Глава 2. Финансовые сделки

Глава
2. Финансовые сделки
и их оце.нивание
2.1.
Простейшая финансовая сделка и ее параметры
Простейшая сделка осуществляется последовательностью только
двух торговых операций (:купли/продажи), относящихся к двум последо­
вательным моментам времени'--- началу и концу сделки. В сделке уча­
ствует только один актив, называемый активом сделки. Поэтому о про­
стейшей сделке говорят как об однопериодной сделке с одним, активом.
Длинная сделка _.;. покупка некоторого актива с его последующей
продажей ..
Коротка.я сделка - продажа взятого взаймы актива с его после­
дующей покупкой (и возвращением кредитору).
Простейшая финансовая сделка описывается своими временнымц и финансовыми (денежными) параметрами.
Временные параметры простейшей финансовой сделки:
1) J = [t0 , t1] - период сделки;
2) t0 - начальный момент (открытие) сделки;
.
3) t1 - конечный момент (закрытие,
4) Т= t1 - t0 ~ сроксделки.
.
завершение) сделки;
К основным финансовым параметрам сделки относятся:
5)
А
-
актив сделки (наименование, тип и т.п.), участвующий в
сделке;
Zл - позиция инвестора в сдел·ке, . равная чuслу единиц актива А,
покупаемых инвестором в длинной сделке и, взятое с обратным зна­
6)
ком, число единиц актива, продаваемое инвестором в короткой сделке.
Если пА
- число единиц актива, участвующих в сделке, то Zл =пл
для длинной и zA = - пл для короткой сделки.
К финансовым параметрам сделки относятся также финансовые
параметры актива:
7)
8)
Р0 (А)
Р1 (А)
-
начальная цена актива сделки;.
конечная цена актива сделки;
9) J}cJ(t0,t1)
-
те:Кущий доход актива сделки За ее период.
21
Часть/. Инвестиционный процесс и его оценивание
К основным финансовым параметрам сделки относится:
10) ~ - начальный (инвестированный) капитал инвестора, т.е.
лица осуществляющего сделку.
Этот параметр определяется лишь для длинных сделок; для корот­
ких простейших сделок он не требуется и принимается равным О.
Основные параметры сделки однозначно определяют ряд других
параметров:
11) ~ = пАР0 ( а) - начальная сrоимосгь - стоимость открытия сделки;
12)
= пАР1 (А) - конечная стоимость - стошюсiпь закрытия сделки;
v;
13) S0 = Zл Р0 (А) - начальная стоимость позиции;
14) S1 = Zл Р1 (А) - конечная стоимость позиции.
В идеальных простейших длинных сделках, в которых комиссия
не взимается мы будем считать, что весь начальный капитал инвести­
руется в активы, т.е. ~= ~
Характеристики эффективности простейшей сделки: доходность за
период и нормированная доходность.
Перечисле~шые параметры - основные параметры сделки определя­
ют ряд других величин, характеризующих эффективность сделки. Эти
величины можно разбить на два класса
-
абсолютные и относительные.
1( абсолютным характеристикам эффективности сделки относятся:
15) I(c)(t0 ,t1) = zA Jл(c)(t0 ,t1 ) - текущий доход сделки за ее период;
16) J(P)=ЛS(t0 ,t1 ) = S1 - S0 - ценовой (капитальный) доход;
17) Tl(t0 ,t1) =J(c)(t0 ,t1)+ J(PJ(t0 ,t1) полныйдоход(Тоtаl Income) сделки.
Абсолютные характеристики определяются как для длинных, так
и коротких простейших сделок, относительные характеристики
-
только для длинных сделок.
18) rc(t0 ,t1)
-
I (t0, t1 )
I Uo, t1 )
Wa
vo
-
текущая
д
д
охо ность
\/ cиrren t
retиrn) сделки;
19) rP(t0 ,t1)
=
ЛV(t
~
,t)
1
о
=
ЛV(t0 ,t)
1
V,
~ценовая (капитШlьная) доходность
о
сделки;
20) r(t0,t1)
пr:;: 11 > ~ П(~,ti)
о
-
полная доходность сделки.
о
При сравнении сделок с разными периодами используют так на­
зываемые нормированные сделки, т.е. приведенные к единичному (ба­
зовому) периоду времени доходности:
Простая нормированная доходность сделки
21)
22
Y(npJ
=
~ , эффективная доходность сделки.
Глава
22) у<эФ)
2.
Финансовые сделки и их оценивание
1
=(1+ Гт) т -1 .
Рассчитать сделку
-
значит, найти ее все перечисленные выше
характеристики.
Пример
2.1. Рассчитать длинную и короткую сделки с акцией А с
параметрами: t0 =0, t 1= 0,5; пл =100, начальная цена акции Р0 = $100;
конечная цена акции: а) Р1 = $120, 6) Р1 = $80, дивиденд Iл = $5 на
акцию.
Решение.
Дл.иииая сделка:
а) Р1
= $120
~ = S0 =пл· Р0 =100·$100 = $10 000,
~ = S1 =пл · Р1 =100· $120 = $12 000,
Теvштt:Ий
ДОХОД"• J(C)(f0' f)
= ZА · 1А(c)(f0' f)
= 100• $5 = $500 '
......_J .u..., .
l
l
ценовой: J(PJ(t0, t1) =
S1 - S0 = $12 ООО - $10 ООО= $2 ООО,
и полный: Tl(t0, t 1) = [fcJ(t0, t) + J{PJ(t0, t ) = $500 + $2 ООО = $2 500.
1
Текущая доходность: rc(t , t ) = 500/10000 = 0,05, или 5%,
0 1
ценовая: rP(t0, 11) =2000/10000 = 0,2 или 20%,
и полная: r(t0 , ! 1) = 2500/10000 = 0,25 или 25%.
