50
100
150
200
250
300
350
Дней до погашения
400
Видно, что зазор между
нижней и верхней границами гораздо меньше. Для того чтобы
охарактеризовать,
среднюю ширину по
доходности допустимого множества, была
введена следующая мера
Рис. 4
Dmax
I=
ò (y
Dmin
max
( t ) − ymin ( t ) )dt
(34)
Dmax
ò y( t ) dt
Dmin
где Dmin — минимальное значение дюрации, Dmax — максимальное значение дюрации,
ymin(t) — значение доходности на нижней границе допустимого множества, ymax(t) —
значение доходности на верхней границе.
Введенный выше показатель допускает вполне понятную экономическую интерпретацию. Рассмотрим следующую величину:
D
max
1
⋅ ò y( t ) dt
Dmax − Dmin Dmin
(35)
Она имеет смысл средней доходности от равномерного по дюрации вложения денег во
все имеющиеся на рынке облигации. В числителе выражения (34) стоит средняя доходность от арбитражной операции, когда покупается портфель с верхней границы допустимого множества и продается портфель с нижней границы, при этом деньги равномерно вкладываются в портфели с всевозможными дюрациями. Таким образом, индикатор I показывает среднюю относительную арбитражную доходность для текущего
состояния рынка облигаций.
Для приведенных данных величина разброса, вычисленного по формуле (34),
для ГКО составила 14.15% и для казначейских векселей США — только 1.68%. Таким
образом, рынок казначейских векселей США допускает гораздо меньше арбитражных
возможностей, чем рынок ГКО.
Расположение кривой доходности внутри допустимого множества следует изучить дополнительно. Порой она прижимается к верхней границе, иногда — к нижней.
15
Однозначного объяснения этому явлению пока нет. Одно из предположений — это показатель нацеленности рынка на продажу (если кривая прижимается к нижней границе)
или покупку (к верхней). Скажем, на рынке ГКО до августа 1998 года по вторникам
обычно преобладала первая тенденция, что увязывается с фактом проведения аукционов размещения новых облигаций по средам.
Как отмечалось выше, была написана программа для пакета MS Excel, позволяющая находить оптимальные портфели и строить графики для визуализации данных
и анализа ситуации. Мы считаем, что представленная методика построения экстремальных портфелей и допустимых множеств может послужить одним из методов анализа и поддержки принятия решений в задачах портфельного и стратегического инвестирования.
Литература:
1. Орлов Ю. Ф. "Размышления о финансах и кредите", М., “Наука” 1974.
2. Шривастава С., О’Брайен Дж. "Финансовый анализ и торговля ценными бумагами", М., "Дело", 1995.
3. Меньшиков И.С. "Финансовый анализ ценных бумаг", М., "Финансы и статистика", 1998.
4. Jorion Ph. "Value at Risk", McGraw-Hill, 1997.
5. Fabozzi F. "Fixed Income Instruments", Fabozzi Publishing, 1996.
6. Duffie D. "Dynamic Asset Pricing Theory", Princeton University Press, 1992.
7. Dirotchka A., Menshikov I. "Optimal Bond Portfolios in Yield-Duration Space",
тезисы докладов 2-й Московской международной конференции по исследованию операций, стр. 11, 1998.
16