Простая годовая доходность равна
У(пр)
= 25%/0,5 = 50%,
а эффективная годовая доходность
у<ЭФ>
6)
= (1 +0,25) 2 -1 = 0,5625, или 56,25%.
Начальная стоимость позиции, текущий доход и текущая до­
ходность не изменятся, конечная стоимость будет равна:
s1=
lOO· $80 = $sooo, ·
ценовой доход: J(PJ = -$2000,
полный: TJ= -$1500,
ценовая доходность: rP = -0,2 или -20%,
а полная доходностн: r= -15%.
Простая годовая доходность равна: у<пр) = -15%/0,5 = -30%,
а эффективная годовая доходность:
у<эФ) =
(1-0,15) 2 -1 = -0,2775
или-27,75%.
Короткая сделка.
а)
S = - $1 О ООО S = -12 ООО
о
' 1
'
23
Часть
!.
Инвестиционный процесс и его оценивание
J(P)(to, tl) = sl - so = - $2 ООО, J(c)(tO,tl) = Zл JA(c)(tO,tI) = - $500,
полный доход (в данном случае убыток) составит TI = -$2 500:
б) S0 = - $10 ООО, S = -8 ООО,
1
so
J(P)(to, t) = sl = $2 ООО, J(c)(tO,tl) = Zл JA(c)(tO,tl) = - $500,
полный доход: TI= $2 ООО -$500 = $1500.
2.2. Учет комиссионных в простейших сделках
Выше мы рассмотрели идеализированную модель сделки, в кото­
рой отсугствуют какие-либо издержки, связанные с реализацией
сделки помимо прямых затрат. На практике инвестор реализует сдел­
ки с ценными бумагами, используя посредников - брокеров, выпол­
няющих поручения инвестора по покупке и продаже ценных бумаг.
За исполнение таких поручений брокеры взимают плату либо в виде
фиксированной суммы, независимой от суммы сделки, т1бо, что бы­
вает чаще, величина этой платы пропорциональна сумме сделки и
тогда она определяется ставкой комиссионных, так что величина взи­
маемых комиссионных за операцию покупки или продажи равна
произведению суммы сделки на ставку комиссионных. Ниже мы бу­
дем обозначать эту ставку символом а.
Комиссионные в длинных сделках. Рассмотрим сначала дл-,,~нную сдел­
ку. Отдавая поручение брокеру на покупку п0 единиц актива а, инве­
стор должен заплатить брокеру помимо стоимости ~ = S~ покупаемых
активов сумму а~
сумму комиссии . за исполнение покупки. Таким
-
образом, полная сумма первоначальных затрат инвестора составит:
~+а~= (l+a)~.
Именно эта сумма теперь будет играть.роль начальных инвесп1иций,
так что если, как оговаривалось выше, инвестор использует весь свой
начальный капитал
Wo, то
Wo =
(l+a) ~-
Закрывая простейшую сделку, инвестор дает брокеру поручение
продать все активы. Выручка от продажи, равна ~ = S 1, а размер ко­
миссионных а~. Эту сумму брокер удерЖивает после исполнения
поручения о продаже, и, следовательно, фактическая выручка инве­
стора составит:
~ - а~= (1-а)~.
Таким образом, фактический ценовой доход (убыток) в длинной
сделке с учетом комиссионных равен
Ja(PJ
= (1-а) ~ - (1 +а)Уа,
(2.1)
(1-а) ~ -(1 +а)~
-------
(2.2)
а ценовая доходность
r(p)
а
24
=
1
(pJ
_а_=
Wa
(1 +a)Va
=
(1-а) ~ ·_ l .·
(1 +a)Vo
Глава
2.
Финансовые сделки и их оценивание
Здесь и нюке в этом разделе НИ)JШИй и~щекс а означает, что вели­
чина приводится с учетом комиссионных. Между ценовыми доходно­
стями ~учетом (ra(р>) и без учета (r (р)) комиссионных существует оче­
видная связь:
1+ r (р) = (1-а) .(1 + r(p>).
а
(1 +а)
(2.3) .
Текущий доход J(с)остается неизменным, а текущая доходность будет
r (с)
а
= J(c)/
w=
о
1
(l+a)
r(c).
Наконец, полный доход с учетом комиссионных будет равен
TJ =
а
J(c)
+ J(P)
а
'
а полная доходность
r = (I(c)
а
+
J(PJ)/W = r (с)+ r (р) = r <с>+ (l-a) (1 + r<P>)-1.
а
о
а
а
а
(l + а)
(2.4)
Пример
2.2. Предположим что при реализации длинных сделок
из примера 2.1, взималась брокерская комиссия по ставке 2%. Найти
доходность этих сделок с учетом комиссионных.
Решение.
В случае а) ценовой доход
1:)= (1- 0,02)$12000 - (1 + 0,02)$10000 = $1560,
полный: Tla = $1560 + $500 = $2060,
ценовую доходность: r а(р) = $1560 / $10200 =
0,1529 или 15,29%,
текущую доходность: r а(с) =500/10200 = 0,049,
полную доходность: r а= 0,1529 + 0,049 = 0,2019 ИЛИ 20,19 %.
Таким образом, 2% комиссионных с двух торговых операций
"съедают" примерно 5% ценовой и полной доходности . .
В случае б) ценовой доход
·
1:)= (1- 0,02)$8000- (1+ 0,02)$10000 = -$2360,
ценовая доходность: r а(р) = -$2360 /$10200 = -0,2314 или -23,14%,
полная доходность: r а= -0,2314 + 0,049 = - О,1824или-18,24 %.
Комиссиоппые в коротких сделках. Перейдем теперь к анализу ко­
роткой сделки с комиссионными. В короткой сделке первой опера­
цией будет продажа заемных активов, и выручка от этой продажи,
после вычета комиссионных составит
Уо-аУо=(1-а)~,
а затраты на покупку при закрытии сделки
v; + а v; = (1 + а)~.
25
·
Часть
1.
Инвестиционный процесс и его оценивание
Тогда ценовой доход будет равен
J~J= (1 +а)~ - (1- а)~'
(2.5)
текущий доход, представляющий в данном случае расходы инвестора
на выплату дивидендов кредитору
J(c) = Z .[(с)=
а
а полный доход
Tlа =
J(PJ
а
+
J(cJ
А
-n .] (с)
А
= (1 +а) V.1 - (1 -
А
'
а) V:О - п.АА'
l (cJ
(2.6)
Поскольку в этом случае инвестированный капитал совпадает с
комиссионными, затраченными на открытие сделки, т.е. ~=а~' то
полная доходность равна
(2.7)
Пример
2.3. Найдем доходность коротких сделок из примера 2.1 с
~етом 2% комиссионных.
Решение. В случае а) ценовой доход
J~)
= -(1+ 0,02)$12000 + (1- 0,02)$10000 = -$2440,
текущий J(cJ = -$500, а полный Т!а - $2440 - $500 = - $2940,
полная доходность
-
ra=
Tla/a~
= -$2940/$200 = -1470%.
В случае б) ценовой доход равен
J~) = (1-0,02)$10000- (1+ 0,02)$8000 = $1640
текущий
- /(с)= - $ 500, а полный - Tla =$1640 - $ 500 = $1140,
полная доходность - ra = -$1140/$200 = 570%.
Принцип скорректированных цен в анализе сделок с комиссионными.
Приведенные выше формулы прибьmи и доходности с учетом комис­
сионных можно получить, также, используя понятие скорректиро­
ванной цены покупки или продажи. Так покупка единицы актива по
цене Р с учетом комиссии означает фактически покупку по большей
(скорректированной) цене P/=P(I+a). Точно также, продажа еди­
ницы актива по цене Р с учетом комиссии дает фактическую выруч­
ку Ра-
=
Р( 1- а), что равносильно продаже по меньшей (скорректи­
рованной) цене Ра. Тогда покупку (длинную)
z единиц актива по це­
не Р0 и последуюшую их продажу по цене Р1 можно трактовать как
покупку единиц актива по цене Р + = Р (1 +а) с суммарными затра0
0
z
,а
-
тами zP0 .~ = zP0(1:=a) и их продажу по цене Р1 ,а. =Р0 (1-а) с суммарной выручкой zP1,a = zP0(1-a). Аналогично рассматриваются и ко­
роткие сделки с комиссией. Таким образом, комиссионные можно
"
спрятать
26
"
в цены и в дальнеишем анализе о них не упоминать.
u
Глава
2.4.
2.
Финансовые сделки и их оценивание
Учет налогов
При оценке фактической эффективности сделки необходимо
учитывать и налоги, которые должен платить инвестор. Учет налогов
в общем случае весьма трудное дело из-за существенных различий в
налоговом статусе инвесторов, особенностях налогообложения раз­
личных типов инструментов, сделок ит.п. Поэтому здесь мы лишь
наметим некоторые общие моменты учета налогов при вычислении
доходностей сделок.
В налоговой практике многих стран текущий и ценовой (капи­
тальный) доход облагаются по-разному. Это проявляется в различных
ставках налога на текущий и ценовой доходы. Кроме того, текущий
доход (если он положителен - т.е. это действительно доход, а не убы­
ток, и если инвестор или финансовый инструмент не освобожден от
уплаты текущего дохода) взимается обязательно, тогда как ценовой
налог (на прирост капитала) взимается лишь при реализации этого
дохода. Реализация ценового дохода означает, что инвестор фактиче­
ски, на самом деле получил этот доход, например продал актив по це-
не большей, чем купил. Таким образом, нереализованный (книжный)
доход назiогом не облагается. Это факт нужно всегда помнить при
расчете посленалоговой доходности, т.е. доходности cдeлI<J;I после уче­
та всех налогов.
Весьма трудным вопросом является учет налогов при фактиче­
ских убытках (как текущих, так и ценовых). Чтобы не входить в тон­
кости налогового законодательства, в примерах мы будем считать,
что при фактических (реализованных) убытках налоги не взимаются,
хотя в налоговой практике многих стран в этом случае возможны раз­
личного рода косвенные ншюговые компенсации, например перенос
убытков на будущие периоды с целью уменьшения налогооблагаемо­
го дохода в будущих (доходных) периодах.
Пусть теперь,
-r(c)
и
-r<P> -
ставки налога на текущий и ценовой до­
ход соответственно. Тогда сумма налога на текущий доход составит
тАХ( с) = 1°(с) •/(С)' /(С)) о'
а на ценовой
ТАХ(р) = 1:(р). f(P)'
f(P)
> О.
Следовательно, посленалоговый текущий доход составит
1.<с>
1<с>
-
тлх<с>
= 1<с> -
т<с>. J<с> = (1 -
-r<c>)J<c>'
(2.8)
а посленалоговая текущая доходность
r/c) = Jr (с)/~ =(1 - -r(c))J(c)/~ =(1 -
1:<-c>)r(c).
(2.9)
27
-
Часть
!.
Инвестиционный процесс и его оценивание
Посленалоговый ценовой доход (если он действительно подлежит
выплате!)
J,(P)= j(P) -
ТАХ.Р>
=
j(P) -
'r(p). j(P) =о.:...:.
-r<P))f(P),
(2.10)
а посленшюговая ценовая доходносiпь
1~,<Р)
= Т,/Р) / f"o =( 1 - -r<P>)J,(P> / f"o = ( 1""'7 -r<P>)r<P).
Полный посленалоговый доход
Tlr: равен
(2.11)
сумме посленалоговых
текущего и ценового доходов
Тlт:
= Iт: + J,(P)'
а полная посленалоговая доходность равна, естественно, сумме по­
сленалоговых текутцей и ценовой доходностей
Г-с
= r,(c) + r,(P) = (1- 'f (с)) Г (с) + (1- 'f(P)) r<P)_
·
Нормировка посленалоговой доходности для простой доходности да­
ет аналогичное соотношение между нормированными простыми те­
кутцей и ценовой доходностями:
·
(с) + ( 1.:.... T(P))r (р).
" = (1- 't'(c))r(~
(~
Г. (пр)
(
12)
Когда налог взимается со всего дохода (без разделения на текущий и капитальный) по одной ставке т формулы для посленшюговой
полной доходности принимают вид
r, (1-
т)r,
r,<np) = (1- т)r<nP).
(2.13)
Все эти формулы верны лишь в предположении неотрицательно­
стu текущего, ценового и полного доходов! Совпадение ставоктеку­
щего и ценового доходов, вообще говоря, неравносильно взиманию на­
лога с полного дохода по общей ставке. Равносильность будет соблю­
даться лишь при неотрицательности ценового и текущего доходов.
Пример 2.4. Найти послена.тiоговую доходность для длинной
сделки из примера 2.1, для налоговых ставок -r< с) = -r<P> = 25 %.
Решение. а) Поскольку текущий доход в этом случае равен
I= $500,
сумма налога составит
тлх<с>
= -r(c)· I= 0,25· $500 = $125,
а посленалоговый текущий доход
I, I-:---
тлх<с>
= $500 - $125 = $375.
Тогда посленалоговая текущая доходность будет
• r,<c)
или
= J,/f"o = $375/$10000 = 0,0375,
3,75%. Конечно, ее можно бьшо бы вычислить, используя дона­
логовую текущую доходность
r<c> = $500/$10000
28
= 0,05,
Глава
2.
Финансовые сделки и их оценивание
5%, используя формулу (2.9) для текущей посленалоговой доход-
или
ности
Ценовой доход
r,<c) = (1--r<c>)r(c) = 0,75·5% = 3,75%.
сделки равен ЛS = $2000, налог на
этот доход (при
условии его реализации)
ТАХ(р>
= т(р>. ЛS= $2000·0,25 - $500,
а посленалоговый ценовой доход будет
лs, =
$2000 - $500 = $1500,
и посленалоговая ценовая доходность
r,(p)
или
= ЛS,/Уа = $1500/$10000 = 0,15,
15%. Другой, более прямой, способ вычисления посленалоговой
доходности по заданной доналоговой:
r'l:<P)
= (1- т<Р>)r<Р> = 0,75·20% = 15%.
Полная . посленалоговая доходность равна .
r<c) + r(p) = 3 75% + 15% = 18 75%.
'
'
'/:
'/:
Если бы налог взимался с полного дохода по ставке
25 %, резуль-
тат бьш бы тот же самый.
б) В этом случае доналоговый и посленалоговый текущие доходы
те же, что и в случае а), а поскольку ценовой доход отрицателен, то
налог на него не начисляется. Тогда полные посленалоговые доход и
доходности будут равны
TI'1: =.· $375 - $2000 = - $1625,
r, =
-
$1625/$10000 = -0,1625 или -16,25%.
Если бы налог брался с полного дохода по ставке
скольку полный доход
25%,
то, по­
TI = - $1500 в этом случае отрицателен, сумма
налога была бы равна нулю и посленалоговая доходность бьmа бы
равна доналоговой, т.е.
-15% . .
Одновременный учет комиссионных и нал.огов. Поскольку комисси­
онные относятся к расходам, то они вычитаются из дохода сделки до
уплаты налогов. Мы будем учитывать комиссионные как капиталь­
ные (ценовые) расходы и, значит, вычитать их из ценового дохода.
Пример
2.5.
Найти посленалоговую доходность для длинной
сделки а) из примера 2.1, дляхомиссионных в 2% и налоговых ставок
'r(c)
= 20%,
'f(p)
= 10%.
Решение. При решении примера
2.3
мы получили в случае а) це­
новой доход:
Ла V=
(1--:- 0,02)$12000 - (1 + 0,02)$10000 = $1560,
29
Часть
I
Инвестиционный процесс и его оценивание
текущий
$500.
Следовательно, чистый ценовой, текущий и полный
доходы составят соответственно:
ЛаV=
'l'
(1-0,1)$1560=$1404,1 =(1- 0,2)$500 = $400,
а,т
TIa,r = $1404 + $400 = $1804.
2.5.
Инфляция и доходность
До сих пор мы не обращали внимания на возможное обесцене­
ние денежных средств из-за инфляции. Выражаясь формально, мы
учитывали номинальные, а не сопоставимые, (реальные) денежные
суммы, относящиеся к различным моментам времени. Доходность,
подсчитанная с использованием таких сумм, называется номиналь­
ной. Для коротких инвестиционных периодов и при незначительной
инфляции такой подход не приводит к существенному завышению
доходности сделок. Однако на длинных промежутках времени д"аже
незначительная инфляция суrцественно сказывается на решzьной эф­
фективности сделки. Чтобы получить выражение для доходности с
учетом инфляции необходимо уметь количественно измерять харак­
теристики (например, темп) инфляции. Обычно базовой характери­
стикой инфляции служит некоторый индекс цен, представляющий в
каждый момент времени средневзвешенную стоимость какого-либо
набора товаров или услуг (например, так называемой потребитель­
ской корзины). Индекс цен позволяет сопоставлять покупательную
способность денежных сумм (их реальную стоимость) в различные
моменты времени.
Пусть, например
G-
некоторый ценовой индекс, а
значение в момент времени t. Тогда для промежутка
XUo,
t1)
=
[t0 , t1]
G(t) -
его
отношение
G(t1)/G(Jo)
называется коэффициентом роста цен, а
y(to, t1) = x(to, t1) - 1 = [ G(t1) - G(to)] /G(to)
темпом роста цен или темпом инфляции за период [t0 , t 1].
Связь между номинальной и реальной доходностями сделки за пе­
риод выражается известной формулой Фишера:
1+ r(1·ea/) = (1+ r(пот)/(1+ y(to, !))),
(2.14)
или
(2.15)
или коротко
r(real)= (r(nom) -
30
у)/(1 + у).
Глава
При малых темпах инфляции
лу
2.
Финансовые сделки и их оценивание
( 1+ у) ~ 1 и, следовательно, форму­
(2.15) можно заменить приближенной формулой
r(real)=
'<пот)
-
(2.16)
у,
которой часто, но не всегда корректно, пользуются на практике.
Пример
2.1,
2.6.
Найдем реальную доходность сделки а) из примера
считая темп инфляции за период сделки равным
8%.
Решение. Как показано в решении примера, полная (номинальная)
доходность r (nom) сделки в случае а) 25%. Согласно формуле Фишера
(2.15), реальная доходность сделки за период в этом случае равна
r(real) = (r(nom) - у)/(1 + у) = (0,25 - 0,08)/(1 +О,08)
или
15,74%. Используя приближенную формулу (3.10),
= О, 1574,
мы получим
'<геаt> = r<пот> - у= 0,25 - 0,08 =О, 17,
или
17%, что существенно выше, чем точная оценка.
Для правильного понимания и использования формул Фишера
надо следить за согласованностью используемых в этих формулах ве­
личин. В формулах
(2.14) - (2.15)
все величины непосредственно от-
носятся к периоду сделки. Это касается как коэффициентов роста и
доходностей сделки, так и темпа инфляции. Если задан годовой темп
инфляции, а период сделки отличен от года, то необходимо приведе­
ние годового темпа инфляции к периоду сделки. Обычно это осу­
ществляется с использованием схемы сложных процентов.
1 год. Тогда коэффициент роста цен
за год составит (1 + у 1 ), за период длины Т- (1 + у 1 )т, а темп инфля­
Пусть у - темп инфляции за
1
ции за этот период составит
Ут= (l+yJ)T Формула
(2.14)
1.
в этом случае перепишется в виде:
1+ r<rea1> = (1 + r<пom»IO + У1) Т.
(2.17)
Реальную доходность за период можно нормировать, т.е. приво­
дить к единичному периоду, например году. Из формулы (2.17) не­
медленно следует, что реальная эффективная годовая доходность
сделки y(reaI) удовлетворяет соотношению:
1+ у(real) = ( 1+ r(real) ) ~;т =
=
(1 + '<пот»l/Т/(1 + r1) = (1 + У(пот))/(1 +у),
где У<пот) - эффективная номинальная годовая доходность сделки.
Приведение по схеме простых процентов реальной доходности сдел­
ки не дает аналогичного соотношения.
31
·
Часть
l
Инвестиционный процесс и его оценивание
Пример
2. 7.
Найдем реальную эффективную годовую доходность
сделки для случая а) из примера 2.1, если темп инфляции у 1 =10% в год.
Решение. 1-й способ. Поскольку эффективная годовая номиналь­
ная доходность сделки равна у<эФ)
= 0,5625,
то, используя формулу
Фишера, получим:
у(~-:~~= (1+у(эф))/(1 +у 1 ) или
1 = (1 + 0,5625}/( 1 + О, 1) -1
= 0,42045,
42,05%.
2-й способ. Найдем сначала реальную доходность сделки за пе­
риод, а затем преобразуем ее к годовому периоду. Поскольку
10% -
это годовой темп инфляции (у 1 ) , то необходимо преобразовать его
темп инфляции за полгода:
1+
или
у
1 /2
= (1+
у ) 112
1
= (l+O ' 1) 112 =1 ' 0488 '
Теперь можно найти реальную полугодовую доходность
4,88%.
сделки:
r (rea!) = ( 1+r< 110111»I<1+у 11) -1 = (1 + 0,25)/(1 + 0,0488) -1
или
19,18%.
=О, 1918,
Тогда соответствующая эффективная годовая доход­
ность будет равна:
у<~:~~=
(1 +0,1918) 2 -1=0,04205, или 42,05%, т.е. то же самое зна­
чение, что и при первом способе вычисления.
2.6.
Одновременный учет различных факторов
До сих пор мы исследовали влияние различных факторов: ко­
миссионных, налогов и инфляции раздельно. На практике, конечно,
все эти факторы действуют совместно. Одновременный учет этих
факторов не представляет особого труда. Общая формула для полной
доходности сделки с периодом Т с учетом всех факторов (т.е. чистой
реальной посленалоговой доходности) имеет громоздкий вид
1~(a,-rJeat) = [(1- т<с>)r<с>
+(1- т(р)) (1-а).(1+ r(p>)]/[(l+a)(l+ Ут)]-1,
(при реализованном ценовом доходе!), где Ут
-
темп инфляции за пе­
риод сделки. Эту формулу запоминать не нужно! Необходимо лишь в
каждом конкретном случае провести тщательный анализ сделки и
применять соответствующие определения доходности.
Пример
2.8. Найдем реальную эффективную годовую доходность
длинной сделки а) из примера 2.1 если ставка комиссионных 2%,
ставка налога на текущий доход 20%, а на ценовой - 10% и годовой
темп инфляции 10%.
32
Глава
2.
Финансовые сделки и . их оценивание
Решение. Согласно условию, имеем длинную сделку с параметра­
1/2 (года). zA = пА =100, Р0 =$100, Р1 = $120,
l}cJ = $5; Уа= S0 =пл · Р0 = $10 ООО, v;= S1= пл· Р1 = $12 000, и а=2%,
т(с) = 25%, 'r(p) =10%, у=10% год.
ми
t0 =
О,
Т=
t1 =1/2,
Поскольку валовой (доналоговый) текущий доход составляет
посленалоговый текущий доход будет равен
!/с)= (1-0,25) · $500 = $375. Ценовойдоналоговыйдоход с учетом ко­
J(c)
= $500,
то
миссионных составит:
= (1- 0,02)$12000 - (1 + 0,02)$1QOOO = $1560,
Ia(pJ
а посленалоговый I (р) = (1-0,1)$1560 =$1404. Поэтому полный поа,-r
сленалоговый доход с учетом комиссионных составит:
TIa,-r = $1404 + $375 ~ $1779.
Это значит, что полная номинальная посленалоговая · доходность с
учетом комиссионных будет:
ra-r
.
$1779/[(1+ 0,02)$10000]= 0,1744,
'
или
17 ,44 %. Номинальная
будет:
у
а,т
полная годовая эффективная доходность
= (1 + r )2 -1 = 0,3792 или 37 ,92%.
а,•
Наконец, реальная эффеJ(Тивная годовая доходность будет равна
Уа,т,~·еа/=
(0,3792-0,10)/(l+0,10)
=
0,2539,
или 25,39%. Заметим, что учет всех факторов привел к снижению до­
ходности почти в 1,5 раза с 25,00% до 17 ,44%.
Сделки с маржей
2. 7.
Дл.иниые сделки с маржей. В длинных сделках с маржей инвестор за
счет собственных средств (капитала) оплачивает только часть
Ко=
µov;,
стоимости активов, определяемой уровнем начальной маржи
остальная часть
-
долг инвестора брокеру:
µ0 ,
' Do =Уа- µоУа = (1- µо) Уа,
В конце срока сделки активы продаются, долг (с процентами)
погашается и остаток ~
-
представляет собой конечный капитал ин­
вестора.
Состояние сделки в любой момент времени
t
описывается со­
стоянием счетов активов и пассивов (балансом):
. 3175
33
Часть/. Инвестиционный процесс и его оценивание
Активы
Пассивы
Стоимость
активов
Долг
Капитал~
V,
At = V, при этом меняется,
Стоимость активов
D0
а долг
неизменным. Текущий капитал ~равен:
~=
V,-Do=
D1 = D0 остается
V,-(1-µo)~.
Короткие сделки с маржей. В коротких сделках с маржей инвестор
вносит на маржевый счет сумму
- µ 0 ~, которая вместе с выручкой
Уа
будет представлять собой активы (в виде н.аличн.ых средств):
Ао = ( ~ + µо ~)
·. ( 1 + µо)
~·
Стоимость взятых взаймы активов будет представлять собой долг
D,-= V, инвестора, который меняется с изменением цены актива, тог­
да как активы
-
неизменны. Текущий баланс имеет вид:
Активы
Пассивы
Денежные средства
Долг Dt
Капитал~
-
(1+ µо)~
Текущая маржа, критическая цена и условие поддержки маржевого
счета.
V,
V,
Отношение Kt /
текущего капитала К, к текущей стоимости
= At акций, купленных в длинной сделке
µ,=
или проданных
к,
~
v; = D в короткой сделке
1
к,
µt = D ' .
1
называется текущей маржей~ Ведение марже во го счета требует, чтобы текущая маржа не снижалась ниже заданного уро:вня
µ_,
называе­
мого минимальной маржей:
µt?.µ_.
Цена актива с текущей маржой равной минимальной называется
критической.
Для длинных сделок критическая цена:
р = 1-µо Р,
кр
34
1- µ_
О
'
Глава
2.
Финансовые сдешси и их оценивание
для коротких сделок:
- 1+µо р
- 1+.µ_ о.
кр
р
Минимальная маржа определяет минимальное допустимое значение капитала
ктiп=
µ_ ·Аt
Ктiп
µ_ . Dt
t
В Д)IИННОЙ ИЛИ
t
=
в короткой сделке.
Если текущая маржа становится ниже минимальной т.е.
µ 1 < µ_,
то
текущий капитал ~ будет меньше минималыюго допустимого значе­
·
ния капитала
к mт
1
:
кt
< ктiп
1
•
В этом случае говорят, что счет занижен (с заниженной маржей),
и брокер уведомяяет инвестора о необходимости поддержки счета,
т.е. о необходимости взноса на погашение части долга в случае длин­
ной сделки и дополнительного обеспечения в случае короткой сделки.
Размер взноса будет равен текущему дефициту капитала:
л~тiп
= ~min -
~.
То есть инвестор должен посредством взноса увеличить текущий
капитал до минимально требуемого уровня или, как еще говорят,
восстановить (сбалансировать) счет на уровне минимальной маржи.
С другой стороны, начальная маржа определяет верхний необхо­
димый уровень требуемого капитала
для длинной и
кt тах =µо D1
короткой сделки. В случае превышения текущей маржей началыюго
уровня
µ 1 ;;:::: ~'
текущий капитал будет больше верхнего требуемого
уровня
кt
>К.тах
t
•
Тогда говорят, что счет завышен (с завышенной маржей) и инвестор
может изъять часть средств. Максимальный размер изоятuя равен те­
кущему избытку капитала
лктах =К- ктах
t
t
t
и возвращает (восстанавливает, балансирует) счет к начальному уров­
ню маржи.
Мы рассмотрели восстановление счета до уровня начальной
3*
35
Часть !. Инвестиционный процесс и его оценивание
мар:жи при избытке капитала и до уровня минималыюй маржи при
его дефиците.
Если текущая маржа лежит между граничными значениями
µ_ :$ µt :$ µо.
то говорят, что счет ограничен, не требуются дополнительные взносы
и невозможно изъятие средств.
В общем случае при выходе текущей маржи
ка
[µ_, µ 0 ]
µ 1 за границы отрез­
счет может восстанавливаться не на уровне начальной или
минимальной маржи, а на уровне некоторого промежуточного з:н;аче­
ния µ+: µ_:s; µ+:Sµ0 • Мар:Жа µ+ называется в.осста~овительной.
Если текущий баланс счета длинной сделки имеет вид
Пассивы
Активы
Стоимость активов
v;
Dt ·
Долг
Капитал~
то восстановление счета на уровне маржиµ+ означает, что новый
(восстановленный) · баланс имеет текущую маржу равнуiо заданной.
Для маржиµ+ это означает, что
"
к+
µ1 =
.. . . .
:v! · =µ+или К/=µ+~.
t
Таким образом, требуемый размер капИтала, об.еспечивающий счет
на уровне маржи ·восстановленИЯ µ+ равен к,+= µ-tJ';. Тогда разность
лк+ =к+_ к
t
t
t
представляет собой текущий дефицит (если лк, >О) капитала и, зна­
чит, размер необходимого взноса, либо текущий избыток (если
< О) и, значит, ма-к:симш~ьный размер возможного изъятия средств.
Л~
Восстановление счета посредством вложения или изъятия не ме­
няет позиции инвестора. В длинной сделке это означает перераспреде­
ление средств между счетами обязательств и капитала. Так, изьятие
средств .означает увеличение долга на сумму ЛК, с одновременным
уменьшением капитала на эту же сумму. Наоборот, дополнительное
вложение означает уменьшение долга и одновременное увеличение ка­
питала.
Другой способ восстановления счета осуществляется за счет из­
менения позиции инвестора. Если счет длинной сделки имеет завышен­
ную маржу, инвестор может не сни:м;ать деньги со счета, а увеличить
позицию, купИв .дополнительно некоторое число единиц·· ·актива, не
36
Глава
2. Финансовые сделки и их оценивание
меняя текущего капи"!-ала. Максимальное число единиц актива, кото­
рое может.купить инвестор, определяется условием восстановления
на уровне начальной маржи
где: Кt
µ0 :
'
Кt =·µov;'
- текущий капитал; ·
·
V, '- стоимость новой позиции в сделке.
Тогда изменение стоимости позиции равно
лv; =
v;- v;,
t
следовательно, дополнительное число единиц активов, которое. может
купить инвестор по текущей цене, равно
..
Лп 0 ' Лz0 · ЛVJP,.
. . ..
"
Покупка дополнительных единиц актива осуществляется только
за счет дополнительной брокерской ссуды без взноса инвестора (теку­
щий капитал не меняется!)
Аналогичным образом, если в случае счета длинной сделки с зани­
женной .маржей инвестор не может (или не хочет) внести необходи­
мые дополнительные. средства, брокер должен продать часть активов
для. восстановления счета на уровне минимальной маржи.
}Juни.мальное число единиц актива, которое должен продать бро­
кер, определяется условием восстановления на уровне минимальной
маржиµ_ при неизменном текущем капитале К,
.
Кt = _µ_.
v,',
:
а минимальное число единиц активов, которое должен продать бро­
кер по текущей цене, , равно
Лп 0 ....:. -Лz0 = -Л v;/ Р1 ,
Где: Л v; = V,'~ v;.
.
.
Выручка от продаЖи ·части акТивов ;идет только на част.ичное погаше-
.
ние долга.
.. .
·
Совершенно ана.Логичен анализ восстановления счета путем из­
менения позиции в короткой сделке. Для завышенного счета воз­
можна дополнительная продажа акций (без взноса · инвестора и, зна-
чит, без изменения · текущего капитада
J<t). Новая позиция V, 'восста-
навливает счет на уровне начальной маржи:
.
Изменение Л
'
Кt = µOV,'
v; = V, '_ v; позиции означает продажу
Лп 0
= ЛV,/Р1
дополнительного чис~а единиц актива по текущей цене. Увеличение
позиции в короткой сделке означает увеличение долга в данном слу-
чае без измененИя текущего капитала.
·
: ·
37
Часть
I
Инвестиционный процесс и его оценивание
В случае заниженной маржи брокер продает Часть акций, умень­
шая тем самым долг и восстанавливая счет на уровне минимальной
маржи
'
~=µ_~.
1
Изменение л
v; = ~ - v; позиции означает продажу
Лп 0 = -Лz0
= -лv;/Р1
числа единиц актива.
2.8. Доходность сделок с маржей
Доходность
rµ сделок с маржей вычисляется как отношение пол­
ного (маржевого) дохода
TIµ
к начальному капиталу~ инвестора.
r = TIµ / К0 •
. µ
Полный доход маржевой сделки равен
где
J(PJ
= ЛК К1 -К0
TI -:- /(С) + /(Р)
прирос~ капитала, определяющий ценовой
-
(капитальный) доход маржевой сделки, J_(cJ - текущий доход
Доходность
rµ ненормированная доходность,
ее можно нормировать
по схеме простых
или сложных
уэФ=
µ
(1
+ rµ )lfГ -1
процентов.
Пример
2.9. Реализуем сделки из примера 2.1
с помощью марже­
вого счета, если начальная маржа µ 0 = 60%, а минимальная маржа µ_= 25%. Проценты по брокерской ссуде не взимаются. Найдем на­
чальный и конечный баланс сделок, полный доход, полную доход­
ность, критические цены и текущую маржу в конце периода сделок.
Решение. Длинная сделка
Критическая цена
р
кр
=
l-О,б $100= $53 33.
1-0' 25
'
Начальный баланс
Акции
38
Активы
Пассивы
$10000
Долг $4000
Капитал $6000
Глава
2.
Финансовые сделки и их оценивание
Конечный баланс в случае а)
Пассивы
Активы
Долг
Акции
$120000
Прирост капитала ЛК =
!=$500,
$4000
Капитал $8000
$8000 - $6000 = $2000, текущий доход
полный Т/=$2500.
Полная доходность: r
µ
= $2500/ $6000 = 0,4166
или 41,66%.
.
Текущая маржа (в конце периода): µ 1 =
$8000/$.12000
=
0,6666,
или
66,67%.
Если сделка не завершается, то инвестор может изъять (за счет до­
полнительной ссуды)
ЛD1
(1 - 0,6)( $12000 -$10000) = $800,
.
или ув~личить позицию до $8000/0,6 = $13333,33,
купив по $120
($13333,33-$12000)/ $120 = 11,11 акций.
В случае б) баланс
Пассивы
Активы
Долг
Акции
$4000
Капитал $4000
$8000
Текущая маржа равна $4000/ $8000 = 1/2 = 50%, и счет ограничен.
Прирост капитала: ЛК = -$2000, текущий доход I =$500, полный TI = $1500.
Полная доходность rµ = - $1500/ $6000 = 0,25, или 25%.
Полная простая годовая доходность
rµпр= 25%/0,5
а эффективная
~
50%,
rµЭФ= (1 + 0,25) 2 -1 = 0,5625, или 56,25%.
Короткая сделка. Критическая цена
р ~ 1 +О,б $100 = $128 00.
"Р
1+О 25
Начальный баланс
Активы
Денежные
средства
$16000
'
. '
Пассивы
Долг $10000
Капитал $6000
'39
Часть
!.
Инвестиционный процесс и его оценивание
Конечный баланс в случае а)
Активы
Пассивы
$12000
Капитал $4000
Денежные
средства
Прирост капитала: ЛК
Долг
$16000
= -$2000, текущий доход I = -$500, полный
TI= -$2500.
Полная доходность:
rµ = - $2500/ $6000 = -0,4167, илИ - 41,67%.
Текущая маржа: µ 1 = $4000/$12000 = 0,3333, или 33,33% - счет огра­
ничен.
Конечный баланс в случае б)
Пассивы
Активы
Долг
$8000
Капитал $8000
Денежные
средства
$16000
Прирост капитала: ЛК =
$2000,
текущий доход
I = -$500,
полный
TI= $1500.
Полная доходность:
rµ = $1500/ $6000 = 0,25, или 25%.
Текущая маржа (в конце периода):
$8000/$8000 = 1, или 100%
и · возможно изъятие $3200 или
µ1
=
т.е. счет завышен
продажа 66,67 акцliи.
дополнительная
Учет комиссиоппых, пш~огов и инфляции в маржевых сдел.ках. Учет этих
факторов в маржевых сделках практически ничем не отличается от Их
учета в немаржевых сделках. Отметим только что, размер ко:Миссион­
ных пропорционален сто-им.ости позиций. Поэтому величина комис­
сионных в маржевой сделке с заданным капиталом будет естественно
выше, чем в немаржевой с тем же капиталом. Наконец взимаемые про­
центы в маржевых сделках, как правило, вычитаются из ценового
дохода и, тем самым, снижают размер налога на ценовой доход.
Задачи к главе
1.
2
Инвестор купил
10
акций корпорации А по
через полгода продал их по
составили
$5
$50
$40
за акцию, а
за штуку. Полученные дивиденды
на акцию. Найти простую и эффективную доходность
сделки: а) без учета комиссионных, б) если комиссионные брокеру
составляют
2%,
в) если ставка налога на текущий доход
прирост капитала
15%?
40
Иняестор
n
а на
Какова реальная эффективная доходность
сделки, если темп инфляции
2.
20%,
8% годовых?
П9Чll.Ле месяца осуществWI короткую продажу
50
Глава
акций компании С по цене
2. Финансовые сделки и их оценивание
$80 за акцию. В конце месяца он выкупил
акции по цене: а) $60, б) $90. За период сделки по акциям бьши вы­
плачены дивиденды по $5 на акцию. Каков текущий и ценовой доход
сделки без учета комиссионных? Каковы текущая, ценовая и полная
эффективная доходность сделки, если комиссионные брокера
2%,
ставка налога на текущий доход 20%, а на прирост капитала 10%?
3. Инвестор внес на маржевый счет $5000 собственных средств
наличными. Акции Х продаются по
маржа составляет
50%,
$50
за штуку. Если начальная
то какое максимальное число акций может
купить инвестор. Какова будет прибьшь (убыток), если цена акций Х:
а) поднимется до $75; б) снизится до $25. Если минимальная. мар­
жа равна
30%, то какова :критическая Цена акции? Описать ~началь­
ный баланс сделки, и конечный
-
в случаях а) и б).
Начальная маржа при покупке акций - 50%, а минимальная 30%. Инвестор покупает 100 акций по цене $80 за штуку. Через месяц
инвестор продал акции по $50. Найти начальное и конечное состоя­
4.
ние счета. Найти сумму, которую обязан довложить инвестор. Если
инвестор не может сделать требуемый взнос, то какое минималыюе
число акций должен продать брокер для балансировки счета на уров­
не минималыюй маржи. Найти доходность сделки, если получены ди­
виденды по $3на акцию, комиссионные брокера 2%, ставка по бро­
керской ссуде 10% годовых, а налоги не взимаются.
5. Вы решились осуществить короткую продажу с маржей 100 ак­
ций компании У.
Начальная маржа составляет
стоит
$55.
покупаете
50%.
В момент продажи акция У
Годовой дивиденд на эту акцию равен
100
миссия равна
акций по
5%
$45
$2.
Через месяц вы
и закрываете счет. Если брокерская ко­
от стоимости сделки (как за покупку так и прода­
жу), а ставка за кредит (выплачиваемый брокеру) равна 8%, то какова
прибьmь от сделки. Какова ее доходность? Как изменится прибьшь и
доходность сделки, если учесть, что ~вестор платит подоходный на­
лог по ставке
25 %?
6. Начальная маржа при короткой продаJ1Се акций - 60%, а мини­
мальная - 30%. Инвестор продает 100 акций по цене $100 за штуку.
Через месяц выросла до $130. Найти начальное и конечное состояние
счета. Найти сумму, которую обязан довложить инвестор. Если инве­
стор не может сделать требуемый взнос, то какое минимальное число
акций должен купить брокер для балансировки счета на уровне мини­
малыюй маржи. Найти доходность сделки, если дивиденды - $2 на
акцию, комиссионные брокера 2%, а ставка налога 25%. Кредит счи­
тается бесплатиым.
41